Este documento introduce conceptos básicos de geometría en el espacio tridimensional como coordenadas de vectores, producto escalar, producto vectorial y sistemas de referencia. Explica que cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de tres vectores independientes que forman una base, y que el producto escalar y vectorial de vectores se definen en función de sus coordenadas en una base ortonormal.

1. Geometr´ en el espacio
ıa
1. Coordenadas de un vector
En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto de dependencia lineal tiene una interpretaci´n
o
geom´trica sencilla. Dos vectores son dependientes o uno de ellos es combinaci´n lineal del otro si pueden
e o
ser representados sobre la misma recta. Tres vectores son dependientes si pueden ser representados en el
mismo plano.
Supongamos tres vectores independientes e1 , e2 y e3 . Vamos a ver que cualquier otro vector v puede
escribirse como combinaci´n lineal de estos tres vectores.
o
z e3 
T



v
0
e3
T
e1  E e2 y e2
E
C


xe1
C 

s
En efecto de la figura se desprende que:
v = xe1 + y e2 + z e3
y por consiguiente v es combinaci´n lineal de e1 , e2 y e3 . El n´mero m´ximo de vectores libres indepen-
o u a
dientes es 3 y por eso se dice que el espacio es tridimensional. Un conjunto {e1 , e2 , e3 } formado por tres
vectores independientes es una base del conjunto de vectores libres del espacio. Los n´meros (x, y, z) que
u
permiten expresar un vector v como combinaci´n lineal de los vectores de la base se llaman coordenadas
o
de v en la base {e1 , e2 , e3 }.
Las operaciones de suma de vectores y de producto de vectores por n´meros resultan muy sencillas cuando
u
los vectores se representan por medio de sus coordenadas. As´ı
}
u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3
=⇒ u + v = (u1 + v1 )e1 + (u2 + v2 )e2 + (u3 + v3 )e3
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3
de forma que la suma de dos vectores tiene como coordenadas la suma de las coordenadas de ambos
vectores.
De forma similar si u tiene como coordenadas (u1 , u2 , u3 ), el vector λu tiene coordenadas (λu1 , λu2 , λu3 ).
Ejercicio 1 Dados los vectores u(3, m, 5) y v(6, 4, m − 3) calcular el valor que tiene que tomar m para
que los dos vectores tengan la misma direcci´n.
o
1

2. 2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL 2
Si dos vectores u y v(v1 , v2 , v3 ) tienen la misma direcci´n son linealmente dependientes, es decir, debe
o
cumplirse que

 u1 = λv1 u1 u2 u3
u = λv =⇒ (u1 , u2 , u3 ) = λ(v1 , v2 , v3 ) =⇒ u2 = λv2 =⇒ = =
 v1 v2 v3
u3 = λv3
en donde la ultima igualdad es v´lida unicamente en el caso de que v1 , v2 y v3 sean distintos de cero. En
´ a ´
caso de que alg´n denominador sea cero, el numerador tambi´n debe serlo. En conclusi´n, dos vectores
u e o
tienen la misma direcci´n si sus coordenadas son proporcionales.
o
Aplicando este resultado a los vectores del problema resulta:
3 m 5
u v =⇒ = =
6 4 m−3
La igualdad entre la primera fracci´n y la segunda produce:
o
3 m
= =⇒ 6m = 12 =⇒ m=2
6 4
y la igualdad entre la primera y la tercera:
3 5
= =⇒ 3m − 9 = 30 =⇒ m = 13
6 m−3
Como deben cumplirse ambas igualdades, el problema no tiene soluci´n.
o
2. Producto escalar. Base ortonormal
Definici´n 1 El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus m´dulos por el coseno del
o o
a
´ngulo que forman:
u · v = |u||v| cos α
donde α es el ´ngulo que forman los dos vectores.
a
Muchas veces se utiliza el producto escalar para calcular el ´ngulo que forman dos vectores. En este caso,
a
despejando el ´ngulo en la definici´n anterior se obtiene:
a o
u·v
cos α =
|u||v|
El m´dulo de un vector puede obtenerse a partir del producto escalar del vector por s´ mismo:
o ı
√
u · u = |u||u| cos 0 = |u|2 =⇒ |u|2 = u · u =⇒ |u| = u · u
El producto escalar puede definirse tambi´n como el producto del m´dulo de uno de los vectores por la
e o
proyecci´n de otro sobre ´l.
o e
0
v −→
u · v = |u| |v| cos O = |u||OA|
ˆ
A E
O u

3. 2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL 3
Ejercicio 2 Demostrar que:
1. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.
2. El producto escalar de dos vectores co la misma direcci´n es igual a m´s o menos el producto de
o a
sus m´dulos.
o
Si los vectores son perpendiculares forman un ´ngulo de 90o . Entonces, puesto que cos 90o = 0 el producto
a
escalar de los dos vectores es cero.
Si los vectores tienen la misma direcci´n forman un ´ngulo de 0o o 180o seg´n tengan o no el mismo
o a u
sentido. En el primer caso, cos 0o = 1 y el producto escalar es igual al producto de los m´dulos. En el
o
segundo caso cos 180o = −1 y el producto escalar es igual al producto de los m´dulos con signo menos.
o
El producto escalar as´ definido tiene las siguientes propiedades:
ı
1. u · u ≥ 0, u·u=0 =⇒ u=0
2. u · v = v · u
3. α(u · v) = (αu) · v
4. u · (v + w) = u · v + u · w
Si los vectores u y v est´n dados por sus coordenadas u(u1 , u2 , u3 ) y v(v1 , v2 , v3 ) el producto escalar se
a
expresa en funci´n de las coordenadas de la siguiente forma:
o
u · v = (u1 e1 + u2 e2 + v3 e3 ) · (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 )
= u1 v1 e1 · e1 + u2 v2 e2 · e2 + u3 v3 e3 · e3
+ (u1 v2 + u2 v1 )e1 · e2 + (u1 v3 + u3 v1 )e1 · e3 + (u2 v3 + u3 v2 )e2 · e3
Esta expresi´n se simplifica si la base es ortonormal. La base {ı, , k} es ortonormal si est´ formada por
o a
vectores ortogonales (es decir que forman un ´ngulo de 90o ) y unitarios (de m´dulo 1). En este caso se
a o
verifica que
ı · ı =  ·  = k · k = 1, ı·=ı·k =·k =0
de forma que si las coordenadas de los dos vectores en la base ortonormal son u(ux , uy , uz ) y v(vx , vy , vz )
el producto escalar es igual a:
u · v = ux vx + uy vy + uz vz
El m´dulo del vector u ser´
o ıa
√ √
|u| = u · u = u2 + u2 + u2
x y z
y el ´ngulo de los dos vectores ser´
a ıa:
u·v ux vx + uy vy + uz vz
cos α = =√ √
|u||v| u2 + u2 + u2 vx + vy + vz
2 2 2
x y z
Ejercicio 3 Calcular todos los vectores perpendiculares a u(ux , uy , uz ) y a v(vx , vy , vz ) donde las coor-
denadas est´n dadas en una base ortonormal.
a
Sea el vector w(x, y, z) perpendicular a u y a v. Este vector cumple:
{
ux x + uy y + uz z = 0
w⊥u ∧ w⊥v =⇒ w · u = 0 ∧ w · v = 0 =⇒
vx x + vy y + vz z = 0

4. 3 PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO MIXTO 4
Este es un sistema homog´neo que, como se sabe por el tema anterior tiene una soluci´n particular
e o
uy uz uz ux ux uy
x0 = , y0 = , z0 =
vy vz vz vx vx vy
y la soluci´n general es w(λx0 , λy0 , λz0 ).
o
En el apartado siguiente veremos que la soluci´n particular obtenida se llama producto vectorial de los
o
dos vectores.
3. Producto vectorial. Producto mixto
Definici´n 2 Dados dos vectores u y v de coordenadas (ux , uy , uz ) y (vx , vy , vz ) en la base ortonormal
o
{ı, , k} el producto vectorial u × v es el vector:
uy uz u ux u uy
u×v = ı+ z + x k
vy vz vz vx vx vy
Ejercicio 4 Calcular el producto vectorial de los vectores u(1, −2, 1) y v(3, 0, −1).
El producto vectorial es:
−2 1 1 1 1 −2
u×v = ı+ + k = 2ı + 4 + 6k
0 −1 −1 3 3 0
El producto vectorial tiene las siguientes propiedades:
1. u × v es ortogonal a u y a v. T× v
u
2. u × v = −v × u
3. u × (λv) = λu × v v €
I €
α
€€
€
4. u × (v + w) = u × v + u × w €€
€€
€
q
5. |u × v| = |u||v|| sen α| u
Ejercicio 5 Demostrar que el m´dulo de u × v es |u||v|| sen α|.
o
Sean los vectores u(ux , uy , uz ) y v(vx , vy , vz ):
(|u||v|| sen α|)2 = (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) sen2 α
x y z
2 2 2
( )
= (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) 1 − cos2 α
x y z
2 2 2
( )
(ux vx + uy vy + uz vz )2
= (ux + uy + uz )(vx + vy + vz ) 1 − 2
2 2 2 2 2 2
(ux + u2 + u2 )(vx + vy + vz )
y z
2 2 2
= (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + vz ) − (ux vx + uy vy + uz vz )2
x y z
2 2 2
= u2 vy + u2 vz + u2 vx + u2 vz + u2 vx + u2 vy − 2ux vx uy vy − 2ux vx uz vz − 2uy vy uz vz
x
2
x
2
y
2
y
2
z
2
z
2
= u2 vy + u2 vx − 2ux vx uy vy + u2 vz + u2 vx − 2ux vx uz vz + u2 vz + u2 vy − 2uy vy uz vz
x
2
y
2
x
2
z
2
y
2
z
2
= (ux vy − uy vx )2 + (uz vx − ux vz )2 + (ux vy − uy vx )2
2 2 2
uy uz uz ux ux uy
= + + = |u × v|2
vy vz vz vx vx vy

5. 4 SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO 5
Bas´ndonos en la primera propiedad, utilizaremos el producto vectorial cada vez que queramos calcular
a
un vector que sea ortogonal a dos vectores dados.
El producto vectorial tiene tambi´n una interesante propiedad geom´trica: el m´dulo del producto vec-
e e o
torial es igual al ´rea del paralelogramo que tiene como lados los dos vectores. Esto es as´ porque la base
a ı
del paralelogramo es el m´dulo de uno de los vectores y la altura es el m´dulo del otro por el seno del
o o
a
´ngulo que forman ambos.
Definici´n 3 El producto mixto de tres vectores se representa mediante [u, v, w] y es el producto escalar
o
del primero por el producto vectorial del segundo y el tercero:
[u, v, w] = u · (v × w)
Si las coordenadas de los tres vectores en una base ortonormal son u(ux , uy , uz ), v(vx , vy , vz ) y w(wx , wy , wz )
puede calcularse el producto mixto mediante el siguiente determinante:
ux uy uz
vy vz v vx v vy
[u, v, w] = u · (v × w) = ux + uy z + uz x = vx vy vz
wx wz wy wx wz wy
wx wy wz
De su expresi´n como determinante se deducen estas propiedades del producto mixto:
o
El producto mixto cambia de signo cuando se intercambian dos vectores pero no cambia en una
permutaci´n circular de los tres vectores.
o
El producto mixto es cero cuando los tres vectores son linealmente dependientes o lo que es lo
mismo, cuando los tres vectores son coplanarios.
Geom´tricamente, el m´dulo del producto mixto es el volumen del paralelep´
e o ıpedo que tiene como aristas
concurrentes los tres vectores o seis veces el volumen del tetraedro que tiene como v´rtices el origen
e
com´n de los tres vectores y sus tres extremos.
u
£ £
£ £
£ £
u£ # £ £ £
£ £ £ £
£ £ £ £
£ £ £ £
£ £ £ £
£ £ £ £
Q
£ w £
£ £
£ E
£
v
4. Sistema de referencia en el espacio
Un sistema de referencia en el espacio est´ formado por un punto O llamado origen de coordenadas
a
y una base del espacio vectorial {ı, , k}. Las rectas que pasan por el origen y tienen la direcci´n de
o
los vectores de la base se llaman ejes de coordenadas.

6. 4 SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO 6
Z
P
0
k
T
E Y
ı O
C
X
−
−→
A cada punto P se le asocia un vector llamado vector de posici´n del punto P y es el vector OP que une
o
el origen de coordenadas con el punto. Por definici´n, las coordenadas del punto P son las coordenadas
o
−−
→
del vector OP .
−−
→
Las coordenadas del vector AB pueden calcularse f´cilmente cuando se conocen las coordenadas de los
a
puntos A y B. En efecto:
Z
A
£d
#
£ d −→ − −→ −→− −
−→ −→ −
− →
£ d OA + AB = OB =⇒ AB = OB − OA
£ d
£ d
£ dB
‚
d
I
k £
T£
ı O £
E Y
C

X
−→ −
− →
y, puesto que las coordenadas de OB y OA son iguales que las coordenadas de los puntos B y A, resulta
−−
→
que las coordenadas del vector AB pueden obtenerse restando las coordenadas del extremo del vector B
menos las coordenadas del origen del vector A.
Ejercicio 6 Dados los puntos A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) calcular las coordenadas del punto medio del
segmento AB.
Sea M (x, y, z) el punto medio del segmento.
A(x1 , y1 , z1 ) M (x, y, z) B(x2 , y2 , z2 )
−
−→ −→
−
Dado que AB = 2AM resulta:
−−
→ −→
−
AB = 2AM =⇒ (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) = 2(x − x1 , y − y1 , z − z1 )

 x2 − x1 = 2(x − x1 )
=⇒ y2 − y1 = 2(y − y1 )

z2 − z1 = 2(z − z1 )

 x2 + x1 = 2x
=⇒ y2 + y1 = 2y

z2 + z1 = 2z

7. ´
5 ECUACION DEL PLANO 7
y de aqu´ se obtiene:
ı
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
x= , y= , z=
2 2 2
5. Ecuaci´n del plano
o
As´ como a los puntos se les asocian sus coordenadas en un determinado sistema de referencia, a los
ı
planos y las rectas se les pueden hacer corresponder ecuaciones o sistemas de ecuaciones. Estas ecuaciones
o sistemas son la condici´n que tienen que cumplir las coordenadas de un punto para estar contenido en
o
un plano o una recta.
Ejercicio 7 Sabiendo que la ecuaci´n x − 5y − 3z + 1 = 0 representa un plano y el sistema
o
{
x+y+z−1=0
5x − 4y + 2z + 1 = 0
representa una recta:
1. Determinar si el punto P (3, 2, −4) est´ contenido en el plano o en la recta.
a
2. Calcular el punto de intersecci´n (si existe) de la recta y el plano.
o
El punto P no est´ contenido en el plano porque sus coordenadas no cumplen la ecuaci´n del plano:
a o
3 − 5 · 2 − 3 · (−4) = 3 − 10 + 12 = 1 = 0
Sin embargo, s´ que est´ contenido en la recta puesto que:
ı a
3 + 2 + (−4) − 1 = 0
5 · 3 − 4 · 2 + 2 · (−4) + 1 = 15 − 8 − 8 + 1 = 0
El punto de intersecci´n de la recta y el plano debe cumplir tanto la ecuaci´n como el sistema puesto que
o o
est´ contenido en el plano y en la recta. Por consiguiente debe verificar las tres ecuaciones:
a

 x − 5y − 3z + 1 = 0
x+y+z−1=0

5x − 4y + 2z + 1 = 0
La soluci´n de este sistema es (1, 1, −1). Estas son las coordenadas del punto de intersecci´n. Si el sistema
o o
hubiese resultado incompatible, querr´ decir que no habr´ puntos de intersecci´n, esto es, que la recta
ıa ıa o
ser´ paralela al plano.
ıa
n
T
v
X
$
$$
$$$
ˆˆˆ E
P ˆˆˆ X
z
ˆ u
π

8. ´
5 ECUACION DEL PLANO 8
Un plano puede quedar definido mediante un punto P y un vector n perpendicular al plano (vector
normal) o mediante un punto P y dos vectores u y v paralelos al plano (vectores directores). Obs´rvese
e
que existen infinitos planos que contienen a un punto y son paralelos a un vector por lo que son precisos
dos vectores directores para determinar un plano.
Sea el plano π determinado por el punto P (x0 , y0 , z0 ) y el vector normal n(A, B, C). La condici´n necesaria
o
y suficiente para que el punto X(x, y, z) est´ contenido en el plano π es:
a
−→
− −→
−
P ∈ π ⇐⇒ P X ⊥ n ⇐⇒ P X · n = 0
−→
−
y puesto que el vector P X tiene de coordenadas (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) se obtiene la ecuaci´n del plano:
o
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
que se llama ecuaci´n normal del plano.
o
Sea ahora el plano π definido por el punto P (x0 , y0 , z0 ) y los vectores directores u(ux , uy , uz ) y v(vx , vy , vz ).
−→
−
Si el punto X(x, y, z) est´ en el plano π, los tres vectores P X, u y v son coplanarios y su producto mixto
a
debe ser cero:
−→
−
P ∈ π ⇐⇒ [P X, u, v] = 0
y escribiendo el producto mixto en funci´n de las coordenadas se obtiene una nueva forma de la ecuaci´n
o o
del plano
x − x0 y − y0 z − z0
ux uy uz = 0
vx vy vz
que recibe el nombre de ecuaci´n del plano en forma de determinante.
o
Si en las ecuaciones anteriores se quitan par´ntesis o se desarrolla el determinante resulta una ecuaci´n
e o
de la forma
Ax + By + Cz + D = 0
que se llama ecuaci´n general o impl´
o ıcita del plano. En esta ecuaci´n, el significado de los coeficientes
o
A, B y C es el mismo que en la ecuaci´n normal, son las coordenadas de un vector perpendicular al plano.
o
Ejercicio 8 Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(−1, 2, −1) y C(2, −1, 0).
o
−
−→ −→
Basta considerar el plano determinado por el punto A y los vectores directores AB(−2, 1, −2) y AC(1, −2, −1).
La ecuaci´n en forma de determinante es:
o
x−1 y−1 z−1
−2 1 −2 = 0
1 −2 −1
Desarrollando el determinante se obtiene la ecuaci´n general:
o
−5x − 4y + 3z + 6 = 0
Ejercicio 9 Demostrar que la ecuaci´n del plano que pasa por los puntos A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) y
o
C(x3 , y3 , z3 ) es
x y z 1
x1 y1 z1 1
=0
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1

9. ´
6 ECUACION DE LA RECTA 9
6. Ecuaci´n de la recta
o
Una recta queda determinada mediante un punto P (x0 , y0 , z0 ) y un vector director v(vx , vy , vz ) que da
la direcci´n de la recta.
o
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆˆP
ˆˆˆˆˆ
ˆ
z v
0
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
$X
X
$ ˆ
$$$$$ ˆˆ
ˆr
$$
$$$
$$ $$$
$$$
O
La condici´n para que un punto cualquiera X(x, y, z) pertenezca a la recta es que los vectores P X y v
o
tengan la misma direcci´n o, lo que es lo mismo, que sean linealmente dependientes:
o
−→
− −→
−
X ∈ r ⇐⇒ P X v ⇐⇒ P X = tv
−→ −→ −
− − −
→
y puesto que P X = OX − OP esta ultima igualdad se puede escribir:
´
−→ −
− −→
OX = OP + tv (Ecuaci´n vectorial de la recta)
o
Esta ecuaci´n entre vectores puede escribirse en funci´n de las coordenadas de la siguiente forma:
o o

 x = x0 + tvx
y = y0 + tvy (Ecuaciones param´tricas de la recta)
e

z = z0 + tvz
Las ecuaciones param´tricas de la recta son un sistema de 3 ecuaciones con 4 inc´gnitas x, y, z y t.
e o
Puede eliminarse ´sta ultima y obtener un sistema de 2 ecuaciones con 3 inc´gnitas. Despejando t en las
e ´ o
3 igualdades:
x − x0 y − y0 z − z0
= = (Ecuaci´n continua de la recta)
o
vx vy vz
En general, las soluciones de un sistema de 2 ecuaciones independientes con 3 inc´gnitas forman una l´
o ınea
recta. Es decir, la ecuaci´n de la recta se puede escribir en la forma:
o
{
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
(Ecuaciones generales de la recta)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Cada una de las ecuaciones representa un plano y por ello este sistema se conoce tambi´n como ecuaci´n
e o
de la recta como intersecci´n de planos. El vector n1 (A1 , B1 , C1 ) perpendicular al plano π1 es
o
perpendicular a todas las rectas contenidas en π1 y, por tanto, perpendicular a r. Lo mismo puede decirse
del vector n2 (A2 , B2 , C2 ). La recta est´ definida en este caso mediante dos vectores perpendiculares n1 y
a
n2 . El producto vectorial de estos vectores, tiene la direcci´n de la recta y es, por consiguiente, un vector
o
director.
$
$$$
$$$
$$$
$ $$$
π2 $$$ r
$$ $ t$$$
$$
t $$$ t
t $$
t$
$ $$$ $t
$ $
$$$ t $$$
$$$ $$$
t π1 $$$$ $$
t$
$$ $$$
$ $
$ $

10. ´
6 ECUACION DE LA RECTA 10
Ejercicio 10 Escribir la ecuaci´n de la recta
o
{
3x − 5y + 2z − 3 = 0
x + y − 3z − 1 = 0
en las formas continua y param´trica.
e
Necesitamos un vector director y un punto cualquiera de la recta. Como vector director puede tomarse
el producto vectorial de los dos vectores normales a los planos que definen la recta:
( )
−5 2 2 3 3 −5
u×v = , , = (13, 11, 8)
1 −3 −3 1 1 1
Ya tenemos el vector director. Ahora debemos calcular una soluci´n particular del sistema que define la
o
recta. Si damos a x el valor cero resulta:
{
−5y + 2z − 3 = 0
y − 3z − 1 = 0
La soluci´n de este sistema es y = − 11 , z = − 13 . Tenemos entonces que el punto P (0, − 11 , − 13 )
o 13
8
13
8
est´ contenido en la recta.
a
La ecuaci´n continua es:
o
x y + 11
13
8
z + 13
= =
13 11 8
Las ecuaciones param´tricas las obtenemos igualando al par´metro t cada una de las fracciones anteriores:
e a
11 8
x = 13t; y=− + 11t; z=− + 8t
13 13
Consideremos ahora una recta dada como intersecci´n de los planos:
o
{
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
r:
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Los vectores n1 (A1 , B1 , C1 ) y n2 (A2 , B2 , C2 ) son vectores independientes perpendiculares a la recta.
Cualquier plano que contenga a la recta r deber´ tener un vector normal combinaci´n lineal de n1 y n2 .
a o
Adem´s, todos los puntos de la recta r deber´n satisfacer la ecuaci´n del plano. En conclusi´n, cualquier
a a o o
plano que contenga a la recta deber´ tener una ecuaci´n de la forma:
a o
s(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + t(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
que se llama ecuaci´n del haz de planos de la recta r que, como se ve, tiene dos par´metros s y t.
o a
t
Dividiendo por s y llamando s = λ se obtiene una ecuaci´n del haz con un solo par´metro:
o a
A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
m´s conveniente para ser utilizada en los problemas puesto que como se ha dicho contiene un solo
a
par´metro. El inconveniente de esta forma de la ecuaci´n del haz es que al dividir por s hemos eliminado
a o
del haz al plano correspondiente al valor s = 0. El haz est´ formado por todos los planos de la forma
a
A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 y adem´s el plano A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
a
Ejercicio 11 Calcular la ecuaci´n del plano que contiene a la recta
o
{
3x − 5y + 2z − 3 = 0
x + y − 3z − 1 = 0
y pasa por el punto: a) P (2, 3, −1), b) P (3, 1, 1), c) P (14, 11, 8).
Puesto que contiene a la recta, el plano buscado pertenece al haz:
3x − 5y + 2z − 3 + λ(x + y − 3z − 1) = 0

11. ´
7 ANGULOS 11
a) Si el plano debe contener al punto P (2, 3, −1), se cumple que:
3 · 2 − 5 · 3 + 2 · (−1) − 3 + λ(2 + 3 − 3 · (−1) − 1) = 0
−14 + 7λ = 0
λ=2
de forma que el plano buscado es:
3x − 5y + 2z − 3 + 2(x + y − 3z − 1) = 0
y haciendo operaciones resulta
5x − 3y − 4z − 5 = 0
b) Si el plano debe contiene al punto P (3, 1, 1):
3 · 3 − 5 · 1 + 2 · 1 − 3 + λ(3 + 1 − 3 · 1 − 1) = 0
3 + 0λ = 0
La ecuaci´n no tiene soluci´n. Esto quiere decir que el plano soluci´n es el que hemos desestimado
o o o
al escribir el haz con un solo par´metro. Por consiguiente el plano que buscamos es:
a
x + y − 3z − 1 = 0
c) En este caso, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuaci´n del haz resulta:
o
3 · 14 − 5 · 11 + 2 · 8 − 3 + λ(14 + 11 − 3 · 8 − 1) = 0
0 + 0λ = 0
Cualquier valor de λ es soluci´n. Esto significa que todos los planos que contienen a la recta r
o
contienen tambi´n al punto P , es decir, el punto P est´ contenido en r y la soluci´n del problema
e a o
es todo el haz de planos.
7. ´
Angulos
El ´ngulo de dos rectas es el ´ngulo que forman sus vectores directores o su suplementario si es menor.
a a
Si las rectas tienen vectores directores u y v el ´ngulo de las dos rectas es:
a
u·v
cos α =
|u||v|
Si las rectas son perpendiculares forman un ´ngulo de 90◦ y el producto escalar de sus vectores directores
a
es cero. Si las rectas son paralelas forman un ´ngulo de 0◦ , sus vectores directores tienen la misma
a
direcci´n y en consecuencia sus coordenadas son proporcionales.
o
De forma similar, el ´ngulo que forman dos planos es igual o suplementario al que forman sus vectores
a
normales −1 y −2 :
→ n
n →
n1 · n2
cos α =
|n1 ||n2 |
Si los planos de ecuaciones π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 y π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 son
perpendiculares, el producto escalar de sus vectores normales debe ser cero y en consecuencia:
π1 ⊥π2 =⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0

12. 8 DISTANCIAS 12
Si los planos son paralelos, sus vectores normales tienen la misma direcci´n y, en consecuencia, son
o
linealmente dependientes de forma que:
A1 B1 C1
π1 π2 =⇒ = =
A2 B2 C2
El ´ngulo que forman una recta y un plano es el ´ngulo que forma la recta con su proyecci´n sobre el plano.
a a o
Este ´ngulo es complementario del que forman el vector director de la recta y el vector perpendicular al
a
plano (ver figura 1). As´ si u es el vector director de la recta y n el vector director del plano se cumple
ı,
que:
u·n u·n
cos(90 ◦ −α) = =⇒ sen α =
|u||n| |u||n|
´
Figura 1: Angulo de recta y plano
8. Distancias
−
−→
La distancia entre dos puntos A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 , y2 , z2 ) es igual al m´dulo del vector AB:
o
√
d(A, B) = |AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Calculemos ahora la distancia entre un punto y una recta. Sea el punto P (x0 , y0 , z0 ) y la recta r definida
por el punto A(x1 , y1 , z1 ) y el vector director u(ux , uy , uz ).
$
$$$
Q
X
$ $$$
$$$ ¡
u $$
$$$
$
$$$$
$$$
¡
$$$
A $$$ ¡
$$$ ¡
r $$$ d ¡
d
d ¡
d d ¡
d ¡
d ¡
d ¡
d
d ¡
d¡
P

13. 8 DISTANCIAS 13
En la figura se ha representado el vector director u sobre la recta r con origen en el punto A y extremo
en el punto Q. La distancia del punto P a la recta r es la longitud d del segmento perpendicular a r por
P.
−→
El ´rea del tri´ngulo AP Q es como sabemos la mitad del m´dulo del producto vectorial AP × u. Por otra
a a o
parte este ´rea es tambi´n igual a la mitad de su base que es el m´dulo de u por su altura d. Igualando
a e o
ambas expresiones resulta:
1 −→ 1
AP × u = |u|d
2 2
y despejando d obtenemos:
−→
AP × u
d=
|u|
A(x0 , y0 , z0 )

 x = x0 + tA
y = y0 + tB

z = z0 + tC
n(A, B, C)
T
P (x1 , y1 , z1 )
π : Ax + By + Cz + D = 0
Vamos a calcular ahora la distancia entre el punto A(x0 , y0 , z0 ) y el plano π : Ax + By + Cz + D = 0.
Esta distancia es igual a la que existe entre el punto A y el punto P (x1 , y1 , z1 ), pie de la perpendicular
trazada desde A a π. Para calcular esta distancia se procede de la siguiente forma:
Calculamos la ecuaci´n de la perpendicular desde A al plano π.
o
Calculamos el pie de la perpendicular P como la intersecci´n de la perpendicular con el plano.
o
Obtenemos la distancia entre A y P .
La ecuaci´n de la perpendicular es:
o

 x = x0 + tA
y = y0 + tB

z = z0 + tC
El punto P es el punto de intersecci´n entre esa recta y el plano, es decir, es la soluci´n del sistema:
o o

 x = x0 + tA


y = y0 + tB
 z = z0 + tC


Ax + By + Cz + D = 0
Sustituyendo x, y y z en la ultima ecuaci´n se obtiene t:
´ o
A(x0 + tA) + B(y0 + tB) + C(z0 + tC) + D = 0 =⇒ Ax0 + By0 + Cz0 + D + t(A2 + B 2 + C 2 ) = 0

14. 8 DISTANCIAS 14
y de aqu´
ı
Ax0 + By0 + Cz0 + D
t=−
A2 + B 2 + C 2
Sustituyendo este valor de t en las tres primeras ecuaciones se hallan las coordenadas de P . De todas
formas, se puede obtener una f´rmula para la distancia sin necesidad de sustituir t para hallar P . La
o
distancia entre A y P es:
d2 = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 + (z1 − z0 )2
Puesto que:
Ax0 + By0 + Cz0 + D
x1 − x0 = tA; y1 − y0 = tB; z − z0 = tC; t=−
A2 + B 2 + C 2
resulta que:
d2 = t2 A2 + t2 B 2 + t2 C 2 = t2 (A2 + B 2 + C 2 )
( )2
Ax0 + By0 + Cz0 + D
= − (A2 + B 2 + C 2 )
A2 + B 2 + C 2
(Ax0 + By0 + Cz0 + D)2
=
A2 + B 2 + C 2
y de aqu´
ı:
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d= √
A2 + B 2 + C 2
f´rmula que puede recordarse de la siguiente manera: la distancia desde un punto a un plano es igual al
o
valor absoluto de una fracci´n en la que el numerador es el primer miembro de la ecuaci´n general del
o o
plano sustituyendo en lugar de las inc´gnitas las coordenadas del punto y el denominador es el m´dulo
o o
del vector normal al plano n(A, B, C).
f l
f
f fl
f f ll
f f l
f f l
f l
sf f π
f f
f f f
f f
f l
f f
l f
f l f
f l
r
l f
lf
lf
f
f
f
Calcularemos ahora la distancia entre dos rectas que se cruzan. Sea la recta r determinada por el punto
P (x1 , y1 , z1 ) y el vector u y la recta s definida por el punto Q(x2 , y2 , z2 ) y el vector v. Para calcular la
distancia entre las dos rectas procederemos de la siguiente manera:
Calcularemos el plano π que contiene a r y es paralelo a s.
Calcularemos la distancia de un punto cualquiera de s (por ejemplo el punto Q) al plano π.

15. 9 DOS PROBLEMAS 15
En la figura se han representado las dos rectas r y s y el plano π. El otro plano dibujado tiene por
finalidad poner de manifiesto que las rectas se cruzan.
Puesto que los vectores u y v son paralelos al plano π y el punto P est´ contenido en ´l, su ecuaci´n es:
a e o
x − x1 y − y1 z − z1
ux uy uz = 0
vx vy vz
De aqu´ que la distancia del punto Q a este plano, e sea, la distancia entre las dos rectas es:
ı
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
ux uy uz
vx vy vz
d(r, s) = d(Q, π) = √
2 2 2
uy uz uz ux uy uz
+ +
vy vz vz vx vy vz
Esta f´rmula puede recordarse m´s f´cilmente de la siguiente forma:
o a a
−
− →
[P Q, u, v]
d(r, s) =
|u × v|
9. Dos problemas
9.1. Recta por un punto que corta a dos rectas que se cruzan
Figura 2: Recta que pasa por un punto y corta a dos rectas
El procedimiento para obtener la ecuaci´n de una recta que pasa por un punto P y corta a dos rectas r1
o
y r2 ser´
ıa:
1. Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a r1 (π).
o
2. Punto de intersecci´n Q de este plano con la recta r2 (A).
o

16. 9 DOS PROBLEMAS 16
3. Ecuaci´n de la recta que pasa por P y A (figura 2).
o
Alternativamente puede utilizarse este segundo procedimiento:
1. Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a r1 (π1 ).
o
2. Calcular la ecuaci´n del plano que pasa por P y contiene a r2 (π2 ).
o
3. Recta intersecci´n de π1 y π2 (figura 3).
o
Figura 3: Recta que pasa por un punto y corta a dos rectas
Ejercicio 12 Halla la ecuaci´n de la recta que pasando por el punto P (2, 0, −1) corta a las rectas:
o
{
x−2 y−2z+1 x+y+4=0
r1 : = ; r2 :
2 −1 1 y − 3z + 3 = 0
Resolvamos por el primer procedimiento:
1. Plano que pasa por P y contiene a r1 . Tomando como vectores directores, el vector director de la
−
−→
recta y el vector P Q donde Q es un punto de r1 , por ejemplo Q(2, 2, −1) se tiene:
x−2 y z+1
2 −1 1 =0
0 2 0
o bien:
−x + 2z + 4 = 0
2. Intersecci´n de este plano con la recta r2 . Resolvemos el sistema:
o

 −x + 2z + 4 = 0
x+y+4=0

y − 3z + 3 = 0
La soluci´n de este sistema es el punto A(2, −6, −1)
o

17. 9 DOS PROBLEMAS 17
−→
3. Ecuaci´n de la recta AP . Tomando como vector director AP (0, 6, 0) o, m´s sencillo, u(0, 1, 0), la
o a
ecuaci´n es:
o
x−2 y z+1
= =
0 1 0
Por el segundo procedimiento obtendr´
ıamos:
1. Plano que pasa por P y contiene a r1 . Este plano hemos visto que tiene por ecuaci´n −x+2z +4 = 0.
o
2. Plano que pasa por P y contienen a r2 . El haz de planos de r2 es:
x + y + 4 + λ(y − 3z + 3) = 0
Si el plano ha de contener a P (2, 0, −1):
2 + 0 + 4 + λ(0 − 3 · (−1) + 3) = 0 =⇒ λ = −1
Por lo que el plano es:
x + y + 4 + (−1)(y − 3z + 3) = 0 o bien
3. La ecuaci´n de la recta buscada como intersecci´n de los dos planos es:
o o
{
−x + 2z + 4 = 0
x + 3z + 1 = 0
9.2. Perpendicular com´ n a dos rectas que se cruzan
u
Sean dos rectas que se cruzan r1 y r2 . La direcci´n de la perpendicular com´n ser´ la del producto vectorial
o u a
de los vectores directores de r1 y r2 . Una vez conocido este vector se puede obtener la perpendicular com´n
u
a ambas rectas por el siguiente procedimiento:
1. Calcular el plano π1 que contiene a r1 y a la perpendicular com´n. Este plano st´ determinado por
u a
un punto cualquiera de r1 y por los vectores directores de r1 y de la perpendicular com´n.
u
2. De la misma manera se calcula la ecuaci´n del plano π2 que contiene a r2 y a la perpendicular
o
com´n.
u
3. La recta buscada es la intersecci´n de los planos π1 y π2 (ver figura 4).
o
Ejercicio 13 Calcular la ecuaci´n de la perpendicular com´n a las rectas:
o u
x−2 y z+1 x+3 y+1 z−1
r1 : = = ; r2 : = =
1 −1 3 2 1 1
El vector director de la perpendicular com´n es el producto vectorial de los vectores directores de las dos
u
rectas, u1 (1, −1, 3) y u2 (2, 1, 1):
u1 × u2 = (−4, 5, 3)
El plano que contiene a r1 y a la perpendicular com´n es:
u
x−2 y z+1
1 −1 3 =0 =⇒ −18x − 15y + z + 37 = 0
−4 5 3

18. 9 DOS PROBLEMAS 18
Figura 4: Perpendicular com´n a dos rectas
u
El plano que contiene a r2 y a la perpendicular com´n es:
u
x+3 y+1 z−1
2 1 1 =0 =⇒ −x − 5y + 7z − 15 = 0
−4 5 3
de forma que la ecuaci´n de la perpendicular com´n como intersecci´n de planos es:
o u o
{
−18x − 15y + z + 37 = 0
−x − 5y + 7z − 15 = 0
Ejercicio 14 Calcular la ecuaci´n de la perpendicular com´n a las rectas:
o u
x−1 y z−1 x−2 y−1 z−3
r1 : = = : r2 : = =
1 2 1 2 1 1
Resolveremos este problema por un procedimiento diferente. El vector director director de la perpendicular
com´n es:
u
u1 × u2 = (1, 1, −3)
Sean A1 y A2 los puntos de corte de la perpendicular com´n con las rectas r1 y r2 . Puesto que estos
u
puntos est´n sobre estas rectas, sus coordenadas son:
a
A1 (1 + λ, 2λ, 1 + λ); A2 (2 + 2µ, 1 + µ, 3 + µ)
−−
−→
y el vector A1 A2 es:
−−
−→
A1 A2 = (2µ − λ + 1, µ − 2λ + 1, µ − λ + 2)
Este vector tiene la direcci´n de la perpendicular com´ n, poe ello sus coordenadas y las del producto
o u
vectorial u1 × u2 que tiene la misma direcci´n deben ser proporcionales:
o
2µ − λ + 1 µ − 2λ + 1 µ−λ+2
= =
1 1 −3

19. 9 DOS PROBLEMAS 19
Resolviendo este sistema resulta:
5 −5
λ= ; µ=
11 11
Sustituyendo estos valores de λ y µ se obtiene que los puntos de corte de las rectas con la perpendicular
com´n son A1 ( 11 , 10 , 11 ) y A2 ( 12 , 11 , 11 ). La ecuaci´n de la perpendicular com´n es:
u 16
11
16
11
6 28
o u
x − 16
11 y − 10
11 z − 16
11
= =
1 1 −3
Este procedimiento permite calcular no solamente la ecuaci´n sino a la vez los puntos de corte de las dos
o
rectas con la perpendicular com´n. Adem´s podr´ obtenerse f´cilmente la distancia entre las dos rectas
u a ıa a
como la distancia entre A1 y A2 .