contoh soal dan pembahasannya mengenai pengaplikasian integral

1. 1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x² – 2x, garis x = 1, garis x = 2, dan
sumbu x !
Pembahasan :
𝐿 = ∫ 5𝑥² − 2𝑥
2
1
= [3𝑥³ − 𝑥²]1
2
= [3(2)³ - 2²] – [3(1)³ - 1²]
= 24 – 4 – 3 + 1
= 18 satuan luas
2. Tentukanlah nilai dari ∫ 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 7 𝑠𝑖𝑛𝑥
1
3
𝜋
1
6
𝜋
!
Pembahasan :
∫ 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 7 𝑠𝑖𝑛𝑥
1
3
𝜋
1
6
𝜋
=[5 sin x + 7 cos x]1
6
𝜋
1
3
𝜋
= [5 sin
1
3
𝜋 + 7 cos
1
3
𝜋] - [5 sin
1
6
𝜋 + 7 cos
1
6
𝜋]
= 5.
1
2
√3 + 7.
1
2
- 5.
1
2
- 7
1
2
√3
=
5
2
√3 +
7
2
-
5
2
-
7
2
√3
= 1 - √3
3. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 4x dan y = x !
Pembahasan :
Cari titik potong : -x² + 4x = x
-x² + 4x - x = 0
x (-x +3) = 0
x = 0 / x = 3
𝐿 = ∫ −x² + 4x − x
3
0
𝐿 = ∫ −x² + 3x
3
0
𝐿 = [−
1
3
𝑥³ +
3
2
𝑥²]0
3
𝐿 = [−
1
3
(3)3
+
3
2
(3)²] - [−
1
3
(0)3
+
3
2
(0)²]
𝐿 = −9 +
27
2
− 0
𝐿 = 4
1
2
𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠

2. 4. Tentukanlah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x³, sumbu x, dan garis x= 3 !
Pembahasan :
𝑉 = 𝜋 ∫(𝑥³
3
0
)²
V = π [
1
7
𝑥7
]0
3
V = π [
1
7
(3)7
] - π [
1
7
(0)7
]
V =
2187
7
𝜋
V = 312
3
7
𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
5. Tentukanlah volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x² dan y = x + 7 !
Pembahasan :
Cari titik potong : x² = x + 7
x² - x – 7 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 / x = -2
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 + 7
3
−2
)² - 𝜋 ∫ (𝑥²
3
−2
)²
𝑉 = 𝜋[
1
3
( 𝑥 + 7)3
]−2
3
- 𝜋[
1
3
𝑥3
]−2
3
𝑉 = [ 𝜋
1
3
(3 + 7)3
− 𝜋
1
3
(−2 + 7)3
] - [𝜋
1
2
(3)3
− 𝜋
1
2
(−2)3
]
𝑉 =
1000
3
𝜋 −
125
3
𝜋 −
27
2
𝜋 −
8
2
𝜋
𝑉 =
875
3
𝜋 −
35
2
𝜋
𝑉 = 274
1
6
𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒