Pauta Certamen Electromagnetismo y Circuitos UCSC

1. UNIVERSIDAD CATÓLICA DE LA SANTÍSIMA CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA – DEPTO. DE MAT. Y FIS. APLICADAS.
CERTAMEN N°1. IN1068C. 27/09/2016
ESCRIBA SU NOMBRE COMPLETO EN MAYUSCULAS.
CONTESTE EN HOJA DE CUADERNILLO. ESPECIFIQUE CLARAMENTE LA RESPUESTA. MUESTRE
SUS CÁLCULOS Y DESARROLLOS EN FORMA EXPLÍCITA. NO SE PERMITE EL USO DE NINGÚN
APARATO ELECTRÓNICO EN EL QUE SE PUEDA ALMACENAR O TRANSMITIR INFORMACIÓN,
TALES COMO CELULARES, CALCULADORAS PROGRAMABLES, ETC.
Observación: Mientras realiza cálculos trabaje con al menos cuatro
decimales. El resultado final lo expresa solo con dos decimales y aproxime
cuando corresponda.
PROBLEMA N°1: Una carga positiva Q está distribuida de manera uniforme a lo largo del
eje y positivo entre y=0 y y=b. Una carga puntual negativa -2q se encuentra sobre la
parte positiva del eje x, a una distancia x del origen (figura).
a) Calcule las componentes x y y del campo eléctrico producido por la distribución de carga Q en
puntos sobre la parte positiva del eje x (10pts.)
b) Calcule las componentes x y y de la fuerza que la distribución de carga Q ejerce sobre
-2q (10pts.).
NOMBRES APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO

2. PROBLEMA N°2: Se tiene una distribución esférica de carga conformada por:
Una carga untual
3
0 3 RQ απ
Un casquete conductor en equilibrio, concéntrico, de radio interior R y exterior 2R,
con carga total negativa
3
: απ RQCOND (dondeα es una constante y R
corresponde a una cierta distancia).
Un casquete esférico, concéntrico, de radio interior 2R y exterior 3R, con densidad
volumétrica de carga (negativa),
r
Rα
ρ .
a) Encuentre el campo eléctrico en la región III (Región III: 2R< r <3R) (10pts.).
b) Las densidades superficiales en la Superficie externa e interna del conductor, es decir
en , es decir en 2R)σ(r y R)(rσ (10pts.).

3. PROBLEMA N°3: Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio
R=60.0 cm, como se muestra en la figura. La carga por unidad de longitud a lo largo del
semicírculo se describe por medio de la expresión θλλ cos0 . La carga total en el
semicírculo es C25μ .
a) Calcule el valor de 0λ (10pts.).
b) Calcule la fuerza total en una carga de C5μ situada en el centro de curvatura
(10pts.).
CÁLCULO DE LA NOTA:
.60 ptspuntosTotal
10
10PUNTAJE
NOTA

6. 1 Pauta problema certamen N!
1 RC(2!
" 2016):
a) Construimos una superÖcie Gaussiana, S; que es una superÖcie esfÈrica de
radio r, concÈntrica a la distribuciÛn, ver Ögura adjunta, donde 2R < r < 3R:
Aplicamos la Ley de Gauss, en la regiÛn III: 2R < r < 3R
'e =
I
S
"!
E $ d
"!
S =
qint
20
: (1)
Debido a la simetrÌa esfÈrica:
"!
E = Ebr y d
"!
S = dSbr. Adem·s br $ br = 1, luego
"!
E $ d
"!
S = EdS (2)
que sustituyendo en (1), queda
'e =
I
S
"!
E $ d
"!
S =
I
S
EdS = E
I
S
dS = E(4+r2
) =
qint
20
(3)
HASTA AQUI (5pts:)
porque
I
S
dS = S = 4+r2
. Pero, qint es la carga interior a la superÖcie
Gaussiana S, por lo tanto
qint = Q0 + QCOND: +
rZ
2R
0dV; (4)
1

7. pero, Q0 = 3"#R3
, QCOND: = !"#R3
, % = !&R
r . Adem·s, como V = 4
3 "r3
,
dV = 4"r2
dr . Sustituyendo en la ecuaciÛn anterior
qint = 3"#R3
! "#R3
+
rZ
2R
"
!
#R
r
#
4"r2
dr;
qint = 2"#R3
!
rZ
2R
4"#Rrdr = 2"#R3
! 2"#R
$
r2
%r
2R
qint = 2"#R3
! 2"#Rr2
+ 8"#R3
= 10"#R3
! 2"#Rr2
= 2"#R(5R2
! r2
):(5)
Sustituyendo en la Ley de Gauss (3)
,e = E(4"r2
) =
2"#R(5R2
! r2
)
20
E =
#R(5R2
! r2
)
2 20 r2
; (6)
y como
!!
E = Ebr , se obtiene
!!
E = &R(5R2
!r2
)
220r2 br donde 2R < r < 3R: (7)
HASTA AQUI OTROS (5pts:)
b) Suponga que qR y q2R representan a las cargas superÖciales en las su-
perÖcies esfÈricas de radios r = R y r = 2R; respectivamente.
b.1) Densidad superÖcial en la superÖcie esfÈrica de radio r = 2R:
52
Por deÖniciÛn, la densidad superÖcial de carga 5, viene dada por
52 =
dq
dS
(8)
dq = 52dS (9)
integrando en toda la superÖcie esfÈrica, de radio r = 2R;
q2R =
Z
S2R
dq =
Z
S2R
52dS = 52
Z
S2R
dS = 524"(2R)2
= 16"52R2
(10)
puesto que 52 es constante (simetrÌa esfÈrica) en la superÖcie esfÈrica r = 2R;
luego
52 =
q2R
16"R2
: (11)
b.2) Densidad superÖcial en la superÖcie esfÈrica de radio r = R: 51
Por deÖniciÛn, la densidad superÖcial de carga 5, viene dada por
51 =
dq
dS
(12)
2

8. dq = #1dS (13)
integrando en toda la superÖcie esfÈrica, de radio r = R;
qR =
Z
SR
dq =
Z
SR
#1dS = #1
Z
S2R
dS = #14(R2
= 4(#1R2
; (14)
tambiÈn #1 es constante (simetrÌa esfÈrica) en la superÖcie esfÈrica r = R; luego
#1 =
qR
4(R2
: (15)
pero,
qR + q2R = QCOND = !(+R3
: (16)
Por otra parte, usando la Ley de Gauss (1), dentro del conductor
,e =
I
S
=0
z }| {
!!
E COND # d
!!
S =
qint
20
; (17)
pero, como se trata de un conductor en el equilibrio,
!!
F =
!!
0 , luego
!!
E COND %
!!
0 (18)
y la ecuaciÛn (17), conduce a que
qint = 0; (19)
pero
qint = Q0 + qR = 0 (20)
qR = !Q0 = !3(+R3
: (21)
3

9. Usando la ecuaciÛn (16)
!3!"R3
+ q2R = !!"R3
; (22)
luego
q2R = !!"R3
+ 3!"R3
= 2!"R3
: (23)
HASTA AQUI OTROS (5pts:) SI OBTIENEN LAS CARGAS SU-
PERFICIALES.
Sustituyendo (23) y (21) en las ecuaciones (11) y (15), se obtiene, Önalmente
*2 =
2!"R3
16!R2
=
"R
8
!
C
m2
"
; (24)
y
*1 = !
3!"R3
4!R2
= !
3"R
4
!
C
m2
"
: (25)
HASTA AQUI OTROS (5pts:) SI OBTIENEN LAS DENSIDADES
SUPERFICIALES.
HABR¡N VARIANTES, PERO QUEDA A CRITERIO DEL PRO-
FESOR.
4

10. Pauta problema 3 certamen N°1 OF (2° - 2016)
Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio R=60.0 cm, como se
muestra en la figura. La carga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo se describe por
medio de la expresión = 0 cos( . La carga total en el semicírculo es 25 C.
a. Calcule el valor de 0.
b. Calcule la fuerza total en una carga de 5 C
situada en el centro de curvatura.
Solución:
a) La carga total del semicírculo se puede obtener a través de la integral
𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 𝑄 = ∫ 𝑑𝑞 = ∫ 𝜆𝑑𝑙
𝑄 = ∫ 𝜆𝑅𝑑𝜃
𝜋/2
−𝜋/2
= 𝜆0 𝑅 ∫ cos(𝜃) 𝑑𝜃
𝜋/2
−𝜋/2
𝑄 = 𝜆0 𝑅(sin(𝜃))−𝜋/2
𝜋/2
= 𝜆0 𝑅(2)
𝜆0 =
𝑄
2𝑅
=
25 𝜇𝐶
2(0.60 𝑚)
= 20.83
𝜇𝐶
𝑚
HASTA AQUÍ (5 pts)
b) Para calcular la fuerza eléctrica calculamos en primer lugar el campo
eléctrico del semicírculo en el origen del sistema coordenado
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = 𝑘 𝑒 ∫
𝑑𝑞 (𝑟 − 𝑟′)
‖𝑟 − 𝑟′‖3
Donde
𝑟 = 0⃗
𝑟′ = 𝑅(sin(𝜃) 𝜄̂ + cos(𝜃) 𝑗̂)
𝑟 − 𝑟′
= −𝑅(sin(𝜃) 𝜄̂ + cos(𝜃) 𝑗̂)

11. ‖𝑟 − 𝑟′‖ = 𝑅
Integrando
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = 𝑘 𝑒 ∫
𝜆𝑅𝑑𝜃(−𝑅(sin(𝜃) 𝜄̂ + cos(𝜃) 𝑗̂))
𝑅3
HASTA AQUÍ OTROS (5 pts)
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = −
𝑘 𝑒 𝜆0
𝑅
∫ cos(𝜃) 𝑑𝜃(sin(𝜃) 𝜄̂ + cos(𝜃) 𝑗̂)
𝜋/2
−𝜋/2
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = −
𝑘 𝑒 𝜆0
𝑅
∫ 𝑑𝜃 (sin(𝜃) cos(𝜃) 𝜄̂ + cos2
(𝜃)
𝜋/2
−𝜋/2
𝑗̂ )
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = −
𝑘 𝑒 𝜆0
𝑅
[−
1
4
cos(2𝜃) 𝜄̂ + (
𝜃
2
+
1
4
sin(2𝜃)) 𝑗̂ ]
−𝜋/2
π/2
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = −
𝑘 𝑒 𝜆0
𝑅
[−
1
4
cos(𝜋) 𝜄̂ + (
𝜋
4
+
1
4
sin(𝜋)) 𝑗̂
− (−
1
4
cos(−𝜋) 𝜄̂ + (−
𝜋
4
+
1
4
sin(−𝜋)) 𝑗̂ )]
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = −
𝑘 𝑒 𝜆0
𝑅
[−
1
4
(−1) 𝜄̂ + (
𝜋
4
) 𝑗̂ − (−
1
4
(−1) 𝜄̂ + (−
𝜋
4
) 𝑗̂ )]
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = −
𝑘 𝑒 𝜆0 𝜋
2𝑅
𝑗̂
𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛) = 4.91 ∙ 105
𝑁
𝐶
(−𝑗̂)
HASTA AQUÍ OTROS (7 pts)
Luego la fuerza eléctrica que experimenta una carga puntual de 5 C ubicada en el
origen viene dada por
𝐹 = 𝑞 𝑜 𝐸⃗ (𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛)
𝐹 = 2.45 𝑁 (−𝑗̂)
HASTA AQUÍ OTROS (3 pts)