PDS Unidad 2 Sección 2.3: Clasificación de los sistemas discretos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 2
SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
Solo poco podemos ver del futuro, pero lo suficiente
para darnos cuenta que hay mucho que hacer.
– Alan Turing

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
Sistemas en tiempo discreto
Clasificación de los sistemas discretos

Rev. Abril/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 3
ax(n)y(n) 
Sistemas estáticos y sistemas dinámicos
Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su
salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada
en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas o futuras de la
entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con
memoria.

)()( nynx 

)()( knyknx  

Si la salida NO se cumple aun para un solo valor de k:
)(),( knykny 
El sistema es variante en el tiempo.
Sistemas invariantes en el tiempo y sistemas variantes en el tiempo
Un sistema se dice invariante en el tiempo si sus características de entrada-
salida no cambian con el tiempo.

Ejemplo 2.3: Determine si los sistemas mostrados en la figura son invariantes o
variantes con el tiempo.
a)
Solución: Este sistema se describe mediante la ecuación de entrada-salida
𝑦 𝑛 = 𝒯 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 1)
Si retrasamos la entrada 𝑘 unidades en el tiempo, la salida será
𝑦 𝑛, 𝑘 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 − 𝑥(𝑛 − 𝑘 − 1)
A partir de la definición de un sistema invariante en el tiempo, la salida es
𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 − 𝑥 𝑛 − 𝑘 − 1
Las expresiones son iguales, entonces es un sistema Invariante en el Tiempo
Rev. Abril/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5
𝑧−1
𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)
+
+
-
Diferenciador

Ejemplo 2.3: Determine si los sistemas mostrados en la figura son
invariantes o variantes con el tiempo.
b)
Solución: La ecuación de entrada-salida del sistema es
𝑦 𝑛 = 𝒯 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛
Retardando la salida 𝑘 unidades, entonces
𝑦 𝑛, 𝑘 = 𝑛𝑥 𝑛 − 𝑘
A partir de la definición de un sistema invariante en el tiempo, la salida es
𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑛 − 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘
x
Multiplicador
𝑛

Ejemplo 2.3: Determine si los sistemas mostrados en la figura son
invariantes o variantes con el tiempo.
b)
𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝑛𝑥 𝑛 − 𝑘 − 𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)
Este sistema es Variante en el Tiempo, ya que
𝑦 𝑛, 𝑘 ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
x
Multiplicador
𝑛

Sistemas lineales y sistemas no lineales
Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición.
𝒯 𝑎1 𝑥1 𝑛 + 𝑎2 𝑥2 𝑛 = 𝑎1 𝒯 𝑥1 𝑛 + 𝑎2 𝒯[𝑥2(𝑛)]
Las propiedades multiplicativa y aditiva definen el principio de
superposición.
Considere la siguiente expresión
𝒯 𝑎1 𝑥1 𝑛 = 𝑎1 𝒯 𝑥1 𝑛 = 𝑎1 𝑦1(𝑛)
Esto significa que hay una relación entre la entrada y salida independiente
de 𝑎1
𝑦1 𝑛 = 𝒯[𝑥1(𝑛)]

Ahora considere la expresión
𝒯 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 = 𝒯 𝑥1 𝑛 + 𝒯 𝑥2 𝑛
= 𝑦1 𝑛 + 𝑦2(𝑛)
Es decir, la transformación de la suma de las señales de entrada debido al
sistema, es igual la suma de las señales de salida. Extrapolando
𝑥 𝑛 =
𝑘=1
𝑀−1
𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 𝑛
𝒯
𝑦 𝑛 =
𝑘=1
𝑀−1
𝑎 𝑘 𝑦 𝑘(𝑛)

De forma gráfica sería
donde 𝑦 𝑛 = 𝑦′(𝑛)
𝑥1(𝑛)
𝑦(𝑛)+
𝑥2(𝑛)
𝒯
𝑎1
𝑎2
𝑥1(𝑛)
𝑦′(𝑛)
𝑥2(𝑛)
𝒯
𝑎2
𝒯
+
𝑎1

Un sistema que no cumpla la propiedad multiplicativa y aditiva, es No
Lineal.

Sistemas causales frente a sistemas no causales.
Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier
instante n depende sólo de las entradas presentes y pasadas, pero no de las
futuras.
Donde F[·] es una función arbitraria.
Si un sistema no satisface esta definición se dice que es no causal. En un
sistema de este tipo, la salida depende no sólo de las entradas pasadas y
presentes, sino también de las futuras.
 ),...2(),1(),()(  nxnxnxFny

Ejemplo 2.4: Determine si los sistemas descritos por las siguientes
ecuaciones de entrada – salida son causales o no causales
a) 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 − 1 R: Causal
b) 𝑦 𝑛 = 𝑘=−∞
𝑛
𝑥(𝑘) R: Causal
c) 𝑦 𝑛 = 𝑎𝑥 𝑛 R: Causal
d) 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 3𝑥 𝑛 + 4 R: NO Causal
e) 𝑦 𝑛 = 𝑥(𝑛2) R: NO Causal
f) 𝑦 𝑛 = 𝑥(2𝑛) R: NO Causal
g) 𝑦 𝑛 = 𝑥(−𝑛) R: NO Causal
Los apartados a), b) y c) solo dependen de las muestras presentes y
pasadas, por lo tanto son Causales. Los apartados d), e), f) y g) dependen
de entradas futuras, por lo tanto son No Causales.

Sistemas estables frente a sistemas inestables.
Un sistema arbitrario en reposo se dice de entrada acotada-salida acotada
(BIBO, bounded input-bounded output), si y solo si toda entrada acotada
produce una salida acotada.
Si, para alguna entrada acotada x(n) la salida no esta acotada (es infinita),
el sistema se clasifica como inestable.
La expresión anterior implica que cualquier excitación de duración finita a la
entrada de un sistema produce una respuesta de naturaleza transitoria, es
decir, su amplitud decrece y se anula con el tiempo si el sistema es estable.
 yx MnyMnx )()(
0)(lim 0 

Nny
N

Ejemplo 2.5: Considere el sistema no lineal descrito por la ecuación
entrada-salida
𝑦 𝑛 = 𝑦2 𝑛 − 1 + 𝑥 𝑛
Como consecuencia seleccionamos una entrada acotada
𝑥 𝑛 = 𝐶𝛿(𝑛)
donde 𝐶 es una constante. Suponemos también que 𝑦 −1 = 0.
Solución: la secuencia de salida es
𝑦 0 = 𝐶, 𝑦 1 = 𝐶2
, 𝑦 2 = 𝐶4
, … 𝑦 𝑛 = 𝐶2𝑛
Se observa que la salida del sistema para valores de 𝑛 grandes tiene
rápidamente hacia el infinito, por lo tanto su salida no esta acotada y el
sistema es Inestable.

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