1. PRODUCTOS NOTABLES
DIVISIÓN ALGEBRAICA
COCIENTES NOTABLES
EQUIPO DE CIENCIAS

2. ESQUEMA DE LA UNIDAD
PRODUCTOS NOTABLES,
DIVISIÓN ALGEBRAICA,
COCIENTES NOTABLES
PRODUCTOS
NOTABLES:
DEFINICIÓN
TABLA DE IDENTIDADES
CASOS ESPECIALES
DIVISIÓN ALGEBRAICA:
COCIENTES NOTABLES:
ELEMENTOS
CONCEPTO
CASOS
CASOS
MÉTODOS DE DIVISIÓN
TÉRMINO GENERAL
TEOREMA DEL RESTO

4. x7
x
27
2
UNA DIVISIÓN ESPECIAL

5. x7
x
27
2
¿PORQUÉ ES ESPECIAL?

6. x7
x
27
2
OBSERVAMOS:
• EL DIVIDENDO Y EL DIVISOR SON BINOMIOS.
•EL DIVIDENDO ES LA DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS CON IGUAL
EXPONENTE.
•EL DIVISOR ES LA DIFERENCIA DE LAS BASES DE LAS POTENCIAS DEL
DIVIDENDO.

7. x7
x
¿CÓMO RESOLVEMOS
ESTA DIVISIÓN?
27
2

8. x7
x
27
2
VEAMOS LOS CRITERIOS
DE LOS “COCIENTES
NOTABLES”

9. COCIENTES NOTABLES
• Provienen de divisiones exactas, las cuales se
calculan de manera directa.
• Las fórmulas se obtienen de la siguiente
expresión.
xn
x
Donde: n 2
an
a

10. CUATRO CASOS DE DIVISIÓN
x
n
x
a
a
n
xn an
x a
xn an xn an xn an
x a
x a
x a
Cociente
notable para n
par o impar
Cociente
Cociente
No es cociente
notable para n notable para n notable
par
impar

11. CASOS Y DESARROLLO
CASOS
DESARROLLOS
CONDICIÓN
xn
x
an
a
x n 1a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n
xn
x
an
a
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
n es par
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
n es impar
xn
x
an
a
1
n es par o
impar

12. CARACTERÍSTICAS DE LOS
DESARROLLOS
CASOS
DESARROLLOS
CONDICIÓN
xn
x
an
a
x n 1a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n
xn
x
an
a
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
xn
x
an
a
n 1 0
x a
n 2 1
x a
n 3
x a
2
 xa
0
1
n 1
n es par o
impar
n es par
n es impar
4.- Cada desarrollos son polinomios homogéneos.
3.- Los desarrollo es un polinomio ordenado y
5.- El número deson forman
completo. Los exponentes de la primera base un
2.- Cada término son polinomioslacada término es
1.- suma de los exponentesde de gradomanera,
6.- Los desarrollos del desarrollo se
Los desarrollos términos en misma n-1,
La menos que n-1 hasta cero;
disminuyen desde el igualsignos. y los exponentes de la
grado únicamente en las del bases
varían
forma multiplicandolos a n dividendo.
losmisma.
desarrollos es grado dos
la
segunda base aumentan desde cero hasta n-1.

13. PRIMER CASO
xn an
x a
x n 1a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n
1
Ejemplo:
x 5 25
x 2
x 4 20 x 3 21 x 2 22 x1 23 x 0 24
x
4
2x
3
4x
2
8 x 16
Observaciones: Todos los términos del desarrollo son
positivos. Recordar que n puede ser par o impar.

14. Ejemplo:
64x 6 729
 Calcula el cociente:
2x 3
64x 6 729
2x 3
(2 x) 6 36
2x 3
(2 x)5 30 (2 x) 4 31 (2 x)3 32 (2 x) 2 33 (2 x)1 34 (2 x) 0 35
32x5 48x 4 72x 3 108x 2 162x 243

15. SEGUNDO CASO
xn an
x a
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
Ejemplo:
x 6 26
x 2
5
x2
x
5
0
4
1
x 2
2x
4
3
x2
4x
3
2
2
x2
8x
2
3
1
x2
4
0
x2
5
16x 32
Observa: En este caso, los signos del desarrollo son
alternadamente positivos y negativos, empezando en
positivo.

16. Ejemplo:
x8 1
 Calcular el cociente:
x 1
x8 1
x 1
x 710 x 612 x 513 x 414 x 315 x 216 x117 x 018
x7 x6 x5 x 4 x3 x 2 x 1
 Calcular el cociente
81x 4 625
3x 5
81x 4 62 5
3x 5
(3x) 4 54
3x 5
(3x)3 50 (3x) 2 51 (3x)1 52 (3x) 0 53
27x 3 45x 2 75x1 125

17. TERCER CASO
n
x a
x a
n
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
Ejemplo:
x 5 25
x 2
4
x 2
x4
0
3
1
x 2
2 x3
2
x 2
4x2
2
1
x2
8x
3
0
x 2
4
16
Observa: En este caso, los signos del desarrollo son
alternadamente positivos y negativos, empezando en
positivo. Recuerde que n es impar.

18. Ejemplo:
x7 1
 Calcular el cociente:
x 1
x7 1
x 1
x 612 x 513 x 414 x 315 x 216 x117 x 018
x6 x5 x 4 x3 x 2 x 1
3 2x 5 y 5
 Calcular el cociente
2x y
5
5
(2 x) 5 y 5
3 2x y
2x y
2x y
(2 x) 4 y 0 (2 x) 3 y1 (2 x) 2 y 2 (2 x)1 y 3 (2 x) 0 y 4
1 6x 4
8x3 y
4x2 y 2
2 xy 3
y4

19. CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA OBTENER UN C.N.
De:
xn
xp
am
aq
n
p
se debe cumplir
m
q
Número d e Términos
Ejemplo:
Hallar el valor de “n” si el cociente es notable
Se cumple:
5n 3
n 1
(5n
3)( n
5n 2 10n
12n 36
2)
5( n 6)
n 2
5(n
3n 6
n 3
,luego entonces
6)( n 1)
5n 2
5n
30n
30
x 5n 3 y 5( n 6)
xn 1 yn 2

20. FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.
Es una fórmula que nos permite encontrar un término
cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de
conocer los demás.
xn
x
De la división:
yn
y
Si d(x) = x – y:
tk
xn k yk
1
Si d(x) = x + y:
tk
( 1) k 1 x n k y k
1
Donde:
tk término del lugar k
x 1er. término del
divisor.
y 2do. término del
divisor.
n número de términos
de q(x)(C.N.)

21. 81x 4 625
Aplicación: Calcular el tercer término de:
3x 5
Como d(x) = x + y, entonces:
8 1x 4 6 2 5
3x 5
Además:
tk
t3
3
tk
( 1) k 1 x n k y k
(3x) 4 54
3x 5
( 1)3 1 (3x) 4 3 53
75x
1
1
, luego n=4 y k=3
75x

23. EVALUACIÓN
1. Cuantos términos tiene el CN:
2 5 6 1 6 m8
n
2n 2 m
2. Indique el cuarto término de:
6 2 5x1 2 a 2 4
5x3 a6
PIERRE DE FERMAT