1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de
números y letras, ligados entre sí con la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y
radicación.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.
Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras
y se denominan polinomios.
Los ejemplos c) y d) no son polinomios; sí lo son a), b) y e).
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
* monomio, si tiene un solo término. Ej.:
* binomio, si tiene dos términos. Ej.:
* trinomio, si tiene tres términos. Ej.:
* cuatrinomio, si tiene cuatro términos. Ej.:
Los términos que tienen la misma variable y exponente, se denominan semejantes.
Los términos son semejantes.
Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no
nulos de un polinomio.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Se denomina coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente.
Ejemplos:
a)
b)
Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1 se lo denomina normalizado.
Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente
respecto a los exponentes de la variable.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.
2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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Ejemplos:
a)
b)
Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
Ejemplo:
Operaciones con polinomios
Suma y resta
De monomios
La suma o resta de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo
coeficiente es la suma o resta de los coeficientes de los monomios dados.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Reducir un polinomio es sumar o restar sus términos semejantes.
Ejemplo:
De polinomios
Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos
semejantes y se suman.
a) Dados:
+
4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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Multiplicación
De monomios
Para multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las variables entre sí,
aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.(
a)
b)
c)
d)
De polinomio por un número
Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto a la suma y resta.
De dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, efectuando luego la
multiplicación de monomios.
Dados:
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas entre polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos
y propiedades que con números reales.
Dados:
División
De monomios
Para dividir dos monomios se deben dividir los coeficientes y las variables entre sí, aplicando la
regla de los signos y las propiedades de la potenciación.
a)
b)
c)
De un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributiva.
Ejemplo:
5. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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De dos polinomios
Condiciones
El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.
El polinomio divisor debe estar ordenado.
Ejemplo:
Dados: . Hallar P(x): Q(x)
El dividendo debe estar completo y ordenado:
El divisor debe estar ordenado:
Regla de Ruffini. Teorema del resto
La regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio por otro
cuya forma sea
Dados:
2 5 -1 -5
-2 -4 -2 6
2 1 -3 1
Procedimiento: Se completa y ordena el polinomio dividendo. En la primer fila se escriben
alineados los coeficientes del dividendo. Luego, el coeficiente principal se baja sin ser modificado;
luego se lo multiplica por el opuesto al término independiente del divisor y se suma con el
segundo coeficiente; y así sucesivamente hasta llegar al resto.
Los números que se obtienen son los coeficientes del cociente y el último valor es el resto.
P(x) Q(x)
C(x)R(x)
Divisor
Resto
Dividendo
Cociente
6. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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Ejemplo:
1 0 -1 2
2 2 4 6
1 2 3 8
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio por otro de la forma , es el valor que resulta de
reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.
a) Dados:
El resto de la división se obtiene:
b) Dados:
El resto de la división se obtiene:
Cuando el resto vale 0, se dice que es divisible por
7. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio significa expresar al polinomio como el producto de dos o varios
monomios, binomios, trinomios, etc.
Hay seis maneras básicas de factorizar un polinomio, y normalmente reciben el nombre de casos
de factoreo:
- 1º Caso: Factor común.
- 2º Caso: Factor común en grupos.
- 3º Caso: Trinomio cuadrado perfecto (cuadrado de un binomio)
- 4º Caso: Cuatrinomio cubo perfecto (cubo de un binomio)
- 5º Caso: Diferencia de cuadrados.
- 6º Caso: suma y resta de potencia de igual exponente (Gauss).
1º Caso: Factor común
Para factorizar un polinomio a través de factor común, debemos acordarnos de la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto a la suma o resta.
(el factor a se repite en ambos términos)
Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa:
Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego,
para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.
El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el Divisor
común múltiplo de todos los coeficientes del mismo.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
a)
b)
Normalizar polinomio
Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.
2º Caso: Factor común en grupos
En primer lugar, si queremos factorizar un polinomio por este método, se debe tener en cuenta
que el polinomio debe contar con un número par de términos (por lo menos 4).
El método es similar al 1º Caso, es como separar el polinomio en dos partes y luego aplicar en cada
una de esas partes el 1º Caso.
Se debe “partir” el polinomio en dos partes, porque en la primera de esas partes va a haber “algo”
en común, y en la segunda vamos a encontrar otra cosa común. Lo que se busca es que lo que
queda “dentro del paréntesis” en cada una de las partes, sea lo mismo, para luego unir esas dos
partes que quedaban del polinomio, mediante otro factor común (1º Caso).
8. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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Ejemplos:
a)
Se forman grupos de igual cantidad de términos, de
forma tal que cada uno de ellos haya un factor común.
En cada término debe aparecer el mismo factor para
poder extraerlo nuevamente como factor común.
Al sacar nuevamente factor común, la expresión
queda factorizada a través del factor común por grupos.
c)
3º Caso: Trinomio cuadrado perfecto
Primeramente recordemos la fórmula del cuadrado de un binomio
Lo que tenemos que hacer para factorizar un polinomio por este método, es asegurar que un
polinomio de 3 términos sea equivalente a un binomio elevado al cuadrado, y luego escribir el
polinomio como un binomio al cuadrado.
Para poder aplicar este método, el polinomio debe tener tres términos (ni más ni menos). Pero
claro, no cualquier polinomio de tres términos es el cuadrado de un binomio. Más allá de tener
tres términos, tenemos que ver que dos de esos términos sean el cuadrado de “algo”, y también
tenemos que verificar que el otro término que queda sea el doble del producto de esos “algo”.
Ejemplo:
Factorizar el siguiente polinomio:
- Lo comparamos con el cuadrado de un binomio:
Entonces, si
si
Vemos que
Concluimos que:
4º Caso: Cuatrinomio cubo perfecto
Primeramente recordemos la fórmula del cubo de un binomio
Lo que se tiene que hacer para factorizar un polinomio por este método es asegurar que un
polinomio de 4 términos sea equivalente a un binomio elevado al cubo. La manera de factorizar
el polinomio es similar a la usada en el caso anterior. Más allá que para aplicar este método
“tenemos que tener” un polinomio de 4 términos, dos de ellos tienen que equivaler a “algo
elevado al cubo”. Luego debemos verificar si los otros dos términos restantes coinciden con los de
la fórmula del cubo de un binomio.
9. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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Ejemplo:
Factorizar el siguiente polinomio:
- Lo comparamos con el cubo de un binomio:
Entonces, si
si
Vemos que
Concluimos que:
5º Caso: diferencia de cuadrados
Este caso es el más fácil de reconocer, porque para factorizar un polinomio por este método, el
polinomio debe tener sólo dos términos, y cada uno de ellos debe ser el cuadrado de “algo”.
Además deben estar separados por un signo menos.
La fórmula que utilizaremos es:
Se factorizará el polinomio por el método de diferencia de cuadrados, es escribir el polinomio
como la suma de las bases, multiplicado por la resta de las mismas (en la fórmula anterior las
bases son a y b).
Ejemplo:
Factorizar el siguiente polinomio:
Entonces, si
si
Concluimos que
Otro ejemplo:
Factorizar el siguiente polinomio:
Entonces, si
si
Concluimos que
6º Caso: suma o resta de potencias de igual exponente
Para factorizar un polinomio por este método, dicho polinomio debe constar de dos términos
sumados o restados, elevados a la misma potencia.
Por lo tanto el polinomio debe ser de la forma:
Lo que se hace para factorizar un polinomio de estos, es dividirlo usando el método de Ruffini, y
para saber porque binomio dividir, debemos tener en cuenta lo siguiente:
10. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( Matemática
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Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
Ejemplo completo
Factorizar
El polinomio se puede escribir así:
Como el exponente es impar y el signo es un MENOS, debemos dividir por
Aplicamos Ruffini para dividir, pero primeramente completamos el polinomio:
1 0 0 -8
2 2 4 8
1 2 4 0
Como vemos, el resto . Si aplicamos bien el método siempre el resto debe ser cero.
Para finalizar, debemos expresar al polinomio factorizado como el producto del polinomio
obtenido, por su cociente:
Observación: un polinomio del tipo , aunque no parezca 6º caso, lo es, ya que
