Trabajo de Cynthia Castro

1. CONJUNTOS ABIERTOS Y
CERRADOS DE NÚMEROS
REALES
Autor: Cynthia E. Castro
Materia: Funciones Reales
Año: 2009

2. Definición: Un conjunto O de números reales, se dice abierto si
∀x ∈ O, ∃δ > 0 : ∀y, ( x − y < δ → y ∈ O )
O lo que es lo mismo: ∀x ∈ O, ∃Ι (intervalo abierto) tal que x ∈ Ι ⊂ O
Ejemplo 1: Consideremos el conjunto O = { x ∈ R : 0 < x < 1}
Notemos que para cualquier elemento x del conjunto O, podemos encontrar un δ > 0
tal que si la distancia entre x y cualquier otro número y, es menor que ese δ > 0 ,
entonces el y, también pertenecerá al conjunto O.
También, podemos observar que para cualquier elemento x del conjunto O, siempre
existe un intervalo abierto Ι contenido en O, que contiene al x, ya que el Ι buscado en
este caso, puede ser el mismo conjunto O.
∴ El conjunto O es abierto.
Definición: Un número real x se dice punto de clausura de un conjunto E si
∀δ > 0, ∃y ∈ E : x − y < δ
O lo que es lo mismo: ∀δ > 0, ( x − δ , x + δ ) ∩ E ≠ ∅
Al conjunto de todos los puntos de clausura del conjunto E, lo denotamos: E
Ejemplo 2: Consideremos el conjunto E = { x ∈ R : 0 < x ≤ 1}
Notemos que los números 0 ≤ x ≤ 1 , son todos puntos de clausura del conjunto E, ya
que podemos tomar un δ > 0 tan pequeño como queramos y siempre podremos
encontrar otro elemento y del conjunto, cuya distancia entre x e y sea menor que ese
δ > 0.
También, podemos observar que tomando el δ > 0 tan pequeño como queramos, el
intervalo ( x − δ , x + δ ) y el conjunto E siempre tendrán elementos en común.

3. Definición: Un conjunto F se dice cerrado si F = F
Observación: Siempre sucede que F ⊂ F , entonces para saber si un conjunto F es
cerrado, basta probar que F ⊂ F
Ejemplo 3: En el ejemplo 1 vimos que los números 0 ≤ x ≤ 1 , son todos puntos de
clausura del conjunto E. Ahora, consideremos el conjunto F = { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} .
Podemos observar que F ⊂ F y como siempre F ⊂ F , tenemos que: F = F
∴ El conjunto F es cerrado.
Definición: Una colección C de conjuntos, cubre a un conjunto F si F ⊂ {O : O ∈ C}.
En este caso, se dice que la colección C es un cubrimiento de F.
Si cada O en la colección C es abierto, decimos que C es un cubrimiento abierto de F.
Si C contiene un número finito de conjuntos, decimos que C es un cubrimiento finito.
Ejemplo 4: Consideremos el conjunto de los números reales R. C =  ( − n, n ) es un
n∈N
cubrimiento abierto de R, del que no se puede extraer un subcubrimiento finito.
Ejemplo 5: Consideremos el conjunto F del ejemplo 3, que es cerrado y acotado. El
teorema de Heine-Borel nos asegura que cada vez que tengamos un cubrimiento
abierto de un conjunto cerrado y acotado, podemos quedarnos con un subcubrimiento
finito. Veamos si lo podemos hacer en este caso:
Tomemos el cubrimiento abierto C =  (− 1 + 1 n ,2 − 1 n ) ⊃ F , podemos quedarnos
n∈N
 ( − 1 + 1 n ,2 − 1 n ) ⊃ F
2
con el cubrimiento finito C*=
n =1