2. ANTECEDENTES:
El método de integración por sustitución o por cambio
de variable se basa en realizar un reemplazo de variables
adecuado que permita convertir el integrando en algo
sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos
casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar
a una integral de tabla para encontrar fácilmente su
primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la
cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este
método se utiliza cuando no se mira a simple vista su
primitiva directa.
3. INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Cuando un integrando contiene potencias enteras de x
y potencias enteras de alguna de las expresiones:
, o bien
es posible que se puedan evaluar por medio de una
sustitución trigonométrica.
22
xa
22
xa 22
ax
4. CASO 1 Integrandos que contienen
22
xa
22
xa
En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
x
a
)(aSenx
5. CASO 2 Integrandos que contienen
22
xa
22
xa
En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
x
a
)(aTanx
6. CASO 3 Integrandos que contienen
22
ax
22
ax
En este caso utilizaremos la siguiente
representación:
A partir de ella, definimos
x
a
)(aSecx
7. PROCESO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Para resolver una integral mediante el método de
sustitución trigonométrica hay que seguir el
siguiente proceso:
1. Proponer la sustitución adecuada.
2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución
propuesta.
3. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los
términos a partir de la sustitución propuesta.
4. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la
sustitución original.
8. EJEMPLO: Resolver:
Seguiremos paso a paso con el proceso indicado.
Como el radical tiene la forma
con a = 4, tenemos una integral del CASO 2 y:
1. El cambio indicado es:
Con ello, tenemos la siguiente
representación gráfica:
2
16 xx
dx
22
xa
)(4Tanx
9. SOLUCIÓN:
2. Reemplazando los términos en la integral
propuesta tenemos:
)(4Tanx
2
16 x
x
4
22
161616 Tanx
)1(16 2
Tan
SecSec 416 2
dSecdx 2
4
SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
10. SOLUCIÓN…
Simplificando:
Esta última representa la integral equivalente.
dCsc
xx
dx
4
1
16 2
d
Sen
d
CosSen
Cos
xx
dx 1
4
1
/
/1
4
1
16 2
SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
Tan
dSec
xx
dx
4
1
16 2
11. SOLUCIÓN…
3. Enseguida procedemos a resolver la integral
equivalente. Como:
Entonces:
4. Expresando lo anterior en función de los términos
originales, tenemos finalmente que:
cCotuCscuCscudu ln
cCotCscdCsc
xx
dx
ln
4
1
4
1
16 2
c
xx
x
xx
dx 416
ln
4
1
16 2
