Este documento presenta una introducción a la programación lineal, incluyendo definiciones de variables, funciones objetivo y restricciones lineales. Explica cómo representar gráficamente un problema de programación lineal y encontrar la solución óptima. También presenta dos ejemplos numéricos de problemas de programación lineal y sus respectivas soluciones.

1. República Bolivariana de VenezuelaRepública Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación UniversitariaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión MaracayExtensión Maracay
IUPMSIUPMS
Integrantes:Integrantes:
Fernando MarcanoFernando Marcano
CI:19.509.703CI:19.509.703
Sara ColmenaresSara Colmenares
CI:16.110.094CI:16.110.094
Sección: SMSección: SM
Profesor:Profesor:
José Leonardo AranaJosé Leonardo Arana

2. Programación LinealProgramación Lineal
 La programación lineal es un procedimiento oLa programación lineal es un procedimiento o
algoritmo matemático mediante el cual sealgoritmo matemático mediante el cual se
resuelve un problema indeterminado, formulado aresuelve un problema indeterminado, formulado a
través de un sistema de inecuaciones lineales,través de un sistema de inecuaciones lineales,
optimizando la función objetivo, también lineal.optimizando la función objetivo, también lineal.
 Consiste en optimizar (minimizar o maximizar)Consiste en optimizar (minimizar o maximizar)
una función lineal, denominada función objetivo,una función lineal, denominada función objetivo,
de tal forma que las variables de dicha funciónde tal forma que las variables de dicha función
estén sujetas a una serie de restricciones queestén sujetas a una serie de restricciones que
expresamos mediante un sistema de inecuacionesexpresamos mediante un sistema de inecuaciones
lineales.lineales.

3. VariablesVariables
 Las variables son números realesLas variables son números reales
mayores o iguales a cero.mayores o iguales a cero.
 En caso que se requiera que el valorEn caso que se requiera que el valor
resultante de las variables sea unresultante de las variables sea un
número entero, el procedimiento denúmero entero, el procedimiento de
resolución se denominaresolución se denomina
Programación enteraProgramación entera..

4.  Las restricciones pueden ser de la forma:Las restricciones pueden ser de la forma:
 Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3:Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3:
 Donde:Donde:
 AA = valor conocido a ser respetado estrictamente;= valor conocido a ser respetado estrictamente;
 BB = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;= valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;
 CC = valor conocido que no debe ser superado;= valor conocido que no debe ser superado;
 j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total dej = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de
restricciones);restricciones);
 aa;; bb; y,; y, cc = coeficientes técnicos conocidos;= coeficientes técnicos conocidos;
 XX = Incógnitas, de 1 a N;= Incógnitas, de 1 a N;
 i = número de la incógnita, variable de 1 a N.i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
 En general no hay restricciones en cuanto a los valores deEn general no hay restricciones en cuanto a los valores de NN yy MM..
Puede serPuede ser N = MN = M;; N > MN > M; ó,; ó, N < MN < M..
 Sin embargo si las restricciones delSin embargo si las restricciones del Tipo 1Tipo 1 sonson NN, el problema, el problema
puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.
 Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en elLos tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el
mismo problema.mismo problema.
RestriccionesRestricciones

5. Función ObjetivoFunción Objetivo
 La función objetivo puede ser:La función objetivo puede ser:

 OO

 Donde:Donde:
 = coeficientes son relativamente= coeficientes son relativamente
iguales a cero.iguales a cero.

6. Solución FactibleSolución Factible
 Solución que satisface todas lasSolución que satisface todas las
restricciones.restricciones.
Solución ÓptimaSolución Óptima
 Solución factible que entrega elSolución factible que entrega el
mejor valor posible para la funciónmejor valor posible para la función
objetivoobjetivo

7. Propiedades de lasPropiedades de las
solucionessoluciones
 Existe solo una solución, estaExiste solo una solución, esta
corresponde a un vértice de la regióncorresponde a un vértice de la región
factible.factible.
 Si existen varias soluciones, alSi existen varias soluciones, al
menos dos de ellas deben estar enmenos dos de ellas deben estar en
vértices adyacentes.vértices adyacentes.

8. EjemplosEjemplos
 Max Z=6xMax Z=6x11 + 4x+ 4x22
 Restricciones:Restricciones:
 X1 +X2 < 12X1 +X2 < 12
 X1 –2 X2 <6X1 –2 X2 <6
 X2 < 8X2 < 8
 Condición de negatividadCondición de negatividad
 X1, X2 >0X1, X2 >0

9. Hay casos de igualdades y desigualdades lineales para elHay casos de igualdades y desigualdades lineales para el
caso de dos variables dichas restricciones pueden sercaso de dos variables dichas restricciones pueden ser
graficadas en el plano cartesiano donde cada ejegraficadas en el plano cartesiano donde cada eje
corresponde a una variable.corresponde a una variable.
X1 + x2 =12X1 + x2 =12
X1=0X1=0
x2 =12x2 =12
(0,12)(0,12)
X1 – 2x2 =6X1 – 2x2 =6
X1=0X1=0
X2 =6/-2 =-3X2 =6/-2 =-3
(0,-3)(0,-3)
X2=8X2=8
(0,8)(0,8)
X1 + x2 = 12X1 + x2 = 12
X2=0X2=0
X1=12X1=12
(12,0)(12,0)
X1 – 2x2= 6X1 – 2x2= 6
X2=0X2=0
X1=6X1=6
(6,0)(6,0)

10.  GráficoGráfico
Las restricciones forman unLas restricciones forman un
polígono cuyos lados sonpolígono cuyos lados son
secciones de las rectas quesecciones de las rectas que
grafican las restriccionesgrafican las restricciones
incluyendo los ejes del planoincluyendo los ejes del plano
y cuyos vérticesy cuyos vértices
corresponden a lascorresponden a las
intersecciones de estas. Esteintersecciones de estas. Este
polígono recibe el nombre depolígono recibe el nombre de
región factible y delimita laregión factible y delimita la
región del plano que contieneregión del plano que contiene
las posibles soluciones quelas posibles soluciones que
cumplen la totalidad de lascumplen la totalidad de las
restriccionesrestricciones

11.  Max z= 6x1 + 4x2Max z= 6x1 + 4x2
Con el pto (4,8): 6(4) + 4(8)=56Con el pto (4,8): 6(4) + 4(8)=56
Con el pto (10,2): 6(10) +4(2) =68Con el pto (10,2): 6(10) +4(2) =68
Con el pto (6,0): 6(6) + 4(0)=36Con el pto (6,0): 6(6) + 4(0)=36
Con el pto (0,0): 6(0) +4(0)=0Con el pto (0,0): 6(0) +4(0)=0
Con el pto (0,8): 6(0) +4(8)=32Con el pto (0,8): 6(0) +4(8)=32
La solución optima para la función objetivoLa solución optima para la función objetivo
es 68es 68

12.  Ejemplo nº 2:Ejemplo nº 2:
Para una obra se necesita un Polimero quePara una obra se necesita un Polimero que
contienen 3 propiedades: A, B y C. Lascontienen 3 propiedades: A, B y C. Las
cantidades mínimas necesarias son 160cantidades mínimas necesarias son 160
und de A, 200 und de B, y 80 und de C.und de A, 200 und de B, y 80 und de C.
Existen dos tipos de polimero muyExisten dos tipos de polimero muy
aceptados en la industria; Pacrin cuesta 8$aceptados en la industria; Pacrin cuesta 8$
un saco, contiene 3 und A, 5 und de B yun saco, contiene 3 und A, 5 und de B y
1und de C, Povicen cuesta 6$ cada saco1und de C, Povicen cuesta 6$ cada saco
contiene 2 und de cada propiedad.contiene 2 und de cada propiedad.
¿Cuántos sacos de cada marca debe¿Cuántos sacos de cada marca debe
comprar para que el costo sea mínimo?comprar para que el costo sea mínimo?

13.  x =x = Nº Sacos PacrinNº Sacos Pacrin
 Y=Y= Nº Sacos PovicenNº Sacos Povicen
Z= 8x +6yZ= 8x +6y
AA BB CC
3X3X
2y2y
5X5X
2y2y
1X1X
2y2y
Restricciones:Restricciones:
3x + 2y > 1603x + 2y > 160
5x + 2y > 2005x + 2y > 200
X + 2y > 80X + 2y > 80
X>0 y>0X>0 y>0
Pcr (x)Pcr (x)
Pov(y)Pov(y)
Z=8X+6YZ=8X+6Y
(0,100)=600; (80,0)=640;(20,100)=760 ;(40,20) =(0,100)=600; (80,0)=640;(20,100)=760 ;(40,20) =440440