ЗБОРНИК ИЗАБРАНИХ РАДОВА 5. МЕЂУНАРОДНЕ КОНФЕРЕНЦИЈЕ О НАСТАВИ ФИЗИКЕ У СРЕДЊИМ ШКОЛАМА

1. ЗБОРНИКИЗАБРАНИХРАДОВА
5.МЕЂУНАРОДНЕКОНФЕРЕНЦИЈЕ
ОНАСТАВИФИЗИКЕУ
СРЕДЊИМ ШКОЛАМА
АлеАлексинац2017.
ЗБОРНИКИЗАБРАНИХРАДОВА5.МЕЂУНАРОДНЕКОНФЕРЕНЦИЈЕ
ОНАСТАВИФИЗИКЕУСРЕДЊИМШКОЛАМА

2. ЗБОРНИК
ИЗАБРАНИХ РАДОВА
5. МЕЂУНАРОДНЕ
КОНФЕРЕНЦИЈЕ О
НАСТАВИ ФИЗИКЕ У
СРЕДЊИМ ШКОЛАМА
АЛЕКСИНАЦ – 2017

4. Програмски одбор конференције/
гостујуће уредништво:
1. И. Авиани (Сплит)
2. М. Бабић (Бијељина)
3. Д. Димитријевић (ДФН)
4. Н. Ерцег (Ријека)
5. А. Жекић (Београд)
6. Т. Јовановић (Ниш)
7. С. Јокић (Београд)
8. А. Канцлер (Марибор)
9. М. Ковачевић (Крагујевац)
10. М. Митровић (Београд)
11. Б. Митревски (ДФМ)
12. Љ. Нешић (Ниш), председник
13. Д. Никезић (Крагујевац)
14. Н. Новаковић (Ниш)
15. С. Радуловић (Алексинац),
секретар
16. Р. Репник (Марибор)
17. М. Стојановић (Нови Сад),
потпредседник
18. А. Хрлец (ХФД)
19. М. Шћепановић (Подгорица)
Организациони одбор:
1. Н. Станковић, председник
2. Ч. Ракић
3. К. Црнчевић, потпредседник
4. Ј. Тончић
5. Д. Петковић
6. С. Радуловић
7. Б. Симић
8. С. Величковић
9. В. Дојчиловић
10. Г. Жалац
11. Д. Вељковић
12. Д. Димитријевић
13. Д. Тарлаћ
14. С. Петровић
15. М. Бабић
16. Н. Стојковић
Уредник: Љубиша Нешић
Технички уредник: Милан Милошевић
Секретар: Лазар Раденковић
Наслов:
„Зборник изабраних радова 5.
Међународне конференције о настави
физике у средњим школама“
Покровитељ:
Општина Алексинац
Издавач:
Алексиначка гимназија, Алексинац
и
„Klett“ Издавачка кућа д.о.о.,Београд
Штампарија:
Цицеро, Београд
Тираж: 300

6. 1
Садржај
ПРЕДГОВОР
Екстерно вредновање ученичких постигнућа из физике у 1. разреду гимназије у
Републици Српској
Милко Бабић................................................................................................................. 5
Misaoni eksperiment o mjerenju težine u liftu koji slobodno pada: Negativne posljedice u
učeničkom znanju
Jasmina Baluković, Josip Sliško.................................................................................... 9
The Physics of a Rainbow
Jurij Bajc ..................................................................................................................... 13
Графици из угла физике и математике
Гордана Беквалац, Бранка Радуловић...................................................................... 23
Еволуција васионе
Бранко Драговић........................................................................................................ 27
Одговарајућа примена рачунара у настави физике у средњој школи
Катарина Ђорђевић.................................................................................................. 39
Практично интердисциплинарно подучавање у средњошколској настави физике
Стеван Јокић, Љиљана Јокић................................................................................... 43
Физика и иновационе технологије
Стеван Јокић ............................................................................................................. 49
Пројекат „Милева Марић Ајнштајн, знаменита Српкиња“
Миленија Јоксимовић................................................................................................. 53
Iskanje matematičnega zapisa fizikalnega zakona z opremo Vernier®
Aljoša Kancler, Darko Briški ...................................................................................... 57
Učenički eksperimentalni radovi iz fizike
Damir Kliček ............................................................................................................... 61
Огледи из физике за 5
Милан С. Ковачевић, Ана Марковић, Мирослав Јовановић.................................... 65
Аналогија и модели у настави физике у средњој школи
Соња Ковачевић......................................................................................................... 75
Пројекат „Моја савремена лабораторија“ у Научном клубу Ниш
Ивана Круљ, Слађана Трајковић .............................................................................. 81
Od eksperimenta do problemskog zadatka
Dubravko Kukolja ....................................................................................................... 85
Експерименталне провере Опште теорије релативности
Душко Латас.............................................................................................................. 89
Некои искуства од проектните активности во гимназиското образование од областа
на физиката
м-р Стојан Манолев ............................................................................................... 101
Магнетно поље Хелмхолцових калемова
Александар Марковић, Владимир Марковић, Ненад Стевановић ....................... 107

7. Ionizirajuće – Neionizirajuće, kako učenicima približiti elektromagnetski spektar
Hrvoje Mesić ............................................................................................................. 111
Нобелова награда за физику у 2016. години
Милица Миловановић............................................................................................... 123
Бесплатна виртуелна учионица
Славољуб Митић ..................................................................................................... 131
Оценување на концептуалното разбирање кај учениците на содржини од физика
Боце Митревски, Ламбе Барандовски ................................................................... 135
Пет највећих нуклеарних акцидената
Драгослав Никезић................................................................................................... 143
Примјена софтвера Мејпл у обради наставне јединице потенцијална енергија
Саша Њежић, Драгана Маливук Гак, Енес Шкргић, Зоран Рајилић .................. 155
Визуелизација у настави физике у средњим школама
Виолета Петровић.................................................................................................. 159
Алгоритам за решавање задатака – корак по корак до тачног решења
Лазар Раденковић, Љубиша Нешић ....................................................................... 169
Атвуд у речи, слици и огледу
Миодраг К. Радовић, Драган Ђ. Радивојевић........................................................ 173
Gamification at Physics teaching in Schools - Computer Game Angry Birds
Robert Repnik............................................................................................................ 183
Демонстрациони експерименти у настави физике I
Соња Скубан, Маја Стојановић............................................................................. 195
Учење засновано на друштвеној игри : Хембизика
Младен Шљивовић................................................................................................... 199
Važnost povijesti znanosti u konceptualnoj nastavi fizike
Franjo Sokolić ........................................................................................................... 203
Предлог реформе календара
Слободан Спремо..................................................................................................... 209
Мостови у колу наизменичне струје
Ненад Стевановић, Владимир Марковић, Александар Марковић....................... 213
ЦЕРН-ов Мастерклас
Иван Стојановић et al. ............................................................................................ 217
О Турниру младих физичара
Владимир Вељић, Владан Павловић, Александра Алорић..................................... 221
Закони скалирања у биологији и физици
Данијела Вељковић, Љубиша Нешић ..................................................................... 231
Како предавати “тешку” физику?
Оливер Зајков, Соња Геговска-Зајкова.................................................................. 235
Праћење учења концепата Њутнове механике помоћу Збирке тест питања о појму
силе
Андријана Жекић et al. ............................................................................................ 243
Индекс

8. 3
ПРЕДГОВОР
Поштоване колегинице и колеге, пред вама се налази издање часописа
Настава физике посвећено 5. Међународној конференцији о настави физике у
средњим школама (3-5. март 2017, Алексинац).
Један од мотива за организацију међународних скупова посвећених настави
физике у средњим школама проистекао је из чињенице да се образовни системи
свих земаља региона налазе у процесу озбиљних реформи. Први скуп у форми
симпозијума одржан је 2013. године, под називом: Положај физике у средњим
школама у региону. Скуп је потом акредитован код Завода за унапређивање
образовања и васпитања Републике Србије и 2014. године одржан као симпозијум.
Већ од наредне године, он прераста у конференцију, и постаје Међународна
конференција о настави физике у средњим школама. Треба имати у виду да је
скуп од самог почетка, имајући у виду састав учесника и предавања, у великој мери
био конференцијског карактера.
Овогодишња конференција окупља истраживаче у области методике наставе
физике са факултета (Универзитети у Љубљани, Марибору, Сплиту, Новом Саду,
Београду, Крагујевцу, Нишу, Скопљу, Подгорици и Софији). У раду конференције
учествују и наставници физике који раде у средњим школама региона (Србија,
Румунија, Бугарска, Словенија, Хрватска, Македонија, БиХ, Црна Гора, Грчка).
Учесници Конференције су и представници стручних друштава, издавачких кућа и
произвођачи учила. Конференција окупља и ученике чији су експериментални
радови изабрани на конкурсу.
Програм 5. конференције обухвата: предавања по позиву, излагања научно-
стручних радова и радова из праксе наставника, и округлог стола са темама општа
матура и стандарди у настави физике, радионице, презентације уџбеника физике,
угледних часова физике и постер секцију. Радионице су уврштене у програм скупа
као подршка увођењу већег броја огледа у све облике наставе физике. У програму
конференције је и демонстрација изабраних ученичких радова.
Алексинац, 15. фебруар 2017. год. Председник Програмског одбора
Др Љубиша Нешић

10. Настава физике, број 4, 2017, стр 5 - 8 Стручни рад
5
Екстерно вредновање ученичких постигнућа из
физике у 1. разреду гимназије у Републици
Српској
Милко Бабић
Републички педагошки завод Републике Српске
Апстракт. У раду су представљени резултати екстерног вредновања ученичких
постигнућа из физике у одјељењима првог разреда гимназије општег смјера у
Републици Српској. Тест кориштен за вредновање састојао се од 26 питања са
понуђеним одговорима. Утврђено је помањкање разумијевања појмова и закона
механике у свим школама из узорка.
Кључне ријечи:физика, вредновање, провјера, тест.
УВОД
Циљ вредновања постигнућа ученикаиз физике јесте утврђивање степена
остварености очекиваних исхода дефинисаних наставним планом и програмом
наставног предмета као и процјена разумијевања основних појмова и закона
Њутнове механике.Узорак за екстерно вредновање ученичких постигнућа из физике
су чинила 33 одјељења гимназије општег смјера у јавним самосталним гимназијама
Републике Српске. Од планираних 771 ученика тест је радило 737 што представља
96% ученика.
ЗАДАЦИ
За екстерно вредновањe кориштен је тест који су у САД дизајнирали David
Hestenes и Malcolm Wells познат под именом Основни тест из механике[1]. Тест је у
САД кориштен почетком 90-тих година прошлог вијека за процјену разумијевања
основних концепата механике како код ученика средње школе тако и студената и
наставника. С обзиром да тест провјерава разумијевање кључних појмова и закона
Њутнове механике, дакле садржаја које су незаобилазни дио сваког
средњошколског програма физике, погодан је за употребу широм свијета и у сваком
времену. Вријеме израде теста за ученике средњих школа у САД је било један
школски час (који тамо траје 50 минута). Код нас је израда трајала 60 минута. Сви
задаци, њих 26, су имали понуђене одговоре, а мање од трећине задатака
захтијевала је једноставнија рачунања да би се правилно одабрао понуђени одговор.
План теста тј. концепти које је тест провјерава са редним бројем питања која их
провјеравају дати су у табели 1. Сви задаци су у складу са важећим очекиваним
исходима из физике за први разред гимназије општег смјера [2]. Сваки концепт је

11. 6 Милко Бабић
укључен у одговарајуће питање. Бројеви питања дати у заградама су питања у
којима су значајно укључени и други концепти.
Табела 1. План теста
Теме Питања
А. Кинематика
кретање са константним убрзањем 1, (2), (3)
средње убрзање (18), 23
средња брзина 25
укупно пређени пут 24
тангенцијално убрзање 4
нормално убрзање 5, (8), (12)
примјена израза за нормално убрзање (9), (12)
B. Општи принципимеханике
Први Њутнов закон (2)
Други Њутнов закон (3), 8, (9), (12), (18)
зависност убрзања од масе 17, 21
Принцип суперпозиције 7, (5), (13), 19
Рад, енергија 20
Одржање енергије 10, 11
Импулс 15, 16, 22
C. Сила
Гравитациона сила - слободан пад 6, 26
Трење (9)
РЕЗУЛТАТИ
У Табели 2 су приказани резултати екстерног вредновања за свих 10 школа. У
колони „Питање“ дат је редни број питања и у загради тачан одговор на питање. За
свако питање је дат проценат ријешености у свакој школи. У колони „Збирно“ дата
је ријешеност питања на нивоу узорка. У реду „Просјек теста“ је дата просјечна
ријешеност теста на нивоу сваке школе. У реду „Рачунски“ дат је просјек
ријешености групе задатака 9, 11, 12, 13, 14,17 и 18. У овим задацима да би се
правилно одабрао одговор потребно је претходно рачунање. Ред „Графици“ даје
просјечну ријешеност групе задатака коју чине задаци број 1, 2, 3, 23, 24 и 25. За
њихово рјешавање је потребно познавање графика и очитавање података које
садрже. Ред „Кинемат.“ садржи податке о просјечној ријешености групе задатака
коју чине задаци број 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 23, 24 и 26. Ови задаци се односе на тематску
цјелину кинематика. Задаци 5, 9, 12 и 18 припадају у више од једне од наведених
категорија. Задаци 12 и 18 припадају у све три категорије.

12. Misaoni eksperiment o mjerenju težine u liftu koji slobodno pada 7
Табела 2. Резултати екстерног вредновања у свих 10 школа
Питање
(тачанодг)
БањаЛука
(%)
Бијељина
(%)
Добој(%)
Градишка
(%)
Калиновик
(%)
Мркоњић
Град(%)
НовиГрад
(%)
Приједор
(%)
Прњавор
Требиње
Збирно(%)
1 (B) 47 39 29 40 25 31 18 49 25 39 38
2 (D) 45 24 17 44 0 30 15 37 15 16 29
3 (E) 33 15 10 22 13 16 15 10 10 13 18
4 (C) 93 90 86 90 75 87 91 86 70 89 88
5 (A) 7 7 3 4 13 25 0 7 3 5 7
6 (C) 8 24 9 29 38 30 47 34 18 23 22
7 (C) 22 14 18 12 13 43 0 12 18 11 17
8 (D) 28 22 28 18 38 28 18 20 28 29 25
9 (A) 40 16 9 29 0 52 6 17 15 15 24
10 (E) 17 13 17 9 0 18 35 8 5 15 15
11 (E) 26 19 8 3 25 30 0 5 0 11 14
12 (C) 34 4 11 36 13 40 3 14 13 16 20
13 (B) 30 24 30 12 25 33 6 19 40 22 25
14 (B) 66 47 17 48 25 51 65 22 20 39 44
15 (E) 42 31 36 58 13 46 62 32 45 30 40
16 (A) 23 10 5 1 13 27 35 2 3 6 12
17 (D) 34 20 29 21 0 42 0 17 8 24 24
18 (B) 36 23 17 43 0 43 15 17 18 22 27
19 (C) 43 13 10 34 0 43 6 24 10 15 24
20 (C) 16 13 10 9 0 18 3 5 8 9 11
21 (A) 85 78 77 91 75 75 74 83 65 62 78
22 (B) 60 56 34 57 0 66 15 78 43 30 51
23 (D) 34 9 9 14 0 24 6 15 13 13 17
24 (A) 35 16 14 48 25 33 0 32 18 21 26
25 (A) 36 13 17 22 63 43 6 24 18 13 23
26 (E) 15 10 6 19 38 19 0 2 3 5 10
Просјек
теста
38 25 21 31 24 38 20 26 22 23 28
Рачунски 38 22 17 27 13 42 14 16 16 21 25
Графици 38 19 16 32 21 30 10 28 17 19 25
Кинемат. 35 26 21 33 27 32 21 29 20 25 28
Бр. учен. 143 135 87 77 8 67 34 59 40 87
Посматрано према категоријама задатака, категорија Графици је имала
подједнаку ријешеност као и категорија Рачунски (25%), док је група задатака
Кинематика имала ријешеност као и просјек теста (28%). Закључак истраживања
проведеног у САД наведеним задацима је да је кинематика најтежи дио
елементарне механике. То се нарочито односи на појам убрзања и недостатак
разумијевања његове нормалне и тангенцијалне компоненте. Резултати екстерног
вредновања у Републици Српској показују да су ученици имали највише тешкоћа са

13. 8 Милко Бабић
задацима гдје је требало нешто израчунати,као и задацима гдје је требало користити
графике (исподпросјечна ријешеност задатака из категорије Рачунски и Графици,
табела 2). Такође два најлошије ријешена задатка (5 и 26) указују да појам убрзањa
није довољно јасан ученицима.Томе треба додати да је код наших ученика изражено
и несналажење у рјешавању задатака објективног типа (тестова) са понуђеним
одговорима.
Просјечна ријешеност задатака на узорку кога су чинили ученици првог разреда
гимназије општег смјера 10 самосталних гимназија је 28% и креће се у интервалу од
20% (Гимназија Нови Град) до 38% (гимназије у Бањој Луци и Мркоњић Граду).
Два ученика Гимназије у Бањој Луци су имала најбољу ријешеност теста (81%.
остварених бодова) у цијелом узорку. Треба напоменути да је тест дизајниран тако
да провјерава разумијевање основних појмова и закона Њутнове механике и не
може бити вреднован на исти начин, у погледу процента остварених бодова
потребних за пролазну оцјену, као и уобичајени задаци објективног типа за
оцјењивање ученика који садрже у одређеном односу задатке свих нивоа
сложености. Просјечна ријешеност теста у истраживању извршеном у САД на
сличном узорку је 34% и кретала се у интервалу од 32 до 62%.
ЗАКЉУЧАК
Резултати екстерног вредновања показују помањкање разумијевања основних
појмова и закона механике код ученика у свим школама из узорка. Кориштени
задаци највећим дијелом не захтијевају од ученика математичке вјештине, али
захтијевају потпуно разумијевање појмова и закона на квалитативном нивоу.
Приближно једна трећина задатака је захтијевала елементарна израчунавања.
Подаци добијени екстерним вредновањем послужиће наставницима да уоче теме
које ученицима остају нејасне. Пред стручним активима и наставницима физике је
изазован задатак да пронађу и одаберу наставне методе које доводе до већег
разумијевања појмова и закона механике.
ЛИТЕРАТУРА
1. David Hestenes, Malcolm Wells, “A Mechanics Baseline Test” Phys. Тeach.30, 159-166
(March 1992)
2 http://www.rpz-rs.org/224/rpz-rs/NPP/za/gimnaziju#.WKiDJtIrKot
External evaluation of physics in the 1st grade of
gymnasium in the Republic of Srpska
Abstract - The paper presents the results of an external evaluation in physics in the first
year of gymnasium, general department, of the Republic of Srpska. The tasks used for the
evaluation are not part of this text due to the scope of the paper but the aforementioned
sources where they can be found are (the original version of the test in English as well as the
author's translation into Serbian language).

14. Настава физике, број 4, 2017, стр 9 - 12 Стручни рад
9
Misaoni eksperiment o mjerenju težine u liftu koji
slobodno pada: Negativne posljedice u učeničkom
znanju
Jasmina Baluković, Josip Sliško
Druga gimnazija Sarajevo, Bosna i Hercegovina
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla,
Puebla, México
Апстракт. Misaoni eksperiment u kojem se razmatra težina osobe koja stoji na vagi u
slobodno padajućem liftu je način uvodjenja pojma bestežinsko stanje u mnogim
udžbenicima fizike. Neki autori smatraju da osoba i vaga ostaju u kontaktu i da se vaga ne
odvaja od poda lifta. Crteži ostalih autora iskazuju ''teorijsku tvrdnju'' da osoba i vaga lebde
razdvojeni iznad poda lifta. Pogrešna ideja da osoba mora lebdjeti u liftu koji slobodno pada
je prisutna i u udžebnicima fizike u Bosni i Hercegovini. Rezultati istraživanja učeničkih
eksplikacijskih modela pokazuju da postoje učenici koji koriste svoju interpretaciju te ideje
za pogrešno objašnjenje pojave da voda prestaje isticati iz probušene boce koja slobodno
pada.
Кључне речи: misaoni eksperiment, bestežinsko stanje, slobodan pad.
JEDNA KONTRAVERZA U UDŽBENICIMA FIZIKE I NJENO
RAZRJEŠENJE
Udžbenici fizike, uglavnom, tretiraju fenomene vezane za bestežinsko stanje (bilo da
ga zovu «prividno» ili «stvarno») pomoću ‘’misaonog eksperimenta’’ u kojem neka
osoba vagom mjeri svoju težinu u liftu [1-4]. Postoje dvije različite interpretacije o
položaju osobe kada je lift u slobodnom padu. Crteži u nekim udžbenicima [1, 2]
prikazuju osobu koja neprekidno stoji na vagi tokom slobodnog pada, dok se u drugim
udžbenicima fizike [3, 4] na crtežima osoba i vaga predstavljaju ‘’lansirane’’ prema gore
kako plutaju odvojeno.
U jednom istraživanju [5] je ova važna kontroverza tretirana eksperimentalno. Ispitano
je ponašanja kocke u ‘’kutiji’’ koja slobodno pada na čijem podu je bila pričvršćena
kamera velike rezolucije (koja je zabilježila šta se dešava sa kockom tokom slobodnog
pada). Kada je kocka u početku mirovala na podu kutije, u tom je stanju ostala i kada je
kutija počela slobodno da pada, tj. pod je nije lansirao prema gore. Medjutim, kada se
kocka postavila na elastičnu oprugu koju je vidno deformisala, a zatim se pustila kutija da
slobodno pada ponašanje kocke bilo drugačije. Kocka je se pokrenula i kretala prema gore
konstantnom brzinom (u odnosu na referentni sistem pričvršćen na kutiju). Opruga je,
takodjer, se pokrenula prema gore i odvojila se od poda kutije. Dobiveni rezultati
pokazuju da osoba i vaga mogu biti ‘’lansirani’’prema gore u slobodnom padu lifta, samo

15. 10 Jasmina Baluković, Josip Sliško
pod teško ostvarivim uslovom da je stvarna vaga ima osobine mekane opruge veoma male
mase.
MISAONI EKSPERIMENT SA LIFTOM U UDŽBENICIMA FIZIKE U
BOSNI I HERCEGOVINI
Analizom sadržaja udžbenika fizike za osnovnu i srednju školu u Bosni i Hercegovini
došlo se do saznanja da je u tri udžbenika [6, 7, 8], odobrena od strane Ministarstva za
obrazovanje, nauku i mlade i Zavoda za udžbenike i nastavna sredstva Istočno Sarajevo,
predstavljen, takodje, misaoni eksperiment s liftom i malo vjerovatno ponašanje osobe
koja je stajala na vagi ili na podu lifta.
U udžbeniku fizike za 8. razred devetogodišnjeg obrazovanja [6], crtež jasno prikazuje
da se osoba, koja slobodno pada zajedno sa liftom kada kabl pukne, odvoji od poda lifta
(Slika 1a).
U drugom udžbeniku fizike [7] se predstavlja ilustracija na sličan način kao i u [8].
Medjutim, vaga, na kojoj je djevojka mjerila svoju masu u liftu dok je mirovao, tokom
slobodnog pada ostaje u istom položaju (na podu lifta), dok je položaj djevojke drugačiji.
Tokom slobodnog pada ona se odvaja od vage i lebdi iznad poda lifta (Slika 1b).
U udžbeniku fizike za I razred srednjih škola [8], se prikazuju čovjek i vaga kako
lebde u bestežinskom stanju (Slika 1c).
Slika 1. Položaj osobe u liftu koji slobodno pada: a.) [6], b.) [7], c.) [8]
Autori udžbenika trebaju kontekstualizirati fizičke fenomene vezane za bestežinsko
stanje u situacijama koje mogu biti dostupne učenicima. To je lako ostvariti jer je u
pedagoškim časopisima (The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of
Physics, European Journal of Physics) objavljen veliki broj demonstracija bestežinskog
stanja u sistemima koji slobodno padaju. Jedna od najjednostavnijih demonstracija jeste
da mlaz vode, koji izlazi kroz rupu koja se nalazi pri dnu boce, prestaje isticati kada se
boca pusti da slobodno pada [9].

16. Misaoni eksperiment o mjerenju težine u liftu koji slobodno pada 11
POSLJEDICE MISAONOG EKSPERIMENTA SA LIFTOM U
UČENIČKOM ZNANJU
U istraživanju [9] koje je provedene da se ustanovi kako učenici objašnjavaju
prestanak isticanja mlaza vode iz boce u slobodnom padu ustanovljeno je mnogi učenici
smatraju da je uzrok tome podizanje vode iznad rupe na boci.
U naknadnoj, detaljnijoj analizi učeničkih argumenata za podizanje vode otkriveno je
de preko 14 % učenika smatra da voda ide gore jer se nalazi u bestežinskom stanju kao što
i osoba, koja se nalazi u liftu koji slobodno pada, lebdi u liftu tj. podiže se iznad poda lifta.
Oni koriste analogni način razmišljanja, povezujući lift sa bocom a vodu sa osobom u
liftu. Uzrok takvog razmišljanje je njihova pogrešna interpretacija udžbeničkih crteža
bestežinskog stanja u liftu koji slobodno pada.
Učenici se prisjećaju situacije sa liftom i koriste je i u dijelu upitnika u kojem su
trebali predložiti novi eksperiment kojim bi mogli uvjeriti druge osobe da je ispravno
njhovo objašnjenje prestanka istjecanja mlaza vode iz probušene boce u slobodnom padu.
Tako, na primjer, jedan učenik srednje škole u Bosni i Hercegovini navodi sljedeće:
„Opis eksperimenta: Boca bi se mogla objesiti na plafon lifta, te pustiti lift da
slobodno pada. Ako lift slobodno pada, onda će i boca unutar lifta slobodno padati.
Možemo uočiti kretanje vode prije i nakon puštanja vode da slobodno pada.
Ishod eksperimenta: Prije nego što pustimo lift da slobodno pada, voda će isticat iz
boce. Kad pustimo lift da slobodno pada (možemo stimulirati prostor neophodan za
eksperiment ako izvadimo zrak tj. prostor vakumiramo), voda će prestati isticati.“
U nastavku spomenutog istraživanja [9], koje je provedeno u Hrvatskoj, ponovo su
uočene slične ideje. Jedan od tamošnjih učenika srednje škole navode sljedeće:
„Opis eksperimenta: (1) Staviti bocu u lift i promatramo ponašanje mlaza. (2) Stavio bi
vagu u lift koji ide prema dolje. (3) Stavio bih u lift uteg koji visi na opruzi.
Ishod eksperimenta: (1) Kada lift ide gore mlaz će biti jači; kada lift ide dolje mlaz će
biti slabiji. (2) Čovjek na vagi ima manju težinu. (3) Kada lift ide dolje uteg će ići prema
gore.“
Potrebno je napomenuti da je u istraživanjima [10, 11], koja su proučavala ideje
učenika i studenata o ponašanju osobe unutar lifta koji slobodno pada, samo veoma
mali postotak ispitanika predvidio da bi se osoba u liftu ponašala kao da je u bestežinskom
stanju.
ZAKLJUČAK
Navedeni primjeri pokazuju da pogrešna ideja o osobi i vagi koji lebde u slobodno-
padajućem liftu može imati negativne posljedice za formiranje učeničkog znanja i njegovu
naknadnu primjenu u objašnjenju pojava u bestežinskom stanju. Naime, izgleda da učenici
crteže iz udžbenika fizike, koji ilustriraju takvu ideju, nekritički prihvataju i na svoj način
interpretiraju i generaliziraju. Iako njihove formulacije variraju, suština njihovih
generalizacija je sljedeća: eksperiment s lifrom pokazuje da u slobodnom padu sva tijela
unutar lifta idu prema gore.
Na taj način, jedna pogrešna ideja o dešavanju u «misaonom eksperimentu» sa liftom
za učenike postaje «eksperimentalno provjerena činjenica»!
Da bi se smanjila vjerovatnoća ovakvih nekritičkih generalizacija kod učenika,
potrebno je u udžbenicima umjesto «misaonih eksperimenta» predlagati eksperimente koji

17. 12 Jasmina Baluković, Josip Sliško
se mogu izvesti u razredu (u sistemima koji slobodno padaju). Tada bi učenici imali
priliku da kroz hands-on i minds-on aktivnosti steknu provjerena znanja o zanimljivim
pojavama u bestežinskom stanju. U tako dizajniranom, aktivnom procesu učenja, učenici
bi imali dosta prilika za stvaranje, revidiranje i poboljšavanje svojih šema objašnjenja.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cutnell, J.D. i Johnson, K.W., Physics, New York: John Wiley & Sons, 2004, pp. 94-95.
2. Wilson, J.D, Buffa, A. i Lou, J.B., College Physics, Upper Saddle, NJ: Pearson/Prentice Hall,
2007, p. 253.
3. Hewitt,P.G.,Conceptual Physics, Boston: Addison-Wesley, 2010, p. 243
4. Katz, D.M., Physics for Scientists and Engineers: Foundations and Connections, Boston:
CENGAGE Learning, 2016, p. 139.
5. Baluković, J., Slisko, J. i Corona, C. A. (2016), A person stands on a balance in an elevator:
What happens when the elevator starts to fall?, (rad je poslan u časopis «The Physics
Teacher»).
6. Muratović H. i Gabela N., Fizika za 8. razred devetogodišnjeg obrazovanja, Mostar: Grafex,
2012, str. 48.
7. Raspopović, M. O., Fizika za 8. razred osnovne škole, Istočno Sarajevo: Zavod za udžbenike i
nastavna sredstva, 2012, str. 41.
8. Abasbegović N. i Musemić R., Fizika sa zbirkom zadataka za I razred srednje škole, Sarajevo:
Svjetlost, 2012, str. 140.
9. Baluković J. i Sliško J. (2016), Učenička objašnjenja demonstracije bestežinskog stanja sa
bocom i mlazom vode, Nastava fizike, Srbija, 3, 19 – 22.
10. Galili, I.,(1995), Interpretation of students’ understanding of the concept of weightlessness,
Research in Science Education, 25, 51-74.
11. Gürel Z. i Acar H. (2003), Research into students’ views about basic physics principles in a
weightless environment, Astronomy Education Review, 2, 65 – 81.
Thought experiment about weight measuring in a
fre-falling elevator: Negative consequences in
students' knowledge
Jasmina Balukovic, Josip Slisko
Abstract: The thought experiment, in which the weight of the person standing on a scale in
a free-falling elevator is considered, is a way of introducing the concept of weightlessness in
many physics’ textbooks. Some authors think that the person and the scale stay in contact,
and that the scale does not separate from the floor of the elevator. Other authors’ drawings
express a “theoretical claim”that the person and the scale float separated above the
elevator’s floor. The false idea that a person must float in a free-falling elevator is present in
physics’ textbooks from Bosnia and Herzegovina. Research results of students’ explication
models demonstrate that there are students who use their own interpretation of that ideas to
explain wrongly the phenomenon of water flow cessation from a perforated bottle in a free-
fall.

18. Настава физике, број 4, 2017, стр 13 - 22 Стручни рад
13
The Physics of a Rainbow
Jurij Bajc
University of Ljubljana, Faculty of Education, Ljubljana, Slovenia
Abstract. In the paper the characteristic features of a rainbow are presented and the
formation of a rainbow is explained for different levels of physical and mathematical
knowledge of students. At all levels the explanations are based on a simple experiment
employing a laser pointer and a glass of water. Besides being aware of the dispersion of
visible light no knowledge of physics beyond geometrical optics is required from students.
Thus, the explanations are either at the high school (age 15-19) or end of the primary school
(age 13-15) level. Only the basic features of the rainbow are considered such as primary and
secondary rainbow, colour distribution, and Alexander’s dark band.
Keywords: rainbow formation, simple experiment, Snell’s law, dispersion.
INTRODUCTION
It is well documented [1-3] that a rainbow has been an object of fascination and
admiration throughout the history. Everyone has seen it a couple of times in a lifetime, but
often we cannot even recall the order of colours in it, let alone the other features that
accompany this natural phenomena. From explanatory point of view, the rainbow has
been studied by famous scientists including Aristotle, Descartes, and Newton to name just
a few [1]. In the paper no attempt is made to add new scientific content to the already
published physical or mathematical research on rainbows. Extensive reports including lots
of physical and mathematical details have been published in the last decades and an
interested reader can look it up in [2, 3] and in the references therein. The emphasis of this
paper is on explaining the basic features of the rainbow, in particular the formation of
primary and secondary rainbow and Alexander’s dark band between the two, with
qualitative reasoning and using as little mathematical derivation as absolutely necessary.
In order to achieve this goal a simple experiment is presented. It can be carried out in a
classroom as a demonstration experiment or at home by each individual student.
As a warm-up let us recall the basic facts about rainbows. In order to see a rainbow in
nature three ingredients are needed: the Sun, raindrops, and an observer. It is common
knowledge that the Sun and the rain are crucial for the formation of the rainbow; the
physics behind that is addressed later in the paper. What about the last item, the observer?
It may seem excessive, since a rainbow, declared a natural phenomenon, occurs or not
only depending on physical conditions, so the presence of an observer does not make a
difference – or so it seems. The question of a necessity of an observer is closely related to
the character of the image, described as a rainbow. In optics, in particular when talking
about image formation by lenses and mirrors, two types of images may occur: real or
virtual. The real image occurs when the outgoing rays from a point converge at a real
location. The image at this location is observable by any observer that can see the

19. 14 Jurij Bajc
location, if there is a screen at the location or if there are small particles (for example,
smoke or dust in the air) from which the light is reflected. On the other hand, the virtual
image occurs when the outgoing rays from a point of an object always diverge, but they
appear to be coming all from a single point. This point is where the virtual image appears
to be located. When a virtual image is formed by the light passing through an optical
system, only the observers that see the light coming through the optical system can see the
(virtual) image. At the apparent position of the virtual image there are no converging rays
and this is why the observers seeing the location of the virtual image do not see the image
unless they are observing this location through the corresponding optical system. How is
this related to a rainbow and the role of the observer?
FIGURE 1. The direction of the shadow of the observer in the photo shows where the Sun is and
thereby the relative position of the Sun, the observer and the raindrops (the clouds). The image of
the rainbow is in the clouded area away from the Sun (Photo by Dubby Waggoner,
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/atmos/rbowpri.html, used by permission).
If the image of a rainbow was real, everyone would see it at the same location and
from any location, provided there is nothing obstructing the view. From our everyday
experience we know that this is not the case with rainbows. A simple demonstration of the
fact that the image of a rainbow is not real can be done with a garden hose on a sunny day.
When water is sprayed around in front of students there are always some who see the
rainbow and some who don’t. This proves that the observed image is not real. So,
whenever there is a patch of colourful light on a classroom wall or screen it is not a
rainbow, regardless of the distribution of the colours in the patch. One cannot make a real
rainbow in such a way that students will all see it on a screen. There may be all the
colours of the rainbow in a patch of light, the patch may even have the shape similar to the
rainbow, but this is not what is considered the rainbow as observed in nature. The truth is
even more intriguing – the image perceived as the rainbow is not even a virtual image.
There is no point in the sky from where all the light that forms the image in our brains
appears to be coming. There is merely light that is appropriately scattered by thousands of
water droplets distributed at just the right locations to enter one’s eyes and deceive the
brains to interpret it as if coming from the colourful bow therefore called a rainbow. One
can imagine that each droplet is like a small lamp, but emitting light of each colour only in

20. The Physics of a Rainbow 15
precisely defined direction. Only an eye at exactly the right position sees the light of
particular colour in a certain direction if there are enough droplets along this direction.
Not only are the Sun, raindrops, and an observer needed for a rainbow to be observed,
their relative position is crucial. As it is nicely illustrated by the shadow of the observer in
Figure 1, the observer is standing between the Sun and the raindrops, facing the clouds
and with his back towards the Sun. Additional features that are frequently observed are
the appearance of the secondary rainbow (Fig. 2) and the darker sky outside the primary
rainbow when compared to the sky inside the primary rainbow (Figs. 1 and 2). Note that
the order of colours is reversed in the secondary rainbow when compared to the primary
rainbow. In the primary rainbow the outermost colour is red and the viewing angle of the
bow radius is approximately 42°, the colours change in a well known sequence red-
orange-yellow-green-blue-violet towards violet/blue at the inner rim with the viewing
angle of the bow radius approximately 40°. Actually, in good observational conditions the
sky between the two rainbows is darker than the sky inside the primary or outside the
secondary rainbow. The area between the two rainbows is called Alexander’s dark band
(after Alexander of Aphrodisias, ∼200 AD [1]). All the above features can be well
explained by geometrical optics and diffraction of visible light in water. Diffraction means
that the index of refraction is different for different colours, changing approximately
linearly from 𝑛 = 1.332 for red (𝜆 = 700 nm) to 𝑛 = 1.343 for violet (𝜆 = 400 nm).
FIGURE 2. The sky inside the primary rainbow (smaller inner bow – 1) is noticeably lighter than
the sky outside the primary bow. The secondary rainbow (larger outer bow – 2) appears outside the
primary rainbow and is usually fainter that the primary one.
INSIDE A WATER DROPLET
To understand the formation of a rainbow and associated phenomena such as
Alexander’s dark belt, a closer look at what is happening with the light in a water droplet
when parallel (sun)light shines on it is needed. To facilitate the reasoning, a
monochromatic light beam is considered first and the effect of diffraction is discussed
later on. Due to surface tension the water droplets are spherical unless they are too large
(gravity effects) or too fast (air drag effects), so all the reasoning further on is made for
spherical droplets. When a beam of monochromatic light hits the droplet, part of the light
is reflected and part of the light is refracted according to Snell’s law into the droplet. The
light that propagates inside the droplet eventually hits the surface again and part of it is
reflected inside the droplet and part of it is refracted out of the droplet, again changing the

21. 16 Jurij Bajc
FIGURE 3. A transparent plastic disc and a laser beam mimic the interaction of light with a slice of
water inside a droplet (left). For clarity a drawing of the light reflecting and refracting in the slice is
added (right). The scattered beams are numbered from 1 to 4 (see text for details), 𝛼 is the angle of
incidence, 𝛽 is the angle of internal reflection, and 𝜃 is the scattering angle.
direction according to Snell’s law. The internally reflected light again hits the droplet
surface and the internal reflection and refraction are repeated. Each time the light inside
the droplet hits the surface its intensity is smaller and although mathematically for each
beam there is an infinite number of possible internal reflections, the intensity after several
reflections effectively drops to zero. For a spherical droplet and a beam of light that hits
the droplet the plane of incidence is always the plane containing the incoming beam and
the centre of the droplet. This means that the effective object, relevant for all refractions
and reflections, is a cylindrical slice of water with a diameter equal to the diameter of the
droplet and a beam of light that hits the side of the cylinder and is parallel to its sides. The
photograph in Figure 3 (left) illustrates the interaction of light with such a slice – a
transparent plastic disc that is usually added to a stack of writeable CDs or DVDs. In
order to mathematically describe all the possible directions of the scattered light the
drawing of the light propagation is added in Figure 3 (right).
FIGURE 4. The incident angle  is only dependent on the relative distance x between the incident
beam and the centre of the droplet 𝑥 ≡
𝑏
𝑅
. The scattering angle 𝜃 and the viewing angle 𝛾 for the
once internally reflected beam are added to show the relationship 𝛾 = 𝜋 − 𝜃.
The incident light is partially reflected (beam 1 in Figure 3) and the angle of reflection
is equal to the incident angle 𝛼 for all colours of the incident light. Beam 2 indicates the
light that is transmitted through the droplet without internal reflection, beam 3 indicates
the light that is once internally reflected in the droplet and beam 4 indicates the light that
is twice internally reflected. The scattering angle 𝜃 (added for beam 2) is defined as the

22. The Physics of a Rainbow 17
angle between the scattered beam and the incident beam. Scattering angle 𝜃 = 0 indicates
that light did not change the direction and 𝜃 = 𝜋 indicates that light is backscattered
directly in the direction from which it came from.
For spherical droplets the scattering angle 𝜃 of a particular beam is depending only on
the incident angle 𝛼 and on the index of refraction 𝑛 (Fig. 3). Since 𝛼 is dependent only
on how far from the centre of the droplet the light hits the droplet, the only relevant
parameter is the relative distance 𝑥, defined as 𝑥 ≡
𝑏
𝑅
= sin 𝜃 (see Fig. 4). The internal
reflection angle 𝛽 is determined by Snell’s law as sin 𝛽 =
𝑥
𝑛
. It follows that the scattering
angle 𝜃 𝑘 after 𝑘 internal reflections equals
𝜃 𝑘 = 2(𝛼 − 𝛽) + 𝑘(𝜋 − 2𝛽) = 𝑘𝜋 − 2 [arcsin(𝑥) − (𝑘 + 1)arcsin (
𝑥
𝑛
)]. (1)
FORMATION OF A RAINBOW
It turns out that the primary rainbow is formed by the once internally reflected beams,
i.e. 𝑘 = 1. Inspection of the dependence 𝜃1(𝑥) and the related intensity dependence on 𝜃
are the key to understand rainbow formation. The light that passes through the centre of
the droplet (𝑥 = 0) is reflected at the back of the droplet so it is scattered directly towards
its source. In the context of the rainbow, the observer stands with the Sun at his back and
the droplets are somewhere in front of him. So this beam of light is propagating from the
droplet in the direction towards the Sun. The angle between the incident and the scattered
FIGURE 5. The viewing angle 𝛾(𝑥) for the once internally reflected light (red line). The inset with
different ray positions is added to illustrate the 𝛾(𝑥) dependence: up to around 𝑥 = 0.6 the angle 𝛾
increases almost linearly to reach an extremum around 𝑥0 = 0.86 and decreases for 𝑥 > 𝑥0. The
dashed horizontal lines indicate the viewing angle into which the light, incident with x in the range
indicated by the vertical dashed lines, is scattered. The black horizontal arrows indicate the amount
of light scattered into each of the two selected viewing angles.

23. 18 Jurij Bajc
ray is zero or 𝜋, depending on how it is defined (see Fig. 4). For the rays with small 𝑥 the
corresponding angles are either small or close to 𝜋 (see inset in Fig. 5). The larger angle is
obviously the scattering angle 𝜃. From the observer’s point of view, when facing away
from the Sun to search the sky for a rainbow, it is more convenient to describe the
phenomena with the angle measured from the antisolar point [1-3], the so called viewing
angle 𝛾 defined as
𝛾 = 𝜋 − 𝜃. (2)
According to equations (1) and (2) the viewing angle 𝛾(𝑥) starts from zero at 𝑥 = 0
and has a maximum value 𝛾0 ≈ 42.3° for red light (𝑛 = 1.332) at 𝑥0 ≈ 0.862. For the
formation of a rainbow, the occurrence of extremum in 𝛾(𝑥) is essential, because the
extremum condition is
𝑑𝛾
𝑑𝑥
= 0, so the corresponding reciprocal derivative
𝑑𝑥
𝑑𝛾
→ ∞ is
singular. This mathematical singularity in reality means that the monochromatic light that
is scattered into the maximal viewing angle has much higher intensity than the light
scattered at any other angle. And this is why the angle at which a particular colour appears
in the sky is so well defined. Calculations for the violet light (𝑛 = 1.343) give 𝛾1 ≈ 40.6°
at 𝑥1 ≈ 0.855. Due to cylindrical symmetry around the direction of the incident light the
monochromatic light scattered by a single droplet forms a cone of high intensity with the
viewing angle 42.3° for red and 40.6° for violet light. The two viewing angles define the
viewing angle of a rainbow radius – 42.3° for the red and 40.6° for the violet arc (Fig. 6).
FIGURE 6. Left: Parallel incident sunlight scattered by a single droplet forms monochromatic
cones of high intensity. The tip of each cone is at the droplet and each colour has a different cone
angle. The angle ~42° corresponds to red colour (Taken from an unknown web site in 2006). Right:
Scattering of white light that hits the droplet at the appropriate distance (𝑥 ≈ 0.86) from the droplet
centre results in separate beams of intense colours (public domain picture:
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rainbow1.svg). Note that the scattered blue light is above the red.
Although the drawings in Figure 6 are correct, they may be misleading. The red and
blue circles in the left sketch resemble a rainbow, but the image of rainbow in nature is
formed by a lot of droplets at different positions and not by one droplet alone. And the
right drawing does not seem to explain the order of colours in a rainbow – in the primary
rainbow red is above the blue/violet. It is important to correctly interpret the findings.
The first thing to remember is what an observer sees when he or she claims to see a
rainbow. The above arguments about scattering result in neither real nor virtual picture
that is produced by the light scattered on spherical droplet(s). Each droplet merely scatters
the light and at a specific viewing angle 𝛾 the intensity of a particular colour is much

24. The Physics of a Rainbow 19
higher than at any other 𝛾. In order to see a particular colour at a certain point in the sky,
there must be enough spherical droplets in that direction that are lit by the sunlight.
Further, the angle between the line connecting the droplets and the eye of the observer and
the line connecting the sun and the droplets must correspond to a particular viewing angle
𝛾 to see a particular colour at that point. Because the viewing angle for a particular colour
is fixed, all the light of the same colour enters the eye of the observer as if coming from an
arc around the antisolar direction with the corresponding viewing angle 𝛾, 42.3° for red
and 40.6° for violet light. So the red arc with a viewing radius 42.3° forms the outside rim
of the primary rainbow and the blue or violet arc with a viewing radius 40.6° forms the
outside rim of the primary rainbow. All the light hitting the droplets at different distances
𝑥 from the centre is scattered at smaller angles 𝛾, so this light enters the observer’s eyes
inside the primary rainbow, making the inside of a primary rainbow lighter than the
outside.
FIGURE 7. Left: The viewing angle 𝛾(𝑥) for red and violet light after one or two internal
reflections in a droplet. Line colours correspond to the colours of the scattered light. There is no
light scattered in the range of viewing angles between 42.3° and 50.6°. Note the order of the colours
in the primary (below the band) and in the secondary rainbow (above the band). Right: The viewing
angle 𝛾(𝑥) for monochromatic light after no internal reflection (upper curve) has no extremum.
Analogous calculations and reasoning for the light that is twice internally reflected in a
droplet results in the characteristic viewing angle 𝛾 minima at 50.6° for red and 53.6° for
violet light (Fig. 7, left). The result is the red arc with a viewing radius 50.6° as the inside
rim of the secondary rainbow and the blue or violet arc with a viewing radius 53.6° as the
outside rim of the secondary rainbow. As illustrated in Figure 7 (left), all the light
scattered after two internal reflections has viewing angles larger than the characteristic
secondary rainbow angles. Therefore, the sky outside the secondary rainbow is lighter
than the sky inside the secondary rainbow. This explains the occurrence of Alexander’s
dark band between the two rainbows spanning the viewing angles between 42.3° and
50.6°. The light that passes through the droplet without the internal reflection is scattered
into colours as well, but the viewing angle function 𝛾(𝑥) is a monotonous function
without an extremum (Fig. 7, right), so there is no well-defined scattering direction with
intense monochromatic light and a rainbow cannot be formed. The light that is internally
reflected more than two times may enter the observer’s eye, but it is usually to faint to
substantially change the impression – thus higher order rainbows are usually not observed.

25. 20 Jurij Bajc
RAINBOW IN SCHOOL: THE EXPERIMENT
In school theoretical considerations are appropriate, but experiments are welcome too.
In particularly in physics, a well thought out experiment can persuade the learners more
than calculations. From this point of view, the formation of the rainbow can be
approached in the following way.
FIGURE 8. From top to bottom several succeeding stages of the motion of the laser pointer off the
centre of the glass (increasing x) are shown. Besides each photo there is the top view of the stage.
The substantially increased intensity of scattered light at the maximal  is shown in the inset.
First all the properties of how we observe a rainbow need to be recalled – what are the
circumstances in which a rainbow is observed, what features we see, etc. After the
conclusion that the interaction of light with water droplet is crucial, the experiment is
carried out. Only a laser pointer and a glass or cylindrical vessel of water are required.
Through the experiment two important objectives are addressed:
1) Definition of the scattering angle 𝜃 and the viewing angle  should be introduced
first. The dependence of 𝛾 for the once internally reflected light on the location of
the point where the light enters the water should be examined next. The learners
need to realise that this function has an extremum, i.e, it is not monotonous.

26. The Physics of a Rainbow 21
2) The learners should discover the importance of the extremum for the increased
intensity of the scattered light.
The two objectives can be achieved simultaneously. All that the students need to do is
to move the laser pointer laterally so that the light crosses the water in the glass. The
experiment begins with the beam hitting the centre of the glass, thus the once internally
reflected light propagates directly back towards the laser pointer. Next the laser is moved
horizontally in a lateral direction so that the point of entrance of the light changes
gradually. All the time the light that leaves the glass after one internal reflection is
observed. On a sheet of paper or a wall one can see relatively wide patch of laser light
(Fig. 8, top two rows). It is much larger than a point, made by a laser pointer without
interaction with the glass of water. As the laser moves, so does the patch of scattered light.
When the entering point of the laser beam approaches the side of the glass, the patch of
light is becoming a bit smaller (Fig. 8, second row) until it seems as if it has reached a
border it cannot cross (Fig. 8, third row). This is where the extremum of 𝛾 is. After
moving the laser a bit more, so that the beam almost misses the glass, the patch of
scattered light starts to move in the opposite direction as it did before (Fig. 8, last row). It
seems indeed as if it is bounced by an invisible wall (Fig 8, inset). This experimentally
proves that the viewing angle has an extremum. At the same time the intensity of the
patch at the extremum is extremely increased (Fig. 8, inset). At the same time the patch is
also shrunk, not really to a point, but rather to a line due to its vertical dimension and not
ideally spherical shape of the glass.
In order to achieve good results two technical aspects are most important. The vessel
or glass that holds the water should be cylindrical or nearly spherical, but even more
importantly the wall material (glass) should be of sufficient quality. The walls should be
thin, i.e. the radius of the vessel should be large compared to the thickness of the walls of
the vessel. The other detail that is important is to have a laser pointer with enough power.
The green lasers with the power around 1 mW are sufficient to successfully carry out also
the experiment related to the secondary rainbow, whereas the experiment explaining the
primary rainbow is easily done with almost any laser pointer.
CONCLUSIONS
In the paper the formation of a rainbow is presented with the aid of geometrical optics
and the main characteristics of the phenomena are explained. From the methodological
point of view, the most important part of the explanation is an experiment that pupils or
students can do at home, if only they have a laser pointer.
Besides the obvious dispersion of light in water and multiple refraction and internal
reflection in a water droplet, the key to rainbow formation is the presence of an extremum
in the viewing angle dependence on the point where the light enters the droplet, 𝛾(𝑥). The
beauty of the experiment is that at the same time the learner can find out that there is an
extremum and also how important the behaviour of the intensity of the scattered light
close to extremum is for rainbow formation. Without a well-defined narrow scattering
angle for each colour, the colours would mix and there would be no colourful rainbow as
we know it.
In primary school the teacher should preferably carry out the experiment as a
demonstration for the pupils, because this guarantees good control on all the variables and
enables the teacher to show the pupils both important features – the existence of a

27. 22 Jurij Bajc
maximum angle and increased intensity of scattered light. The graphs such as the ones in
Figure 5 or Figure 7 should be drawn qualitatively so that the learners are able to observe
and appreciate the well-defined rainbow angles for different colours.
In secondary school the mathematical derivations may be included in the discussion.
The students may calculate the rainbow angles using geometrical optics. They might also
be able to appreciate the increase of intensity based on derivatives as explained in the text.
But even after deriving results mathematically the experimental verification is essential. It
is not often that a mathematical singularity can so nicely be demonstrated and also
interpreted as in the proposed experiment. The experiment is also simple enough for the
students to do it themselves. By doing the experiment it is much easier to verify the non-
monotonic viewing angle dependence 𝛾(𝑥) and also the increase of intensity at the
extremum.
REFERENCES
1. Jackson, J.D. (1999), From Alexander of Aphrodisias to Young and Airy, Physics Reports 320,
27-36
2. Haumann, A. (2016), Rainbows in nature: recent advances in observation and theory, Eur. J.
Phys. 37 (6), 063001-31
3. Adams, J.A. (2002), The mathematical physics of rainbows and glories, Physics Reports 356,
229-365
Fizika duge
Jurij Bajc
Univerza u Ljubljani, Pedagoški fakultet, Ljubljana, Slovenija
Апстракт. U radu su predstavljene osnovne osobine duge, uključujući formiranje primarne
i sekundarne duge i pojave Aleksandrove trake. Formiranje duge objašnjeno je za učenike
različitih nivoa predznanja fizike i matematike. Za sve nivoe osnova objašnjenja je
jednostavan eksperiment sa laserskim pokazivačem i čašom vode. Što se fizike tiče, za
razumevanje pojava od učenika odnosno đaka očekuje se samo primena geometrijske optike
i poznavanje činjenice, da vidljiva svetlost ima disperziju. Obješnjena u radu data su ili na
nivou srednjoškolske fizike ili pak na nivou fizike u osnovnoj školi.
Кључне речи: formiranje duge, jednostavan eksperiment, lomni zakon, disperzija.

28. Настава физике, број 4, 2017, стр 23 - 26 Стручни рад
23
Графици из угла физике и математике
Гордана Беквалац1
, Бранка Радуловић2
1
Гимназија „Светозар Марковић“, Нови Сад
2
Природно-математички факултет, Департман за физику, Нови Сад
Апстракт. Главни циљ образовног система представља формирање целовитог и
логички доследног система знања и појмова код ученика. Како се наводи у
литератури, главно полазиште целовитог система знања налази се у откривању
унутрашњих веза и односа између општег, посебног и појединачног. Истицањем тих
веза гради се целокупно знање. Као пример истицања те повезаности у овом раду ће
бити представљена повезаност између физике и математике. Математика се често
презентује као језик физике. Из тог разлога је важно правилно разумети резултате
добијене из алгебарске интерпретације формула и графичког приказивања резултата,
а саме математичке моделе интерпретирати у физичкој конотацији како би се
проверила њихова валидност.
Кључне речи: физика, математика, повезаност наставних садржаја.
УВОД
Главни циљ образовног система представља формирање целовитог и логички
доследног система знања и појмова код ученика [1]. У радовима [1-2] истиче се да је
главно полазиште целовитог система знања се налази у откривању унутрашњих веза
и односа између општег, посебног и појединачног. Истицањем тих веза гради се
„пирамида појмова“ која има директан утицај на кванитет и квалитет ученичког
знања [2]. У раду је издвојен пример повезаности наставних садржаја из математике
и физике. Многи истраживачи [3-9] су се бавили испитивањем повезаности ове две
науке. Гинграс наводи да се може сматрати да је ово питање вековима старо и
упоређује га са временом настанка и развоја филозофије [8]. Иако старо, ово питање
заокупља пажњу и данашњих истраживача. Због сложености овог питања, у раду ће
се ставити фокус на графичку интерпретацију резултата. Како се према плану и
програму [15] за наставни предмет Математика у четвртом разреду за гимназије
обрађује наставна тема везана за дефинисање појмова потребних за интерпретацију
графика, користиће се градиво из истог разреда за наставни предмет Физика, како
би се ученицима повезаност ова два предмета још више приближила. Разматраће се
примери за графичко представљање две функције, линеарну и степену. Са
линеарном зависносшћу ученици се сусрећу још у првим разредима основне школе,
док се са степеним функцијама сусрећу у седмом разреду основне школе приликом
дефинисања пређеног пута код убрзаног кретања. Иако се ученици веома рано
сусрећу са наведеним фукцијама, стандардизовани тестови, који служе у сврху
проверавања ученичког разумевања графичке интерпретација, предвиђени су за

29. 24 Гордана Беквалац1, Бранка Радуловић2
узраст од 14 и више година. Из тог разлога ће се у раду разматрати примери из
средњошколског градива.
МАТЕМАТИКА У СЛУЖБИ ФИЗИКЕ И ОБРНУТО
У литератури се често наводи да је математика језик физике. Међутим, наводи се
да је језик математике у математици другачији него у физици. Разлог томе се може
наћи у самој поставци науке. У физици, број се везује за неку физичку величину
која има своју јединицу и ознаку, а веома често не може да има негативне
вредности. Осим што се користи као језик, математика представља и неопходан
алат приликом решавања рачунских задатака, њен задатак је да код ученика развије
логично и апстрактно мишљење [9]. Математика, као опште образовни предмет, има
снажан утицај на когнитивни развој ученика. Издвојићемо само један део предмета
интересовања ове науке и наставног предмета, конструкција и интерпретација
графика.
У студији [10] објашњена је повезаност ученичких способности конструкције и
интерпретације графика и когнитивног развоја. Берг и Филипс су навели да
конструкција и интерпретација графика захтева операционално резоновање [11]. На
основу тога, ученици са нижим степеном логичког мишљења нису у стању да
правилно нацртају и интерпретирају график. Супротно овом ставу је став Рота и
Мекџина који истичу да је цртање и интерпретација графика везана за практичне
способности, а тешкоће ученика да правилно нацртају и интерпретирају графике
везује за недостатак искуства [7,12]. Физика обилује примерима примене графичког
представљања резултата. Из тог разлога је важно посветити посебну пажњу
развијању логичног мишљења код ученика, истицати кохерентност наставног
градива како би ученици информације које су добили у току часа Математике или
Физике везивали за већ усвојене појмове и тако градили своје знање. Веома често се
дешава да ученици у току свог школовања нису обратили довољно пажње на
цртање и интерпретацију графика. Такође се често дешава да ученици не умеју да
примене знања и вештине стечена на часу Математике на проблеме у физици. Из
тог разлога је циљ овог рада подстицање наставнике физике и математике на већу
интерактивност и кооперативност.
Примери функција
Једно од значајних и интересантних питања у методичко-дидактичким
истраживањима у физици је везано за учениково разумевање графичких
интерпретација одређених физичких формулација и закона [13-14].
Као пример најједноставније линеарне повезаности променљивих може се
искористити формула 2 3y x  . Користећи се знањима из математике може се
одредити домен, знак, нуле функције, асимптоте и друго. Како је напред речено,
физика даје реалну слику проблема те стога, условно речено, ставља и одређена
ограничења за примењене функције. Пример за линеарну функцију може бити
једначина фотоелектричног ефекта. Према Ајнштајновом тумачењу, фотони у
судару са везаним електроном у металу део енергије предају за вршење излазног
рада из метала (избијање електроне), а остатак енергије представља кинетичку

30. Графици из угла физике и математике 25
енергију електрона, hf A E
k
  . Уколико се кинетичка енергија електрона
представи као E eV
k z
 , а излазни рад као A hf
c
 , онда се може исказати
зависност зауставног напона од фреквенције,  h
V f f
z ce
  . На основу формуле
види се да функција има нулту вредност ако је f f
c
 . Ово указује да ће при тим
вредностима фреквенције напон износити нула. На основу добијене зависности
може се одредити и нагиб криве који износи /h e . Нагиб криве нам говори о брзини
промене напона. Иако у математици постоје и негативне вредности приказане
линеарне функције, пример из физике указује на различитост приказивања и
интерпретације резултата у математици и физици.
Као пример степене функције може се узети формула за контракцију дужине
0
2
1
u
c
 
  
 
. Како се види на основу формуле, дужина објекта, у
релативистичкој физици, опада са порастом брзине објекта. Полазећи од општије
математичке формуле за елипсу 20,5 1y x  , може се одредити домен   1,1x  ,
знак   0, 1,1y x   и монотоност     , 1,0 ; , 0,1y x y x     фукције.
Међутим у физичкој интерпретацији за дати пример узеће се у обзир само
позитивне вредности јер се не може добити негативна вредност за дужину објекта.
ЗАКЉУЧАК
Анализа односа између математике и физике из перспективе образовања
подразумева испитивање неколико аспеката. Конструкција и интерпретација
графика представља један од многобројних примера повезаности наставног градива
Математике и Физике. Правилна конструкција и интерпретација графика може да
представља ученико знање из математике и физике, когнитивну способност,
просторну способност, као и логично мишљење. Из овог разлога је посебно важно
посветити пажњу учениковом разумевању графичке интерпретације резултата.
ЗАХВАЛНИЦА
Рад је настао у оквиру пројекта „Квалитет образовног система Србије у
европској перспективи“ (179010) финансираног од стране Министарства просвете,
науке и технолошког развоја.
ЛИТЕРАТУРА
1. Антонијевић, Р. (2006/а),Карактеристике структуре и система знања у настави, Дидактика
и методике, Вол. 52, бр. 7-8, стр. 545-557
2. Антонијевић, Р. (2006/б), Повезаност знања у настави, Педагогија, Вол. LXI, бр. 1, стр. 71-
86
3. Dirac, P. A. (1939), The relation between mathematics and physics, In Proc. Roy. Soc.
Edinburgh, 59, Part II, 122-129

31. 26 Гордана Беквалац1, Бранка Радуловић2
4. Радуловић, Б. и Стојановић, М. (2015), Анализа корелације програмских садржаја физике
и математике од стране студената физике, Васпитање и образовање,.XL, 3, 51-64
5. Redish, E. F. and Kuo, E. (2015), Language of physics, language of math: Disciplinary culture
and dynamic epistemology, Science & Education, 24, 5-6, 561-590.
6. McDermott, L. C. and Redish, E. F. (1999), Resource letter: PER-1: Physics education research,
American journal of physics, 67, 9, 755-767
7. Planinic, M., Milin-Sipus, Z., Katic, H., Susac, A. and Ivanjek, L. (2012), Comparison of
student understanding of line graph slope in physics and mathematics, International journal of
science and mathematics education, 10, 6, 1393-1414
8. Gingras, Y. (2001), What did mathematics do to physics?. History of science, 39, 4, 383-416
9. Uhden, O., Karam, R., Pietrocola, M., and Pospiech, G. (2012), Modelling mathematical
reasoning in physics education, Science & Education, 21, 4, 485-506
10. Wavering, M. J. (1989), Logical reasoning necessary to make line graphs, Journal of Research in
Science Teaching, 26, 5, 373-379
11. Berg, C. A. and Phillips, D. G. (1994), An investigation of the relationship between logical
thinking structures and the ability to construct and interpret line graphs, Journal of Research in
Science Teaching, 31(4), 323-344
12. Roth, W. M. and McGinn, M. K. (1997), Graphing: Cognitive ability or practice?, Science
Education, 81(1), 91-106
13. Bollen, L., De Cock, M., Zuza, K., Guisasola, J. and van Kampen, P. (2016), Generalizing a
categorization of students’ interpretations of linear kinematics graphs, Physical Review Physics
Education Research, 12, 1, 010108
14. Maries, A. and Singh, C. (2013), Exploring one aspect of pedagogical content knowledge of
teaching assistants using the test of understanding graphs in kinematics, Physical Review
Special Topics-Physics Education Research, 9, 2, 020120
15. Наставни планови и програми за основне и средње школе. Скинуто 21.12.2016. са сајта
http://www.zuov.gov.rs/poslovi/nastavni-planovi/nastavni-planovi-os-i-ss/?lng=lat
Graphics from the viewpoint of physics and
mathematics
Gordana Bekvalac and Branka Radulović
Abstract: The main objective of the education system is the creation of complete and
logically consistent system of knowledge and concepts for students. According to the
literature, the main starting point for a complete knowledge system is in detecting internal
connections and relationships between the general and the particular and the individual. By
pointing out these connections being built overall knowledge. As an example highlighting
this connection, this paper will be presented to a correlation between physics and
mathematics. Mathematics is often presented as a language of physics. For this reason, it is
important to properly understand the results obtained from the interpretation of algebraic
formulas and graphical presentation of results, a single mathematical models to interpret the
physical connotation to check their validity.

32. Настава физике, број 4, 2017, стр 27 - 37 Стручни рад
27
Еволуција васионе
Бранко Драговић
Институт за физику, Универзитет у Београду, Београд
Математички институт САНУ, Београд
Апстракт. Овај чланак садржи кратак преглед главних епоха у еволуцији васионе од
Великог праска до данашњег времена. Такође садржи и врло кратак осврт на могућу
будућност и судбину васионе.
Кључне речи: еволуција васионе, Велики прасак, структура свемира, убрзано ширење
васионе, космолошки модели.
УВОД
Васиона (свемир, васељена, космос, универзум) је највећи физички систем који
постоји и садржи сву материју у њеној сталној интеракцији, градећи разне
структуре од најситнијих делића до најкрупнијих космичких објеката. Изузетно је
интересантно и важно да један, вероватно најкомплекснији, део васионе у виду
људског мозга је у стању да спознаје законе по којима функционишу сви њени
делови, и она сама. Наука о васиони као целини зове се космологија. У изучавању
васионе космологија полази од астрономских посматрања, Ајнштајнове теорије
гравитације (опште теорије релативности), физике елементарних честица и сазнања
других природних наука, видети нпр. [1-5].
У општој теорији релативности васиона је Риманов геометријски објекат који се
описује Ајнштајновим једначинама за гравитационо поље ( )g x ,
4
8
2
R G
R g T g
c
   

    , (1)
где се лева страна једначине назива Ајнштајнов тензор
2
R
G R g    и
представља геометријску страну теорије изражену помоћу величина из Риманове
геометрије: R је Ричијев тензор, а R је скаларна кривина (Ричијев скалар). T је
тензор енергије-импулса материје и изражава просторно-временску расподелу
густине енергије и импулса. Константа
4 43
8 / 2,07 10G c 
  s/m kg је веома мала у
односу на константе интеракције осталих трију фундаменталних сила у природи. 
је космолошка константа коју је Ајнштајн увео 1917. г. и има антигравитационо
дејство. На космичким растојањима практично постоји само гравитациона сила и
она управља динамиком космичких објeката и целокупне васионе. На великим
космичким растојањима простор је хомоген и изотропан и то се изражава Фридман-
Леметр-Робертсон-Вокеровом метриком

33. 28 Бранко Драговић
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( sin )
1
dr
ds c dt a t r d d
kr
  
 
     
 
, (2)
где је ( )a t скалирајући фактор који описује еволуцију васионе као целине. Константа
кривине k одређује просторни тип васионе ( 0k  -- равна васиона као еуклидски
простор, 1k   -- затворена васиона као тродимензионална сфера, и 1k   --
отворена хиперболичка васиона). Према савременим астрономским посматрањима
васиона изгледа да је просторно равна. Комбинујући изразе (1) и (2) добијају се две
Фридманове једначине за скалирајући фактор ( )a t :
2 2 2
2 2
8
3 3
a kc G c
a a
  
   (3)
2
2 2
2
4 3
3 3
a G p c
a c


 
    
 
(4)
где је p притисак, а 2
c је густина енергије. Поред Фридманових једначина потребно
је знати и једначину стања материје, која је за иделни гас
2
p w c , (5)
где је w константа која за различита стања има различите вредности. Брзину
ширења васионе изражава Хаблов параметар
a
H
a
 . (6)
Како је васиона настала? Каква је њена прошлост? Каква је њена будућност? Да
ли ће васиона нестати? Ово су само нека од многобројних питања на која космолози
траже одговор. Изучавање разних аспеката хронолошког развоја васионе током
њеног досадашњег постојања спада у централну тему космологије коју зовемо
еволуција васионе. Познавање еволуције васионе је важно не само због прошлости,
већ и због сагледавања њене будућности. Од еволуције васионе зависи и еволуција
сваког њеног дела. Од будућег развоја васионе зависи крајња судбина Сунчевог
система, наше галаксије Млечни пут, судбина живота, разума и човечанства.
Да ли васиона има почетак или нема почетка, односно има ли бесконачно
трајање у прошлости, јесте питање на које за сада нема правог одговора. О настанку
васионе постоје разна религиозна, филозофска и научна нагађања, али без правог
закључка да ли је настанка уопште било. Савремена космологија углавном полази
од тога да је пре око 13,8 милијарди година било такво неко стање васионе које се
практично може сматрати њеним почетком. Од тог почетног па до савременог стања
васионе зна се довољно да постоји нека општа слика васионе по којој се она
непрестано шири, и то различитим брзинама ширења у различитим периодима
времена. Научно виђење главних периода еволуције васионе биће кратко
хронолошки приказано у даљем тексту овог прегледног рада.
ПРОШЛОСТ, САДАШЊОСТ И БУДУЋНОСТ ВАСИОНЕ
Овде ћемо кратко и хронолошки приказати основне епохе у развоју васионе -- од
њеног почетка до садашњег времена. Размотрићемо такође и неке могуће правце
њеног будућег развоја. Поред космичког времена трајања појединих периода,

34. Еволуција васионе 29
наводићемо температуру и неке друге карактеристичне величине. Треба имати у
виду да наведене вредности нису потпуно тачне, већ приближне, али дају неку
представу редоследа космичких дешавања. Због специфичног просторно-
временског положаја човека у васиони немогуће је створити потпуно реалну
представу о веома малим и веома великим космичким величинама.
Еволуција васионе може се поделити у четири главна периода: 1) врло рана
васиона, 2) рана васиона, 3) формирање и развој крупних космичких објеката и 4)
садашњост и будућност васионе.
СЛИКА 1. Илустрација еволуције васионе од њеног настанка до данашњег доба помоћу
дводимензионалне просторно-временске површи.
Врло рана васиона
Планкова епоха
Време: 43
0 10 s
 . Температура: > 32
10 K . Ово почетно стање карактерише се
Планковим вредностима за дужину 35
(10 )m
, време 43
(10 )s
и масу 8
(10 )kg
. Поред
тога што је васиона тада била веома ужарена, имала је и огрому густину
97 3
( 10 / )kg m  . Овакве вредности дужине, густине и температуре немогуће је
реализовати у лабораторијским условима. Сва материја је била у стању физичког
вакуума са израженим квантним флуктуацијама. Све четири основне физичке силе
(гравитациона, електромагнетна, слаба и јака) понашале су се као једна јединствена
фундаментална интеракција. Ово стање требало би да се описује квантном

35. 30 Бранко Драговић
гравитацијом, која је синтеза квантне теорије и теорије гравитације, али таква
теорија још није изграђена. Ако су основне претпоставке теорије струна тачне тада
све што постоји своди се на веома мале (отворене и затворене) струне које
вибрирају и међусобно се спајају и раздвајају. У току даљег ширења васиона постаје
све већа, а струне изгледају релативно све мање и личе на елементарне честице које
се описују квантном теоријом поља.
Епоха Великог обједињења
Време: 43 36
(10 10 )s 
 . Температура: 32 28
(10 10 )K . У току ове епохе,
гравитациона интеракција се издваја у самосталну силу, док остале три интеракције
остају обједињене и разматрају се у оквиру Гранд унифициране теорије (ГУТ). У
виду квантних флуктуација стварају се парови кварк-антикварк и лептон-
антилептон. У овој фази кваркови и лептони се понашају као веома сличне честице.
Постоји неколико ГУТ модела који полазе од сличних претпоставки и дају сличне
резултате. У оквиру ГУТ модела протон није стабилна честица, већ се распада са
временом полураспада 31 36
10 10 год., што је много више од досадашње старости
васионе. Распад протона није експериментално потврђен и не постоји
општеприхваћен ГУТ модел.
Инфлациона епоха
Време: 36 34
(10 10 )s 
 . Температура: 28 27
(10 10 )K . У овој фази долази до
наглог експонцијалног ширења васионе. На почетку овог ширења радијус васионе
је био 28
3 10 m
 , а током експоненцијалног ширења се увећао више од 60
e пута (где
је e основа природног логаритма, тј. 2,718e  ). Овакво ширење је брже од
брзине светлости, али није у супротности са теоријом релативности, јер овом
брзином не крећу се међусобно објекти већ се само шири простор. Оваквим
фантастично брзим ширењем објашњава се зашто је васиона тако равна, изотропна
и хомогена. Овај претпостављени период у еволуцији васионе се назива још де
Ситерова фаза, јер овакво експоненцијално ширење постоји у де Ситеровом моделу
са космолошком константом  , која је у овом случају повезана са густином
вакуума неког скаларног поља и важи једначина стања p   , где је p густина
притиска и  густина енергије. Има више модела инфлације и још не постоји један
општеприхваћен модел.
Електрослаба епоха
Време: 34 10
(10 10 )s 
 . Температура: 27 15
(10 10 )K . У току ове епохе из три
обједињене интеракције издваја се јака интеракција, а унифициране остају
електромагнетна и слаба сила. Постоје кваркови и антикваркови, лептони и
антилептони, и честице носиоци јаке и електрослабе интеракције. На крају ове
епохе долази до раздвајања електрослабе интеракције на електромагнетну и слабу
силу.