La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-2,1), B(6,2) y C(4,-2) es x2 + y2 - 4x - 3y - 10 = 0. Se utilizó la ecuación general de la circunferencia y se sustituyeron los valores de los puntos dados para obtener un sistema de ecuaciones, el cual se resolvió para encontrar los coeficientes D, E y F de la ecuación de la circunferencia.

1. Ecuación de la circunferencia dados tres puntos
Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:
A ( − 2, 1 ), B ( 6, 2 ) y C ( 4, − 2 )
La ecuación general de la circunferencia
está dada por: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (1)
Vamos a sustituir los valores de ( x, y ) de cada
punto dado, en la ecuación 1:
(− 2)² + (1)² + D(− 2) + E(1) + F = 0 (2)
(6)² + (2)² + D(6) + E(2) + F = 0 (3)
(4)² + (− 2)² + D(4) + E(− 2) + F = 0 (4)
Se efectúan las operaciones indicadas:
5 − 2D + E + F = 0 (2)
40 + 6D + 2E + F = 0 (3)
20 + 4D − 2E + F = 0 (4)
Reacomodamos términos:
− 2D + E + F = − 5 (2)
6D + 2E + F = − 40 (3)
4D − 2E + F = − 20 (4)

2. Se resuelve el sistema de ecuaciones por el método de reducción:
Se multiplica la ecuación (2) por (− 1 ) y se suman las ecuaciones (2) Y (3):
2D − E − F = 5 (2)
6D + 2E + F = − 40 (3)
------------------------------------
8D + E = − 35 (5)
Ahora se suman la ecuación (2) y la ecuación (4):
2D − E − F = 5 (2)
4D − 2E + F = − 20 (4)
---------------------------------
6D − 3E = − 15 (6)
Se multiplica la ecuación (5) por 3 y se suma con la ecuación (6):
24D + 3E = − 105 (5)
6D − 3E = − 15
-----------------------------------------------------
30D = − 120

3. D = − 120 / 30 = − 4 se sustituye el valor de D en la ecuación (5):
8(− 4) + E = − 35
− 32 + E = − 35 E = − 35 + 32 = − 3
se sustituye el valor de D y E en la ecuación (2):
2(− 4 ) + 3 − F = 5
− 8 + 3 − F = 5 F = − 10
La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos dados es:
x² + y² − 4x − 3y − 10 = 0