menghitung determinan ordo 3 x 3, 4 x 4, dan lebih tinggi

1. Determinan
Determinan
Yang dimaksud dengan determinan atau disingkat D adalah suatu bentuk susunan elemen
elemen 𝑎𝑖𝑗 yang disusun menurut jejeran baris-baris dan jejeran kolom-kolom sedangkan
banyaknya jejeran baris haruslah sama dengan banyaknya jejeran kolom. Matriks adalah
susunan unsur-unsur / bilangan yang berbentuk baris dan kolom. Banyaknya baris dan
banyaknya kolom dari sebuah matriks disebut ordo matriks.
det 𝐴 =
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑖 𝑎1𝑗 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑖 𝑎2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑖 𝑎3𝑗 ⋯ 𝑎3𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 ⋯ 𝑎𝑖𝑖 𝑎𝑖𝑗 ⋯ 𝑎𝑖𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 ⋯ 𝑎 𝑛𝑖 𝑎 𝑛𝑗 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
|
|
… … .(1)
Atau disingkat :
det 𝐴 = |𝑎𝑖𝑗| , ( 𝑖 = 1, 2, 3,… 𝑛 ) ,( 𝑗 = 1, 2, 3, … 𝑛)
a) Transpose matriks
Transpose dari matriks a, ditulis At adalah dengan merubah baris dari matriks semula menjadi
kolom atau merubah baris dari matriks semula menjadi kolom atau merubah kolom dari
matriks semula menjadi baris
Contoh:𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝐴 = |
1 2 3
4 −1 5
| , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴𝑡
= |
1 4
2 −1
3 5
|
Sehingga apabila ordo dari matriks adalah m x n, maka ordo dari transposenya n x m
b) Penjumlahan dan pengurangan matriks
Dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau bisa dikurangi apabila ordo dari matriks
tersebut sama. Adapun cara menjumlahkan dan menguranginya adalah unsur unsur yang
seletaknya dijumlahkan dan dikurangi
𝐴 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| , 𝐵 = |
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
|
𝐴 ± 𝐵 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| ± |
𝑏1 𝑏2
𝑏3 𝑏4
| = |
𝑎1 ± 𝑏1 𝑎3 ± 𝑏3
𝑎2 ± 𝑏2 𝑎4 ± 𝑏4
|
c) Perkalian matriks pada skalar
Untuk menetukan hasil perkalian sebuah matriks dengan skalar k adalah dengan cara
mengalikan skalar k tersebut dengan semua unsur yang ada pada matriks tersebut
𝐴 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
|
𝑘. 𝐴 = 𝑘 |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| = |
𝑘𝑎1 𝑘𝑎2
𝑘𝑎3 𝑘𝑎4
|

2. Jika h dan k adalah bilangan real, A dan B adalah matriks matriks berordo m x n,
maka berlaku sifat sifat:
(1) (h + k) A = hA + kA (4) I A = A
(2) k (A + B) = kA + kB (5) (-1) A = -A
(3) h (kA) = (hk) A
d) Dua buah matriks dikatakan sama apabila ordo dari kedua matriks tersebut sama dan
unsur unsur yang seletaknya sama
e) Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriks yang sebelah
kiri sama dengan banyaknya baris dari matriks yang sebelah kanan, dan tidak berlaku
sifat komutatif A x B ≠ B x A
Misalnya:
𝑑𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎ℎ𝑢𝑖 𝐴 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
|, 𝐵 = |
𝑏1 𝑏3
𝑏2 𝑏4
|
𝐴 𝑥 𝐵 = |
𝑎1 𝑎2
𝑎3 𝑎4
| |
𝑏1 𝑏3
𝑏2 𝑏4
| = |
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 𝑎1 𝑏3 + 𝑎2 𝑏4
𝑎3 𝑏1 + 𝑎4 𝑏2 𝑎3 𝑏3 + 𝑎4 𝑏4
|
Berdasarkan hasil yang diperoleh, disimpulkan:
 Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif AB ≠ BA
 Perkalian matriks bersifat asosiatif, (AB) C = A (BC)
 Jika I adalah matriks identitas maka A.I = I.A = A
f) Pemangkatan matriks persegi
Jika A adalah sebuah matriks m x m, maka perkalian (A.A...A) = k faktor dapat
dinyatakan dengan Ak, jadi jika k sebuah bilangan bulat positif, maka Ak = A.A...A
A.A = A²
A.A.A = A. A² = A³
A.A.A....A = Aⁿ
g) Invers dari matriks ordo 2 x 2
Jika diketahui matriks 𝐴 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| maka balikan dari matriks A atau invers dari
matriks A ditulis 𝐴−1
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
( 𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
h) Determinan matriks derajat dua
Jika diketahui 𝐴 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| maka besarnya matriks A / determinan matriks A / det A
ditulis | 𝐴| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
i) Invers matriks ordo 3 x 3
Langkah langkah mencarinya:
1) Cari kofaktor (M) dari matriks tersebut
|
𝑀11 −𝑀12 𝑀13
−𝑀21 𝑀22 −𝑀23
𝑀31 −𝑀32 𝑀33
| M11 maksudnya cari determinannya dengan mencoret
baris ke 1 dan kolom ke 1
2) Cari adjointnya yaitu transpose dari ke faktor diatas
3) Cari determinannya
4) Cari inversnya dengan rumus 𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑥 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡𝑛𝑦𝑎 𝐴

3. Misalnya:
Tentukan invers dari 𝐵 = |
2 −1 1
4 3 −2
−3 1 −1
|
1) Cari determinan B = | 𝐵| = 1
2) Cari kofaktor B
M11 = 3(-1)- (-2)1= -1
M12 = 4 (-1) – (-2)(-3) = -10
M13 = 4(1) – 3(-3) = 13
M21 = -1(-1) – 1(1) = 0
M22 = 2(-1) – 1(-3) = 1
M23 = 2(1) – (-1)(-3) = -1
M31 = -1(-2) – 1(3) = -1
M32 = 2(-2) – 1(4) = -8
M33 = 2(3) – (-1)(4) = 10
3) Adjoint 𝐵 = |
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
|
4) Invers 𝐵 = 𝐵−1
=
1
det 𝐵
𝑥 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐵
=
1
1
|
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
|
𝐵−1
= |
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
|
j) Dua matriks saling invers
Jika A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama sehingga AB = BA = I,
Maka B merupakan invers dari A dan A merupakan invers dari B. perhatikan!
𝐴 = |
1 1
1 2
| , 𝐵 = |
2 −1
−1 1
| , 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝐴𝐵 = |
1 1
1 2
| |
2 −1
−1 1
| = |
1 0
0 1
| = 𝐼
𝐵𝐴 = |
2 −1
−1 1
| |
1 1
1 2
| = |
1 0
0 1
| = 𝐼
Terlihat bahwa AB = BA = I. Invers dari matriks A dituliskan A-1, sehingga:
𝐴. 𝐴−1
= 𝐴−1
𝐴 = 𝐼
k) Membuktikan Rumus matriks berordo 2
Untuk menujukkan bahwa A-1 adalah inver dari matriks A maka kita harus
membuktikan bahwa A.A-1 = I
Misalnya: diket 𝐴 = | 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
|
𝐴−1
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
|
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
| akan dibuktikan bahwa A.A-1 = I
𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝐴. 𝐴−1
= 𝐼
Kita uraikan ruas kirinya

4. |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| .
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
|
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
| = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
||
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
|
|
𝑎𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑏(−𝑐)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎(−𝑏)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑏(𝑎)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑑(−𝑐)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐(−𝑏)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
+
𝑑(𝑎)
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
| 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖!
|
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑎𝑏 + 𝑎𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐𝑑 − 𝑐𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
| = |
1 0
0 1
| 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 !
(i) Harga suatu determinan derajat dua atau tiga
a) Definisi: harga suatu determinan derajat dua ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
𝐴2 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 … …(2)
b) Definisi: harga suatu determinan derajat tiga
Untuk menentukan harga suatu determinan derajat tiga, ditentukan dengan suatu aturan
yang dinamakan ekspansi/ babaran menurut suatu baris atau menurut suatu kolom dari
determinan tersebut sebagai contoh:
𝐴1 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| − 𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎13 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
| … …(3)
Merupakan det A3 yang dibabarkan menurut baris pertama dari (2) diperoleh harga :
𝐴3 = 𝑎11( 𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32) − 𝑎12( 𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 ( 𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 )
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31
𝑎𝑡𝑎𝑢
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 … …. (3′)
Bila det A3 dibabarkan menurut kolom kedua maka harga determinan adalah sebagai
berikut:
𝐴2 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = −𝑎12 |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| + 𝑎22 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎32 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| … … (4)
Dari (2) diperoleh harga:
𝐴3 = −𝑎12( 𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31) + 𝑎22 ( 𝑎11 𝑎33 − 𝑎13 𝑎31) − 𝑎32 ( 𝑎11 𝑎23 − 𝑎13 𝑎21)
= −𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 … …. (4′)
Ternyata bahwa dari (3) dan (4) diperoleh hasil yang sama ialah (3’) = (4’)
(ii) Minor
Dalam bentuk (3) pada (i) diatas secara berurutan determinan determinan:
|
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| , |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| , 𝑑𝑎𝑛 |
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎33
| masing masing disebut minor dari elemen
elemen a11 , a12 , a13 dalam det A3 tersebut
Demikian juga dalam bentuk (4) determinan determinan:

5. |
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| , |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| , 𝑑𝑎𝑛 |
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
| masing masing adalah minor dari elemen
elemen a12 , a22 , a32 dalam det A3 tersebut
Dengan demikian bila dalam determinan:
𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑀𝑖𝑗, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, maka harga determinan dapat
diperoleh sebagai berikut:
𝐴3 = 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 … … …. (5)
atau
= −𝑎21 𝑀21 + 𝑀22 − 𝑎23 𝑀23 … … …. (6)
atau
= 𝑎31 𝑀31 − 𝑎32 𝑀32 + 𝑎33 𝑀33 …… … . (7)
atau
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎21 𝑀21 + 𝑎31 𝑀31 … … …. (8)
atau
= −𝑎12 𝑀12 + 𝑎22 𝑀22 − 𝑎32 𝑀32 … … …. (9)
atau
= 𝑎13 𝑀13 − 𝑎23 𝑀23 + 𝑎33 𝑀33 …… … . (10)
Bentuk (5), (6), dan (7) adalah harga det A yang masing masing dibabarkan menurut baris
pertama, kedua dan ketiga sedangkan bentuk (8), (9) dan (10) adalah harga det A yang
masing masing dibabarkan menurut kolom pertama,kedua dan ketiga, dimana harga (5) = (6)
= (7) = (8) = (9) = (10)
Tanda positif atau negatif dari suatu minor ditentukan oleh letak elemen yang membentuk
minor tersebut yaitu sebagai berikut
Bila Mij adalah minor dari elemen aij dalam suatu determinan maka tanda Mij ditentukan
dengan harga:
(-1)i+j ..............................(11)
Yang berarti bahwa:
Bentuk (11) berharga positif (+) bila i+j adalah genap dan berharga negatif (-) bila i+j adalah
ganjil
Dengan menggunakan ketentuan (11) maka harga det A dapat diperoleh seperti yang
diberikan dalam bentuk (5) sampai dengan (10) misalnya bentuk (5) dan (9) seperti berikut:

6. 𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= (−1)1+1
𝑎11 𝑀11 + (−1)1+2
𝑎12 𝑀12 + (−1)1+3
𝑎13 𝑀13
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 + 𝑎13 𝑀13 𝑠𝑒𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎(5)
Atau
= (−1)1+2
𝑎12 𝑀12 + (−1)2+2
𝑎22 𝑀22 + (−1)3+2
𝑎32 𝑀32
= −𝑎12 𝑀12 + 𝑎22 𝑀22 − 𝑎32 𝑀32 𝑠𝑒𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎(9)
(iii) Harga determinan derajat tiga dengan metode diagonal
Harga determinan derajat tiga yang telah disajikan dalam (i) bagian (b) dengan rumus (3’)
atau (4’) dapat diperoleh sebagai berikut:
Letakkan dua kolom pertama (dari deterinan ) pada sebelah kanan determinan, sehingga
seolah-olah merupakan kolom keempat dan kelima.
Maka harga determinan A3 sama dengan jumlah dari hasil pergandaan elemen elemen
yang terletak pada diagonal pokok dan elemen elemen yang terletak menurut arah garis
yang sejajar dengan diagonal pokok tersebut, selanjutnya dikurangi (minus) hasil
pergandaan elemen elemen menurut arah diagonal yang lain seperti terbaca pada skema
dibawah ini:
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
𝑗𝑎𝑑𝑖 𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Seperti terbaca pada (3’) atau (4’) di muka
Perhatikan cara (iii) ini hanya berlaku untuk determinan derajat tiga
(iv) Harga determinan derajat empat atau lebih
Menghitung harga determinan derajat empat atau lebih dapat dilakukan dengan cara
babaran menurut suatu baris atau kolom seperti diuraikan dalam (ii) diatas sehingga
diperoleh bentuk bentuk determinan yang berderajat satu atau lebih kecil dari derajat
determinan semula. Proses babaran diteruskan, sehingga pada langkah terakhir diperoleh
bentuk-bentuk determinan derajat dua atau tiga yang selanjutnya dapat diselesaikan
dengan (i) atau (ii) di muka
Bila An adalah determinan yang berderajatr n dengan bentuk seperti berikut:

7. 𝐴 𝑛 =
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑗 𝑎2𝑛
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛𝑛
|
|
Dan bila An dibabarkan menurut baris ke i, maka harga determinan adalah sebagai berikut:
𝐴 𝑛 =
|
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑗 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎3𝑗 𝑎3𝑛
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛3 𝑎 𝑛𝑗 𝑎 𝑛𝑛
|
|
|
= (−1)𝑖+1
𝑎𝑖1 𝑀𝑖1 + (−1)𝑖+2
𝑎𝑖2 𝑀𝑖2 + (−1)𝑖+3
𝑎𝑖3 𝑀𝑖3 + ⋯+ (−1)𝑖+𝑗
𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 + ⋯
+ (−1)𝑖+𝑛
𝑎𝑖𝑛 𝑀𝑖𝑛 …… . (12)
Mij adalah minor elemenaij dan Mij merupakan determinan yang berderajat (n-1) atau satu
lebih kecil dari derajat An sedangkan elemen elemen Mij diambil dari (terdiri dari) elemen
elemen An yang telah dibuang / dihapus baris ke i dan kolom ke j nya berarti derajat Mij
adalah (n-1)
Bentuk (12) di muka dapat ditulis menjadi
𝐴 𝑛 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + 𝑎𝑖3 𝐴𝑖3 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 … …. (13)
Ai1, Ai2 , Ai3, ... Aij, ..... , Ain masing masing dinamakan kofaktor dari elemen elemen Ai1,
ai2 , ai3, ... aij, ..... , ain dalam determinan An dan 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗
𝑀𝑖𝑗 …… … . (13′
)
Bentuk rumus (13) berarti bahwa harga det An sama dengan jumlah hasil pergandaan
elemen elemen baris ke i dan kofaktor - kofaktor yang bersesuaian dari masing masing
elemen tersebut
Secara umum diperoleh:
Harga suatu determinan sama dengan jumlah hasil pergandaan elemen elemen menurut
suatu baris (kolom) dan kofaktor- kofaktor yang bersesuaian dari masing- masing elemen
tersebut.
Misalkan n = 4 maka diperoleh determinan berderajat empat dengan bentuk dan harganya
sebagai berikut:

8. 𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
Dan bila dibabarkan menurut baris ketiga, maka:
𝐴3 = 𝑎31 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎42 𝑎43 𝑎44
| − 𝑎32 |
𝑎11 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎24
𝑎41 𝑎43 𝑎44
| + 𝑎33 |
𝑎11 𝑎12 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎24
𝑎41 𝑎42 𝑎44
|
− 𝑎34 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎41 𝑎42 𝑎43
|
Dari contoh diatas, bila suatu determinan berderajat empat dikembangkan menurut suatu
baris atau kolom, maka diperoleh empat macam / bentuk determinan derajat tiga. Demikian
juga dapat diperoleh:
Bila suatu determinan berderajat lima dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka akan
diperoleh lima macam / bentuk determinan berderajat empat
𝐴4 = |
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎51 𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
|
= 𝑎11 𝑀11 + 𝑎21 𝑀21 +𝑎31 𝑀31 + 𝑎41 𝑀41 + 𝑎51 𝑀51
= (−1)1+1
𝑎11 𝑀11 + (−1)2+1
𝑎21 𝑀21+(−1)3+1
𝑎31 𝑀31 + (−1)4+1
𝑎41 𝑀41
+ (−1)5+1
𝑎51 𝑀51
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎21 𝑀21 +𝑎31 𝑀31 − 𝑎41 𝑀41 + 𝑎51 𝑀51

9. = 𝑎11 |
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
| − 𝑎21 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
| + 𝑎31 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
− 𝑎41 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
| + 𝑎51 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
| …… … . . (5)
Selanjutnya, karena M11, M21, M31, M41, dan M51 merupakan determinan 4 x 4, maka kita
uraikan lagi dengan menggunakan kofaktor. Ambil i = 1, 2, 3, 4, 5 dan j = 1, maka dengan
metode sarrus, yang pertama didapatkan:
|
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
= 𝑎22 |
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| − 𝑎32 |
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| + 𝑎42 |
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
− 𝑎52 |
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎43 𝑎44 𝑎45
| = 𝑎
Yang kedua yaitu:
|
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
= 𝑎12 |
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| − 𝑎32 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| + 𝑎42 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
− 𝑎52 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎43 𝑎44 𝑎45
| = 𝑏
Yang ketiga yaitu:

10. |
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
= 𝑎12 |
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| − 𝑎22 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎43 𝑎44 𝑎45
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| + 𝑎42 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
− 𝑎52 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎43 𝑎44 𝑎45
| = 𝑐
Yang ke empat yaitu:
|
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎52 𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
= 𝑎12 |
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| − 𝑎22 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎53 𝑎54 𝑎55
| + 𝑎32 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎53 𝑎54 𝑎55
|
− 𝑎52 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎33 𝑎34 𝑎35
| = 𝑑
Yang kelima yaitu:
|
𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑎45
|
= 𝑎12 |
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎43 𝑎44 𝑎45
| − 𝑎22 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎33 𝑎34 𝑎35
𝑎43 𝑎44 𝑎45
| + 𝑎32 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎43 𝑎44 𝑎45
|
− 𝑎42 |
𝑎13 𝑎14 𝑎15
𝑎23 𝑎24 𝑎25
𝑎33 𝑎34 𝑎35
| = 𝑒
Persamaan yang a, b, c, d, dan e dimasukkan kedalam persamaan (5)

11. Bila suatu determinan berderajat enam dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka
akan diperoleh enam macam / bentuk determinan berderajat lima
Jadi, untuk menghitung harga suatu determinan berderajat enam dengan cara babaran akan
menghasilkan:
6𝑥5𝑥4 =
6!
3!
macam/bentuk determinan berderajat tiga (yang selanjutnya dapat diselesaikan)
Bila suatu determinan berderajat n dibabarkan , maka dapat diperoleh
𝑛!
3!
macam / bentuk
determinan berderajat tiga
(v) Sifat sifat detrminan
Untuk pembuktian sifat sifat berikut ini lebih banyak disajikan dalam betuk contoh,
langkah ini diambil untuk mudah dipahami oleh para pemakai yang selanjutnya sifat sifat
tersebut dapat diperluas berlaku umum:
(a) Babaran suatu determinan berderajat n, menghasilkan/ memuat n! suku
Bukti! Seperti yang telah diuraikan pada (iv) di muka. Maka bila suatu determinan
berderajat n dibabarkan dapat diperoleh
𝑛!
3!
bentuk determinan derajat 3
Pada determinan derajat tiga bila dibabarkan akan memuat / menghasilkan 3 bentuk
determinan derajat dua yang masing masing menghasilkan dua suku, sehingga bila suatu
determinan berderajat n dibabarkan maka diperoleh:
(
𝑛!
3!
𝑥 3 𝑥 2) suku atau n! suku
catatan: setiap suku tersebut merupakan hasil pergandaan elemen elemen yang diambil
satu dan hanya satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom
(b) Harga suatu determinan tidak berubah, bila baris-baris dan kolom-kolom yang
bersesuaian / berkorespondensi ditukar tempatnya

12. Bukti: untuk bukti diambil contoh determinan derajat tiga yang selanjutnya dapat
diperluas untuk determinan dengan derajat lebih dari tiga
Misalnya: 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎23 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Bila pada determinan A tersebut diatas ini:
Baris pertama ditukar dengan kolom pertama
Baris kedua ditukar dengan kolom kedua
Baris ketiga ditukar dengan kolom ketiga
Maka diperoleh det 𝐵 = |
𝑎11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 + 𝑎31 𝑎12 𝑎23 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎11 𝑎32 𝑎23 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33
= 𝑎11 𝑎22 𝑎23 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Yang ternyata merupakan harga det A
(c) Bila dalam suatu determinan terdapat suatu baris atau suatu kolom semua elemenya
adalah nol. Maka harga determinan tersebut sama dengan nol
Bukti: sebagai akibat dari catatan sifat (a) di muka.
(d) Bila dua baris atau dua kolom yang berurutan dalam suatu determinan ditukar tempatnya,
maka harga determinan hanya berubah dalam tanda
Bukti: diambil contoh pada determinan derajat tiga
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= 𝑎11 𝑎22 𝑎23 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32
− 𝑎12 𝑎21 𝑎33
Bila kolom kedua dan ketiga ditukar maka diperoleh determinan

13. 𝐴 = |
𝑎11 𝑎13 𝑎12
𝑎21 𝑎23 𝑎22
𝑎31 𝑎33 𝑎32
| = 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎12 𝑎23 𝑎31 −
𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎13 𝑎21 𝑎32
= 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − ( 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 )
= −( 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 ) + 𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎12 𝑎21 𝑎23
= −𝐴
(e) Bila dua baris atau dua kolom dari suatu determinan adalah identik, maka harga
determian tersebut sama dengan nol
Bukti: misalkan baris kedua dan ketiga dari determinan A adalah identik dan bila kedua
baris tersebut ditukar tempatnya satu dengan yang lain, maka dari sifat (d) diperoleh:
A = -A atau 2A=0 → A =0
Jadi harga determinan A = 0
(e2) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari suatu determinan digandakan
dengan suatu besaran k, maka harga determinan yang terjadi(baru) sama dengan hasil
ganda k dengan determinan semula.
Bukti: determinan dibabarkan menurut baris atau kolom yang elemen elemennya telah
digandakan k, maka akan diperoleh bentuk babaran determinan semula menurut baris
atau kolom tersebut dengan setiap sukunya digandakan k.
Misalnya determinan semula adalah A berderajat empat atau ditulis:
𝐴3 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
baris ketiga digandakan k dan determinan yang baru dsinamakan b, maka
𝐵 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑘𝑎31 𝑘𝑎32 𝑘𝑎33 𝑘𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|

14. dibabarkan menurut baris ketiga, maka diperoleh harga determinan B
𝐵 = 𝑘𝑎31 |
𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎42 𝑎43 𝑎44
| − 𝑘𝑎32 |
𝑎11 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎24
𝑎41 𝑎43 𝑎44
| + 𝑘𝑎33 |
𝑎11 𝑎12 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎24
𝑎41 𝑎42 𝑎44
|
− 𝑘𝑎34 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎41 𝑎42 𝑎43
|
yang berarti bahwa ruas kanan adalah hasil ganda besaran k dengan determinan A (yang
dibabarkan menurut baris ketiga)
𝑗𝑎𝑑𝑖 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑘𝑎31 𝑘𝑎32 𝑘𝑎33 𝑘𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| = 𝑘 |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|
(e3) bila elemen elemen yang bersesuaian / berkorespondensi dari dua baris atau dua kolom
dalam suatu determinan adalah sebanding, maka harga determinan sama dengan nol
Bukti: misalnya pada determinan derajat empat elemen elemen yang dimaksud adalah
elemen elemen dalam kolom ke dua dan ketiga yang bersesuaikan adalah sebanding,
yang berarti:
𝑎12
𝑎13
=
𝑎22
𝑎23
=
𝑎32
𝑎33
=
𝑎42
𝑎43
= 𝑐, maka
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| = |
𝑎11 𝑎13 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎33 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎43 𝑎43 𝑎44
|
= 𝑐 |
𝑎11 𝑎13 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎33 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎43 𝑎43 𝑎44
| … 𝑑𝑎𝑟𝑖 ( 𝑒2)
= 𝑐. 0 = 0… … …… … …… . . 𝑑𝑎𝑟𝑖 (𝑒1)
(f) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom tertentu dalam suatu determian
merupakan penjumlahan dua suku, maka bentuk determian semula dapat disajikan dalam
bentuk penjumlahan dua determinan yang elemen elemennya merupakan pemisahan dari
dua suku pada baris atau kolom yang lain adalah sama seperti pada determinan semula.

15. Atau lebih jelasnya sebagai berikut, pada determinan A berderajat tiga, setiap elemen
dalam baris kedua merupakan penjumlahan dua suku, maka
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
( 𝑎21 + 𝑎′
21 ) ( 𝑎22 + 𝑎′
22) (𝑎23 + 𝑎′
23)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| + |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
Bukti: untuk pembuktian disini diambil determinan A tersebut diatas dan dibabarkan
menurut baris kedua, maka:
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
( 𝑎21 + 𝑎′
21 ) ( 𝑎22 + 𝑎′
22) (𝑎23 + 𝑎′
23)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
= −( 𝑎21 + 𝑎′
21)|
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| + ( 𝑎22 + 𝑎′
22)|
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − ( 𝑎23 + 𝑎′
23 )|
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
|
= −𝑎21 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
| + 𝑎22 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎23 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
| − 𝑎′
21 |
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
|
+ 𝑎′
22 |
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
| − 𝑎′
23 |
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
|
Jadi dari (ii) pada (b) diperoleh:
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
( 𝑎21 + 𝑎′
21 ) ( 𝑎22 + 𝑎′
22) (𝑎23 + 𝑎′
23)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| + |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎′21 𝑎′22 𝑎′23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
(g) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom setelah digandakan dengan suatu
besaran k, kemudian ditambahkan pada setiap elemen yang bersesuaian dari baris atau
kolom yang lain dalam suatu determinan, maka harga determinan tersebut tidak berubah.
Bukti: diambil determinan A berderajat empat
𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
|

16. bila setiap elemen dari kolom ketiga digandakan dengan k, kemudian ditambahkan pada
setiap elemen yang bersesuaian dari kolom kedua, maka diperoleh:
||
𝑎11 ( 𝑎12 + 𝑘𝑎13) 𝑎13 𝑎14
𝑎21 ( 𝑎22 + 𝑘𝑎23 ) 𝑎23 𝑎24
𝑎31 ( 𝑎32 + 𝑘𝑎33 ) 𝑎33 𝑎34
𝑎41 ( 𝑎42 + 𝑘𝑎43 ) 𝑎43 𝑎44
|| = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| +
|
𝑎11 𝑘𝑎13 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑘𝑎23 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑘𝑎33 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑘𝑎43 𝑎43 𝑎44
| …… 𝑑𝑎𝑟𝑖 ( 𝑓)
jadi dari (e3) diperoleh:
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
| = ||
𝑎11 ( 𝑎12 + 𝑘𝑎13) 𝑎13 𝑎14
𝑎21 ( 𝑎22 + 𝑘𝑎23 ) 𝑎23 𝑎24
𝑎31 ( 𝑎32 + 𝑘𝑎33 ) 𝑎33 𝑎34
𝑎41 ( 𝑎42 + 𝑘𝑎43 ) 𝑎43 𝑎44
||
Sumber: kalkulus, karya H. M hasyim baisuni, editor: Dr. SM Nababan