1. Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 24
Aula 05
Derivadas das Funções
Elementares
Objetivos da Aula
• Apresentar as técnicas de derivação elementares, cuja utilização
direta otimiza e simplifica o cálculo da derivada de uma função.
• Aplicar o cálculo de derivadas na resolução de problemas.
Vimos na aula anterior que as derivadas são interpretadas como
as inclinações e as taxas de variação, vimos também como estimar
derivadas de funções dadas pelas tabelas de valores. Desta forma,
faremos a seguinte definição.
Definição de Derivada de uma Função
A derivada de uma função f é a função f‘ (lê-se f linha de x), tal que
seu valor em todo x do domínio de f se dado por
se este limite existe.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também
pelos símbolos:
y’ , dy/dx ou f ‘ (x).
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
∆
)()(
)(' lim
0

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Usamos a definição de uma só derivada para calcular as derivadas
de funções definidas pelas fórmulas, mas seria tedioso se sempre
usássemos a definição; então, mostraremos regras para encontrar
derivadas sem ter que usar diretamente a definição.
1. Derivada de uma Função Constante
Vamos iniciar com a função constante f(x) = c. O gráfico dessa função
é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0 (zero); logo, devemos ter
f’(x) = 0, como mostra a figura abaixo.
Veja uma prova formal da definição de uma derivada:
y
x0
c
inclinação = 0
y = c
O gráfico de f(x) = c é a reta y = c; assim f’(x) = 0.
Vamos agora escrever essa regra na notação de Leibniz.
d/dx(c) = 0 (sendo ”c”, uma constante).
Exemplos:
( ) ( ) ( ) =
−
=
−+
=
→→ h
cc
h
xfhxf
xf
hh 00
limlim' 00lim
0
=
→h
1º) Se f(x) = 32, então
( ) == )32('
dx
d
xf 0
2º) Se f(x) = -7, então
( ) =−= )7('
dx
d
xf 0

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Função Potência
Vamos olhar a função f(x) = x n, onde n é um inteiro positivo. Se
n = 1, o gráfico f(x) = x é a reta y = x, cuja inclinação é 1 (veja a figura
abaixo).
y
x
c
y = x
inclinação = 1
0
O gráfico de f(x) = x é a reta y = x; assim f’(x) = 1.
Logo
d/dc (c) = 0 ou f’(x) = 1
Derivada da Função Potência ou Regra da
Potência
Se n é qualquer número real, e se f(x) = xn, então .
PRIMEIRA PROVA:
x n
– an
= (x - a) . (x n-1
+ xn – 2
+ ... + xan – 2
+ a n
- 1)
pode ser simplesmente verificada multiplicando-se o lado direito (ou
somando-se o segundo fator como uma séria geométrica).

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SEGUNDA PROVA (usaremos h = Dx para facilitar a compreensão
do cálculo)
Para achar a derivada de x 4
desenvolvemos (x + h) 4
. Aqui precisamos
desenvolver (x +h)n
, usamos o teorema Binomial para fazer isto:
( ) ( ) ( )
ax
ax
ax
afxf
af
−
−
=
−
−
=
→→
nn
axax
limlim'
( ) ( )1-n2-n2-n1-n
ax
lim' axaaxxaf ++++=
→

( ) 1-n2-n2-n1-n
' aaaaaaaf ++++= 
( ) 1-n
' naaf =
( ) ( ) ( ) ( )
h
xhx
h
xfhxf
xf
nn
0h0h
limlim'
−+
=
−+
=
→→
( )
( )
h
xhnxhhx
nn
hnxx
xf
nn1-n22-n1-nn
0h
2
1
lim'
−





+++
−
++
=
→

( )
( )
h
hnxhhx
nn
hnx
xf






+++
−
+
=
→
n1-n22-n1-n
0h
2
1
lim'

( )
( )
h
hnxhhx
nn
hnx
xf






+++
−
+
=
→
1-n2-n2-n1-n
0h
2
1
lim'

( ) 1-n
' nxxf =

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porque todo o termo, exceto o primeiro, tem h como um fator,
conseqüentemente tende a 0 (zero).
Vamos analisar a regra da potência para o caso especial n = 2. Se
f(x) = x 2
, então:
Exemplos:
( ) ( ) ( ) ( )
h
xfhxf
x
dx
d
xf
−+
==
→0h
2
lim'
( ) ( )
h
xhx
xf
22
0h
lim'
−+
=
→
( )
h
xhxhx
xf
222
0h
2
lim'
−++
=
→
( ) ( )=+=
+
=
→→
2
0h
2
0h
2lim
2
lim' hxh
h
hxh
xf x2
1º) a) Se f(x) = x, então
( ) ( ) ==⋅== − 011
1' xxx
dx
d
xf 1
b) Se f(x) = x 8
, então
( ) ( )== 8
' x
dx
d
xf 7
8x
c) Se f(x) = x 5/2
, então
( ) ( )== 2/5
' x
dx
d
xf 2/3
2
5
x

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2º) Ache uma equação da reta tangente à curva no
ponto (1,1). Ilustre fazendo o gráfico da curva e sua reta
tangente.
Solução
d) f(x) = x
Reescrevendo x na forma x
1/2
, obtemos
( ) ( ) ==== 1/2
1/2-1/2
2
1
2
1
'
x
xx
dx
d
xf
x2
1
e) g(x) = 3
x
1
R eescrevendo 3
x
1
na forma x
-1/3
, obtemos
( ) ( ) ==== 4/3
4/3-1/3-
3
1
3
1
'
x
xx
dx
d
xg
3 4
3
1
x
ou 3 4
3
1
x
xxy =
A derivada de ( ) 3/21/2
xxxxxxf === é
( ) ( )
xxxxf
2
3
2
3
2
3
' 1/213/2
=== −
Logo a inclinação da reta tangente em (1,1) é ( )
2
3
' =xf . Portanto, uma
equação da reta tangente é
( )1
2
3
1 −=− xy ou
2
1
2
3
−= xy .

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Este é o gráfico da curva e sua reta tangente.
y = 3 x - 1
22
y = x
3
-1
3-1
x
3. Regra do Múltiplo Constante
Quando novas funções são formadas a partir das antigas
funções por adição, subtração, multiplicação ou divisão, suas
derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas das
antigas funções. Em particular, a fórmula a seguir nos diz que
a derivada de uma constante vezes uma função é a constante
vezes a derivada da função.
Seja uma função diferenciável ou derivável, onde n é qualquer
número real e c for uma constante, então
Representação Geométrica da Regra do Múltiplo
Constante
A multiplicação por c = 2 estica o gráfico verticalmente por um
fator de 2.
( ) ( ) 11
)(][)(' −−
==== nn
cnxnxcxf
dx
d
cxcf
dx
d
xf

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Todas as subidas têm de ser dobradas, mas a corrida continua
a mesma. Logo as inclinações ficam dobradas também.
x
y
y = f(x)
y = 2 f(x)
0
PROVA: Se g(x) = cf(x), então
EXEMPLOS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xcfhxcf
h
xghxg
xg
−+
=
−+
=
→→ 0h0h
limlim'
( ) ( ) ( ) ( )=
−+
=




 −+
=
→→
xfhxf
c
h
xfhxf
c
0h0h
limlim ( )xcf '
1º) Se f(x) = - x, então
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )=⋅−=−=⋅−=−= 1111' x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xf 1−
2º) Se f(x) = 5x
3
, então
( ) ( ) ( ) ( )=⋅=== 233
3555' xx
dx
d
x
dx
d
xf x15
3º) Se ( )
x
xf
3
= , então
( ) ( ) =





−⋅== − 2/32/1
2
1
33' xx
dx
d
xf 2/3
2
3
x
−

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4. Regra da Soma
Se f e g são funções e h é a função definida por h(x) = f(x)
+ g(x), e se f’(x) e g’(x) existem, ou seja são diferenciáveis,
então
ou
A derivada da soma (diferença) de duas funções diferenciáveis
é igual à soma (diferença) de duas derivadas.
Este resultado pode ser estendido para soma e diferença de
um número finito qualquer de funções diferenciáveis.
Vamos verificar a regra para a soma de duas funções.
PROVA: Seja s(x) = f(x) + g(x), então
A regra da soma pode ser estendida para a soma de qualquer
número de funções. Por exemplo, usando este teorema duas
vezes, obtemos
(f + g + h)’ = [(f + g) + h]’ = (f + g)’ = h´= f’ + g’ + h’
)(')(')(' xgxfxh += ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+
( ) ( ) ( )
h
xshxs
xs
h
−+
=
→0
lim'
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
xgxfhxghxf
xs
h
][][
lim'
0
+−+++
=
→
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
xghxgxfhxf
xs
h
][][
lim'
0
−++−+
=
→
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
−+
+
−+
=
→→ h
xghxg
h
xfhxf
xs
hh
][
lim
][
lim'
00
( ) ( )xgxf '' +

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Escrevendo f – g como f + (- 1)g e aplicando a Regra da Soma e
a Regra do Múltiplo Constante, obtemos a seguinte fórmula
5·Regra da Diferença
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
ou
As três regras podem ser combinadas com a Regra da Potência
para diferenciar qualquer polinômio.
Exemplos:
1º)
2º) ( ) 3
2
5
5 t
t
tg +=
( ) 





+= −32
5
5
1
' tt
dx
d
tg (Reescrevendo 3
1
t
como t
-3
)
4
15
5
2
)(' −
−= tttg
4
5
5
752
)('
t
t
tg
−
= (Reescrevendo t
-4
como 4
1
t
e simplificando)
0)1(6)3(10)4(4)5(128)('
0)1(6)3(10)4(4)5(128)('
5610412)(
2447
1113141518
3458
+−+−+=
+−+−+=
+−+−+=
−−−−−
xxxxxf
xxxxxxf
xxxxxxf
63016608)(' 2347
−+−+= xxxxxf

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3º) Seja f(x) = 3x² + 2x. Determine: (a) f ’(-2) e (b) f ’(4)
a) f’(- 2) = 6(- 2) + 2 = -10 b) f’(4) = 6(4) + 2 = 26
4º) Ache os pontos sobre a curva y = x 4 – 6x 2 + 4 onde a reta
tangente é horizontal.
Solução
As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada é zero.
Temos
Assim dy/dx = 0 se x = 0 ou x 2 – 3 = 0, isto é, x = ± . Logo, a
curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, e - .
Os pontos correspondentes são (0,4), ( ,-5) e (- ,-5). Veja a
figura abaixo
x
- 5,-( )3 - 5,3( )
(0,4)
y
=+= −
2)2(3)(' 12
xxf 26 +x
( ) ( ) ( ) =+−=+−= 012446 324
xx
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
dx
dy
( )34 2
−⋅ xx
3
3
3 3 3

12. Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:
Thomson, 2001.
FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo:
Harbra,1988.
STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003.