UNIVERSIDAD FERMÍ TORO

1. Unidad 1
ANÁLISIS NUMÉRICO – SAIA A
MAX ASUAJE

2. • El Análisis numérico: es una rama de las matemáticas
cuyos límites no son del todo precisos.
• disciplina ocupada de describir, analizar y crear
algoritmos numéricos que nos permitan resolver
problemas matemáticos, en los que estén involucradas
cantidades numéricas, con una precisión determinada.
Un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a
una solución aproximada de un problema mediante un
número de pasos finitos que pueden ejecutarse de
manera lógica.

3. • Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia
operan con números binarios y operaciones matemáticas
simples.
• Desde esta perspectiva, el análisis numérico
proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a
cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en
base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en
procesos más sencillos empleando números.

4. • Son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan
resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de
diseñar métodos para “
aproximar” de una manera
eficiente las soluciones de
problemas expresados
matemáticamente.

5. Importancia
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas
Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices
Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos
numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial,
Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,
Ingeniería eléctrica, etc…

6. • Número de máquina: sistema numérico que consta de dos dígitos:
Ceros (0) y unos (1) de base 2.
• El término "representación máquina" o "representación binaria"
significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de
representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un
número decimal exige de más lugares.
• Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las
computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o
para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

7. Definición de
Número Máquina
Decimal
Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ±
0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k

8. • Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la
medida, y a continuación, las unidades empleadas.
• Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa.
Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media.
• La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,
expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo
orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).
• Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta(utilizando
una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida.

9. Podemos distinguir dos tipos de
errores que se utilizan en los
cálculos:
• Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el
valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según
si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale
positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la
medida.
• Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto
y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por
ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser
positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque
puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

10. Las reglas que vamos a adoptaren el cálculo con
datos experimentalessonlas siguientes:
• Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar
neutralizar el error accidental.
• Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media
aritmética simple de los resultados.
• El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada
una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media
aritmética).
• El error relativo de cada medida será el error absoluto de la
misma dividido por el valor tomado como exacto (la media
aritmética).

11. • Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos:
• Error de truncamiento y error de redondeo:
• El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos
con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza
de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los
números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC).
•
• El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas
en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más
importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores
de truncamiento).
• Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso
infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

12. • Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los
resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases
fundamentalmente:
• errores de truncamiento, que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los
errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números
exactos.
• Errores de Redondeo:
• el error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema
numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de palabra finita.
• cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano.
• esto significa que todos los números en un intervalo local están
representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.