Circuitos Digitais Fundamentos

Circuitos Digitais

Circuitos Digitais

Luiz Henrique Neves Rodrigues
Universidade Estadual do Maranhão
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica

UEMA
Ano: 2012.1 1

Circuitos Digitais

Conteúdo
• Sistemas de numeração

• Aritmética nos sistemas de numeração

• Funções e portas lógicas

• Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos

• Circuitos Combinacionais (Códigos binários)

• Circuitos seqüenciais: Flip-Flop, Registradores e Contadores, detectores de
sequência

• Conversores digital-analógicos e analógico-digitais

• Circuitos multiplex, demultiplex e memórias

• Famílias de circuitos lógicos

• Introdução a FPGA

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Bibliografia
• Ivan V. Idoeta e Francisco G. Capuano, Elementos de
Eletrônica Digital, 40a ed., Editora Érica, 2009.
• Ronald J. Tocci e Neal S. Widmer, Sistemas Digitais:
Princípios e Aplicações, 8a edição, Pearson -Prentice
Hall, 2004.
• Herbert Taub, Circuitos Digitais e Microprossadores,
McGraw-Hill, 1a ed, 1984.
• Thomas L. Floyd, Sistemas Digitais: Fundamentos e
Aplicações, Bookman, 2007.

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Calendário
• Março:
• Abril:
• Maio:
• Junho:
• Julho:
• 1a Prova: 29 de Abril de 2012

• 2a Prova: 07 de Junho de 2012

• 3a Prova: 12 de Junho de 2012

• Reposição: 15 de Junho de 2012

• Final: 19 de Junho de 2012

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Por que circuitos digitais?
• Circuitos digitais
– Os circuitos digitais e as técnicas digitais estão
presentes em quase todas as áreas.
• Exemplo: computadores, automação, robôs, tecnologia e
ciência médica, etc.

– Existem duas formas de representação dos valores
das quantidades:
• Analógica: uma quantidade é representada por uma tensão,
uma corrente ou uma medida de movimento que seja
proporcional ao valor da quantidade em questão.

• Numérica: as quantidades não são representadas por
quantidades proporcionais, mas por símbolos denominados
dígitos.
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Circuitos Digitais

• Circuitos digitais
– Representação numérica:

Analógica: forma contínua.

Numérica: forma discreta.

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• Sistemas analógicos e digitais
– Sistema analógico: contém dispositivos que manipulam
quantidades físicas que são representadas de forma
analógica.
– Sistema digital: é uma combinação de dispositivos
projetados para manipular informação lógica ou
quantidades físicas que são representadas no formato
digital.

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– Vantagens das técnicas digitais em relação as técnicas
analógicos:
• Mais fáceis de ser projetados: circuitos digitais são circuitos
de chaveamento e apenas uma faixa de tensão interessa:
ALTA e BAIXA.

• Fácil armazenamento de informação: podem manter uma
informação pelo tempo necessário.

• Maior precisão e exatidão: a precisão e exatidão podem ser
conseguidos acrescentando mais circuitos de chaveamento.

• Podem ser facilmente programados: as operações de um
circuito digital podem ser controladas por um conjunto de
instruções armazenados, i.e., programa.

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– Vantagens das técnicas digitais em relação as
técnicas analógicos:
• Menos afetados por ruído: flutuações aleatórias na tensão
(ruído) não são tão críticas em sistemas digitais, pois utiliza
faixas de tensão distintas.

• Circuitos integrados digitais contendo grandes
quantidades de dispositivos internos: é mais
economicamente viável produzir circuitos digitais contendo
grandes quantidades de dispositivos internos.

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• Limitações das técnicas digitais

O mundo real é quase totalmente analógico.

Conversor Conversor
Dispositivo
Analógico/ Processamento Digital/
de Medição Controlador
digital digital Analógico
(sensor)

Ajuste de temp.
(ADC)
Temperatura

(DAC)

Diagrama de um sistema de controle de temperatura

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Sistemas de numeração
• O que é um Sistema Numérico?
– É um sistema em que um conjunto de números são
representados por numerais de uma forma
consistente.

– O sistema numérico decimal é posicional ou
ponderado.

– Isto significa que cada posição dos dígitos num
número possui um peso particular o qual determina a
magnitude daquele número.
– Ex: 157 = 1 x 102 + 5 x 101 + 7 x 100

100 + 50 +7
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• Base de um sistema de numeração
– é a quantidade de algarismos disponível na
representação.

– Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a
representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

– Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1.

– Generalizando, temos que uma base b qualquer
disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).
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– Representação genérica na base 10:

• 245,987 = 2 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 +
9 x 10-1 + 8 x 10-2 + 7 x 10-3

2 é o dígito mais significativo (MSD – Most Significant Digit)
7 é o dígito menos significativo (LSD – Least Important Digit)

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– Generalizando: representamos uma
quantidade N qualquer, numa dada base b,
com um número a seguir:

Nb = an x bn + .... + a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0 + a-1 x b-1 + a-2 x b-2 + .... +
a-n x b-n

Parte inteira: an x bn + .... + a2 x b2 + a1 x b1 + a0 x b0

Parte fracionária: + a-1 x b-1 + a-2 x b-2 + .... + a-n x b-n
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• Exemplos de sistemas numéricos:
– Decimal (base 10 – números de 0 a 9)
– Binário (base 2 – números de 0 a 1)
– Octal (base 8 – números de 0 a 7)
– Hexadecimal (base 16 – números 0, 1, 2,
...,9, A, B, C, D, E e F)

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Circuitos Digitais

• História do sistema numérico decimal
– Este sistema foi originalmente inventado pelos
matemáticos hindus aproximadamente em 400 D.C.
– Os árabes começaram a usar o sistema em 800 D.C.,
aproximadamente, quando ficou conhecido como o
Sistema Numérico Arábico.
– Após ele ter sido introduzido na comunidade da
Europa por volta de 1200 D.C., o sistema logo
adquiriu o título de "sistema numérico decimal".

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• Sistema Numérico Decimal
– Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
– Operações básicas:
• Adição: +

• Subtração: -

• Multiplicação: x

• Divisão: /

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• Sistema Numérico Binário
– O matemático indiano Pingala apresentou a primeira
descrição conhecida de um sistema numérico binário
no século III aC.

– O sistema numérico binário moderno foi
documentado de forma abrangente por Gottfried
Leibniz no século XVIII em seu artigo "Explication de
l'Arithmétique Binaire".
– O sistema de Leibniz utilizou 0 e 1, tal como o
sistema numérico binário corrente nos dias de hoje.

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Circuitos Digitais

– Em 1854, o matemático britânico George Boole
publicou um artigo fundamental detalhando um
sistema lógico que se tornaria conhecido como
Álgebra Booleana.

– Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese no MIT
que implementava Álgebra Booleana e aritmética
binária utilizando circuitos elétricos pela primeira vez
na história.

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Circuitos Digitais

– Algarismos: 0 e 1
– Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam
o sistema binário de numeração para manipular
dados.
– Dados binários são representados por dígitos
binários chamados "bits".
– O termo "bit" é derivado da contração de "binary
digit".

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Circuitos Digitais

• Sistemas Numéricos Binário
– Notação posicional
• Para calcular o valor total do número, considere os
"bits" específicos e os pesos de suas posições.
• Ex:
• 1101012 = ?10
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)=5310

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Circuitos Digitais

– Notação posicional
• Para calcular o valor total do número, considere os
"bits" específicos e os pesos de suas posições.
• Ex:
• 1101012 = ?10
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)=5310

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– Potência de 2:
• 20 =1
• 21 =2
• 22 =4
• 23 =8
• 24 =16
• 25 =32
• 26 =64
• 27 =128
• 28 =256
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- Potência de 2 negativa:
2-1 =0,5
2-2 =0,25
2-3 =0,125
2-4 =0,0625
2-5 =0,03125
2-6 =0,015625
2-7 =0,0078125

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Circuitos Digitais

• Conversão Binário para Decimal
• Para converter um número binário no seu
equivalente decimal, some todos os pesos das
posições no número onde os 1's binários
aparecem.
Exemplo: 1101012
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)=5310

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Circuitos Digitais

• Conversão Decimal para Binário
– Exemplo: 2510=?2
25 2
1 12 2
LSB
0 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
MSB
– Logo, 2510=110012
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Circuitos Digitais

• Conversão Decimal para Binário
– Procedimento:
• Um número inteiro decimal pode ser convertido
para uma base diferente através de divisões
sucessivas pela base desejada.
• Para converter um número inteiro decimal no seu
equivalente binário, divida o número por 2
sucessivamente e anote os restos.
• Quando se divide por 2, o resto será sempre 1 ou
0. Os restos formam o número binário equivalente.

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Circuitos Digitais

• Conversão Decimal para Binário: parte
fracionária
– Exemplo: 0.312510=?2

– Logo, 0.312510=0.01012

29

Circuitos Digitais

• Conversão Decimal para Binário: parte fracionária
• Procedimento:
– Para converter uma fração decimal para uma
base diferente, multiplique a fração
sucessivamente pela base desejada e guarde as
partes inteiras produzidas pela multiplicação.

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Circuitos Digitais

• Conversão Binário para Decimal: parte
fracionária
• Para converter um número binário no seu
equivalente decimal, some todos os pesos das
posições no número onde os 1's binários
aparecem.
Exemplo: 101,1012 = ?10
(1x22)+(0x21)+(1x20)+(1x2-1)+(0x2-2)+(1x2-3)=
=1x4+0x2+1x1+1x1+0x1+1x1=
2 4 8
= 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,625 10

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Circuitos Digitais

• Códigos binários

– Código ASCII é uma
forma especial de código
binário que é largamente
utilizado em
microprocessadores e
equipamentos de
comunicação de dados.

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Circuitos Digitais

• Sistema Numérico Octal
– O Sistema Octal também é um sistema posicional.
– Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
– Este sistema foi muito utilizado na informática por ser
mais compacto. Logo após, o hexadecimal tomou
lugar.
– No sistema octal (base 8), cada três bits são
representados por apenas um algarismo octal (de 0 a
7).

33

Circuitos Digitais

– Equivalência binário e octal

34

Circuitos Digitais

– Conversão de Decimal para Octal
3210 = ?8

32 8
LSB
0 4 8
4 0

MSB 3210 = 408

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Circuitos Digitais


165 8
LSB 5 20 8
4 2 8
2 0

16510 = 2458
MSB

36

Circuitos Digitais

• Procedimento: Para converter um número inteiro
decimal no seu equivalente octal, divida o número
por 8 sucessivamente e anote os restos. quando
se divide por 8, o resto será sempre 1 ou 2 ou ...
ou 7. Os restos formam o número octal
equivalente.

37

Circuitos Digitais

– Conversão de Octal para Decimal

• 3528 = ? 10

• 3528 = (3 x 82 + 5 x 81 + 2 x 80)10

• 3528 = (3 x 64 + 5 x 8 + 2 x 1)10

• 3528 = (234)10

38

Circuitos Digitais

– Conversão de Decimal para Octal: parte fracionária
• Exemplo: 0.312510=?8

0.3125 x 8= 2,5000 2 MSB
0,5000 x 8= 4,0000 4 LSB
0,0000

• Logo, 0.312510=0.248

• Procedimento: Para converter uma fração decimal para uma
base diferente, multiplique a fração sucessivamente pela
base desejada e guarde as partes inteiras produzidas pela
multiplicação.
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Circuitos Digitais

– Conversão de Octal para Decimal: parte fracionária
• Números octais fracionários são expressos como
potências negativas de oito.

Ex: 0.248= ?10

= 2 x 8-1 + 4 x 8-2
= 2 x 0,125 + 4 x 0,015625
= 0,25 + 0,0625
= 0,3125 10
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Circuitos Digitais

• Sistema Numérico Hexadecimal
– O Sistema Hexadecimal também é um sistema
posicional.
– Algarismos: 0, 1,..., 9, A, B, C, D e F
– Este sistema é muito utilizado na informática por ser
mais compacto.
– No sistema hexadecimal (base 16), cada quatro bits
são representados por apenas um algarismo
hexadecimal (de 0 a F).

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Circuitos Digitais

– Equivalência binário e hexadecimal

42

Circuitos Digitais

– Conversão de Decimal para Hexadecimal

• 16510= ? 16
165 16
LSB 5 10 16
10 0
A
MSB

16510 = A516

43

Circuitos Digitais

– Conversão de Decimal para Hexadecimal
• Procedimento: Para converter um número inteiro
decimal no seu equivalente hexadecimal, divida o
número por 16 sucessivamente e anote os restos.
Quando se divide por 16, o resto será sempre 1 ou
2 ou ... ou F. Os restos formam o número
hexadecimal equivalente.

44

Circuitos Digitais

– Conversão de Hexadecimal para Decimal
• A516 = ? 10

• A516 = (10 x 161 + 5 x 160)10

• A516 = (10 x 16 + 5 x 1)10

• A516 =(165)10

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Circuitos Digitais

– Conversão de Decimal para Hexadecimal: parte
fracionária
• Exemplo: 0.312510=?16

0.3125 x 16= 5,0000 5 MSB
LSB

• Logo, 0.312510=0.516
• Procedimento: Para converter uma fração decimal
para uma base diferente, multiplique a fração
sucessivamente pela base desejada e guarde as
partes inteiras produzidas pela multiplicação.
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Circuitos Digitais

– Conversão de Decimal para Hexadecimal: parte
fracionária
• Exemplo: 0.256256410=?16
0.2562564 x 16= 4,1001024 4 MSB
0,1001024 x 16= 1,6016384 1
0,6016384 x 16= 9,6262144 9
0,6262144 x 16= 10,018304 10 (A)
0,018304 x 16 = 0,292864 0
0,292864 x 16 4,685824 4 LSB

• Logo, 0.256256410=0.419A0416 Dízima não periódica

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Circuitos Digitais

– Conversão de Hexadecimal para Decimal: parte
fracionária
Ex: 0.516= ?10

= 5 x 16-1
= 5 x 0,0625
= 0,3125 10
Procedimento: Números hexadecimais fracionários são
expressos como potências negativas de dezesseis.

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Circuitos Digitais

– Conversão de Hexadecimal para Decimal: parte
fracionária
– Ex: 0.419A0416 = ?10

= 4 x 16-1 + 1 x 16-2 + 9 x 16-3 + A x 16-4 + 0 x 16-5 + 4 x 16-6
= 0,25 +0,00390625 + 0,002197265625 + 0,000152587890625
+ 0,0 + 0,0000002384185791015625
= 0,256256103515625
Logo, 0.419A0416 = 0,256256341934204101562510

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Circuitos Digitais

• Correlação entre os sistemas numéricos
Bits

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Circuitos Digitais

• Conversão de binário para hexadecimal
– Para converter um número binário para
hexadecimal:
• Primeiro separa-se o número em grupos contendo
quatro bits, começando com o bit menos
significativo (LSB);
• Então, converte-se cada grupo de 4 bits no seu
equivalente hexadecimal.

51

Circuitos Digitais

• Conversão de binário para hexadecimal
– Ex:
• 101001012 = ?16

– Separando os bits em grupos de 4, a partir do
LSB para o MSB.

1010 0101

A 5

Logo, 101001012 = A516
52

Circuitos Digitais

• Conversão de binário para hexadecimal:
parte fracionária
– Frações binárias também podem ser
convertidas nos seus equivalentes
hexadecimais usando o mesmo processo,
com uma exceção:
• os bits binários são separados em grupos de
quatro, começando com o bit mais significativo (no
ponto base).

53

Circuitos Digitais

• Conversão de binário para hexadecimal:
parte fracionária
– Ex:
0.010101112 = ?16

– Separando os bits em grupos de 4, a partir do
LSB para o MSB.
0101 0111

5 7

Logo, 0.010101112 = 0.5716
54

Circuitos Digitais

• Conversão de hexadecimal para binário
• A conversão de hexadecimal para binário é
exatamente o oposto do processo anterior;
simplesmente converte-se cada número
hexadecimal em seu equivalente binário de 4 bits.
• Ex:
A516 = ?2

• Separando os bits em grupos de 4, a partir do LSB
para o MSB. A 5

1010 0101
Logo, A516 = 101001012
55

Circuitos Digitais

• Conversão de hexadecimal para binário:
parte fracionária
• A conversão de hexadecimal para binário da parte
fracionária é exatamente o oposto do processo
anterior, mas separa-se os bits em grupos de 4, a
partir do MSB para o LSB.
• Ex:
0.5716 = ?2

5 7

0101 0111
Logo, 0.5716 = 0.010101112
56

Circuitos Digitais

• Conversão de binário para octal
– A regra consiste em agrupar os bits do LSB para o
MSB em grupos correspondentes ao número padrão
de bits do sistema, ou seja, para octal é 3.
– Depois, converter os grupos diretamente para o
equivalente em octal.
• Exemplo:
1110012 = ?
111 001
7 1
1110012 = 718
57

Circuitos Digitais

• Conversão de binário para octal: parte
fracionária
– A regra consiste em agrupar os bits do MSB para o
LSB em grupos correspondentes ao número padrão
de bits do sistema, ou seja, para octal é 3.
– Depois, converter os grupos diretamente para o
equivalente em octal.
• Exemplo:
0.0110012 = ?
011 001
0.0110012 = 0.318
3 1
58

Circuitos Digitais

• Conversão de octal para binário
• A regra consiste em transformar cada algarismo
do LSB para o MSB diretamente no
correspondente em binário, respeitando o número
padrão de bits do sistema.
• No caso do sistema octal para binário, o padrão é
3 bits
• Exemplo:
718 = ?
7 1
111 001
718 = 1110012
59

Circuitos Digitais

• Conversão de octal para binário: parte
fracionária
• A regra consiste em transformar cada algarismo do MSB
para o LSB diretamente no correspondente em binário,
respeitando o número padrão de bits do sistema.

• No caso do sistema octal para binário, o padrão é 3 bits

• Exemplo:

0.318 = ?

3 1

011 001 0.318 = 0.0110012

60

Circuitos Digitais

• Conversão de octal para hexadecimal
• Consiste em converter o número octal par binário e depois
de binário para hexadecimal.

• Ex: 568= ?16

568 = 1011102

0010 11102 =

2 E
568 = 2E16

61

Circuitos Digitais

• Regras de conversão

62

Circuitos Digitais

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Circuitos Digitais

Aritmética nos sistemas de numeração
• Adição binária
– A adição binária é realizada como a adição
decimal.
1111
5625
+ 6398
12023

64

Circuitos Digitais


65

Circuitos Digitais

– Ex:
1 11 1111
1010111111001
+ 1100011111110
1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 12 = 1202310

66

Circuitos Digitais

• Subtração binária
– Similar a operação de subtração decimal.

67

Circuitos Digitais

– A subtração binária é realizada como a
subtração decimal.
5 13

6 3 9 8
-5 6 2 5
0 7 7 3

68

Circuitos Digitais

– Ex. de subtração binária:
0 1 1 10 0 10

1100011111110
- 1010111111001
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 12 = 77310

69

Circuitos Digitais

• Multiplicação binária
– Ex. de multiplicação binária:
110011

x 101

110011

000000

+110011__

11111111

70

Circuitos Digitais

• Divisão binária
– Quando o dividendo for maior que o divisor, coloque
1 no quociente e subtraia o divisor do valor do
dividendo selecionado. Então, transporte o próximo
bit mais significativo do dividendo para o atual resto.
– Se puder subtrair o divisor do resto coloque 1 no
quociente e subtraia, senão, transporte o próximo bit
mais significativo do dividendo para o resto e ponha 0
no quociente. Se o divisor puder ser subtraído do
novo resto então coloque um 1 no quociente e
subtraia o divisor do resto.
– Repita o processo até considerar todos os bits.

71

Circuitos Digitais

• Divisão binária
– Exemplo de divisão binária:

72

Circuitos Digitais

Notação dos números binários pos. e neg.
– Pode ser feita com sinais “+” ou “-”, mas não
é prático do ponto de vista de codificação.
– Na prática, utiliza-se um bit adicional para
indicar o sinal (Bit de Sinal).
– Este bit adicional é colocado a esquerda do
número.
– Números positivos: acréscimo de “0”
– Número negativo: acréscimo de “1”

73

Circuitos Digitais

– O processo de representar números positivos
e negativos resultam na representação “Sinal-
módulo”.
– Ex:
• 4610 = 1011102
• Para sinalizar este número, deve-se colocar “0”
antes do MSB.
• Assim, tem-se:
• 4610 = 01011102

0 indica número positivo

74

Circuitos Digitais

– Ex:
• - 4610 = ?2
• Para sinalizar este número, deve-se colocar “1”
antes do MSB.
• Assim, tem-se:
• - 4610 = 11011102

1 indica número negativo

75

Circuitos Digitais

– Complemento de 1 e complemento de 2
• O complemento de 1 é obtido através da troca de
cada bit do número pelo seu inverso ou
complemento.
• Ex:
» Número normal: 10011011

» Complemento de 1: 01100100

76

Circuitos Digitais

• O complemento de 2 é uma notação muito
utilizada nos sistemas computacionais.
• É utilizada para representar números binários
negativos.
• Para obter o complemento de 2:
– necessita-se determinar o complemento de 1;

– depois, adiciona-se 1 ao complemento de 1.

77

Circuitos Digitais


• Ex:
» Número normal: 10011011


+ 1

78

Circuitos Digitais

- Operações aritméticas com complemento de 2
– Pode-se utilizar a notação de complemento de 2 para efetuar
operações que envolvam soma ou subtração.

– Para fazer a subtração de dois números binários: N1 – N2 = N1 + (-N2)

– O número (-N2) pode ser dado na forma de complemento de 2 e a
soma pode ser efetuada, obtendo-se como resultado a soma de N1
com o negativo de N2.

– A vantagem de utilizar o complemento de 2 é que se reduz a
quantidade de circuito, pois o mesmo circuito de adição pode ser
utilizado no processo de subtração utilizando-se a fórmula:
• N1 – N2 = N1 + (-N2)

79

Circuitos Digitais

- Operações aritméticas com complemento de 2
- Para fazer a subtração de dois números binários: N1 – N2 = N1 + (-N2)
• Logo, deve-se determinar o complemento de N2 com o mesmo número de
bits de N1, depois, soma-se N1 com o complemento de 2 de N2, eliminando
o bit de excesso.

• Ex: 11012 – 1012 = ?

• Coloca-se N2 com o mesmo número de bits de N1: 0101

• Determina-se o complemento de 1 de N2: 1010

• Complemento de 2 de N2 : 1010 + 1 = 1011

• Faz-se a adição de N1 com o complemento de 2: 1101

+ 1011
Estouro do número de bits, deve-
se desconsiderar este bit 11000

80

Circuitos Digitais

81

Circuitos Digitais

Funções e portas lógicas
• Funções e portas lógicas: E, OU, NÃO,
NE e NOU
• Em 1854, George Boole apresenta um sistema
matemático de análise lógica conhecido como
álgebra de Boole.
• Em 1938, Claude Elwood Shanoon aplica as
teorias de Boole para solução de problemas de
circuitos de telefonia com relés.
• A partir de então, deu-se origem a eletrônica
digital.

82

Circuitos Digitais

• Funções e portas lógicas: E, OU, NÃO,
NE e NOU
• Nas funções lógicas, tem-se dois estados:
– o estado 0 (zero);

– O estado 1 (um).

• O estado 0 pode representar, por exemplo: porta
fechada, aparelho desligado, chave aberta, carro
desligado, etc.
• O estado 1 pode representar, por exemplo: porta
aberta, aparelho ligado, chave fechada, carro
ligado, etc.

83

Circuitos Digitais

• Função E ou AND
– Representação algébrica: “LAMP” = “CH A” . “CH B”

– Exemplo ilustrativo:

CH A CH B LAMP
CH A CH B 0 0 0
E 0 1 0
LAMP 1 0 0
1 1 1

– CH fechado - > estado = 1; CH aberto -> estado 0

– LAMP acessa -> estado =1; LAMP apagada -> estado 0

84

Circuitos Digitais

• Porta lógica E ou AND
– Representação algébrica: x = A.B

– Simbologia da porta E ou AND:

Simbologia
Tabela da Verdade
– Tabela da verdade é um mapa que contém todas as
possíveis situações com seus respectivos resultados.

85

Circuitos Digitais

– Representação algébrica: x = A.B.C

– Simbologia da porta E ou AND:

Simbologia

Tabela da Verdade

86

Circuitos Digitais

– Representação algébrica: x = A.B.C

– Tabela da verdade, Forma de Onda da porta AND.

Tabela da Verdade Porta AND

Forma de Onda

87

Circuitos Digitais

• Função OU ou OR
– Representação algébrica: “LAMP” = “CH A” + “CH B”

CH A
CH A CH B LAMP
0 0 0
CH B
0 1 1

E 1 0 1
LAMP 1 1 1



88

Circuitos Digitais

• Porta lógica OU ou OR
– Representação algébrica: x = A + B

– Simbologia da porta OU ou OR:

Simbologia
Tabela da Verdade

89

Circuitos Digitais

– Representação algébrica: x = A + B + C

– Simbologia da porta OU ou OR:

Simbologia

Tabela da Verdade

90

Circuitos Digitais

– Exemplo de utilização da porta OR em um sistema de
alarme.

91

Circuitos Digitais

– Exemplo de utilização da porta OR em um sistema de
alarme.

92

Circuitos Digitais

• Função NÃO ou NOT
– Representação algébrica: “LAMP” = “CH A”


CH A LAMP
R
0 1
E CH A 1 0
LAMP



93

Circuitos Digitais

• Porta lógica NÃO ou NOT
– Representação algébrica: x = A ou x = A’

– Simbologia da porta NÃO ou NOT:

Simbologia
Tabela da Verdade

Forma de Onda
94

Circuitos Digitais

• Função NÃO E ou NAND
– Representação algébrica: x = (A . B)

95

Circuitos Digitais

• Porta lógica NÃO E ou NAND

Tabela da Verdade

Simbologia

96

Circuitos Digitais

• Porta lógica NÃO E ou NAND

Simbologia Tabela da Verdade

Forma de Onda
97

Circuitos Digitais

• Função NÃO OU ou NOR
– Representação algébrica: x = (A + B)

98

Circuitos Digitais

• Porta lógica NÃO OU ou NOR

Tabela da Verdade

Simbologia

99

Circuitos Digitais

• Porta lógica NÃO OU ou NOR

Simbologia
Forma de Onda

Tabela da Verdade
100

Circuitos Digitais

• Circuitos Integrados de porta lógica

101

Circuitos Digitais

• Expressões booleanas
• Todo circuito lógico executa uma expressão
booleana.
• Os circuitos podem ser implementados por portas
lógicas básicas.
• Exemplo:

102

Circuitos Digitais

• Exemplo:

103

Circuitos Digitais

• Exemplo:

104

Circuitos Digitais

• Exemplo:

105

Circuitos Digitais

• Exemplo:

106

Circuitos Digitais


107

Circuitos Digitais

• Circuitos a partir de expressões booleanas
• O método consiste em identificar as portas lógicas
na expressão e desenhá-las com as respectivas
ligações, a partir das variáveis de entrada até
chegar a obter a saída.
• Ex:
S = [(A+B).C]+(D+E)

A S1=A+B
1 B

A S1=A+B S2=(A+B)
2 B

108

Circuitos Digitais

• Circuitos a partir de expressões booleanas
• Ex:
S = [(A+B).C]+(D+E)
A S1=A+B S2=(A+B)
3
B
S3=(A+B).C
C

D S4=(D+E)
4
E

A S1=A+B S2=(A+B)

B
S3=(A+B).C
C
5 S=[(A+B).C]+(D+E)

D S4=(D+E)
E
109

Circuitos Digitais

• Tabelas da verdade a partir de exp. boleanas
• Uma tabela da verdade permite estudar uma função
boleana.
• Para extrair a tabela da verdade de uma expressão
booleana, deve-se:
– Montar o quadro de possibilidades.

– Montar colunas para vários membros da expressão.

– Preencher as colunas com os resultados dos membros da
expressão ou sub-expressões.

– Montar uma coluna para o resultado final.

– Preencher a coluna do resultado da expressão.

110

Circuitos Digitais

• Tabelas da verdade a partir de exp. boleanas
– Ex: dado a expressão: S = (A.B)+C

A B C (A.B) C S
0 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1

111

Circuitos Digitais

• Expressões booleanas a partir da tabela da verdade
• Deve-se procurar os casos em que S for igual a 1.
• Cria-se as expressões parciais.
• Em seguida, deve-se “somar” estas expressões
parciais.
• Ex:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

112

Circuitos Digitais

• Expressões booleanas a partir da tabela da verdade
• Ex: A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Caso 01: S=1 quando, A=0 e B=1 (A=1 e B=1) A.B
Caso 11: S=1 quando, A=1 e B1  A.B
Logo:
S = A.B + A.B

113

Circuitos Digitais

• Blocos lógicos
– Há ainda dois blocos lógicos especiais:
• OU Exclusivo;

• Ou Coincidência.

– Tabela da verdade do OU Exclusivo:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

– Determinar a expressão e o circuito.
114

Circuitos Digitais

• Blocos lógicos
– Tabela da verdade do OU Exclusivo:
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

S = A.B + A.B
A
B
S OU Exclusivo
A
S
B

S= A + B = A.B + A.B S= A + B

115

Circuitos Digitais

• Blocos lógicos
– Bloco Coincidência
– Tabela da verdade do Coincidência:
A B S
Bloco Coincidência
0 0 1
A
0 1 0 B
1 0 0 S

1 1 1

S = A.B + A.B
Simbologia-Coincidência
A
S= A B = A.B + A.B B
S

S= A B
116

Circuitos Digitais

Bloco Lógico Bloco Equivalente
• Equivalência
entre blocos A S

lógicos 1

117

Circuitos Digitais

118

Circuitos Digitais

Álgebra de Boole e Simplificação de circuitos lógicos

• Introdução
– Os circuitos lógicos podem ser simplificados, obtendo o
mesmo resultado com menos portas lógicas.
– A simplificação pode ser feita através da Álgebra de
Boole ou Mapas de Karnaugh.
– As variáveis lógicas podem assumir somente dois
valores:
• Ex: A = 0 ou A=1, em tempos distintos

– Uma expressão boleana pode assumir o valor 0 ou 1,
dependendo do valor das variáveis em dado instante.
• Ex: S=A+B.C, Quando teremos S igual a1?

119

Circuitos Digitais


• Postulado da Álgebra de Boole
– Postulados da complementação;
– Postulado da adição;
– Postulado da multiplicação;

120

Circuitos Digitais


• Postulados da complementação
– Chama-se de A o complemento de A.
1) Se A = 0  A = 1;
2) Se A=1  A = 0.
– Algumas identidades:
• A=A

• Se A = 1, temos: A = 0 e se A=0  A = 1

• Se A = 0, temos: A =1 e se A =1  A = 0.

• Logo, A = A

121

Circuitos Digitais


• Postulados da adição
1) 0 + 0 = 0

2) 0 + 1 = 1

3) 1 + 0 = 1

4) 1 + 1 = 1

• A partir deste postulado, pode-se determinar as
identidades:
A+0=A

A + 1 =1

A+A=A
Prova destas
A+A=1 identidades?
122

Circuitos Digitais


• Postulados da multiplicação
1) 0 . 0 = 0

2) 0 . 1 = 0

3) 1 . 0 = 0

4) 1 . 1 = 1

• A partir deste postulado, pode-se determinar as
identidades:
A.0=0

A.1=A

A.A=A
Prova destas
A.A=0 identidades?
123

Circuitos Digitais

• Propriedades
– Permitem o manuseio e simplificações de expressões
Booleanas.
• Propriedade comutativa
– Adição: A+B=B+A

– Multiplicação: A . B = B. A

• Propriedade associativa
– Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

– Multiplicação: A. (B.C) = (A.B).C = A.B.C

• Propriedade distributiva
– A.(B+C)=A.B + A.C

124

Circuitos Digitais


• Propriedades
– Propriedade distributiva
• A.(B+C)=A.B + A.C

A B C A.(B+C) A.B + A.C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1

125

Circuitos Digitais


• Teoremas de De Morgan
– Muito utilizados para simplificação de expressões
booleanas e desenvolvimento de circuitos digitais.
– 1o Teorema de De Morgan: o complemento do produto
é igual à soma dos complementos.
(A . B) = A + B

Para mais de duas variáveis:

(A . B . C . . . N) = A + B + C + ... + N

Prova do 1 Teorema?

126

Circuitos Digitais


• Teoremas de De Morgan
– 2o Teorema de De Morgan: o complemento da soma é
igual ao produto dos complementos.
(A + B) = A . B

Para mais de duas variáveis:

(A + B + C +. . .+ N) = A . B . C ... N

Prova do 2 Teorema?

127

Circuitos Digitais


• Identidades Auxiliares
• A + A.B = A
• (A + B) . (A + C) = A + B.C
• A+A.B=A+B

Prova destas identidades?

128

Circuitos Digitais


• A + A.B = A
– Aplicando a propriedade distributiva, tem-se:

=A . ( 1 + B)

– Do postulado da soma, tem-se 1 + B = 1, logo:

=A . 1

Do postulado da multiplicação, tem-se

=A.1 = A

129

Circuitos Digitais


• (A + B) . (A + C) = A + B.C
(A + B) . (A + C)
= A.A + A.C + A.B + B.C Propriedade distributiva
= A + A.C + A.B + B.C Identidade A.A=A
= A.(1 + B + C) + B.C Propriedade distrib.
= A.1 + B.C Identidade 1 + X = 1
= A + B.C Identidade A.1=A

130

Circuitos Digitais

• Identidades Auxiliares A + A.B = A + B
A + A.B =
= (A + A.B) Identidade X = X
= [ A . (A.B)] 2 Teorema de De Morgan
( X + Y) = X . Y

= [ A . (A + B)] 1 Teorema de De Morgan
( X . Y) = X +Y

= (A.A + A.B) Propri. Distri. e A.A=0
= (A.B)
= (A + B) = A + B 1 Teo. de De Morgan e X= X

131

Circuitos Digitais

132

Circuitos Digitais

• Ex: S = ABC + AC + AB
S = A (BC+C+B) Evidenciando A
S = A[ BC + (C + B)] Prop. Associativa
S = A[ BC + (C + B)] Ident. X = X
S = A[ BC + CB] Aplic. De Morgan
S = A[ BC + CB] Ident. X = X
S = A[ BC + BC] Prop. Associativa
S = A[ Y + Y] Fazendo BC = Y e BC=Y
S = A[ 1 ], Logo S=A
133

Circuitos Digitais


• Diagramas de Veitch-Karnaugh
– Os diagramas ou mapas de Karnaugh possibilitam a
simplificação de maneira mais rápida dos casos
extraídos de tabelas da verdade.
– Veremos os diagramas de Karnaugh para 2, 3, 4 e 5
variáveis.

134

Circuitos Digitais


– Diagrama de Karnaugh para 2 variáveis
B B B B
B B
A A
A
A A
A

As quatro regiões
assumidas entre B B B B
as variáveis A e B.
A A

A A

135

Circuitos Digitais


4 Casos da tabela da verdade
Caso 0 B B Caso 1 B B
A B A
0 0 Caso 0 A
0 1 Caso 1
A
A
1 0 Caso 2
1 1 Caso 3 Caso 2 B B Caso 3 B B
A
A
A
A

136

Circuitos Digitais


Distribuição dos 4 casos

B B
A B
0 0 Caso 0 Caso 0 Caso 1
0 1 Caso 1
A A B A B
0 0 0 1
1 0 Caso 2
Caso 2 Caso 3
1 1 Caso 3 A A B A B
1 0 1 1

137

Circuitos Digitais


Tabela da Verdade Expressão boleana
A B S
0 0 0 Caso 0
0 1 1 Caso 1
S = AB + AB
1 0 0 Caso 2
1 1 1 Caso 3

Mapa de Karnaugh Expressão booleana simplificada
B B 1 par

A 0 1
S=B
A 0 1
138

Circuitos Digitais


A B S
0 0 0 Caso 0
0 1 1 Caso 1
S = AB + AB
1 0 1 Caso 2
1 1 0 Caso 3

B B Termo
isolado
A 0 1
S = AB + AB

A 1 0
139

Circuitos Digitais


A B S
0 0 1 Caso 0
0 1 1 Caso 1
S = AB + AB +AB
1 0 1 Caso 2
1 1 0 Caso 3

1 Par B B 1 Par

A 1 1
S=A+B

A 1 0
140

Circuitos Digitais



B B
A
A
C C C

141

Circuitos Digitais


Região A B B Região A B B
A A
A A
C C C C C C
Região B B B Região B
B B
A A
A A
C C C C C C
Região C Região C
B B B B
A A
A A
C C C C C C
142

Circuitos Digitais



A B C
0 0 0 Caso 0
0 0 1 Caso 1
B B
0 1 0 Caso 2 Caso 0 Caso 1 Caso 3 Caso 2
0 1 1 Caso 3 A ABC ABC ABC ABC
000 001 011 010
1 0 0 Caso 4
Caso 4 Caso 5 Caso 7 Caso 6
1 0 1 Caso 5 A ABC ABC ABC ABC
1 1 0 Caso 6 100 101 111 110

1 1 1 Caso 7 C C C

143

Circuitos Digitais


Tabela da Verdade Mapa de Karnaugh
A B C S1 S2 B B
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 A 1 0 1 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
A 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
C C C
1 1 1 1 1 1 Par

Expressão boleana Expressão booleana simplificada

S1=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC S2=BC + AC +BC
144

Circuitos Digitais


Tabela da Verdade Mapa de Karnaugh
A B C S1 S2 B B
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 A 1 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
A 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
C C C
1 1 1 1 1 1 Quadra

Expressão boleana Expressão booleana simplificada

S=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC S=B + C
145

Circuitos Digitais



C C
B
A

B
A
B
D D D

146

Circuitos Digitais

Região A C C Região B C C
B B
A A
B B
A B A B
D D D D D D
Região C C C Região D C C
B B
A A

B B
A A B
B
D D D D D D 147

Circuitos Digitais

Região A C C Região B C C
B B
A A
B B
A B A B
D D D D D D
Região C C C Região D C C
B B
A A

B B
A A B
B
D D D D D D
148

Circuitos Digitais

Tabela da Verdade
A B C D
Mapa de Karnaugh
0 0 0 0 Caso 0
0 0 0 1 Caso 1
0 0 1 0 Caso 2 C C
0 0 1 1 Caso 3
0 1 0 0 Caso 4 A 0000 0001 0011 0010 B
ABCD ABCD ABCD ABCD
0 1 0 1 Caso 5
0 1 1 0 Caso 6 0100 0101 0111 0110
ABCD ABCD ABCD ABCD
0 1 1 1 Caso 7
B
1 0 0 0 Caso 8 1100 1101 1111 1110
ABCD ABCD ABCD ABCD
1 0 0 1 Caso 9 A Caso 8 Caso 9 Caso 11 Caso 10
1 0 1 0 Caso 10 1000 1001 1011 1010 B
ABCD ABCD ABCD ABCD
1 0 1 1 Caso 11
1 1 0 0 Caso 12 D D D
1 1 0 1 Caso 13
1 1 1 0 Caso 14
1 1 1 1 Caso 15
149

Circuitos Digitais

A B C D S1 S2
0 0 0 0 0 0 S1=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+
0 0 0 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
0 0 1 0 1 1
Mapa de Karnaugh
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 oitava
0 1 0 1 1 1 1 quadra
0 1 1 0 1 1
C C
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 B
1 0 0 0 0 0 A
1 0 0 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 0 0 0 1 par 1 1 1 0 B
1 0 1 1 1 1 A 0 1 1 0 B
1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 D D D
1 1 1 0 0 0 Expressão booleana simplificada
1 1 1 1 1 1 S2= D + AC + ABC
150

Circuitos Digitais



A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

151

Circuitos Digitais


Região A
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

152

Circuitos Digitais


Região A
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

153

Circuitos Digitais


Região B
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

154

Circuitos Digitais


Região B
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

155

Circuitos Digitais


Região C
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

156

Circuitos Digitais


Região C
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

157

Circuitos Digitais


Região D
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

158

Circuitos Digitais


Região D
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

159

Circuitos Digitais


Região E
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

160

Circuitos Digitais


Região E
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

161

Circuitos Digitais

– Diagrama de Karnaugh para 5 variáveis: Exemplo

Região E
A A

D D D D
C C
B B

C C
B B C
C
E E E E E E

162

Circuitos Digitais

Tabela da Verdade
A B C D E S1 S2 A B C D E S1 S2
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

163

Circuitos Digitais



1 par 1 par A A 1 par

D D D D
1 0 1 0 C 0 0 0 0 C
B B 0 1 0 1
1 1 1 0
0 1 0 1 C 1 1 1 1 C
B 1 1 0 1 C B 0 0 0 0 C
E E E E E E

1 par 1 quadra

1 quadra
164

Circuitos Digitais

– Diagrama de Karnaugh para 4 variáveis: Exercício
Tabela da Verdade
A B C D S1 S2 Expressão boleana
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
Mapa de Karnaugh
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 quadra
0 1 0 1 0 1 quadra
0 1 1 0 1
C C
0 1 1 1 0 1 B
1 0 0 0 0 A
1 0 0 1 1
1
1 0 1 0 1 1 quadra 1 1 1 1 B
1 0 1 1 1 A 1 1 1 B
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1 D D D
1 1 1 0 1 Expressão booleana simplificada
1 1 1 1 1 S2= AB+ AD + CD
165

Circuitos Digitais

166

Circuitos Digitais

Circuitos Combinacionais

• Introdução
– Conceito de circuitos combinacionais:
• É aquele em que a saída depende única e
exclusivamente das combinações entre as variáveis
de entrada.
– Exemplo de circuitos combinacionais:
• Somadores, Subtradores, Codificadores, Decodificadores, etc.

– Utiliza-se um circuito combinacional quando há
necessidade de uma resposta dada certas
condições.

167

Circuitos Digitais

Circuitos Combinacionais

• Processo de criação de um circuito combinacional

SITUAÇÃO TABELA DA EXPRESSÃO CIRCUITO
VERDADE SIMPLIFICADA

168

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