Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
2Ο ΓΕΛ ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΎ ΤΜΉΜΑ: Α1
Ιδιότητα πράξεων Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα
Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α...
1. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ
2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ
3. α = β α + γ = β + γ
4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ
5...
Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει
ότι:
αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και
ν παράγοντες
α1 = α, για ν = 1
Αν α ≠ 0, τ...
1. ακ ∙ αλ = ακ+λ
2. = ακ-λ (α≠0)
3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ
4. (β≠0)
5. (ακ)λ = ακλ




















(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
(α - β)2 = α2 - 2αβ + β2
α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β)
(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3
(α - β)3 =...
α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ
(α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ
αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-...
Διάστημα Ανισότητα Συμβολισμός
x´ α β x
x´ α β x
x´ α β x
x´ α x
x´ α x
x´ α x
x´ α x
Ορισμός
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α
συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο
α, αν α≥0
-α, αν α<0
Συνέπειες
...
1.
2. = (β ≠ 0)
3.
Απόσταση
 d (α , β) =
β
α
β
α Ανισότητες με απόλυτα

 ή x > ρ
βαβα 
βαβα 
βα 
ρxρρ)ρ,(xρx ...
Ορισμός
Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται
με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί
σ...
Ορισμός
Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός
αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν...
Ιδιότητες
• Αν α,β ≥ 0, τότε:
1.
2. (β ≠ 0)
3.
4.
5.
6.
ννν
βαβα 
ν
ν
ν
β
α
β
α

νμμ ν
αα


ν μρν ρμ
αα 
 
 κ
ν...
Ορισμός
• Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε
ορίζουμε
• Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει
ότι:
ν μ...
• Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την:
• Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυ...
• Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται
εξίσωση δευτέρου βαθμού.
Είδος ριζών
Δ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 ...
•
•
Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 ,
x2 :
x2 – Sx + P = 0
α
β
xxS 21 
α
γ
xxP 21 
• Αν α > 0 , τότε:
• Αν α < 0 , τότε:
• Αν α = 0 , τότε: , η οποία
 αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0
 ενώ είναι αδύ...
Μορφές τριωνύμου
Η παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού.
Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 με...
Δ > 0
-∞ x1 x2 +∞
Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο
του α του α του α
Δ = 0
-∞ x1 +∞
Ομόσημο Ομόσημο
του α του α
Δ < 0
-∞ +∞
Ομόση...
Άλγεβρα Α Λυκείου
Άλγεβρα Α Λυκείου
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Άλγεβρα Α Λυκείου

637 Aufrufe

Veröffentlicht am

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Άλγεβρα Α Λυκείου

  1. 1. 2Ο ΓΕΛ ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΎ ΤΜΉΜΑ: Α1
  2. 2. Ιδιότητα πράξεων Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ)=(αβ)γ Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = α Αντίθετος/Αντίστροφος αριθμού α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0 Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγ Αφαίρεση α-β = α+ (-β) Διαίρεση (β≠0)  1      1 : 
  3. 3. 1. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ 2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ 3. α = β α + γ = β + γ 4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ 5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 0 6. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0      
  4. 4. Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει ότι: αν = α∙α∙α…∙α για ν > 1 και ν παράγοντες α1 = α, για ν = 1 Αν α ≠ 0, τότε: α0 = 1 και α-ν =   1
  5. 5. 1. ακ ∙ αλ = ακ+λ 2. = ακ-λ (α≠0) 3. ακ ∙ βκ = (αβ)κ 4. (β≠0) 5. (ακ)λ = ακλ                    
  6. 6. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2 α2 - β2 = (α + β) ∙ (α - β) (α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3 (α - β)3 = α3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3 α3 + β3 = (α + β) ∙ (α2 – αβ + β2) α3 - β3 = (α - β) ∙ (α2 + αβ + β2) (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2βγ + 2γα
  7. 7. α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ (α + β - γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ - 2βγ - 2αγ αν – βν = (α - β) ∙ (αν-1 + αν-2β + … + αβν-2 + βν-1) α3 + β3 +γ3 – 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2+β2+γ2-αβ-βγ-γα) α3+β3+γ3 –3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2] Αν α + β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ Αν α = β = γ τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ α3 + β3 = (α + β)3 - 3αβ (α + β) 2 1
  8. 8. Διάστημα Ανισότητα Συμβολισμός x´ α β x x´ α β x x´ α β x x´ α x x´ α x x´ α x x´ α x
  9. 9. Ορισμός Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο α, αν α≥0 -α, αν α<0 Συνέπειες και ή x = -θ (θ > 0) ή x = -α α 0αα  αα  αα  22 αα  θxθx  αxαx  α
  10. 10. 1. 2. = (β ≠ 0) 3. Απόσταση  d (α , β) = β α β α Ανισότητες με απόλυτα   ή x > ρ βαβα  βαβα  βα  ρxρρ)ρ,(xρx  ρxρx 
  11. 11. Ορισμός Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. • Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α. Ιδιότητες •Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε: 1. 2. α α αα 2  βαβα  β α β α  3. (β ≠ 0 )
  12. 12. Ορισμός Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.  Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α. ν α ν α
  13. 13. Ιδιότητες • Αν α,β ≥ 0, τότε: 1. 2. (β ≠ 0) 3. 4. 5. 6. ννν βαβα  ν ν ν β α β α  νμμ ν αα   ν μρν ρμ αα     κ νv κ αα  νν ν βαβα  • Αν α ≥ 0, τότε: • Αν α ≤ 0 & ν άρτιος, τότε:   αα ν ν  & ααν ν  ααν ν 
  14. 14. Ορισμός • Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε ορίζουμε • Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι: ν μν μ αα  νν βαβα 
  15. 15. • Η εξίσωση xν = α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: • Η εξίσωση xν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει δυο λύσεις τις: και • Η εξίσωση xν = α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει μια λύση, την: • Η εξίσωση xν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη ν α ν α ν α ν α
  16. 16. • Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού. Είδος ριζών Δ = β2 - 4αγ Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ 2α Δβ- x 1,2   2α β -x 
  17. 17. • • Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 , x2 : x2 – Sx + P = 0 α β xxS 21  α γ xxP 21 
  18. 18. • Αν α > 0 , τότε: • Αν α < 0 , τότε: • Αν α = 0 , τότε: , η οποία  αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0  ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0 α β- x  α β- x  -β0x  
  19. 19. Μορφές τριωνύμου Η παράσταση αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού. Το τριώνυμο αx2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής: Δ > 0 , τότε: Δ = 0 , τότε: Δ < 0 ,τότε:   21 2 xxxxαγβxαx  2 2 2α β xαγβxαx                         2 2 2 4α Δ 2α β xαγβxαx
  20. 20. Δ > 0 -∞ x1 x2 +∞ Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο του α του α του α Δ = 0 -∞ x1 +∞ Ομόσημο Ομόσημο του α του α Δ < 0 -∞ +∞ Ομόσημο του α x ℝ

×