1. ´
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad De Matema ´ ticas
Departamento De Estad´ ıstica
Probabilidad y Estad´
ıstica EYP1113
Ayudantia 8
Profesores: Ricardo Aravena, Ricardo Olea
Ayudantes: Tamara Fern´ndez, Claudia Ortega, Constanza Quezada, Ignacia Vicu˜a
a n
Ejercicio 1
El exterior de un edificio consiste en 100 paneles de vidrio de 3x5 m. Observaciones pasadas
indican que en promedio un defecto es encontrado cada 50 m2 de este tipo de paneles de vidrio;
tambi´n un panel que contiene dos o mas defectos se romper´ eventualmente y tendr´ que ser
e a a
remplazado . La ocurrencia de los defectos ser´ asumida como un proceso de poisson.
a
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que un panel sea reemplazado?
a
b) El reemplazo de los paneles de vidrio es usualmente caro. Si cada reemplazo cuesta $5000,
¿Cu´l es el costo esperado para el reemplazo de los paneles de vidrio?.
a
c) Un panel de vidrio de mejor calidad, el cu´l cuesta $100 m´s por cada uno, tiene en prome-
a a
dio un defecto cada 80 m 2 . ¿Recomendar´ usar los paneles de mejor calidad, si el objetivo
ıa
es minimizar el costo total esperado de los paneles de vidrio? (Costo inicial y de reemplazo)
Soluci´n
o
a) Definimos el evento
N = N´mero de fallas detectadas en un panel
u
15
La cu´l se define como una variable aleatoria poisson con tasa λ =
a 50 = 0,3. Definimos
adem´s:
a
D= El panel es reemplazado
P (D) = P (N ≥ 2) = 1 − P (N < 2)
= 1 − (P (N = 1) + P (N = 0))
1
2. e−0,3 0,31 e−0,3 0,30
=1−( + )
1! 0!
= 1 − (e−0,3 0,3 + e−0,3 )
= 0,037
b) Definimos ahora
Y = N´mero de paneles que necesitan ser reemplazados en el edificio
u
Esta se define como una variable aleatoria
Bin(100, 0,037)
Luego definimos el costo de reemplazo de los paneles defectuosos como:
C = 5000 · Y
Luego el costo esperado es:
E(C) = E(5000 · Y ) = 5000 · E(Y )
donde
E(Y ) = np = 0,037 · 100 = 3,7
finalmente
E(C) = 5000 · 3,7 = 18500
c) Definimos los eventos
Y 1 = N´mero de paneles de tipo I que necesitan ser reemplazados en el edificio
u
Y 2 = N´mero de paneles de tipo II que necesitan ser reemplazados en el edificio
u
Luego el costo esperado de los diferentes tipos de paneles de vidrio como:
C1 = E(500000 + 5000 · Y 1)
C2 = E(510000 + 5100 · Y 2)
De la pregunta anterior obtenemos que:
C1 = 500000 + 5000 · E(Y 1) = 500000 + 18500 = 518500
C2 = 510000 + 5100 · E(Y 2)
2
3. donde Y 2 ∼ Bin(100, p), donde p es la probabilidad de que un panel de tipo II sea reem-
plazado. Definimos
N 2 : N´mero de fallas en un panel de tipo II
u
15
La cu´l se define como una variable aleatoria poisson con tasa λ =
a 80 = 0,1875
P (N 2 ≥ 2) = 1 − P (N 2 < 2)
= 1 − (P (N 2 = 1) + P (N 2 = 0))
e−0,188 0,1881 e−0,188 0,1880
=1−( + )
1! 0!
= 1 − (e−0,188 0,188 + e−0,188 )
= 0,016
Luego
C2 = 510000 + 5100 · E(Y 2)
C2 = 510000 + 5100 · 100 · 0,016 = 518160
Por lo tanto si recomendaria usar paneles de mejor calidad.
3
4. Ejercicio 2
Sean X, Y variables aleatorias con densidad conjunta:
2(x + y) para 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
fX,Y (x, y) =
0 e.o.c
a) Calcule las densidades marginales de X e Y .
b) Calcule E(XY ).
c) ¿Son X e Y independientes?. Justifique su respuesta.
d) Encuentre la distribuci´n condicional de X|Y
o
Soluci´n
o
a) Por definici´n tenemos que:
o
1
y2
fX (x) = fX,Y (x, y)dy = 2 xy + |y=1
y=x
x 2
1 x2
=2 x+ − 2 x2 +
2 2
= −3x2 + 2x + 1
Por otro lado
y
x2
fY (y) = fX,Y (x, y)dx = 2 + yx |x=y
x=0
0 2
y2
=2 + y2 −2·0
2
= 3y 2
b) Nuevamente por definici´n
o
1 y
E(XY ) = xy · fX,Y (x, y)dxdy
x 0
1 y
= y 2(x2 + xy)dxdy
0 0
4
5. 1
x3 x2 y
= y·2 + |x=y dy
x=0
0 3 2
1
2y 4
= + y 4 dy
0 3
y5 1 1
= | =
3 0 3
c) No son independientes puesto que fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y)
d) Tenemos que la distribici´n condicionada de X|Y corresponder´ a
o a
fX,Y (x, y)
fX|Y (x|Y = y) =
fY (y)
2
fX|Y (x|Y = y) = (x + y)
3y 2
5
6. Ejercicio 3
La densidad conjunta de las precipitaciones, X (in.) y de la escorrent´ (cfs) (discretizadas aqui
ıa
por simplicidad) debido a una tormenta en una localizaci´n dada es la siguiente:
o
X=1 X=2 X=3
Y = 10 0,05 0,15 0,00
Y = 20 0,10 0,25 0,25
Y = 30 0,00 0,10 0,10
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que la siguiente tormenta traiga precipitaciones de 2 o mas in.
a
y una escorrenter´ de m´s de 20 cfs?.
ıa a
b) Despu´s de una tormenta, el indicador de lluvia marca una precipitaci´n de 2 in. ¿Cu´l es
e o a
la probabilidad que la escorrenter´ en esta tormenta sea de 20 cfs o m´s?.
ıa a
c) Calcule las probabilidades marginales.
d) ¿Son X e Y estad´
ısticamente independientes?.
e) Determine la covarianza entre las precipitaciones y la escorrenter´
ıa.
Soluci´n
o
a)
P (X ≥ 2 ∩ Y > 20) = pX,Y (2, 30) + pX,Y (3, 30)
= 0,10 + 0,10 = 0,2
b)
P (Y ≥ 20 ∩ x = 2)
P (Y ≥ 20|x = 2) =
P (x = 2)
pX,Y (2, 20) + pX,Y (2, 30)
=
pX,Y (2, 10) + pX,Y (2, 20) + pX,Y (2, 30)
0,25 + 0,10
=
0,15 + 0,25 + 0,10
0,35
= = 0,7
0,5
6
7. c)
X = 1 X = 2 X = 3 PY (y)
Y = 10 0,05 0,15 0,00 0,20
Y = 20 0,10 0,25 0,25 0,60
Y = 30 0,00 0,10 0,10 0,20
PX (x) 0,15 0,50 0,35 1
d) No son independientes puesto que
pX,Y (1, 10) = 0,05
adem´s
a
pX (1) = pX,Y (1, 10) + pX,Y (1, 20) + pX,Y (1, 30)
pX (1) = 0,05 + 0,1 + 0 = 0,15
y
pY (10) = pX,Y (1, 10) + pX,Y (2, 10) + pX,Y (3, 10)
pY (10) = 0,05 + 0,15 + 0 = 0,20
Luego
pX,Y (1, 10) = pX (1) · pY (10)
e Definimos la Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ), luego
E(XY ) = y x XY · PX,Y (x, y)
= 10 · 0,05 + 20 · 0,15 + 20 · 0,10 + 40 · 0,25 + 60 · 0,25 + 60 · 0,10 + 90 · 0,10
= 45,5
E(X) = xX · PX (x)
= 1 · 0,15 + 2 · 0,5 + 3 · 0,35
= 2,2
7
9. Ejercicio 4
Los niveles de agua diarios de dos embalses A y B (normalizados respecto a las capacidades
m´ximas), son denotadas por dos variables aleatorias X e Y , teniendo la siguiente funci´n de
a o
probabilidad conjunta.
5
fX,Y (x, y) = (x + y 2 ) 0 < x, y < 1
6
a) Determine la funci´n de densidad marginal para el nivel diario de agua para el embalse A.
o
b) Si el embalse A esta medio lleno cierto d´ ¿Cu´l es la probabilidad de que el nivel de
ıa. a
agua est´ m´s que medio lleno?.
e a
c) ¿Hay correlaci´n estad´
o ıstica entre el nivel del agua de los dos embalses?
Soluci´n
o
a)
1
fx (x) = fx,y (x, y)dy
0
1
5
= (x + y 2 )dy
0 6
5 y3
= [xy + |1 ]
6 3 0
5 1
= (x + ) 0 < x < 1
6 3
b)
P ((x, y) > 0,5)
P ((x, y) > 0,5|x > 0,5) =
P (x > 0,5)
1 1 2
0,5 0,5 (x + y )dxdy
= 1 1
0,5 (x + 3 )dx
= 0,615
9
10. Cov(X,Y )
c) Definimos la correlaci´n como ρ = √
o √ . Calculamos entonces la distribuci´n
o
V ar(X) V ar(Y )
marginal de Y.
1
fy (y) = fx,y (x, y)dx
0
1
5
= (x + y 2 )dx
0 6
5 x2
= [ + xy 2 |1 ]
0
6 2
5 1
= ( + y2) 0 < y < 1
6 2
Luego calculamos
1
E(X) = x · fX (x)dx
0
1
5 2 1
= (x + x)dx
0 6 3
5 x 3 1
= ( + x2 ) |10
6 3 6
5 1 1
= ( + )
6 3 6
5
=
12
1
E(X 2 ) = x2 · fX (x)dx
0
1
5 3 1 2
= (x + x )dx
0 6 3
5 x 4 1
= ( + x3 ) |10
6 4 9
5 1 1
= ( + )
6 4 9
65
=
256
10
