Bab 6 membahas fungsi komposisi dan fungsi invers, termasuk definisi, sifat-sifat, dan contoh-contoh penggunaannya. Fungsi komposisi merupakan komposisi dari dua fungsi atau lebih, sedangkan fungsi invers adalah fungsi terbalik dari suatu fungsi.
1. Bab 6
Fungsi Komposisi dan
Fungsi Invers
November 26, 2014
2. Operasi
Fungsi
Komposisi Fungsi Invers Fungsi
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Pembagian
Sifat-Sifat
Fungsi
Komposisi
Sifat-Sifat
Invers Fungsi
Komposisi
Fungsi Invers
Fungsi Komposisi dan
Fungsi Invers
mempelajari
membahas membahas membahas
November 26, 2014
3. 1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya.
2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range?
3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan
a. domain dan range fungsi itu;
b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2).
November 26, 2014
4. 1. Pengertian Fungsi
Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan
B dalam hal ini setiap x Î A dipasangkan dengan tepat satu y Î B.
Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, dan f
menyatakan fungsi dari A ke B, dengan aturan seperti diagram berikut.
November 26, 2014
Daerah asal (domain) dari f adalah A = {a, b, c, d}.
Daerah kawan (kodomain) dari f adalah B = {1, 2, 3, 4}.
Daerah hasil (range) dari f adalah {2, 3}.
5. 2. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Surjektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif jika dan hanya
jika Rf = B.
Gambar di bawah ini merupakan fungsi surjektif karena
setiap kodomain mempunyai pasangan atau Rf = B.
November 26, 2014
6. b. Fungsi Injektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika a1, a2 Î A dan
a1 ≠ a2 maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).
Gambar di bawah ini menunjukkan fungsi injektif karena
setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta
yang berbeda pula.
November 26, 2014
7. c. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika
fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif.
Gambar di atas merupakan fungsi surjektif karena range
fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B.
November 26, 2014
8. Contoh:
Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan
bilangan real) yang didefinisikandengan f(x) = 2x.
Jawab:
Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat
satu pasangan bilangan real, yaitu 2a.
Demikian pula untuk setiap anggota kodomain
mendapat pasangan bilangan real dari domain.
Artinya, setiap bilangan real 2a, pasti akan ditemukan
bilangan real a (dalam domain).
Jadi, fungsi tersebut bersifat injektif dan surjektif (atau
bijektif).
November 26, 2014
9. Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x).
Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, Df ∩ Dg ≠ f
maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi
tersebut sebagai berikut.
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4.
( ) ( )
æ ö
x f x
g x
( ) ( ) 0 , ¹ = ÷ ÷ø
ç çè
g x
f
g
November 26, 2014
11. 1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan diberikan fungsi f: R → R dan g: R → R.
Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g
dirumuskan dengan g(x) = x2.
Untuk x = 1 → f(1) = 1 + 1
x = 2 → f(2) = 2 + 1
x = t → f(t) = t + 1
Jika x diganti g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + 1.
November 26, 2014
12. Fungsi f(g(x)) di tulis (f o g)(x). Fungsi f o g dibaca
“f bundaran g”.
Misalkan fungsi f : A → B, dengan f(a) = b dan
fungsi g : B → C dengan g(b) = c.
Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca: g
bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan
dengan aturan berikut.
November 26, 2014
(g o f)(a) = g(f(a))
13. Contoh:
Diketahui f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)};
g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)}.
Tunjukkan hubungan f o g dan g o f dalam diagram. Tentukan
f o g dan nilai (g o f )(10).
Jawab:
f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)}
Dengan memperhatikan diagram, diperoleh (g o f)(10) = 12.
November 26, 2014
14. 2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan
pasangan berurutan berikut.
f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)}
g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)}
Mari kita selidiki komposisi fungsi f o g dan g o f.
(a) (b)
November 26, 2014
15. · Komposisi fungsi f o g berarti pemetaan pertama fungsi g
dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f.
Berdasarkan diagram (a) di atas, dapat kita peroleh
pasangan berurutan (f o g ) = {(p, q), (s, r), (u, p)}.
· Komposisi fungsi (g o f) berarti pemetaan pertama fungsi
f dilanjutkan pemetaan kedua fungsi g.
Berdasarkan diagram (b) di atas, dapat kita peroleh
pasangan berurutan g o f = {(0, 1), (3, 2)}.
· Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi
komposisi fungsi (f o g) adalah apabila range fungsi g
merupakan himpunan dari domain f atau RÍ D.
g f
November 26, 2014
16. 3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi
Misalkan diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut.
f(x) = 5x – 4
g(x) = 2x + 8
h(x) = x2
Fungsi komposisi f o g dan g o f adalah sebagai berikut.
a. (f o g)(x) = f(g(x))
= f(2x + 8)
= 5(2x + 8) – 4
= 10x + 36
b. (g o f)(x) = g(f(x))
= g(5x – 4)
= 2(5x – 4) + 8
= 10x November 26, 2014
17. Dari hasil di atas tampak bahwa f o g ≠ g o f sehingga
fungsi komposisi tidak bersifat komutatif, tetapi fungsi
komposisi berlaku sifat asosiatif.
Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan
real dengan f(x) = 2x2 + 1 dan I(x) = x.
Perhatikan:
(f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x2 + 1;
(I o f)(x) = I(f(x)) = I(2x2 + 1) = 2x2 + 1 = f(x).
Terlihat bahwa (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x).
Jadi, I(x) = x merupakan fungsi identitas dalam fungsi
komposisi.
November 26, 2014
18. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi:
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x).
b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu
((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x).
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x).
November 26, 2014
19. 4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi
Komposisinya
Contoh:
Diketahui fungsi (f o g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2.
Tentukan fungsi g.
Jawab:
Karena (f o g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5
3(g(x)) + 2 = –15x + 5
g(x) =
-15x + 5
g(x) = –5x + 1
Jadi, g(x) = –5x + 1.
3
November 26, 2014
20. 1. Pengertian Invers Suatu Fungsi
Definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut.
Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan
f = {(x, y) | x Є A, y Є B}
maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B → A, dengan
f-1 = {(y, x) | y Є B, x Є A}
Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A
jika dan hanya jika f bijektif atau A dan B korespondensi
satu-satu.
November 26, 2014
21. Contoh:
Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 3, 5}, dan B =
{2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan
f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan
selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah
fungsi.
Jawab:
f-1 : B → A , yaitu f-1 = {(2, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena
ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4.
November 26, 2014
22. 2. Menentukan Invers Suatu Fungsi
Misal f-1 adalah invers f maka x = f-1(y).
Rumus x = f-1(y) dapat diperoleh dengan langkah berikut.
a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y).
Karena x = f-1(y) maka diperoleh bentuk
f-1(y) = g(y).
b. Setelah memperoleh bentuk f-1(y) = g(y), gantilah variabel y
dengan variabel x sehingga akan diperoleh f-1(x) yang
sudah dalam variabel x.
November 26, 2014
23. Contoh:
Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2.
Jawab:
y = f(x)
y = 5x + 2
5x = y – 2
x
= y - 2
f -1(y)
5
= y - 2
5
November 26, 2014
24. 3. Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya
Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan
komposisi fungsi perhatikan uraian berikut.
Misal f(x) = x + 5.
Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu
y = f(x) Û y = x + 5
Û x = y – 5
Û f-1(y) = y – 5
Jadi, f-1(x) = x – 5.
November 26, 2014
25. Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f-1 berikut.
1) (f o f-1)(x) = f(f-1(x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x
2) (f-1 o f)(x) = f-1(f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x
Dengan demikian, diperoleh (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x.
Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi
dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan
fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.
(f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x = I(x)
November 26, 2014
26. Contoh:
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6.
a. Carilah f-1(x).
b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x)
mempunyai fungsi invers.
Jawab:
a. f(x) = 2x + 6
Misalkan y = f(x). Dengan demikian,
y = 2x + 6
2x = y – 6
x = y −3
f -1(y) = y − 3
2 1
2
1
November 26, 2014
27. b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau
ditulis Df = {x | x Î R}.
Domain dari f-1(x) merupakan kodomain fungsi f maka
kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah semua
bilangan anggota himpunan bilangan real.
Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak seperti
gambar berikut.
November 26, 2014
28. Grafik f-1(x) diperoleh dari hasil
pencerminan grafik f(x)
terhadap sumbu y = x.
November 26, 2014
29. Invers dari fungsi komposisi f o g adalah
(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1)(x)
Demikian sebaliknya, invers fungsi komposisi g o f adalah
(g o f )-1 (x) = (f -1 o g-1)(x)
November 26, 2014
