1. Concepte de treball
S'anomena treball d’una força al producte escalar del vector força pel vector
desplaçament.
En Quan la força és constant el treball s'obté multiplicant la component de la força al
llarg del desplaçament pel desplaçament.
W F ·r | F |·| r |·cos Ft | r |
on Ft és la component de la força al llarg del desplaçament ( en el dibuix correspont a
Fx), | r | és el mòdul del vector desplaçament ( en el dibuix correspont a xB -xA) i
α és l'angle que forma el vector força amb el vector desplaçament.
Exemple
Calculeu el treball d'una força constant de 12 N, el punto d'aplicació de la qual es
trasllada 7 m, si l'angle entre les direccions de la força i del desplaçament són 0º, 60º,
90º, 135º, 180º.
Si la força i el desplaçament tenen el mateix sentit, el treball és positiu.
2. Si la força i el desplaçament tenen sentits contraris, el treball és negatiu.
Si la força és perpendicular al desplaçament, el treball és nul.
Concepte d'energia cinètica. Teorema del treball-
energia cinètica
L’energia cinètica està relacionada amb el moviment. Es defineix l'energia cinètica com
l'expressió.
mv 2
EC
2
quan sobre una mssa actuen diverses forces, suposant que F és la força resultant de les
forces que actuen sobre ella, el treball d'aquesta força és igual a la diferència entre el
valor final i el valor inicial de l'energia cinètica de la massa.
2 2
mv B mv A
W E cB E cA E c
2 2
.
On vB i vA són les velocitat final i inicial respectivament.Si el treball és negatiu, com per
exemple una força de fricció l’energia cinètica disminueix per la qual cosa ∆Ec <0
El teorema del treball-energia ens diu que el treball de la resultant de les forces que
actuen sobre una partícula en modifica l'energia cinètica.
Exemple
Trobeu la velocitat amb la qual surt una bala després de travessar una taula de 7 cm de
gruix i que oposa una resistència constant de F = 1800 N. La velocitat inicial de la bala
és de 450 m/s i la seua massa és de 15 g.
El treball fet per la força F és -1800·0.07= -126 J.
La velocitat final v és
Energia potencial. Força conservativa.
La energia potencial està relacionada amb la posició d’un cos. En el cas de l’energia
potencial gravitatòria depèn de l’altura a la qual està i es defineix com:
3. E p mgy
On m é la massa del cos, g l’acceleració de la gravetat i y l’altura que està el cos
respecte el terra per exemple. Com més amunt està un cos més capacitat de produir
treball té.
En el cas de la energia potencial elàstica d’una molla depèn del comprimida o estirada
estigui la molla, com més comprimida o més estirada més treball prodrà fer, per tant
més energia potencial. Es defineix com:
k x 2
Ep
2
On k és la constant elàstica de la molla i ∆x és l’estirament o compresió de la molla.
En les forces conservatives el treball fet per la força conservativa sempre és igual al
canvi d’energia potencial que expermenta el cos entre les dues posicions canviat de
signe, independentment de la trajectòria que hagi seguit.
Wc= -(EpB - EpA) = - ∆Ep
On EpB i EpA són les energies potencial i inicial respectivament i Wc és el reball fet per
la força conservativa.
El treball d'una força conservativa no depén del camí seguit per a anar del punt A al
punt B.
El treball d'una força conservativa al llarg d'un camí tancat és zero.
Wc=0 si va i torna al mateix lloc
El pes és una força conservativa
Calculem el treball de la força pes F = -mg j quan el cos es desplaça des de la posició A,
l'ordenada de la qual és yA, fins la posició B, l'ordenada de la qual és yB.
W= P·∆r= -mgj· (∆xi+∆yj)= -mg ∆y= -mg(yB –yA ) = -mgyB +
mgyA= EpA- EpB= - ∆Ep
m
(XA,YA)
-mgj
(XB,YB)
4. La força que fa una molla és conservativa
Com veiem en la figura, quan una molla es deforma una londitud x fa una força sobre la
partícula proporcional a la deformació x i de signe contrari a aquesta.
Per a x > 0, F = -kx
Per a x < 0, F = kx
El treball d'aquesta força, quan la partícula es desplaça des de la posició xA a la posició
xB, és
kx 2 kx 2
W Ep A Ep B Ep
A B
2 2
On xA és la deformació al principi i xB és la deformació al final
El nivell zero d'energia potencial s'estableix de la manera següent: quan la deformació
és zero, x = 0 ( la molla té la seva forma natural), el valor de l'energia potencial es pren
com a zero, Ep= 0
Principi de conservació de l'energia
Si sobre una partícula actua tan sols una força conservativa F el treball d'aquesta força
és igual a la diferència entre el valor inicial i final de l'energia potencial:
W = EpA –EpB = - ∆Ep
Com hem vist en l'apartat anterior, el treball de la resultant de les forces que actuen
sobre la partícula és igual a la diferència entre el valor final i inicial de l'energia
cinètica,
W = EcB –EcA = ∆Ec
Igualant els dos treballs obtenim l'expressió del principi de conservació de l'energia,
- ∆Ep= ∆Ec
EcA+ EpA= EcB+ EpB ( això es compleix només si hi ha tan sols forces conservatives)
L'energia mecànica de la partícula (suma de l'energia potencial més l'energia cinètica) és
constant en tots els punts de la seua trajectòria.
Exemple:
5. Un cos de 2 kg es deixa caure des d'una altura de 3 m. Calculeu:
1. La velocitat del cos quan està a 1 m d'altura i quan arriba al
terra,
2. L'energia cinètica potencial i total en aquestes posicions
Preneu g = 10 m/s2.
Posició inicial, y = 3 m, v = 0.
Ep= 2·10·3 = 60 J, Ec= 0, EA= Ec + Ep= 60 J.
· Posició x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ec=40, EB=Ec+Ep=60 J
Quan x = 0 m.
Ep= 2·10·0 = 0 J, Ec= 60, E = Ec + Ep= 60 J.
L'energia total del cos és constant. L'energia potencial disminueix i l'energia cinètica
augmenta.
