Petunjuk pengerjaan latihan soal kelompok tentang teori peluang yang mencakup konsep distribusi probabilitas, ekspektasi, variansi, dan momen. Terdapat 8 latihan soal yang meliputi konsep distribusi binomial, Poisson, gamma, chi-kuadrat, dan normal. Anggota kelompok diminta mengerjakan soal secara berkelompok dan mengumpulkan satu dokumen jawaban.

1. P14 – Teori Peluang
Latihan Soal Kelompok
Oleh:
Triyana Muliawati
Lutfi Mardianto

2. Petunjuk
1. Silahkan didiskusikan dan dikerjakan semua soal latihannya dengan anggota
kelompoknya. Semua tabel distribusi dapat dilihat pada buku referensi.
2. Kamis, 10 Desember 2020 pukul 16.00 WIB s.d. selesai akan dibahas soal
latihan tersebut.
3. Pembahasan soal latihan akan dilakukan oleh salah satu anggota yang ditunjuk
berdasarkan kelompoknya.
4. Semua jawaban soal latihan ditulis rapih, mudah dibaca, dan akan
dikumpulkan. Per kelompok cukup satu dokumen saja yang dikumpulkan.
(Info lebih lanjut akan diberikan pada saat perkuliahan)
5. Latihan ini akan menjadi nilai tugas kelompok dan diharapkan semua anggota
kelompok berkontribusi dalam pengerjaan tugas ini.

3. Latihan 1
Misal diberikan PMF Bersama yang terkait dengan data yang diperoleh dalam sebuah studi tentang kecelakaan
mobil di mana seorang anak (di bawah usia 5 tahun) berada di dalam mobil dan setidaknya satu kematian
terjadi. Secara khusus, penelitian ini berfokus pada apakah anak tersebut selamat atau tidak dan jenis sabuk
pengaman apa (jika ada) yang dia gunakan.
Perhatikan bahwa 𝑋 adalah jumlah kematian per anak. Karena kursi mobil untuk anak biasanya menggunakan
dua sabuk pengaman, maka 𝑌 adalah jumlah sabuk pengaman yang digunakan pada saat kecelakaan.
a. Tentukan PMF Marjinal dari 𝑋 dan 𝑌.
b. Tentukan 𝐸 𝑋 , var(𝑋), dan 𝑀 𝑋 𝑡1 .
c. Tentukan 𝐸 𝑌 , var(𝑌), dan 𝑀 𝑌 𝑡2 .
d. Hitunglah 𝑃 𝑌 = 2|𝑋 = 0 dan 𝐸 𝑌 = 2|𝑋 = 0 .
e. Hitunglah 𝑃 𝑋 = 1|𝑌 = 2 dan 𝐸 𝑋 = 1|𝑌 = 2 .
0, jika anak bertahan hidup
1, jika tidak
X

= 

0, jika tidak pakai sabuk pengaman
1, jika sabuk pengaman orang dewasa dipakai
2 jika sabuk pengaman mobil dipakai
Y


= 


dan
(𝑋, 𝑌) 𝑦 = 0 𝑦 = 1 𝑦 = 2 𝑝 𝑋[𝑥]
𝑥 = 0 0.38 0.14 0.24
𝑥 = 1 0.17 0.02 0.05
𝑝 𝑌[𝑦]

4. Latihan 2
Misal diberikan PDF Bersama dari variabel acak 𝑋 dan 𝑌.
a. Tentukan 𝐸[𝑋𝑌] dan var 𝑋𝑌 .
b. Tentukan 𝑀 𝑋,𝑌(𝑡1, 𝑡2)
c. Periksa apakah 𝑋 dan 𝑌 saling bebas.
d. Tentukan 𝑓 𝑦 𝑥 = 1/2 , 𝑓 𝑦 = 1/4 𝑥 = 1/2 , 𝑓 𝑥 𝑦 = 1 , dan 𝑓 𝑥 = 1/4 𝑦 = 1 .
e. Hitunglah 𝐸 𝑌|𝑋 = 1/2 dan 𝐸 𝑋|𝑌 = 1 .
4 , 0 1,0 1
( , )
0, lainnya
xy x y
f x y
   
= 


5. Latihan 3
Misal fungsi peluang sebagai berikut.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ቐ
4
9
𝑥𝑦𝑧2, 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1, 0 < 𝑧 < 3
0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
a. Periksa apakah fungsi peluang tersebut merupakan PDF Bersama dari 𝑋, 𝑌, dan 𝑍.
b. Tentukan PDF Bersama dari 𝑌 dan 𝑍.
c. Tentukan PDF Marjinal dari 𝑌.
d. Hitunglah 𝐸 𝑌 , var(𝑌), dan 𝑀 𝑌 𝑡2 .
e. Hitunglah 𝑃
1
4
< 𝑋 <
1
2
, 𝑌 >
1
3
, 1 < 𝑍 < 2 .

6. Latihan 4
Jika diketahui MGF dari sebuah variabel acak 𝑋 berdistribusi binomial adalah
2
3
+
1
3
𝑒 𝑡
9
.
a. Tentukan PMF dari 𝑋.
b. Hitunglah 𝑃 𝑋 = 2 .
c. Hitunglah 𝑃 𝜇 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 2𝜎 .

7. Latihan 5
A. Jika diketahui MGF dari sebuah variabel acak 𝑋 berdistribusi poisson adalah 𝑒4(𝑒 𝑡−1).
a. Tentukan PMF dari 𝑋.
b. Hitunglah 𝐸[𝑋] dan var(𝑋).
c. Hitunglah 𝑃 𝑋 = 2 dengan 𝑡 = 1.
B. Jika sebuah variabel acak 𝑋 berdistribusi Poisson dengan 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝑋 = 2).
a. Tentukan PMF dari 𝑋.
b. Hitunglah 𝑃(𝑋 = 4).

8. Latihan 6
Jika 𝑋 berdistribusi Gamma dan memiliki MGF 𝑀 𝑡 = 1 − 2𝑡 −8
, 𝑡 <
1
2
.
a. Tentukan PDF dari 𝑋.
b. Hitunglah 𝐸[𝑋] dan var(𝑋).

9. Latihan 7
A. Jika 𝑋 berdistribusi Chi- Square dan memiliki PDF
𝑓 𝑥 = ቐ
1
4
𝑥𝑒−𝑥/2, 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞
0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
.
a. 𝑋~𝜒2 𝑟 . Berapakah nilai 𝑟?
b. Hitunglah 𝐸[𝑋], var(𝑋), dan 𝑀(𝑡).
B. Jika 𝑋~𝜒2 5 dan 𝑃 𝑐 < 𝑋 < 𝑑 = 0.95 dan 𝑃 𝑋 < 𝑐 = 0.025. Tentukan nilai 𝑐 dan 𝑑.

10. Latihan 8
Jika 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2
) dan 𝑃 −𝑏 <
𝑋−𝜇
𝜎
< 𝑏 = 0.90. Berapakah nilai 𝑏?