Solución de ejercicios de matrices, programación lineal

1. SOLUCIONARIO Nº1 MATEMÁTICA BÁSICA 2
ELABORADO POR: ING. FLAVIO PARRA T SEMESTRE: MARZO-JULIO 2011
REVISADO POR : ECO. GUAMAN
UNIDAD I
a) En ejercicios 6.1 de páginas 231, 232, resuelva problemas 1, 23, 31
1.- Sean
1 -6 2 1 2 3 1 1
A= B=
-4 2 1 4 5 6 C= 2 2
3 3
1 0 1 2 3 4
D=
2 3 0 1 6 0 F= 6 2
E=
0 0 2 0
0 0 6 1
5 1 6 2
G= 6 H= 0 0 0 J= 4
1 0 0 0
(a) Establezca el tamaño de cada matriz
(b)¿Cuáles son matrices cuadradas?
(c) ¿Cuáles matrices son matrices son triangulares superiores, inferiores?
(d) ¿Cuáles son vectores renglón?
(e) ¿Cuáles son vectores columna?
23.- Si
1

2. Verifique la propiedad general de que , encontrar y después .
31.- Encuentre todos los valores de x para los cuales.
b) En ejercicios 6.2 de páginas 237-238, problemas 10, 20, 40
10.- Realice la operación indicada.
20.- Calcule las matrices requeridas.
40.- Resuelva la ecuación matricial.
2

3. c) En ejercicios 6.3 páginas 248-249, problemas 20, 58, 66
20.- Realice las operaciones indicadas.
-1 1 1 -2 2 6
0 4 3 4 2x2 ´= 12 16
2 1 3x2 5 0
58.- Calcule la matriz requerida.
0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 1 0 0
2 -1 0 • 2 -1 0 -3 2 -1 0 ´+2 0 1 0
0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1
0 0 -2 0 0 3 2 0 0
´= -2 1 -2 ´- 6 -3 0 ´+ 0 2 0
0 0 4 0 0 6 0 0 2
2 0 -5
´= -8 6 -2
0 0 0
66.- Costos. Suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de compra.
Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente:
Compra Transporte
3500 50 Acero
1500 50 Madera
C= 1000 100 Vidrio
250 10 Pintura
3500 0 Mano obra
(a) A partir del cálculo de RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los
costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.
5 20 16 7 17 3500 50
7 18 12 9 21 1500 50
R=
6 25 8 5 13 C= 1000 100
250 10
3500 0
3

4. 124750 2920
RC= 139250 2540
113250 2400
(b) Encuentre la matriz QRC cuya primera entrada proporcione el precio de compra
total, y cuya segunda entrada dé el costo total del transporte.
124750 2920
Q= 5 7 12 RC= 139250 2540
113250 2400
QRC= 2957500 61180
(c) Sea , calcule QRCZ, que proporciona el costo total de materiales y
transporte para todas las casas que serán construidas.
QRCZ = 3´018.680
d) En ejercicios 6.4, páginas 257-259, problemas 19, 24, 30, 32
19.- Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de reducción.
1 -3 0
2 2 3
5 -1 1
1 -3 0
´-2R1+R2 0 8 3
´-5R1+R3 0 14 1
´3R2+R1 1 0 1 1/8
´1/8*R2 0 1 3/8
´14R2+R3 0 0 -4 1/4
No tiene solución
24.- Resuelva el sistema de ecuaciones
4

5. 1 0 3 -1 1 0 3 -1
3 2 11 1 ´-3R1+R2 0 2 2 4
1 1 4 1 ´-R1+R2 0 1 1 2
2 -3 3 -8 ´-2R1+R3 0 -3 -3 6
1 0 3 -1
´1/2R2 0 1 1 2
´-R2+R3 0 0 0 0
´3R2+R3 0 0 0 0
“Solución paramétrica”
Si:
30.- Asignación de producción. La compañía Escritorios Nacionales tiene plantas para
la producción en la costa este y en la costa oeste. En la planta de la costa este, los costos
fijos son de $20000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En la
planta de la costa oeste, los costos fijos son de $18000 por año y el costo de producción
es de $95. El año próximo, la compañía quiere producir un total de 800 escritorios.
Determine la orden de producción para cada una de las plantas el siguiente año si el
costo total para cada planta debe ser el mismo.
“Ecuación de cantidad”
“Ecuación de costo”
1 1 800 1 1 800
90 -95 -2000 ´-90R1+R2 0 -185 -74000
´-R2+R1 1 0 400
´-1/185R2 0 1 400
32.- Producción. Una compañía produce tres artículos: A, B y C, que requiere se
procesen en tres máquinas I, II y III. El tiempo en horas requerido para el procesamiento
de cada producto para las tres máquinas está dado en la siguiente tabla:
5

6. A B C
I 3 1 2
II 1 2 1
III 2 4 1
La máquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560
horas. Encuentre cuántas unidades de cada artículo deben producirse para utilizar
todo el tiempo disponible de las máquinas.
A B C Disponibilidad
I 3 1 2 490
II 1 2 1 310
III 2 4 1 560
3 1 2 490 R1↔R2 1 2 1 310
1 2 1 310 3 1 2 490
2 4 1 560 2 4 1 560
1 2 1 310 ´-2R2+R1 1 0 3/5 134
´-3R1+R2 0 -5 -1 -440 ´-1/5R2 0 1 1/5 88
´-2R1+R3 0 0 -1 -60 0 0 -1 -60
´-3/5R3+R1 1 0 0 98
´-1/5R3+R2 0 1 0 76
´-R3 0 0 1 60
e) En ejercicios 6.5 páginas 231-232, problemas 4, 14
4.- Resuelva el sistema de ecuaciones.
1 1 0 5 1
1 0 1 2 1
1 -3 4 -7 1
0 1 -1 3 0
6

7. 1 1 0 5 1
´-R1+R2 0 -1 1 -3 0
´-R1+R3 0 -4 4 -12 0
0 1 -1 3 0
´-R2+R1 1 0 1 2 1
´-R2 0 1 -1 3 0
´4R2+R3 0 0 0 0 0
´-R2+R4 0 0 0 0 0
Solución parametrica con dos variables. Si:
14.- Determine si el sistema tiene un número infinito de soluciones o solo la solución
trivial. No resuelva el sistema.
Número de ecuaciones es igual al número de incognitas, entonces tiene una solución
trivial:
UNIDAD II
a) En ejercicios 7.1 de páginas 284, resuelva problemas 11, 24, 28
11.- Resuelva la desigualdad
7

8. 24.- Resuelva el sistema de desigualdades.
8

9. 28.- Manufactura. La compañía XYZ produce dos modelos de computadoras caseras:
el Alfa y el Beta. Sea x el número de modelos Alfa y y el número de Beta
producidos a la semana en la fábrica de San Antonio. Si esta planta puede producir
semanalmente a lo sumo 650 modelos Alfa y Beta en forma combinada, escriba las
desigualdades que describen esta situación.
x y 650
x,y 0
b) En ejercicios 7.2 de páginas 291-293, resuelva problemas 4, 12, 17, 20
4. - Programación lineal.
Minimizar: Z x y " FUNCIÓNOBJETIVO"
Sujeto a:
x-y 0
4x 3y 12
REST RICCIONES
9x 11y 99
x 8
x,y 0 CONDICIONE DE NO NEGAT IVIDA
S D
y x 0,0 2,2
4
y 4- x 0 ,4 3 , 0
3
9
y 9- x 0 , 9 11, 0
11
x 8
9

10. VERTICES:
A 3, 0 E 8, 0
4 12 12 12 12
B: 4- x x ; x y ,
3 7 7 7 7
9 99 99 99 99
C: 9- x x ; x y ,
11 20 20 20 20
9 27 27
D: y 9- 8 8,
11 11 11
Vértice Z=x+y Z
A 3, 0 3 0 3
B 12 7 , 12 7 12 / 7 12/7 24 / 7
C 99 20 , 99 20 99 / 20 99/20 99 / 10
D 8 , 27 11 8 27 11 115 / 11
E 8,0 8 0 8
Solución: Z 3 ; cuando x 3 y 0
12.- Programación lineal
Minimizar:
Sujeto a:
10

11. VERTICES:
A:
B:
VERTICE Z= y - x Z
A( 3, 3) ´3 - 3 0
B( 3, 1) ´1 - 3 -2
C( 6, 0) 0- 6 -6
17.- Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. El número
de libras de los minerales A y B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina I
y II se dan en la tabla siguiente, junto con los costos por tonelada de las minas:
Mina I (x) Mina II (y) Requerimientos
Mineral A 100 lb 200 lb ≥ 3000
Mineral B 200 lb 50 lb ≥ 2500
Costo por tonelada $ 50 $ 60
Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuántas
toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo?
¿Cuál es el costo mínimo?
11

12. Minimizar: Z 50x 60y
Sujeto a.
100x 200y 3000 ; y 15 - 1 2 x ; 0 , 15 30 , 0
200x 50y 2500 ; y 50 - 4x ; 0 , 50 12.5, 0
x, y 0
VÉRTICES
A 4 , 15 ; B 30 , 0
1 7
C : 15 - x 50 - 4x ; x 35 ; x 10
2 2
y 50 - 4 (10) y 10 ; 10 , 10
Vértice Z = 50x + 60y Z
A ( 0 , 50 ) 50 ( 0 ) + 60 ( 50 ) 3000
B ( 10 , 10 ) 50 ( 10 ) + 60 ( 10 ) 1100
C ( 30 , 0 ) 50 ( 30 ) + 60 ( 0 ) 1500
Z 1100 ; x 10 y 10
20.- Control de contaminación. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre
la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y
mas caro proceso que complementa o reemplaza al proceso anterior de fabricación
de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 25 gramos de
dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de
producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15 gramos de dióxido de
carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La
compañía obtiene una utilidad de 40 y 15 centavos por litro en los procesos anterior
12

13. y nuevo, respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar no mas de
12525 gramos de dióxido de carbono ni mas de 20000 gramos de partículas a la
atmósfera por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirse
diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál
es la utilidad diaria?
Proceso anterior (x) Proceso nuevo (y) Restricción
Dióxido de Carbono 25 15 ≤12525
Partículas 50 40 ≤20000
Utilidad 0,4 0,15
VÉRTICES:
VERTICE Z = 0.40x + 0,15y Z
A ( 0 , 500 ) 0,40(0)+0,15(500) 75
B ( 400 , 0 ) 0,40(400)+0,15(0) 160
13

14. UNIDAD III
a) En ejercicios 10.1 de páginas 457-458, resuelva problemas 14, 34, 41
14.- Determine:
34.- Determine:
f x h f x
41.- Para . Determine lím
h 0 h
b) En ejercicios 10.2 de páginas 465-466, resuelva problemas 12, 50, 56
12.- Determine:
4.999......99
14

15. =0
54.- Determine:
2,999...99 3,000...001
3
56.- Determine el límite de la función definida por partes.
f (x) x f (x) 2 4x x 2
2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
c) En ejercicios 10.4 de páginas 475, resuelva problemas 15, 22, 30
15.- Resuelva la desigualdad:
5 3 0
15

16. 22.- Resuelva la desigualdad:
5 2 1 1
30.- Participación en talleres. Imperial Education Services (IES) ofrece un curso de
procesamiento de datos al personal clave de la compañía Zeta. El precio por semana es
de $0.50 y la compañía Zeta garantiza que al menos habrá 50 asistentes. Suponga que el
IES ofrece reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista después de
las primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES aceptará, de modo
que el ingreso total nunca sea menor que lo recibido por 50 personas?
16

17. 0 50
17