Física moderna física 2 bachillerato http://www.fisicayquimica.com.es

1. [1]
FÍSICA 2º BACHILLERATO
BLOQUE TEMÁTICO: OPTICA. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
LA LUZ. ELEMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA
1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX).
2.- Ondas electromagnéticas.
3.- Espectro electromagnético.
4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas
5.- Hipótesis de Planck.
6.- Efecto fotoeléctrico.
7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos.
8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda.
9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.
“Los físicos emplean la teoría ondulatoria los lunes, miércoles y viernes,
y la corpuscular, los martes, jueves y sábados”
Sir. William Henry Bragg (1862-1942)
1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX)
Ch. Huygens, en 1690 propuso en su obra Tratado de la luz:
La luz consiste en la propagación de una perturbación ondulatoria del medio
Para Huygens se trataba de ondas longitudinales similares a las ondas sonoras.
Mediante esta hipótesis se explica fácilmente fenómenos como la reflexión, la refracción de
la luz y la doble refracción (que se verá más adelante). Las dificultades de la teoría
ondulatoria residían en que no se habían observado por entonces en la luz otros fenómenos
típicamente ondulatorios como la difracción. Hoy día sí se han observado dichos fenómenos
de difracción cuya dificultad de observación reside en la pequeña longitud de onda de las
ondas luminosas.
En su obra Óptica, publicada en 1704, Newton propuso que:
La luz tiene naturaleza corpuscular: los focos luminosos emiten partículas
que se propagan en línea recta en todas las direcciones y, al chocar con
nuestros ojos, producen la sensación luminosa
Los corpúsculos son distintos según el color de la luz. Son capaces de atravesar los
medios trasparentes y son reflejados por los cuerpos opacos. Mediante esta hipótesis se
explica fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la reflexión, pero encuentra
dificultades en otros fenómenos como la refracción y, sobre todo, en explicar porqué una
misma superficie de separación de dos medios es capaz tanto de reflejar como de refractar.

2. [2]
A principios de siglo XIX las experiencias de T. Young sobre interferencias luminosas,
el descubrimiento de la polarización de la luz o las experiencias de A. J. Fresnel sobre la
difracción, revalorizaron la hipótesis ondulatoria ya que todos estos fenómenos son típicos
de ondas. No obstante las ondas luminosas pasaron a ser transversales para poder explicar
la polarización.
En 1864 J. C. Maxwell estableció la teoría electromagnética de la luz, adelantándose a
la comprobación experimental de la existencia de las ondas electromagnéticas efectuada en
1887 por el físico alemán H. Hertz. Maxwel propuso que:
La luz no es una onda mecánica sino una forma de onda electromagnética de
alta frecuencia. Las ondas luminosas consisten en la propagación, sin
necesidad de soporte material alguno, de un campo eléctrico y de un campo
magnético. Dichos campos son perpendiculares entre sí y a la dirección de
propagación
La teoría electromagnética fue comúnmente aceptada a finales de siglo XIX.
2.- Ondas electromagnéticas.
J. C. Maxwell desarrolló su teoría del campo electromagnético entre 1861 y 1864, y
predijo la existencia y características de las ondas electromagnéticas.
Tal como se ha dicho en el apartado anterior la luz es una onda electromagnética.
Podemos decir que son dos ondas en una, transversales las dos respecto de la dirección de
propagación. Una de las dos ondas consiste en la propagación de un campo eléctrico
variable que genera, por tanto, un campo magnético también variable que se propaga
perpendicularmente al campo eléctrico. A su vez, un campo magnético variable genera un
campo eléctrico variable perpendicular.
Se puede decir que una onda electromagnética es auto-sostenida, que no precisa de
un medio material de propagación y, por tanto, se puede propagar por el vacío.
Los dos campos son funciones periódicas (función de onda) tanto de la coordenada en
la dirección de propagación como del tiempo. Concretamente, se puede considerar que

3. [3]
varían sinusoidalmente con el tiempo y la posición, por lo que les son aplicables las
ecuaciones dadas para las ondas armónicas:
k x)-tsen(E
x
-
T
t
2senEt)E(x, oo 

 












k x)-tsen(B
x
-
T
t
2senBt)B(x, oo 

 












Donde
E
Módulo del campo eléctrico (N/C) en el instante t y a una distancia x del foco
emisor. La variación de E se puede dar, por ejemplo, en el eje Y.
Eo Campo eléctrico máximo o amplitud máxima del campo eléctrico (N/C).
B
Módulo del campo magnético (T) en el instante t y a una distancia x del foco
emisor. La variación de B se puede da en el eje Z si la de E se da en el eje Y.
Bo Campo magnético máximo o amplitud máxima del campo magnético (T),
T Periodo (s) de variación del campo eléctrico y del campo magnético.
λ Longitud de onda (m).
ω = 2π/T Pulsación (rad/s), también frecuencia angular.
k = 2π/λ Número de onda (m-1)
ω t – k x Fase de la onda (rad). En este caso se desplaza en el sentido positivo del eje x.
f = 1/T Frecuencia de la onda (Hz)
φ Fase inicial, en radianes.
Además, las ondas electromagnéticas también cumplen las relaciones entre
velocidad, longitud de onda y frecuencia. La velocidad de una onda electromagnética se
suele representar con la letra “c” si se refiere al vacío (o al aire donde prácticamente tiene
el mismo valor).
λ = c·T λ·f = c
La velocidad de las ondas electromagnéticas depende del medio de propagación. Su
valor en el vacío es una constante que vale c = 3 x 108 m · s-1.
Por último, los módulos de los vectores campo eléctrico y campo magnético, en una
posición y en un tiempo determinado cumplen
B
E
c 
Problema 1
Una onda electromagnética armónica de 20 MHz se propaga en el vacío, en el sentido positivo del eje
OX. El campo eléctrico de dicha onda tiene la dirección del eje OY y su amplitud es de 3 · 10
- 3
N C
- 1
a) Escriba la expresión del campo eléctrico E(x, t), sabiendo que en x = 0 su módulo es máximo
cuando t = 0.
b) Represente en una gráfica los campos E(t) y B(t) y la dirección de propagación de la onda.
Dato: c = 3· 10
8
m s
– 1

4. [4]
a) Empezaremos por determinar las características de la onda electromagnética a partir de los
datos del problema.
La frecuencia es de 20·106 Hz, por tanto, el periodo y la pulsación son:
f 2 d
La velocidad de la onda y la frecuencia permiten conocer la longitud de onda y, entonces, el número
de onda:
= =
2
=
La expresión del campo eléctrico será:
2 2
Para conocer la fase inicial se nos dice que en el instante inicial el módulo del campo eléctrico es
máximo. Por tanto,
de donde φ = π/2 rad. En definitiva:
2 2
b) La expresión del campo magnético en esta onda es
2 2
donde
=
Por tanto,
2 2
La figura adjunta representa simultáneamente las
variaciones de los campos eléctrico y magnético de
esta onda electromagnética en función del tiempo. La
dirección de propagación es el eje x en sentido
positivo. Si se elije como dirección de vibración del
campo eléctrico, por ejemplo, el eje y, entonces la
dirección de vibración del campo magnético será
perpendicular a dicho eje, es decir, el eje z.

5. [5]
Problema 2
Obtén la frecuencia y la longitud de onda de la onda electromagnética definida por la expresión de su
campo eléctrico E(x,t) = 10
-3
cos(5 · 10
10
t – 200 x) (S.I.). ¿Se transmite en el vacío?
De la ecuación de la onda podemos conocer las características de la onda:
= /
= / =
2
=
= 2 =
2
=
Toda onda electromagnética que se propaga en el vacío lo hace a una velocidad de 3·108 m/s. La
velocidad de esta onda es:
Por tanto, la onda no se está transmitiendo por el vacío.
3.- Espectro electromagnético.
Hoy día se conocen muchas clases de ondas electromagnéticas. La luz visible no es
más que un tipo de estas ondas. Las longitudes de onda mayores en las ondas
electromagnéticas pueden llegar a ser de kilómetros y las menores longitudes de onda de
10-14 m.
La secuencia ordenada según su longitud de onda o su frecuencia de las ondas
electromagnéticas conocidas recibe el nombre de espectro electromagnético:

6. [6]
4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas.
Las propiedades de las ondas electromagnéticas, como ondas que son, ya fueron
analizadas en el estudio del movimiento ondulatorio: propagación de una onda,
difracción, reflexión, refracción, polarización, interferencias, etc. En este apartado sólo se
analizarán algunas peculiaridades en la reflexión y refracción de la luz.
4.1.- Índice de refracción.
La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en los medios materiales. En el vacío
la velocidad de las radiaciones luminosas (de las ondas electromagnéticas) es constante y
se simboliza por la letra “c”; su valor es de 300 millones de metros por segundo. El índice
de refracción absoluto de un medio es la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la
velocidad de la luz en dicho medio:
v
c
n 
Como c es siempre mayor que v, entonces el índice de refracción absoluto será
siempre mayor que la unidad. El índice de refracción relativo de un medio 2 respecto de
otro medio 1 (n21) será:
2
1
21
2
1
1
2
1
2
21 ;
v
v
n
v
v
v
c
v
c
n
n
n 
Dado que la frecuencia de la onda no cambia al cambiar de medio, pues dicha
frecuencia depende de la frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, entonces:



 oo
f
f
v
c
n 
Como n > la longitud de onda de una radiación en el medio (λ) es menor que su longitud
de onda en el vacío (λo).
4.2.- Refracción y reflexión. Ley de Snell
Como sabemos la ley de Snell viene dada por la expresión
donde v1 es la velocidad de la luz en el medio 1, î es el
ángulo de incidencia, v2 es la velocidad de la luz en el
medio 2 y r es el ángulo refractado. Si multiplicamos los
dos miembros por la velocidad de la luz en el vacío
obtendremos:

7. [7]
Consideraciones:
1) Si , es decir, , se está produciendo un paso a un medio menos denso a
otro más denso (por ejemplo de aire a agua). Además, la velocidad de la luz en el medio 1
será mayor que en el medio 2, es decir n2 > n1.
2) Si , es decir, , se está produciendo un paso a un medio más denso a
otro menos denso (por ejemplo de agua a aire). La velocidad de la luz en el medio 1 es
mayor que en el medio 2, es decir, esta circunstancia no ha cambiado respecto del caso
anterior.
3) La reflexión de la luz puede considerarse como un caso particular de refracción en el
que n1 = n2.
4) En la refracción desde un medio más denso a otro menos denso (agua-aire) se pueden
dar varias situaciones según sea el ángulo de incidencia, como se muestra en la siguiente
figura:
Podemos observar que cuando el ángulo de incidencia es inferior o igual a un ángulo,
llamado ángulo límite (θc en la figura) parte del rayo es reflejado y parte es refractado.
Cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo límite, rayo refractado forma un ángulo
de 90 grados con la normal. En este caso podemos escribir
como en el paso del agua al aire n2 < n1, el cociente es menor de 1 y esta situación es
posible. La situación contraria (el paso del aire al agua) no se puede dar pues n2 > n1, el
cociente anterior no puede ser mayor de 1 (hay que recordar que los subíndices indican 1
el medio del rayo incidente y 2 el medio del rayo refractado).

8. [8]
5) Los ángulos de incidencia superiores al ángulo límite producirán sólo reflexión
(reflexión total), es decir, no sería posible ver el objeto sumergido.
6) Interesante es analizar la doble refracción que ocurre cuando la luz atraviesa una
lámina de caras planas y paralelas (cuando atraviesa el cristal de una ventana, por
ejemplo). La doble refracción viene representada en la siguiente figura:
En la primera refracción
Entonces
En la segunda refracción
Como = podemos poner en la segunda refracción que
Si sustituimos el valor del obtenido de la primera refracción nos queda,
Es decir, el ángulo de incidencia inicial permanece pero se ha desplazado el rayo una
distancia d que, si el espesor del vidrio (L) es conocido, se puede determinar.

9. [9]
4.3.- Dispersión
Según se ha comentado, el índice de refracción de una sustancia es función de la
longitud de onda incidente. Cada longitud de onda tiene un índice de refracción de manera
que si la longitud de onda disminuye el índice de refracción aumenta. En efecto,



 oo
f
f
v
c
n 
si disminuye, como no cambia, n debe de aumentar. Como consecuencia de esto,
cuando un haz de luz blanca (rayos de luz de distintas longitudes de onda) incide sobre un
material refractante cada radiación de la luz blanca (cada longitud de onda) se desviará un
ángulo diferente. Este fenómeno recibe el nombre de dispersión de la luz.
La dispersión de la luz se pone de
manifiesto cuando la luz blanca incide sobre un
prisma óptico (sistema formado por dos
superficies planas refractantes, las caras del
prisma, que forman un ángulo diedro1 llamado
ángulo refringente del prisma). Las distintas
radiaciones que componen la luz blanca se
refractan (dos veces, una en cada cara del
prisma) con ángulos diferentes pues sus índices
de refracción son diferentes y emergen
separadas. Al salir del prisma forman una
sucesión continua de colores denominada
espectro de la luz blanca. Esta experiencia fue
realizada por Newton en 1666.
Si observamos la figura veremos que la luz roja es la que menos se desvía, seguida
del naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Por tanto, a menor longitud de onda,
mayor desviación. Por tanto el prisma da lugar a un ángulo de desviación característico δ
para cada radiación simple o radiación monocromática, es decir, de una sola longitud de
onda.
1 Un ángulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de
una arista común.

10. [10]
¿Por qué el cielo es azul?
Las manifestaciones de color del cielo se deben fundamentalmente a la interacción de la
luz del sol con la atmósfera. La luz del sol es blanca y la atmósfera contiene una cierta
cantidad de humedad, normalmente pequeña, así como partículas de polvo y ceniza.
Cuando un rayo de luz atraviesa un material, su dirección de propagación se desvía un
cierto ángulo, que depende del tipo de material atravesado. Así, al atravesar un material,
cada color contenido en un haz de luz blanca se desviará un ángulo diferente, dando lugar
a la conocida separación de la luz en varios colores detrás de un prisma.
Como hemos visto, la desviación de los colores de la luz es máxima para los azules
(con longitud de onda menor), es decir, son los colores que más cambian su dirección con
respecto al rayo blanco inicial, y es mínima para los amarillos y los rojos (con longitud de
onda mayor), que casi no son desviados. Los rayos azules, una vez desviados, vuelven a
chocar con otras partículas del aire, variando de nuevo su trayectoria. Realizan por tanto
un recorrido en zigzag a través de la atmósfera, hasta llegar a nosotros. Es por eso que
cuando llegan a nuestros ojos parece que llegan de todos los lugares del cielo. Los rayos
amarillos no aparecen casi desviados y ésta es la razón de que el sol nos parezca amarillo.
Cuando el sol está muy bajo en el cielo sus rayos pasan a través de un gran espesor
de aire y los rayos de luz interactuarán más veces con las partículas de la atmósfera. Los
azules y los violetas son esparcidos hacia los lados con mayor fuerza que lo son los
amarillos y los rojos, que continúan propagándose en la línea de visión del sol, formando
esas magníficas puestas de sol en la Tierra.
Problema 3.
Un foco luminoso puntual está situado bajo la superficie de un estanque de agua.
a) Un rayo de luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 30 grados. Dibuje en un esquema
los rayos incidente y refractado y calcule el ángulo de refracción.
b) Determine el valor del ángulo límite en este caso.
naire = 1; nagua = 1,33
a) Ley de Snell para la refracción:
sen = 2 sen
donde:
= =
=
2 = =
por tanto,
sen = sen
sen = = arcosen =

11. [11]
b) El ángulo límite es el ángulo de incidencia tal que el ángulo refractado sea de 90 grados.
Aplicando estas condiciones a la ley de Snell,
sen = 2 sen
donde es el ángulo límite,
sen =
2
sen
arcosen
Problema 4.
El láser de un reproductor de CD genera luz con una longitud de onda de 780 nm medida en el aire.
a) Explique qué características de la luz cambian al penetrar en el plástico del CD y calcule la velocidad
de la luz en él.
b) Si la luz láser incide en el plástico con un ángulo de 30 grados, determine el ángulo de refracción.
c= 3·10
8
m·s
-1
; naire = 1; nplástico = 1,55
a) Las características de la luz que cambian al penetrar desde el aire en el plástico son la dirección
del rayo y la velocidad de la luz. Si el índice de refracción es
=
al cambiar el índice de refracción, cambia la velocidad. Por otra parte, la velocidad de una onda es
=
por tanto, según la expresión, puede cambiar la longitud de onda y/o la frecuencia. Sin embargo, la
frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro ya que esta depende de la frecuencia de
vibración del foco emisor. Por tanto, si la velocidad cambia porque la luz ha pasado de un medio a
otro con índice de refracción diferente, también cambia la longitud de onda de dicha onda luminosa.
Para conocer la velocidad de la luz en el plástico,
b) Para conocer el ángulo de refracción utilizaremos la ley de Snell,
sen = 2 sen
donde:
= =
=
2 = =
por tanto,
n = sen
sen = = arcosen =
como vemos, el rayo refractado disminuye su ángulo respecto a la normal, como corresponde a un
rayo de luz que pasa de un medio menos denso a otro más denso.

12. [12]
Problema 5.
Una lámina de vidrio, de índice de refracción 1,5, de caras
paralelas y espesor 10 cm, está colocada en el aire. Sobre una de
sus caras incide un rayo de luz, como se muestra en la figura.
Calcule:
a) la altura y la distancia marcadas en la figura.
b) El tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina.
a) Empezaremos por calcular la altura h. El rayo de luz que se refleja forma un ángulo de 60 grados
con la normal.
Según se observa en la figura, el ángulo a es
= =
entonces,
Para calcular la distancia d debemos conocer el ángulo de refracción, que calcularemos de la
aplicación de la ley de Snell:
sen = 2 sen
donde:
= =
=
2 = =
por tanto,
n = sen
sen = = arcosen =
Conocido este ángulo podemos resolver el triángulo,
b) Calcularemos en primer lugar la velocidad de la luz en el vidrio. A partir del dato de índice de
refracción,
En la figura adjunta, como conocemos d, podemos saber la
distancia que recorre el rayo dentro del vidrio, la hipotenusa
del triángulo es
La velocidad de una onda en un medio es constante, el tiempo
que tarda en atravesar la lámina es,
=

13. [13]
Problema 6.
Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y
paralelas, con un ángulo de incidencia de 30 grados. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5
cm y su índice de refracción 1,5.
a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina
con la normal.
b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.
a) La situación viene representada en la figura, teniendo en cuenta que según los datos,
L = 5 cm
î1 = 30º
n1 = 1
n2 = 1,5
Tal como se ha visto en la teoría (pág. 8)
= 2
por tanto, el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal es 30º.
b) Para conocer la distancia que recorre el rayo dentro de la lámina, es necesario conocer el ángulo
refractado en la primera refracción. Aplicando la ley de Snell a dicha refracción,
sen = 2 sen
donde:
= =
=
2 = =
por tanto,
sen = sen
sen = = arcosen =
Conocido este ángulo podemos resolver el triángulo,
tan = = tan =
En la figura adjunta, como conocemos d, podemos saber la
distancia que recorre el rayo dentro del vidrio (e), la
hipotenusa del triángulo es

14. [14]
5.- Hipótesis de Planck
A finales de siglo XIX la teoría electromagnética de la luz parecía que podía explicar
satisfactoriamente los diferentes fenómenos conocidos en los que participaba ésta. Sin
embargo, a finales de ese siglo se descubrieron otros fenómenos físicos experimentales
que ponían en duda las leyes clásicas aplicadas a la interacción entre la radiación
electromagnética (en general, incluida la parte visible del espectro) y la materia. Tres de
estos fenómenos fueron claves para el desarrollo de la denominada revolución cuántica: la
radiación térmica del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos. En
estos apuntes se describirán los dos últimos fenómenos pero previamente es necesario
conocer la hipótesis de Planck.
El 16 de octubre de 1900, Max Planck (1858-1947) anunció que había encontrado la
función matemática que se ajustaba a las curvas de emisión de un cuerpo negro. Para
llegar a este resultado tuvo que dejar de lado una idea básica del electromagnetismo
clásico:
“U p í ul l l i i ió o i u ”
En contraposición, emitió su hipótesis:
“L gí i i po u u po o p o u o o i u i o i o i u
o po u o gí u i i ”
La energía de un cuanto de radiación (comúnmente cuanto de luz) viene dada por la
expresión:
E = hf
Donde f es la frecuencia (en Hz, es decir, s-1) de la radiación y h es la llamada
constante de Planck (en Julios·segundo para que E venga en unidades del S.I.). El valor2 de
h ’ x -34 J·s, se trata de una constante universal (por lo menos del universo que
conocemos).
Planck supuso que cada uno de los átomos del cuerpo emisor de radiación se
comporta como un oscilador que vibra con una frecuencia f determinada que es la que
emite. En definitiva, la energía no se emite (o se absorbe como veremos al analizar los
espectros atómicos) de forma continua sino en forma de cuantos de energía.
La ecuación de Planck nos permite observar ahora que a mayor frecuencia de la
radiación, más energética es ésta (ver el espectro electromagnético). Permite relacionar
energía y frecuencia.
2 En ocasiones la podremos ver en ergios x segundo. Si 1 ergio = 10-7 Julios h = ’ 2 -27 erg · s.

15. [15]
Problema 7
Un átomo de masa 1’99 · 10
-26
kg oscila linealmente con una frecuencia propia de 4’84 · 10
14
Hz.
a) ¿Cuánto es el valor de un cuanto de energía del oscilador, en Julios y en electrón-voltios?
b) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?
a) La energía de un cuanto del oscilador viene dada por la ecuación de Planck:
E = h·f
Sustituyendo valores:
’ ’ ’
Para pasar a electrón-voltios (eV), debemos saber que 1 eV es la energía que posee un electrón
sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Si la carga del electrón es 1,6·10-19 C, entonces,
En definitiva,
’
b) La energía calculada en el apartado anterior es para un cuanto. Para 20 cuantos la energía sería:
’ -19 ’ -18 J
En cuanto a la frecuencia angular del oscilador,
’ ’
La energía máxima de un oscilador linear (movimiento armónico simple) viene dada por la
expresión:
donde m es la masa de la partícula que vibra (el átomo) y A es la amplitud máxima de vibración. Si
sustituimos y despejamos A obtendremos
A ’ -12 ’ p .
6.- Efecto fotoeléctrico
Este efecto fue observado en 1887 por Hertz:
La descarga entre dos electrodos aumenta si éstos se iluminan con luz ultravioleta
Vamos a hacer un estudio cualitativo de este efecto según las observaciones de 1888
debidas a Hallwachs quien completó la observación de este efecto un año después.
Supongamos un electroscopio con sus láminas de oro juntas tal como el de la figura A.
Cuando se ilumina la plaza metálica con luz ultravioleta (procedente de un arco eléctrico,

16. [16]
por ejemplo) se observa que las láminas de oro se repelen consecuencia de que se cargan
eléctricamente (figura B).
Otras observaciones en este experimento:
1.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las láminas se
separan, pero se produce una pérdida rápida de la carga (y de la separación) si, a
continuación, se ilumina la placa con luz ultravioleta.
2.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las láminas se
separan, pero no se produce una pérdida rápida de carga si se interpone una lámina de
vidrio entre la luz ultravioleta y la placa de zinc.
3.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado positivamente las láminas se
separan. Al iluminar posteriormente con luz ultravioleta, no se observa una descarga
rápida del electroscopio aunque se aumente la intensidad de la luz ultravioleta.
4.- En la experiencia representada en la figura anterior las láminas se separan al
cargarse positivamente éstas por la iluminación de la placa de zinc con luz ultravioleta.
5.- La luz visible (menos energética que la ultravioleta) no produce estos efectos en
cualquier caso.
Un modelo que explica estas observaciones es el siguiente:
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por las superficies
metálicas cuando se iluminan con luz (radiación electromagnética) de frecuencia
adecuada. Con frecuencias altas (ultravioleta) el efecto sí se produce; con frecuencias bajas
(luz visible) el efecto a veces no se produce. Si el efecto fotoeléctrico no se produce con
una luz de frecuencia determinada, tampoco se produce al aumentar la intensidad del haz
luminoso de esa frecuencia.
También se observa que cada metal necesita de una frecuencia mínima
característica para producir el efecto. Las frecuencias menores (radiación menos

17. [17]
energética) corresponden a los metales alcalinos que presentan este efecto incluso con luz
visible.
6.1.- Dispositivo experimental para el estudio cuantitativo del efecto fotoeléctrico.
El siguiente esquema representa dos placas de metal colocadas en un tubo de cuarzo
estanco en el que se ha hecho un buen vacío. Las dos placas forman parte de un circuito
eléctrico en el que una batería desarrolla una diferencia de potencial variable entre las
placas (medida con el voltímetro V). Las placas son del metal objeto de estudio.
Cuestiones que hay que responder:
1ª) ¿Cuántos electrones (fotoelectrones) son emitidos por el metal?
2ª) ¿Cuál es la energía cinética de los fotoelectrones?
3ª) ¿La energía cinética máxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia de
la radiación incidente?
1ª) Número de fotoelectrones por unidad de superficie de la placa o por unidad de
tiempo. El dispositivo de la figura anterior permite contar los electrones emitidos por la
placa negativa pues al saltar hacia la placa positiva cierran el circuito y el amperímetro los
puede “contar”. Se observa que el número de fotoelectrones es proporcional a la
intensidad de corriente eléctrica. Además, se observa que si la intensidad de la luz
incidente aumenta, aumenta también la intensidad de corriente, es decir, aumenta el
número de fotoelectrones arrancados del metal.
2ª) Energía cinética de los fotoelectrones. Al ser arrancados los fotoelectrones
son acelerados hacia la placa positiva, por tanto adquieren velocidad y por ende energía
cinética.
El dispositivo experimental anterior no es el adecuado para determinar la energía
cinética de los fotoelectrones ya que al ser éstos arrancados son acelerados hacia la placa
positiva y, por tanto incrementan aún más su velocidad respecto a la que tendrían si no

18. [18]
hubiera una diferencia de potencial entre las placas. El dispositivo anterior se denomina
de potencial acelerador. Para determinar la energía cinética de los fotoelectrones
invertimos la polaridad de la batería, pasándose a un dispositivo de potencial retardador,
como se muestra en la siguiente figura:
Veamos el funcionamiento del dispositivo de potencial retardador. En primer lugar
la luz ultravioleta arranca electrones con una velocidad v. A continuación estos electrones
tienden a ir hacia la placa negativa pero son repelidos por la misma. No obstante algunos
fotoelectrones van tan rápidos que llegan a la placa negativa cerrando el circuito (el
amperímetro registra esta circunstancia). De esta afirmación podemos sacar una
conclusión importante: no tienen la misma velocidad todos los fotoelectrones arrancados,
unos tienen poca velocidad y otros tienen mucha, siendo éstos últimos los que llegan a cerrar
el circuito.
Como el potencial de la batería se puede regular, podemos hacer que la diferencia de
potencial entre las dos placas sea tal que ningún electrón logre llegar a la placa negativa,
será cuando el amperímetro no registre paso alguno de corriente. A este potencial se le
denomina potencial de detención (Vo). En esta situación podemos igualar la energía cinética
de los electrones con velocidad máxima y la energía eléctrica establecida entre las placas,
Se observa una contradicción con la teoría clásica del electromagnetismo: desde un
punto de vista clásico si la intensidad de la luz aumenta entonces la velocidad de los
electrones debería aumentar y, por tanto, su energía cinética ser mayor. Un ejemplo
ilustrativo de esta afirmación podría ser el hecho de que cuando la fuerza de las olas del
mar es mayor, mayor número de piedras se arrastran y a más velocidad. Sin embargo este
fenómeno no se observa, es decir: la energía cinética máxima de los fotoelectrones no es
función de la intensidad de la luz incidente para una determinada frecuencia.

19. [19]
3ª) Dependencia de la energía de los fotoelectrones y la frecuencia de la
radiación incidente. Las experiencias demuestran que la energía cinética máxima de los
fotoelectrones aumenta si aumenta la frecuencia de la radiación. No se establece una
simple proporcionalidad. Cada metal tiene una frecuencia, llamada frecuencia umbral, fo,
por debajo de la cual no se arrancan electrones del metal.
Por ejemplo para el zinc la frecuencia umbral está en ’ 14 Hz, frecuencia que se
encuentra en la zona del ultravioleta. Para el sodio la frecuencia umbral está en 5·1014 Hz,
frecuencia que se encuentra en la zona visible del espectro.
Esta dependencia de la energía cinética con la frecuencia de la radiación incidente
tampoco es explicada satisfactoriamente por la teoría electromagnética clásica.
6.2.- Teoría de Einstein para el efecto fotoeléctrico.
Recapitulando algunas contradicciones entre las observaciones experimentales y las
predicciones de la teoría electromagnética clásica (mencionadas unas anteriormente,
otras no):
- La energía cinética de los fotoelectrones debe crecer con la intensidad de las ondas.
Este fenómeno no se observa.
- A cada electrón le corresponde, por unidad de tiempo, una cantidad de energía tal
que deberá transcurrir un tiempo grande para que se inicie la emisión electrones. Sin
embargo, se observa que el efecto fotoeléctrico es instantáneo.
- No debería existir una frecuencia umbral sino que, aunque fuese poca, el cuerpo va
absorbiendo la energía de la radiación hasta que la acumulación de ésta sea tal que se
produzca el efecto fotoeléctrico. Este hecho tampoco se observa sino que, de hecho, existe
la frecuencia umbral para cada metal.
En 1905 Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico (trabajo por el que recibió el
premio Nobel) tomando las ideas de Planck afirmando que:
La luz se propaga en forma de cuantos de energía, llamados fotones, cuya
energía viene dada por la expresión de Planck, E = h·f
Partiendo de esta idea, la explicación del efecto fotoeléctrico sería (véase la figura de
la página siguiente):
I) En un átomo los electrones se encuentran distribuidos en diferentes niveles definidos.
Hace falta una energía determinada para arrancar un electrón del átomo, se llama en
general potencial de ionización, aunque en el efecto fotoeléctrico se le llama
preferentemente trabajo de extracción (We).

20. [20]
II) En la figura adjunta se han
representado diferentes situaciones en
las que un fotón de energía h·f incide
(y es absorbido) sobre un electrón de
un átomo.
III) Los efectos de estos fotones
dependen del electrón sobre el que
incidan. Algunos electrones adquieren
la energía necesaria sólo para subir a
niveles superiores (caso 5) y otros
adquieren la energía necesaria como
para ser arrancados del átomo (resto
de los casos representados). Los
electrones representados en los casos 2
y 3 son más fáciles de arrancar que los
electrones de los casos 1 y 4, por tanto,
los electrones 2 y 3 salen más veloces
que los electrones 1 y 4.
IV) La energía adquirida por cada
electrón es la que le aporta el fotón incidente, que a su vez depende de la frecuencia de la
radiación incidente, su valor es
E = h f.
Se denomina el trabajo de extracción, We, (también función del trabajo) de un electrón a la
mínima energía que debe tener un fotón para poder arrancar el electrón del metal,
donde fo es la frecuencia umbral, es decir, la frecuencia mínima para que se produzca el
efecto fotoeléctrico.
Si llamamos Ec a la energía cinética de un fotoelectrón, es evidente que
La frecuencia umbral es distinta para cada metal pues en cada sustancia los
diferentes electrones son retenidos al átomo de diferente manera.
Por otra parte, al aumentar la intensidad de la radiación lo que se aumenta es la
cantidad de fotones que absorbe el metal. Como consecuencia de esto aumenta el número
de fotoelectrones arrancados pero no la rapidez de estos ya que aunque aumente el
número de fotones incidentes, no aumenta la energía de éstos que sólo depende de la
frecuencia de la radiación.
En definitiva, si unimos las dos ecuaciones deducidas a lo largo de esta explicación,
tendremos las ecuaciones del efecto fotoeléctrico:

21. [21]
En estas ecuaciones, según hemos ido viendo,
Carga del electrón, en culombios (1,6·10-19C)
Potencial de detención, en voltios. También se puede denominar
simplemente diferencia de potencial entre las placas.
Energía cinética máxima de los fotoelectrones, en julios.
Masa del electrón, en kilogramos (9,11·10-31 kg en reposo).
Velocidad máxima que alcanzan los fotoelectrones, en metros/segundo.
Energía de la radiación que incide sobre el metal, en julios. También se
puede denominar energía del fotón absorbido. =
Constante de Planck,
Frecuencia de la radiación que incide sobre el metal, en hertzios. También
se puede denominar frecuencia del fotón absorbido.
Trabajo de extracción del metal, en julios. También se puede denominar
energía de extracción o función de trabajo del metal.
Frecuencia umbral del metal, en hertzios. También se puede denominar
frecuencia de extracción o frecuencia de corte.
La explicación de A. Einstein del efecto
fotoeléctrico vuelve a considerar la luz de naturaleza
corpuscular: la luz está formada por partículas llamadas
fotones, de masa despreciable y que tienen frecuencia
(¿?). La aplicación más conocida del efecto fotoeléctrico
son las células fotoeléctricas. En la figura adjunta se
muestra un esquema simple de una célula fotoeléctrica.

22. [22]
Problema 8 (Selectividad, junio 2010).
Al iluminar potasio con luz amarilla de sodio de λ=5890·10
-10
m se liberan electrones con una energía
cinética máxima de 0,577·10
-19
J y al iluminarlo con luz ultravioleta de una lámpara de mercurio de
λ=2537·10
-10
m, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,036·10
-19
J.
a) Explique el fenómeno descrito en términos energéticos y determine el valor de la constante de
Planck.
b) Calcule el valor del trabajo de extracción del potasio.
a) Mientras se procede a calcular la constante de Planck se va explicando el fenómeno en términos
energéticos. En primer lugar determinaremos las frecuencias de los fotones de la luz amarilla y luz
ultravioleta:
= =
2
= 2
= = =
Las energías de los fotones de luz amarilla y ultravioleta que inciden sobre el metal (potasio),
vienen dadas por la ecuación de Planck,
=
=
donde h es la constante de Planck que debemos determinar. Como > , los fotones de luz
ultravioleta tienen mayor energía que los fotones de luz amarilla ( > ).
Cada uno de estos fotones puede ser absorbido por alguno de los electrones de los átomos
de potasio. Como consecuencia de ello algunos electrones pueden subir a niveles energéticos
superiores a los que se encuentran si la diferencia de energía entre dichos niveles corresponde
precisamente a las energías de los fotones absorbidos. Pero también ocurre que la energía
absorbida por algunos electrones es suficiente para arrancarlos de sus átomos. Estos electrones
arrancados, llamados fotoelectrones, tienen una energía cinética (correspondiente a la velocidad
que lleven) cuyo valor máximo es la diferencia siguiente:
= =
= =
donde We es el trabajo de extracción del potasio, es decir, mínima energía necesaria para arrancar
un electrón al potasio. Se puede observar que los fotoelectrones arrancados por la luz ultravioleta
tienen mayor energía cinética máxima que los fotoelectrones arrancados por la luz amarilla. Esto es
debido a que, como se ha dicho, a que > .
Sustituyendo las energía de los fotones en las ecuaciones anteriores,
= =
= =
Si restamos las dos ecuaciones eliminamos el trabajo de extracción,
= ( )
La constante de Planck será:
= =
2
= 2

23. [23]
b) Una vez conocida la constante de Planck, el trabajo de extracción se puede determinar sin más
que sustituir su valor en una de las ecuaciones que establecen la energía cinética máxima de los
fotoelectrones, establecidas en el apartado anterior. Por ejemplo,
= =
2 2
de donde
2 2
Problema 9 (Selectividad, septiembre 2009)
Sobre un metal, cuyo trabajo de extracción es 3 eV, se hace incidir radiación de longitud de onda
2·10
-7
m.
a) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos, analizando los cambios energéticos que
tienen lugar.
b) Determine la frecuencia umbral de fotoemisión del metal.
a) Para el análisis de los cambios energéticos que tienen lugar véase el problema anterior o los
apuntes de teoría.
Determinaremos el trabajo de extracción (We) en unidades del S.I. Un electronvoltio (eV) es
la energía que posee un electrón cuando está sometido a una diferencia de potencial de un voltio, en
consecuencia,
Determinaremos ahora la frecuencia de los fotones que inciden sobre el metal:
Estos fotones tienen una energía, cada uno, que viene dada por la ecuación de Planck:
Como vemos, la energía de los fotones es superior al trabajo de extracción del metal. Por
tanto, es posible el efecto fotoeléctrico pues la radiación tiene suficiente energía como para
arrancar electrones del metal. Los fotoelectrones emitidos tendrán una energía cinética máxima
cuyo valor es,
La velocidad máxima de estos fotoelectrones es,
b) La frecuencia umbral se puede determinar a partir del valor del trabajo de extracción del metal,

24. [24]
Problema 10
Al estudiar experimentalmente el efecto fotoeléctrico en un metal se observa quela mínima frecuencia a
la que se produce dicho efecto es de 1,03·10
15
Hz.
a) Calcule el trabajo de extracción del metal y el potencial de frenado de los electrones emitidos si índice
en la superficie del metal una radiación de frecuencia 1,8·10
15
Hz.
b) ¿Se producirá efecto fotoeléctrico si la intensidad de la radiación incidente fuera el doble y su
frecuencia la mitad que en el apartado anterior. Razone la respuesta.
a) La frecuencia mínima a que se produce el efecto fotoeléctrico también recibe el nombre de
frecuencia umbral. Su valor es
El trabajo de extracción (We) del metal es la mínima energía que debe tener un fotón de la radiación
incidente para poder producir efecto fotoeléctrico en dicho metal. Este trabajo está relacionado con
la frecuencia umbral a través de la ecuación de Planck
donde h es la constante de Planck. Por tanto, el trabajo de extracción será:
En cuanto al potencial de frenado, es la diferencia de potencial que debe existir entre los
electrodos para que incluso los fotoelectrones emitidos con velocidad máxima no cierren el circuito.
Por tanto,
donde e es la carga del electrón, Vo es el potencial de frenado y Ecmáx es la energía cinética máxima
de un fotoelectrón emitido. Por otra parte, la energía cinética máxima de un fotoelectrón es la
diferencia entre la energía del fotón que absorbe y el trabajo de extracción de dicho fotoelectrón,
donde f es la frecuencia de la radiación que índice en el metal. Como todos los parámetros son
conocidos, podemos determinar el potencial de frenado,
= = = =
b) El hecho de que la intensidad de la radiación incidente aumente al doble no afecta al hecho de
que se produzca efecto fotoeléctrico. En efecto, si se produjera efecto fotoeléctrico, el aumento de la
intensidad implicaría un aumento en el número de fotones que inciden sobre la superficie del metal
y, por tanto, conllevaría un aumento del número de fotoelectrones emitidos.
El parámetro que sí que afecta a que se produzca o no efecto fotoeléctrico es la frecuencia
de la radiación incidente. En este caso, si la frecuencia disminuye a la mitad,
es un valor que es inferior al de la frecuencia umbral del metal (fo = 1,03·1015 Hz) y, por tanto, los
fotones de la radiación incidente no tendrían la energía necesaria (trabajo de extracción) para
producir efecto fotoeléctrico.

25. [25]
7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos.
Desde el punto de vista de la interacción de la radiación con la materia, un espectro
es una representación gráfica o fotográfica de la distribución de la intensidad de la
radiación electromagnética, emitida o absorbida, por una muestra de una sustancia en
función de la longitud de onda (o de la frecuencia de la radiación).
En el caso de que la muestra de la sustancia esté en forma atómica, el espectro
obtenido se llama atómico. El instrumento que permite estudiar los espectros se denomina
espectroscopio o espectrómetro si simplemente dispersa mediante un prisma las distintas
radiaciones. Si además el instrumento es capaz de registrar el espectro obtenido
(mediante una fotografía, por ejemplo) se denomina espectrógrafo. La estructura básica de
un espectrógrafo difiere si éste es de emisión o de absorción.
7.1.- Estructura básica de un espectrógrafo de emisión.
En el tubo de descarga se encuentra, a
baja presión, el gas del que se desea obtener
el espectro de emisión. Al crear una
diferencia de potencial entre los dos
electrodos se produce la descarga del gas en
forma de luz que posteriormente es
dispersada por el prisma en su espectro
característico.
7.2.- Estructura básica de un espectrógrafo de absorción.

26. [26]
La fuente luminosa genera un haz de luz blanca policromática (todas las longitudes
de onda posibles). Este haz se hace pasar a través de la muestra de la que se quiere
obtener su espectro de absorción. La muestra está encerada en estado gaseoso dentro de
un recipiente adecuado. Al pasar la luz policromática a través de la muestra ésta absorbe
parte de la luz y la no absorbida es posteriormente dispersada por el prisma en su
espectro característico.
7.3.- Tipos de espectros.
Los espectros pueden ser continuos o discontinuos. Los primeros se obtienen
cuando se dispersa la luz de un foco luminoso formado por un sólido incandescente. Estos
espectros comprenden todos los colores (si hablamos del visible) desde el rojo al azul.
Los espectros discontinuos se obtienen de gases o vapores a baja presión (tal como
se ha descrito en los apartados anteriores). Podremos distinguir espectros discontinuos de
emisión y de absorción.
En el espectrógrafo de emisión los elementos encerrados en el tubo de descarga
emiten energía en forma de radiación electromagnética pero únicamente de algunas
frecuencias determinadas. El espectro obtenido es una serie de líneas de colores (si
hablamos del visible) sobre un fondo oscuro.
Espectro de emisión del hidrógeno

27. [27]
En el espectrógrafo de absorción los elementos encerrados a baja presión en la
“botella” absorben algunas frecuencias específicas. Las radiaciones no absorbidas son
dispersadas por el prisma y la forma del espectro obtenido estará formado por todos los
colores (si hablamos del visible) excepto aquellas frecuencias absorbidas que aparecerán
como líneas negras.
Los espectros no sólo aparecen en la región del visible sino también en infrarrojo,
microondas, ultravioleta, etc. El ojo no es sensible a estas zonas y se utilizan placas
fotográficas especiales sensibles a esas frecuencias del espectro.
Los espectros de emisión y de absorción de una misma sustancia son
complementarios, es decir, las líneas de emisión o de absorción aparecen a la misma
longitud de onda.
7.4.- Estudio experimental del espectro del átomo de hidrógeno.
Los espectros discontinuos de un elemento son como la “huella dactilar” de ese
elemento ya que siempre se emiten o absorben las misma longitudes de onda. Por
ejemplo: del estudio detenido del espectro de absorción del Sol se pudieron identificar la
mayor parte de las líneas oscuras como frecuencias de absorción de los diferentes
elementos que en estado gaseoso se encuentran en el Sol; sin embargo una serie de líneas
de absorción no se pudieron identificar en su momento y se pronosticó como un elemento
nuevo que no se había encontrado aún en la Tierra: el helio3.
Los espectros atómicos con muy complejos ya que contienen un número muy
elevado de líneas. En el caso del espectro del hidrógeno está formado por 5 series de líneas
que reciben el nombre de sus descubridores (Lyman, Balmer, Parchen, Brackett y Pfund).
La serie de Balmer es la que corresponde al visible.
3 El helio fue descubierto de forma independiente por el francés Pierre Janssen y el inglés Norman Lockyer, en 1868 al
analizar el espectro de la luz solar durante un eclipse solar ocurrido aquel año, y encontrar una línea de emisión de un
elemento desconocido. Eduard Frankland confirmó los resultados de Janssen y propuso el nombre helium para el nuevo
elemento, en honor al dios griego del sol (Helios).

28. [28]
De una forma experimental se conocía o se podía predecir la posición (λ) de cada
una de las líneas de cada serie a través de la siguiente expresión (fórmula de Rydberg4)






 2
2
2
1
111
nn
R

donde n1 y n2 son dos números enteros y R es la constante de Rydberg cuyo valor es
’ 7 m-1.
La serie de Lyman corresponde a n1 = 1 y n2 = 2 …
La serie de Balmer corresponde a n1 = 2 y n2 = …
La serie de Parchen corresponde a n1 = 3 y n2 = …
La serie de Brackett corresponde a n1 = 4 y n2 = …
La serie de Pfund corresponde a n1 = 5 y n2 = …
7.5.- Modelo atómico de Bohr.
Las ideas clásicas eran incapaces de explicar los espectros atómicos discontinuos. En
1913 Niels Bohr propuso un modelo del átomo de hidrógeno que fue capaz de predecir la
posición de cada una de las líneas del espectro, es decir, fue capaz de deducir la fórmula
experimental anterior.
Para establecer su modelo atómico Bohr aplicó las ideas cuánticas al átomo. El
modelo se basa en:
- El electrón del átomo de hidrógeno gira alrededor del núcleo (protón) en una
órbita circular.
- De todas las órbitas posibles sólo son válidas aquellas en las que el momento
cinético del electrón es múltiplo entero de h/2π es decir:
principal)cuánticonúmero(n.....5,4,3,2,1
2
 n
h
nmvr

r es el radio de la órbita. Cuando n = 1 tenemos la primera órbita o estado
fundamental.
4 Debida al físico sueco Johannes R. Rydberg (1854-1919).

29. [29]
- Cuando un electrón gira en una de estas órbitas no radia energía5, sólo lo hace
cuando cambia de órbita de forma que si
o Sube a una órbita superior absorbe una energía equivalente a la
diferencia entre las energías de dichas órbitas.
Este ejemplo permite explicar los espectros de absorción. Al absorber el
átomo la radiación de frecuencia ν el electrón ha subido desde el nivel 1 al 2
(excitación) ya que la diferencia entre las energías de los dos niveles es hv.
Por tanto, esa frecuencia no aparece en el espectro de absorción, aparecerá
una línea negra en su posición.
o Si baja a una órbita inferior emite una energía equivalente a la diferencia
entre las energías de dichas órbitas (ver figura en página siguiente).
Este ejemplo permite explicar los espectros de emisión. Cuando un electrón
en un estado superior (excitado) baja a una órbita inferior (decaimiento) se
emite un fotón de frecuencia ν y cuya energía es hν correspondiente a la
diferencia entre las energías de las dos órbitas. En el espectro de emisión
aparecerá una línea a esa frecuencia.
El modelo atómico de Bohr permitió deducir la expresión experimental de Rydberg
significando un éxito para el mismo. Además permitió explicar el porqué de cada una de
las series de líneas del espectro del hidrógeno.
5 Según la física clásica, toda partícula cargada y acelerada (el electrón en su órbita) pierde energía que emite en forma
de energía radiante.

30. [30]
8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda.
A lo largo de este tema se ha visto que la luz tiene naturaleza ondulatoria (permite
explicar la reflexión, refracción, dispersión, superposición, difracción, etc.) y naturaleza
corpuscular (como fotón se pueden explicar propiedades como el efecto fotoeléctrico y los
espectros discontinuos vistos aquí, además de la emisión de radiación de un cuerpo negro
y el efecto Compton).
Podemos hacer frente al problema desde el siguiente punto de vista: ¿es posible que
otras partículas como los protones, los electrones, etc, tengan también naturaleza
ondulatoria?
En 1924 Luis De Broglie basándose en consideraciones relativistas y en la teoría
cuántica pensó que si la luz (la radiación) se comportaba como onda y como partícula,
también la materia debería tener ese carácter dual (los protones, los electrones, los
neutrones, los átomos, las moléculas, etc.).
Según De Broglie, para la luz la energía de un cuanto (fotón) sería:
=
En esta expresión va implícito el carácter ondulatorio de la luz pues la frecuencia es una
magnitud característica de las ondas. Por otra parte, si la luz está formada por partículas la
energía asociada a estas según la teoría de la relatividad de Einstein es
=
Ambas expresiones representan la misma energía, podemos igualar
=

31. [31]
La expresión anterior nos da la longitud asociada al fotón pues en el denominador
aparece la velocidad de la luz. Para una partícula diferente debemos poner la velocidad, v,
a la que se mueva:
Esta expresión nos da la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que
se mueve con una velocidad v. El momento lineal (cantidad de movimiento) de la partícula
es, en módulo,
=
La hipótesis de De Broglie se puede redactar de la siguiente manera:
Toda la materia presenta características tanto ondulatorias como
corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del
experimento específico
Esta propuesta fue considerada inicialmente como
carente de realidad física por su falta de evidencias
experimentales. Sin embargo, en 1927, los físicos
norteamericanos C. Davisson (1881-1958) y L. A. Germer
(1896-1971) la comprobaron experimentalmente
después de haber observado la difracción de electrones
de forma casual. Ese mismo año, el físico inglés G. P.
Thomson (1892-1975) confirmó la relación obtenida
teóricamente por De Broglie mediante la difracción de
haces de electrones a través de hojas metálicas delgadas.
En la expresión de la longitud de onda asociada a
una partícula observamos que ésta depende de la masa
de la partícula y de la velocidad de ésta. Si la velocidad
aumenta la longitud de onda disminuye. En cuanto a la
masa podríamos pensar que para una partícula
determinada ésta no cambia (es una idea clásica), sin
embargo, según la teoría de la relatividad masa de una
partícula cambia según la expresión:
=
Donde mo es la masa de la partícula en reposo y m es la masa de la partícula a la
velocidad v. Esta expresión se deberá utilizar cuando la velocidad de la partícula sea
próxima a la velocidad de la luz.

32. [32]
Según la hipótesis de De Broglie, una partícula como el electrón se puede comportar
como una onda. Este fenómeno no se observa en el mundo macroscópico debido a las
pequeñas velocidades que se desarrollan y, sobre todo, al pequeñísimo valor de la
constante de Planck en nuestro universo. Como ejemplo se puede comprobar que la onda
asociada a una bola de billar de 600 g que se mueve a una velocidad de 1 m/s tiene una
longitud de onda asociada de ’ -33 m (dos cuatrillones de veces más pequeña que la
asociada al electrón del problema anterior). Este valor es casi un trillón de veces más
pequeño que un núcleo atómico (10-15 m), imposible de medir. Los efectos cuánticos no
son observables en objetos macroscópicos.
Problema 11
Un haz de electrones se acelera bajo la acción de un campo eléctrico hasta una velocidad de 6·10
5
m·s
-1
.
Haciendo uso de la hipótesis de De Broglie calcule la longitud de onda asociada a los electrones. Dato:
masa del electrón = 9,1·10
-31
kg.
La hipótesis de De Broglie dice: “toda la materia presenta características tanto ondulatorias como
corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del experimento específico”.
La longitud de onda asociada a una partícula viene dada por la expresión,
donde m es, en este caso, la masa del electrón y v es su velocidad. Por tanto, la longitud de onda
asociada a este electrón es:
Problema 12
La masa del protón es aproximadamente 1800 veces la del electrón. Calcule la relación entre las
longitudes de onda de De Broglie de protones y electrones suponiendo que se mueven con la misma
energía cinética.
La longitud de onda asociada a una partícula viene dada por la expresión
donde m es la masa de la partícula y v es su velocidad. En el caso del electrón

33. [33]
En el caso del protón
La relación entre ambas longitudes de onda es
= =
El problema nos indica que:
- La masa del protón es 1800 veces la masa del electrón:
- La energía cinética del protón y del electrón es la misma:
Teniendo en cuenta estas expresiones que relacionan la masa del protón y del electrón y la
velocidad de dichas partículas (al tener la misma energía cinética), la relación entre las longitudes
de onda asociadas al protón y al electrón queda,
=
( )2
( )2
= 2
=
= = 2
Problema 13
Un haz de electrones se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial. Tras ese proceso,
la longitud de onda asociada a los electrones es 8·10
-11
m. Determine la diferencia de potencial aplicada.
Son datos para este problema la constante de Planck, la velocidad de la luz en el vacío, la carga del
electrón y la masa del electrón.
Si los electrones parten del reposo es claro que la diferencia de potencial a la que son sometidos se
traduce en un aumento de la energía cinética de los mismos desde cero hasta el valor
correspondiente a la velocidad que adquieran. Por tanto, la energía eléctrica se está transformando
en energía cinética:
=
2
2
donde e es la carga del electrón que adquiere una velocidad v entre dos puntos donde la diferencia
de potencial es . De esta ecuación necesitamos conocer la velocidad del electrón. Para ello
sabemos que su longitud de onda asociada obedece la expresión,
=

34. [34]
por tanto,
así,
Problema 14
¿Cuál es la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve a un 10 % de la velocidad de la luz?
El 10% de la velocidad de la luz son 30.000.000 m/s.
En primer lugar veremos cómo cambia la masa del electrón respecto al reposo ( ’ -31 kg)
por ir a dicha velocidad. Sustituyendo en la expresión que encabeza esta página vemos que
omm 005'1
Por tanto, podemos considerar que a esa velocidad la masa del electrón no ha cambiado. Si
sustituimos ahora en la expresión que nos da la longitud de onda asociada al electrón obtendremos
m
m
h 9
731
34
10·4'2
10·3·10·1'9
10·6'6
v




A esta longitud de onda le corresponde una frecuencia de ’2 17 Hz. En el caso de la
radiación correspondería a la zona de los rayos X.
9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.
Para medir una magnitud en un cuerpo hay que “verla” para verla hay que
iluminarla y al iluminarla los fotones chocan contra ese cuerpo. Si el cuerpo sobre el que
medimos es grande (mundo macroscópico), el choque de esos fotones no le afecta en
demasía, pero si el cuerpo en el que medimos es pequeño, como un electrón, el choque de
los fotones sí que le afecta de tal manera que realmente no sabemos dónde está (lo que sí
que podemos saber es una zona de máxima probabilidad de encontrarlo). Esta limitación,
explicada aquí toscamente se conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg,
también principio de indeterminación de Heisenberg y dice:
“No e po ible dete min , de un modo p eci o, l po ición y l c ntid d de movimiento de
una partícul ”

35. [35]
Los valores de las indeterminaciones en la posición y en la cantidad de movimiento
cumplen
Donde Δx es la indeterminación o incertidumbre en la posición espacial (en metros)
y Δp es la indeterminación o incertidumbre en el momento lineal (p = m·v, en kg · m · s-1).
Según esta expresión, si podemos determinar con gran precisión la posición entonces la
incertidumbre en la cantidad de movimiento (y por tanto en su velocidad) será grande y
viceversa.
El principio de incertidumbre es un principio fundamental de la naturaleza, es decir,
todos los cuerpos están afectados por este principio, pero el pequeño valor de h en
nuestro universo hace que sólo se note su influencia en el mundo atómico.
El principio de incertidumbre se aplica de forma más general a dos magnitudes
complementarias y debería decir en realidad:
“Re ult impo ible dete min imultáne mente, de un modo p eci o, do m gnitude
complement i del e t do de un i tem ”
Dos magnitudes complementarias son aquellas cuyo producto tiene dimensiones de
una acción, es decir, las dimensiones de h:
m
s
m
kgsm
s
m
kgsmNsJ ·.······ 2

El resultado como vemos son las unidades del momento lineal por las unidades de la
posición y, por tanto, podremos escribir el principio de incertidumbre como lo hemos
hecho:
Pero Julios por segundo (J·s) son también las unidades de la energía y del tiempo,
por tanto estas dos magnitudes son complementarias del estado de un sistema y podemos
decir que no es posible determinar simultáneamente el valor medio de la energía E de un
objeto y el intervalo de tiempo necesario para efectuar la medida, es decir:
Donde ΔE es la indeterminación en la energía y Δt es la indeterminación en el
tiempo6.
6 El momento cinético ( rxpL

 ) y el ángulo de giro (α) también son dos magnitudes que
cumplen el principio de incertidumbre.

36. [36]
Problema 15
Un electrón se mueve con una velocidad de 4000 km/s. Si la incertidumbre en el conocimiento de su
velocidad es del 3%, ¿Cuál es la incertidumbre en la posición del electrón?
La incertidumbre en la velocidad es del 3%, es decir,
= = 2 /
Según el principio de incertidumbre
2
como =
2
Sustituyendo
2
2
de donde
Problema 16
Un grano de arena de 1 mg de masa se mueve con una velocidad de 20 m/s. Si la incertidumbre en su
posición es de 10
-3
m, ¿cuál es la incertidumbre en su velocidad?
Este problema es idéntico al anterior, por tanto, si cambiamos las cantidades correspondientes
(unidades en el S.I.), la incertidumbre en la velocidad es,
2

37. [37]
Estos apuntes se finalizaron el 10 de mayo de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
fresenius1@gmail.com
http://www.escritoscientificos.es

38. - 1 -
ELEMENTOS BÁSICOS DE FÍSICA NUCLEAR
FELIPE MORENO ROMERO
LCDO. CIENCIAS QUÍMICAS
(JUNIO, 2007)
Contenidos:
1.- Composición del núcleo. Isótopos.
2.- Estabilidad de los núcleos. Energía de enlace.
3.- Radiactividad.
4.- Reacciones nucleares.
۞۞۞۞
El inicio de la física nuclear se puede establecer en 1896 con el descubrimiento de la
radiactividad por parte de Henri Becquerel.
Becquerel estudiaba por entonces la luz emitida por algunas sustancias, llamada
fluorescencia. Una de estas sustancias fluorescentes es el sulfato de potasio y uranilo: UO2KSO4.
La fluorescencia es la propiedad de una sustancia para emitir luz cuando es expuesta a
radiaciones del tipo ultravioleta, rayos catódicos o rayos X. Las radiaciones absorbidas (invisibles
al ojo humano), son transformadas en luz visible, o sea, de una longitud de onda mayor a la
incidente. Un día que estaba nublado no permitía a Becquerel exponer el sulfato de potasio y
uranilo a las radiaciones del Sol así que las guardó en un cajón en el que también tenía unas
placas fotográficas sin velar (protegidas con un grueso papel negro para que no se velaran al
darles la luz). Días más tarde comprobó que la película fotográfica de estas placas estaba velada
cuando “en teoría” no había sido expuesta a ningún tipo de luz. Becquerel pensó que la sal de
uranilo emitía algún tipo de radiación invisible capaz de velar la placa fotográfica. A partir de este
descubrimiento casual comprobó que otros compuestos de uranio también velaban las placas
fotográficas, llamando a esa radiación invisible radiactividad.

39. - 2 -
Dos años más tarde Pierre y Marie Curie descubrieron otros dos elementos nuevos en la
tabla periódica, el polonio y el radio, ambos radiactivos.
La física nuclear estudia el comportamiento de los núcleos atómicos.
1.- Composición del núcleo. Isótopos
El átomo es básicamente vacío tal como descubrió E. Rutherford en 1911 a partir de su
famosa experiencia (esquematizada en la figura adjunta).
El polonio es una fuente
radiactiva de partículas α (partículas
cargadas positivamente).El haz de
partículas se hace incidir sobre una
fina lámina de oro de forma que se
observa que la mayoría de ellas
atraviesa dicha lámina y son
detectadas en una pantalla de
sulfuro de zinc en forma de un
centelleo en el momento en que una
partícula incide sobre dicha
pantalla. No obstante Rutherford
observó que algunas partículas eran
desviadas y que incluso algunas salían rebotadas de la lámina de oro.
A partir de esta experiencia Rutherford estableció junto a
sus colaboradores (Geiger y Mariden) su conocido modelo
atómico. Este modelo permitía explicar los resultados del
experimento tal como se muestra en la figura adjunta. Las flechas
negras indican la trayectoria de las partículas α: el primer caso se
trataría del modelo atómico anterior de Thomson, el segundo caso
es el modelo de Rutherford.
Actualmente sabemos que el núcleo atómico contiene dos
tipos de partículas, los protones (de carga positiva e igual en valor,
cada uno, a la carga elemental del electrón) y los neutrones, sin
carga y de masa aproximadamente igual a la de los protones
aunque un poco superior. Los neutrones no fueron descubiertos
realmente hasta 1932 aunque su existencia se sospechaba con
anterioridad.
Las características básicas de las tres partículas atómicas fundamentales son:
Partícula Masa (kg) Masa (u.m.a.) Carga (C) Ubicación
Protón 1’6726 · 10-27
1’0073 1’6 · 10-19
Núcleo
Neutrón 1’675 · 10-27
1’0087 0 Núcleo
Electrón 9’1 · 10-31
0’00055 1’6 · 10-19
Corteza

40. - 3 -
Conceptos necesarios
La masa del electrón es 1836 veces menor a la del protón. En general se llaman nucleones a
las partículas que hay en el núcleo (protones o neutrones), y núclido a cada especie nuclear de un
elemento químico. El número atómico (Z) es el número de protones que hay en el núcleo,
coincide con el número de electrones de la periferia para el átomo neutro y es el que define al
elemento químico como tal. A la suma del número de protones (Z) y del número de neutrones (N)
de un núcleo se le llama número másico (A):
A = Z + N
Para simbolizar un átomo, por ejemplo el elemento general X, se sigue el siguiente criterio
en cuanto a la disposición de estos números:
aCA
Z X arg
por ejemplo: UCHLiLi 235
92
13
6
1
1
7
3
7
3 ,,,, 
. Normalmente el número atómico se suele obviar.
Isótopos son átomos de un mismo elemento que tienen distinto número de neutrones. Los
más “famosos” entre ellos tienen nombre específico: son los isótopos del hidrógeno,
H1
1
Hidrógeno (un único protón y un
electrón)
H2
1
Deuterio (también “D”)
H3
1
Tritio (también “T”)
Los demás isótopos no tienen un nombre establecido. Para nombrarlos se hace mención al
número másico correspondiente. Por ejemplo, el carbono tiene tres isótopos, el carbono-12, el
carbono-13 y el carbono-14, éste último radiactivo:
CCC 14
6
13
6
12
6 ,,
Proporciones isotópicas en la naturaleza
En una sustancia pura hay siempre varios isótopos (la mayoría estables y, en algunos casos,
alguno radiactivo). Por ejemplo, si tenemos un kilogramo del elemento cloro sabemos que estará
formado por átomos de dicho elemento del que existen dos isótopos: el cloro-35 y el cloro-37. La
proporción de cada uno determina el peso atómico que aparece en la tabla periódica ya que este
es en realidad el peso atómico medio de los diferentes isótopos naturales que lo forman. Si el 50%
de todo el cloro fuera cloro-35 y el otro 50% fuera cloro-37, el peso atómico del cloro sería 36
u.m.a., pero resulta que es en realidad 35’45 u.m.a., es decir, hay una mayoría de cloro-35 frente a
cloro-37. Para conocer dicha proporción exacta debemos resolver la ecuación:
45'35)1(3735  xx
donde x es el tanto por uno de cloro-35 y 1-x es el tanto por uno de cloro 37. Si resolvemos
obtendremos que x = 0’754, es decir, hay un 75’4% de cloro-35 y un 24’6% de cloro-37.

41. - 4 -
Este procedimiento de cálculo es similar para otros elementos aunque se complicará un
poco la ecuación si en la naturaleza son posibles más de dos isótopos para un elemento. Habría
que recurrir a sistemas de ecuaciones.
Unidad de masa atómica
Se ha utilizado ya en estos apuntes la unidad de masa atómica, u.m.a. o simplemente “u”,
para designar la masa de un átomo. Dado que la masa de los electrones es despreciable, la masa
de un átomo es en realidad la masa de su núcleo. Pero como esta masa en kilogramos es muy
pequeña, se utiliza la u.m.a.
Actualmente (no siempre ha sido así) se ha consensuado que la unidad e masa atómica sea
la doceava parte de la masa del isótopo carbono-12. En base a esta unidad decidida están
expresados lo pesos atómicos que aparecen en la tabla periódica (mejor debería ser “masas
atómicas” aunque en estos apuntes se utilizarán los dos nombres indistintamente).
Problema:
Calcular la energía que corresponde a 1 u.
Solución:
Si buscamos la masa atómica del carbono vemos que es de 12 u, es decir, 12 gramos de carbono-12
contienen 6’023 · 1023
átomos del elemento (nº de Avogadro). Con un simple cálculo podemos conocer la masa de
un átomo de carbono-12:
kgg 2623
23
10·99'110·99'1
10·023'6
12 

1 u.m.a es la doceava parte de esta masa, es decir: 1’66 · 10-27
kg.
La energía que corresponde a esta masa se puede conocer con la ecuación de Einstein:
MeV934eV10·9'34J10·1'49)10·(3·10·1'66 8-1028-272
 mcE
El equivalente energético de la unidad de masa atómica calculado más exactamente1
es de 931 MeV
2.- Estabilidad de los núcleos. Energía de enlace.
El tamaño de un núcleo atómico obedece aproximadamente la siguiente expresión:
3/115
·10·2'1 AR 

por ejemplo, para el carbono-12:
mR 15315
10·7'212·10·2'1 

1
1 u · c2
= (1.66054 × 10-27
kg) × (2.99792 × 108
m/s)2
= 1.49242 × 10-10
kg (m/s)2
= 1.49242 × 10-10
J
× (1 MeV / 1.60218 × 10-13
J)
= 931.49 MeV,

42. - 5 -
Si suponemos que el núcleo es esférico, podemos determinar la densidad del mismo:
317
3
27
/10·29'2
3
4
10·66'1·12
mkg
RV
m
d 


Un valor bastante elevado por cierto. ¿Cómo pueden permanecer juntos los protones en el
núcleo si éstos se repelen eléctricamente y más aún cuando la distancia entre dos protones es tan
“grande” como 10-15
m (= 1 fermi). Si quisiéramos determinar el valor de la fuerza de repulsión
eléctrica según la ley de Coulomb veríamos que
N
d
qq
KF 230
)10(
)10·6'1(
10·9 215
2-19
9
2
21
 
esta fuerza provocaría una aceleración en el protón de
239
27-
/10·37'1
10·673'1
230
sm
m
F
a 
es decir, una exageración.
Debe existir una fuerza que a nivel nuclear sea más intensa que la repulsión eléctrica entre
los protones y que sea la responsable de que los protones se mantengan unidos en el núcleo. Esta
interacción se llama nuclear fuerte y es también responsable de que los neutrones (partículas sin
carga y, por tanto, sin necesidad de estar en el núcleo pues la fuerza gravitatoria es mínima)
permanezcan también fuertemente ligadas en el núcleo. Cuatro características básicas que
resumen la interacción nuclear fuerte son:
- Sólo se manifiesta en el interior del núcleo, es decir su alcance es de un fermi.
- Es la más intensa de todas las interacciones conocidas (gravitatoria, electromagnética y
nuclear débil de la que se hablará más adelante). Concretamente es 100 veces superior a la
electromagnética que es la segunda interacción más intensa.
- Sólo se manifiesta entre dos protones, entre dos neutrones o entre un protón y un
neutrón.
- Es de carácter atractivo.
Defecto de masa
Cuando nos planteamos la cuestión de pesar un núcleo atómico tenemos dos opciones:
1ª) Cálculo teórico: determino el número de protones que tiene y lo multiplico por la masa
del protón. Determino el número de neutrones que tiene y lo multiplico por la masa del neutrón.
Finalmente sumo las dos cantidades obtenidas.
2ª) Determinación experimental: utilizando un espectrómetro de masas (ver apéndice).
El valor obtenido experimentalmente es siempre menor al obtenido de forma teórica. De
hecho, si ocurriera al revés el núcleo no sería estable, no existiría. A este defecto entre la masa

43. - 6 -
calculada de forma teórica y la masa determinada experimentalmente se le denomina defecto de
masa y se puede determinar (en u.m.a.) según la siguiente expresión:
MmZAZmm np  )(
donde Z es el número atómico, mp es la masa del protón, A-Z es el número de neutrones, mn es la
masa del neutrón y M es la masa del núcleo determinada experimentalmente.
Este defecto de masa equivale a energía:
2
mcE 
que se denomina energía de enlace del núcleo. Es la energía que se libera cuando los nucleones
constituyentes del núcleo se unen (desde el infinito) para formar el núcleo o, también, la energía
necesaria para romper el núcleo totalmente.
Las energías de enlace de los núcleos son enormes, oscilan entre 2’2 MeV para el deuterio
)(2
1H y 1640 MeV para el isótopo Bi209
83 . Tengamos en cuenta que un kilogramo de gasolina tiene
una energía interna de 4’6 · 104
kJ y que un kilogramo de núcleos, por término medio, desprenden
al formarse 1012
kJ, es decir, unas veinte millones de veces más energía. Todos sabemos lo que se
puede hacer con un kilo de gasolina.
En lugar de energía de enlace del núcleo se suele hablar de energía de enlace por nucleón,
que se obtiene de dividir la primera entre el número de nucleones que tiene el núcleo
considerado. La gráfica siguiente
representa cómo varía esta energía de
enlace por nucleón (ΔE/A) con respecto al
número másico (A) para los diferentes
isótopos conocidos.
Se puede observar que cuanto
mayor es la energía de enlace por nucleón
más estable es el núcleo, no obstante a
partir del hierro esta energía empieza a
disminuir paulatinamente. El núcleo más
estable es el hierro-56. al que corresponde
una energía de enlace de 8’8
MeV/nucleón. Las mayores energías de
enlace por nucleón se presentan para números másicos comprendidos entre 40 y 100
aproximadamente.
Si un núcleo pesado se divide en dos núcleos más ligeros (fisión nuclear), o si dos núcleos
ligeros se unen para formar uno más pesado (fusión nuclear), se obtienen núcleos más estables, es
decir, con mayor energía de enlace por nucleón entre los productos de la reacción nuclear que la
que tenían el o los núcleos de partida.
Problema:
Determina el defecto de masa, la energía de enlace y la energía de enlace por nucleón para el núcleo de carbono-12.
Solución:

44. - 7 -
El defecto de masa de un núcleo es la diferencia entre la masa de sus constituyentes y la masa real del núcleo.
Como el número atómico del carbono es Z=6, su núcleo está formado por seis protones y seis neutrones. La masa
total de estas partículas es la siguiente:
Masa de 6 protones = 6 · 1’0073 u = 6’0438 u
Masa de 6 neutrones = 6 · 1’0087 u = 6’0522 u
Masa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12’0960 u
Masa del núcleo de carbono-12 = 12’0000 u
Defecto de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0’0960 u
Como 1 u equivale a 931 MeV, la energía de enlace será:
E = 0’096 u · 931 MeV/u = 89’4 MeV
El núcleo de carbono-12 está formado por 12 nucleones, en consecuencia, la energía de enlace por nucleón es:
nucleónMeV
MeV
A
E
/4'7
nucleones12
4'89

3.- Radiactividad.
Todos los núcleos atómicos son susceptibles de desintegrarse más o menos lentamente. El
núcleo de hierro-56 que es el más estable también se puede desintegrar aunque lo hace muy, muy
lentamente. De todos los isótopos conocidos se dice que son estables aquellos que no se
desintegran o permanecen sin desintegrarse durante muchos miles de años.
Los núcleos inestables se desintegran convirtiéndose en otros núcleos que pueden ser a su
vez estables o no. Desde que se formó la Tierra han desaparecido muchos núcleos inestables que
se han transformado en otros estables: son los más rápidos en desintegrarse, pero aún quedan
núcleos que se están desintegrando. A estos elementos que todavía quedan, inestables, se les
llama elementos radiactivos naturales. También se han sintetizado en laboratorio o en centrales
nucleares elementos inestables, llamados radiactivos artificiales.
El primer elemento radiactivo natural encontrado fue el uranio por Henri Becquerel en
1896. Dos años más tarde los esposos Curie descubrieron el radio y el polonio.
Se llaman elementos radiactivos porque en un primer momento se creía que emitían rayos
cuya naturaleza no se conocía, pero que eran capaces de velar placas fotográficas. Este nombre ha
permanecido aunque posteriormente se ha comprobado que la “radiación” que emiten son en
realidad partículas en su mayor parte.
En la radiactividad natural se pueden encontrar tres tipos diferentes de emisiones
radiactivas (también tres tipos de radiaciones):
Radiación α:
Consiste en la emisión por parte del núcleo inestable de una partícula α, es decir de un
núcleo de helio-4:

45. - 8 -

 24
2Hepartícula 
Esta partícula suele ser emitida por núcleos grandes (uranio, torio, radio, plutonio….). La
explicación de esta emisión es la siguiente: en los núcleos pequeños se observa que el número de
protones es aproximadamente igual al número de neutrones, pero en núcleos mayores (estables)
el número de neutrones es mayor al de protones
para compensar la repulsión electrostática
creciente debido al aumento de cargas positivas
en el núcleo. En la gráfica adjunta se han
representado el número de neutrones de los
núcleos estables frente al número de protones
de los mismos. Se puede observar que la
igualdad entre el número de protones y
neutrones en un núcleo atómico estable se
mantiene para números atómicos inferiores a 30
y a partir de entonces se desvía de esa tendencia
cada vez más.
Cuando los núcleos son muy grandes llega
un momento en que el exceso de protones es
grande, las repulsiones eléctricas entre ellos son tan grandes que ya ni un exceso de neutrones
puede compensar y el núcleo “simplemente se deshace de 2 protones y dos neutrones”
emitiéndolos en forma de partícula α. Por ejemplo, el radio descubierto por el matrimonio Curie
contiene un isótopo, el radio-226, que es un emisor α según la siguiente reacción:

 24
2
222
86
226
88 HeRnRa
vemos que la el radio, al perder dos electrones pasa a tener número atómico 86, es decir, pasa a
ser radón. Como también se han perdido dos neutrones el número másico se ha reducido en 4
unidades, se trata del isótopo radón-222. Se observa en la reacción anterior, que podemos llamar
reacción nuclear, se debe conservar en todo momento la carga total (protones) y el número de
nucleones.
El descubrimiento en 1913 de las leyes que regulan el desplazamiento en las
transformaciones radiactivas se debe a K. Fajans y a R. Soddy y llevan el nombre de leyes de
Fajans-Soddy. Para el caso de la emisión α hemos visto que cuando un núcleo emite una partícula
α, el nuevo núcleo disminuye en 4 unidades sus nucleones y en dos unidades sus protones. En
general:

 24
2
4-A
2-Z HeYXA
Z
La partícula α es relativamente pesada y su carga eléctrica (2+) la hace interaccionar
rápidamente con el entorno; ello hace que sea emitida a velocidades no muy altas. La partícula α
tiene un poder de penetración muy pequeño, siendo detenida por una lámina de cartón o unos
pocos centímetros de aire. No es capaz de atravesar la piel de nuestro cuerpo. No obstante, es
peligrosa por ingestión de un emisor α (o por respiración de polvo radiactivo) ya que en el interior
del cuerpo, durante su corto trayecto produce ionizaciones locales y alteraciones químicas muy
importantes.

46. - 9 -
Radiación β:
Consiste en la emisión, por parte del núcleo, de una partícula β y de un neutrino (ν). La
partícula β es en realidad un electrón rápido y el neutrino es una partícula neutra y de masa
despreciable. Para las pretensiones de estos apuntes, el neutrino no se tendrá en cuenta.
Se suele producir cuando la relación A-Z/Z es demasiado grande, entonces en el núcleo un
neutrón se transforma en un protón:
epn 0
1
1
1
1
0 
Esta es la explicación de que un núcleo emita electrones. ¿Cómo es posible que de un
núcleo atómico se emitan electrones? Acabamos de ver que lo que en realidad ocurre es que uno
de los neutrones del núcleo, de carga nula, se divide en dos partículas, un protón y un electrón (la
carga neta sigue siendo nula). Por ejemplo, el isótopo carbono-14 es un emisor β, circunstancia
que se puede aprovechar para datar la antigüedad de restos fósiles. La reacción de desintegración
correspondiente sería:
eNC 0
1-
14
7
14
6 
por curiosidad vemos que en este ejemplo la relación A-Z/Z es 8/6 = 1’3. Otro ejemplo de emisor β
es el bismuto-214:
ePoBi 0
1-
214
84
214
83 
La ley de Fajans y Soddy para la emisión β establece, por tanto, que cuando un núcleo emite
una partícula β, se transforma en un nuevo núcleo cuyo número de protones ha aumentado en
una unidad y sus nucleones no han variado, en general
eYX A
Z
A
Z
0
1-1  
Las partículas β se emiten con velocidades próximas a la de la luz, su masa es mucho menor
que la de las partículas α y, por tanto, su poder de penetración en mucho mayor. Son frenadas por
unos metros de aire, una lámina de aluminio o unos centímetros de agua. Podemos imaginar que
el material que frena una partícula radiactiva no es indicativo de su peligrosidad; sí lo es lo que la
partícula puede hacer mientras está siendo frenada.
Radiación γ:
En este caso sí se trata de una radiación propiamente dicha ya que en los dos casos
anteriores son partículas concretas. Por tanto, se trata de ondas electromagnéticas emitidas por
los núcleos radiactivos cuya longitud de onda es muy pequeña siendo, por tanto, muy energéticas.
La radiación γ acompaña generalmente o a la emisión α o a la emisión β ya que el núcleo
que emite estas partículas queda en un estado excitado de energía. Vuelve a su nivel o estado

47. - 10 -
fundamental emitiendo energía en forma de cuantos de radiación γ. Por tanto, una emisión γ no
cambia la naturaleza de la especie que la emite.
El poder de penetración de los rayos γ es considerablemente mayor al de las partículas α ó
β. Atraviesan el cuerpo humano y sólo se frenan con planchas de plomo y muros gruesos de
hormigón. La radiación γ es muy peligrosa para la vida en general.
Ley de la desintegración radiactiva.
Los tres tipos de radiactividad mencionados aquí son los que se presentan en los núcleos
radiactivos naturales. No son, sin embargo, los únicos tipos de radiactividad. En núcleos
radiactivos artificiales se han observado otros tipos de emisiones radiactivas como la
desintegración β+
o la captura electrónica. El estudio de las características de estas emisiones se
aleja de las pretensiones de estos apuntes aunque se puede decir que toda emisión radiactiva
(natural o artificial) sigue una ley conocida como ley de la desintegración radiactiva.
En 1900 Rutherford sugirió que el ritmo de emisión radiactiva de una sustancia disminuye
exponencialmente con el tiempo. Los procesos radiactivos son aleatorios, han de estudiarse
estadísticamente, basando las deducciones en el cálculo de probabilidades: de probabilidad de
que un núcleo concreto se desintegre en un instante concreto.
Para ver cómo es este estudio imaginemos una muestra con N0 núcleos radiactivos en el
tiempo t0. Cuando pase un tiempo t , parte de los núcleos se han desintegrado y quedan
concretamente N núcleos radiactivos (N<N0).
La velocidad de desintegración será el ritmo de cambio del número de núcleos radiactivos
en función del tiempo transcurrido, es decir:
t
N
t-t
N-N
cióndesintegradevelocidad
0
0



Se puede comprobar (Rutherford y Soddy, 1902) que esta velocidad es proporcional al
número de núcleos existentes, es decir:
N
t
N



donde λ es llamada constante de desintegración, característica de cada núcleo y cuyas unidades
son, en el S.I., s-1
(aunque no debemos confundirla con la unidad de frecuencia). El signo menos
de la ecuación anterior indica que el número de núcleos disminuye con el tiempo.

48. - 11 -
Si reordenamos la ecuación y consideramos intervalos de tiempo infinitesimales, los
incrementos pasan a diferenciales:
dt
N
dN
t
N
N
 

Si queremos conocer el número de núcleos (N) que quedan después de un tiempo (t),
siendo N0 el número de núcleos al principio, debemos integrar
  dt
N
dN

t
N
N

0
ln
t
0

 eNN
Las dos últimas ecuaciones son dos formas de
expresar la ley de desintegración radiactiva. Es una
expresión general aplicable a cualquier desintegración
radiactiva. La representación gráfica de la última ecuación
nos da una idea de cómo va disminuyendo el número de
núcleos radiactivos desde una cantidad inicial para tiempo
cero (figura adjunta)
Otros términos o conceptos muy utilizados en el
análisis de la desintegración radiactiva son 3:
1- Actividad o velocidad de desintegración: es la
velocidad de desintegración, es decir el número de emisiones de una sustancia por unidad de
tiempo. Su unidad en el S.I. es el becquerel (Bq), que es una desintegración por segundo. Por
tanto:
t
0
t
0

 
 eAeNN
dt
dN
A , donde 00 NA  es la actividad en el instante inicial
2- Periodo de semidesintegración: o periodo de semivida (T1/2), es el tiempo que tiene que
transcurrir para que el número de átomos radiactivos de una muestra determinada baje a la
mitad. Apliquemos esta definición en la ley de desintegración radiactiva:
1/2T
0
0
2

 eN
N
1/2T
2
1 
 e
eT ln
2
1
ln 2/1

49. - 12 -
2/1693'0 T

2ln693'0
2/1 T
A modo de ejemplo, en la tabla siguiente aparecen los periodos de semidesintegración de
algunos núcleos radiactivos.
Berilio-8 Polonio-213 Aluminio-
28
Yodo-131 Estroncio-
90
Radio-226 Carbono-14 Rubidio-87
10
-16
s 4 · 10
-6
s 2’25 min. 8 días 28 años 1600 años 5730 años 5’7 · 10
10
años
3- Vida media (τ): es el promedio de vida o tiempo que, por término medio, tarda un núcleo
en desintegrarse. Es la inversa de la constante de desintegración:
2ln
1 2/1T



Problema
En una muestra de madera de un sarcófago ocurren 13536 desintegraciones en un día por cada gramo, debido al 14
C
presente, mientras que una muestra actual de madera análoga experimenta 920 desintegraciones por gramo en una
hora. El período de semidesintegración del 14
C es de 5730 años.
a) Establezca la edad del sarcófago.
b) Determine la actividad de la muestra del sarcófago dentro de 1000 años.
Solución
a) Hay que pasar los dos datos de actividad a desintegraciones por segundo. En ambos casos el dato ofrecido es por
gramo de muestra, por tanto, en el caso de la muestra del sarcófago:
segundo
cionesdesintegra
157'0
segundos86400
día1
día
cionesdesintegra
13536  xA
Para el caso de la muestra actual la actividad se puede considerar como actividad en el instante inicial pues es un
trozo de madera es de las mismas características a la del sarcófago:
segundo
cionesdesintegra
256'0
segundos3600
hora1
hora
cionesdesintegra
9200  xA
Por otra parte, con el dato de T1/2 podemos conocer la constante de desintegración del carbono-14:
112-11
2/1 10·83'3;
2ln
10·1'81años5730 
 ssT 

De la expresión de la actividad todo es conocido y podemos obtener el tiempo transcurrido:
t10·83'3
0'256
0'157
ln;t
A
A
ln;
A
A
; 12-
0
t
0
t
0  

eeAA
t = 1’276 · 1011
s = 4045 años.
b) Dentro de 1000 años (1000 x 365’25 x 86400 = 3’156 · 107
s) el sarcófago tendrá una antigüedad de 5045 años
(1’592 · 1011
s). Su actividad será de

50. - 13 -
gramoporysegundoporcionesdesintegra139'0256'0 )10·1'592·10·83'3( 1112-
 
eA
Problema
Una muestra de una sustancia radiactiva de 0’8 kg se desintegra de tal manera que, al cabo de 20 horas, su
actividad se ha reducido a la cuarta parte. Calcule el periodo de semidesintegración.
Solución
En primer lugar, 20 horas son 20 · 3600 = 72000 segundos.
La actividad inicial de la muestra se debe a los 0’8 kg de sustancia radiactiva que hay al principio.
En 20 horas dicha actividad ha bajado a la cuarta parte según informa el enunciado del problema. Por tanto, la
cantidad de muestra se debe haber reducido a la cuarta parte de la inicial:
- Al cabo de 72000 s, A = A0/4 = 0’25·Ao
- Cantidad de sustancia radiactiva que queda = 0’8/4 = 0’2 kg
No obstante, la cantidad de muestra no es necesaria para resolver el problema:
15-t
0
0t
0 10·'9251;72000·0'25ln;
A
0'25A
; 
 seeAA 
Tenemos ahora los datos necesarios para calcular T1/2:
sT 36000
2ln
2/1 

Problema
Tenemos 70 gramos del isótopo radiactivo cromo-51 (artificial), con un periodo de semidesintegración de 27 días.
¿Cuántos átomos quedarán de dicho isótopo al cabo de seis meses?
Solución
Con el dato del periodo de semidesintegración obtenemos la constante de desintegración del cromo-51:
17-6
2/1 10·97'2;
2ln
10·2'33días27 
 ssT 

Por otra parte, 70 gramos de cromo-51 son
átomos
mol
átomos
g
mol
g 10·27'810·023'6·
51
1
·70 2323

Tenemos ya todos los datos necesarios para calcular el número de átomos que quedarán al cabo de seis meses (6 x
10 x 86400 = 1’56 · 107
s)
átomoseeNN 10·04'8·10·27'8 21)10·1'56·10·97'2(23t
0
77-
 
Familias radiactivas
Si el periodo de semidesintegración del radio es de sólo 1600 años, ¿cómo es posible que
fuera descubierto en la pechblenda (mineral de uranio) por el matrimonio Curie si la edad de la
Tierra es lo suficientemente grande como para que ya no hubiera ni rastro de elemento?

51. - 14 -
Se puede comprobar que con ese periodo de semidesintegración, de una muestra inicial en
la tierra de N0 átomos de radio, en 4500 millones de años, el número de átomos habría bajado en
un 99’999982%, es decir, sería indetectable. Marie y Pierre Curie procesaron varias toneladas de
pechblenda para obtener un gramo de radio, pero con el porcentaje calculado la cantidad debería
haber sido mucho mayor.
La respuesta está en que el radio-226 que
actualmente hay en la pechblenda es un núcleo
resultado de una desintegración radiactiva del
torio-230 que a su vez procede de la
desintegración radiactiva del uranio-234, que a su
vez procede de la desintegración radiactiva del
protoactino-234, que a su vez procede de la
desintegración radiactiva del torio-234 que, por
fin, procede de la desintegración radiactiva del
uranio-238. El radio-226 va apareciendo en el
mineral a medida que se van desintegrando sus
“progenitores”. El primero de la lista, el uranio-
238, tiene un periodo de semidesintegración de
4’51 · 109
años, lo suficientemente grande como
para ser responsable de que todavía exista el
radio-226.
Una serie radiactiva, también familia
radiactiva, es una serie encadenada de
desintegraciones radiactivas que desembocan en
un núcleo estable no radiactivo. En la naturaleza
hay 4 series radiactivas que se nombran
atendiendo al núcleo que empieza la serie. Existen
además un gran número de series radiactivas
artificiales.
En la figura adjunta, a modo de ejemplo, aparece la serie radiactiva del Uranio-238. En la
tabla siguiente aparecen las características más relevantes de las cuatro series radiactivas
naturales.
Serie Nº másico Núcleo padre T1/2 Núcleo final
Torio 4n Torio-232 1’39 · 1010
años plomo-208
Neptunio 4n+1 Neptunio-237 2’25 · 106
años bismuto-209
Uranio 4n+2 Uranio-238 4’51 · 109
años plomo-206
Uranio - Actinio 4n+3 Uranio-235 7’07 · 108
años plomo-207
La columna del número másico significa que todos los números másicos de los núcleos de
cada serie responden a esa expresión siendo n u número entero.

52. - 15 -
El periodo de semidesintegración del neptunio no es lo suficientemente grande como para
que este núcleo exista en cantidades “apreciables” a no ser que se busque en una gran cantidad de
mineral, sin embargo el actinio-89 que forma parte de esta serie si tiene un periodo de
semidesintegración alto.
4.- Reacciones nucleares.
Una reacción nuclear es un proceso de combinación y transformación de las partículas y
núcleos atómicos. Una reacción nuclear se representa mediante una ecuación que muestra el
proceso en el que intervienen núcleos atómicos. Ya se han visto a lo largo de estos apuntes
algunas reacciones referentes a procesos radiactivos ya que la desintegración α y β pueden
considerarse como reacciones nucleares. Existen otro tipo de reacciones nucleares consistentes en
el bombardeo de un núcleo con otros núcleos de menor tamaño o, incluso, con partículas
subatómicas.
La primera reacción nuclear (diferente a la desintegración radiactiva) estudiada lo fue por
parte de Rutherford en 1919: consiste en el bombardeo de núcleos de nitrógeno-14 con partículas α
(procedentes de la desintegración del radio-226):
pOHeN 1
1
17
8
4
2
14
7 
Podemos pensar que el sueño de los alquimistas está cerca pues el nitrógeno se ha
convertido en oxígeno de forma artificial. Otro ejemplo de reacción nuclear, utilizada por Irene-
Joliot Curie (hija de Marie y Pierre Curie) y su esposo Jean Fréderic Joliot-Curie les permitió
descubrir la radiactividad artificial:
nPHeAl 1
0
30
15
4
2
27
13 
el fósforo-30 es radiactivo, fue el primer isótopo radiactivo sintetizado en un laboratorio y
permitió al matrimonio descubridor recibir el premio Nobel en 1935.
Podemos ver en la última reacción nuclear un motivo del porqué de la peligrosidad de la
partícula α ya que produce reacciones nucleares que dan lugar a nuevos núcleos radiactivos.
Más ejemplos:
HeHepLi 4
2
4
2
1
1
7
3 
pMgnAl 1
1
27
12
1
0
27
13 
Podemos ver en todas estas reacciones que se debe conservar la masa (la suma de los
números másicos de los productos y reactivos es la misma) y la carga (la suma de los números
atómicos –protones- en productos y reactivos es la misma).
El catálogo de partículas y núcleos utilizados para bombardear es muy extenso. Las más
importantes, junto con sus símbolos, son:
Partícula α, He4
2 Protón, Hp 1
1
1
1 ó Deuterio, H2
1

53. - 16 -
Electrón, e0
1
Neutrón, n1
0
Las partículas con carga eléctrica se pueden acelerar con campos eléctricos y magnéticos
con el objeto de facilitar el choque y la reacción (aceleradores de partículas) al impactar a gran
velocidad con el blanco. El neutrón y otras partículas neutras no se pueden acelerar dado su
carácter neutro.
Reacción de fisión
Es un tipo de reacción nuclear que se produce cuando un núcleo pesado se divide en dos o
más núcleos ligeros. En estas reacciones se libera mucha energía.
La fisión nuclear fue descubierta en 1939 por O. Hahn y F. Strassmann al bombardear un
núcleo de uranio-235 con un neutrón. Se produce uranio-236, un núcleo muy inestable que se
fisiona en dos núcleos más ligeros según la reacción:
Energía3 1
0
92
36
141
56
236
92
1
0
235
92  nKrBaUnU
A pesar de que el uranio-235 es energéticamente menos estable que sus productos de fisión,
no se fisiona de forma espontánea. Es necesaria una energía de activación que se obtiene de la
captura de un neutrón por el núcleo. La energía
desprendida se puede determinar calculando
exactamente el defecto de masa entre productos
y reactivos pues aunque la suma de los números
másicos de productos y reactivos se conserva,
hay una diferencia entre el las masas
experimentales de productos y reactivos.
Una serie de consideraciones a temer en
cuenta:
1ª) El uranio-235 que permitió descubrir la
fisión nuclear no es precisamente el isótopo más
abundante del uranio. Enriquecer una muestra
de un elemento en un isótopo concreto no es
una tecnología que esté al alcance de todos los
países.
2ª) Los dos fragmentos producto de la
fisión no son siempre los mismos. En la reacción
anterior los fragmentos son el bario-141 y el kriptón-92, pero estos fragmentos son el caso más
probable de ruptura. La gráfica adjunta nos muestra cómo varía la probabilidad de fisión del
uranio-235 en función del número másico de los núcleos producto de la misma.
La mayor parte de los núcleos obtenidos en la fisión son radiactivos y dan lugar a sus
propias series radiactivas.
3ª) La energía liberada es del orden de 200 MeV por reacción, es decir, por átomo de uranio
fisionado. Si suponemos que tenemos 235 g de uranio-235, tendremos un número de Avogadro
de átomos de uranio fisionales a 200 MeV por átomo dan un total de 12 · 1025
MeV de energía = 192
· 1011
J.

54. - 17 -
Un kilogramo de uranio-235 produciría por fisión una energía cuya cantidad es 1.800.000
veces superior a la obtenida por quemar 1 kg de gasolina (1 kg de gasolina produciría 4’6 · 107
J).
4ª) En las reacciones de fisión se producen entre 2 y 3 neutrones, dependiendo de los
núcleos producto de la reacción de fisión. Estos neutrones pueden fisionar a otros núcleos de
uranio-235 y producir una reacción en cadena. Para que se produzca dicha reacción en cadena
debe haber un número determinado de núcleos del elemento fisionable, es su masa crítica.
Enrico Fermi fue el primer físico que produjo una reacción en cadena en 1942 en Chicago.
5ª) Otros núcleos fisionables son el torio, protoactinio, plutonio,…
Fusión nuclear
Es un tipo de reacción nuclear en la que núcleos ligeros se unen para producir un núcleo
más pesado. Sería la una reacción inversa a la fisión nuclear:
Energía1
0
4
2
3
1
2
1  nHeHH
La energía desprendida en el ejemplo anterior es de 17’6 MeV ya que los productos
presentan un defecto de masa de 0’0189 u. El desprendimiento de energía se produce porque el
núcleo de helio-4 es más estable que los núcleos de deuterio y tritio y se desprende la energía de
enlace correspondiente.
Tal como sucede en la fisión, para iniciar un proceso de fusión nuclear es necesaria una
energía de activación. En el caso de la fusión, la energía necesaria para que los núcleos se unan
venciendo las repulsiones electrostáticas es proporcionada por una energía térmica muy elevada
(correspondiente a temperaturas superiores al millón de grados Kelvin).
Los núcleos de pequeño peso atómico, como el deuterio o el tritio, son los más adecuados
para producir fusión nuclear.
Las reacciones de fusión, también llamadas termonucleares, tienen lugar de forma natural
en el Sol y las estrellas, gracias a las altas temperaturas de su interior. De forma artificial, en
cambio, el ser humano sólo ha conseguido (hasta ahora) la fusión en cadena de forma explosiva:
se trata de la bomba de hidrógeno o bomba H. Mediante una bomba atómica de fisión se alcanza
la temperatura necesaria para llevar a cabo la reacción de fusión, es decir, en una bomba H una
bomba atómica es el detonador.
Problema
En la explosión de una bomba de hidrógeno se produce la reacción:
nHeHH 1
0
4
2
3
1
2
1 
Calcule: La energía liberada en la formación de 10 g de helio.
Masa deuterio = 2’01474 u; masa tritio = 3’01700 u; masa partícula α = 4’00388 u; masa del neutrón = 1’0087 u; 1
u = 1’66 · 10-27
kg; c = 3 · 108
m/s.
Solución

55. - 18 -
Masa de reactivos = 2’01474 + 3’01700 = 5’03174 u
Masa de productos = 4’00388 + 1’0087 = 5’01258 u
Defecto de masa = 0’01916 u.
Pasamos ahora este defecto de masa a kilogramos con objeto de obtener la energía correspondiente en julios:
kg10·3'18056
u
kg
10·1'66·u01916'0 29-27-

La energía correspondiente a este defecto de masa es:
J10·2'8625)10·(3·10·18056'3 -1228-292
 mcE
Esta energía es liberada para la formación de 4’00388 u de helio según la estequiometría de reacción nuclear del
enunciado, es decir, se ha calculado la energía liberada para la formación de un núcleo de helio-4 cuya masa es:
g10·6'64644kg10·6'64644
u
kg
10·1'66·u00388'4 24-27-27-

Cuando se hayan formado por fusión 10 g de helio-4, la energía total liberada será:
J10·4'31
g10·64644'6
J10·2'8625
·g10 12
24-
-12


56. - 19 -
Apéndice: Espectrómetro de masas
Este instrumento se utiliza para determinar la masa de átomos y moléculas así como para
determinar la abundancia relativa de los diferentes isótopos que contiene un material. El primer
espectrómetro de masas fue diseñado por J. J. Thomson y posteriormente fue perfeccionado por F.
W. Aston, J. Dempster y K. Bainbridge.
Un esquema básico del espectrómetro es el siguiente:
Los cationes del átomo que se quiere estudiar se aceleran entre las láminas L1 y L2, entre las
que existe una diferencia de potencial de varios miles de voltios. Después los átomos pasa a través
de un selector de velocidades compuesto por un campo eléctrico y otro magnético
perpendiculares, por lo que sólo pasan los iones que se mueven a una determinada velocidad.
Luego los iones se encuentran con un campo magnético B perpendicular al plano de la figura y
describen una trayectoria circular que cumple:
m
qB
v
r
r
mv
qvBFF cm ·;;
2

Como la razón v/qB es la misma para todos los iones, los radios son directamente
proporcionales a las masas de los iones. Los iones más pesados describen circunferencias de
mayor radio.
Como los iones de masas diferentes describen trayectorias distintas, inciden sobre la placa
fotográfica o sobre otro detector, en posiciones distintas. La masa del ión se puede calcular a
partir de su velocidad y del radio de la semicircunferencia descrita.
۞۞۞۞
Estos apuntes se finalizaron el 25 de junio de 2007 en
Villanueva del Arzobispo, Jaén (España)
Autor: Felipe Moreno Romero

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fresenius1@gmail.com
http://es.geocities.com/apuntes_ensayos/index.htm