El documento trata sobre el análisis numérico y los métodos numéricos. Explica que el análisis numérico permite resolver problemas matemáticos de forma algorítmica utilizando operaciones aritméticas simples en computadoras. También describe algunos tipos de errores como los de redondeo y truncamiento que se producen al realizar cálculos numéricos y define conceptos como estabilidad e inestabilidad de métodos numéricos.
PINTURA DEL RENACIMIENTO EN ESPAÑA (SIGLO XVI).ppt
Act 1 analisi numerico
1.
2. ANÁLISISNUMÉRICO
Es una rama de la matemática y también es la técnica mediante la cual se puede
formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas, la computación es una herramienta que nos facilita su desarrollo.
IMPORTANCIADELOSMETODOS
Los métodos numéricos son importantes ya que nos dan la capacidad para
entender esquemas numéricos con la finalidad de resolver problemas matemáticos,
científicos o de ingeniería en un computador. Los métodos numéricos pueden ser
aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: · Cálculo de derivadas ·
Integrales · Ecuaciones diferenciales · Operaciones con matrices · Interpolaciones ·
Ajuste de curvas · Polinomios
3. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en
última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde
este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para
llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos
más sencillos empleando números. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos
al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas
pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez
alimentan de nuevo el algoritmo (feedback).
Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que
a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en
determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la
solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el dela
representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los
vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números
reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la
matemática convencional. En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor
numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o
"analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de
integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de
uso frecuente por físicos .
4. NUMEROSDEMAQUINASDECIMALES
Tambiénllamadocódigo binario, es un sistema que consta de dosnúmeros, (0) y(1) con basedos, la unidad lógica del computador utiliza
componentes únicamente de apagado y encendido, o en una conexión abierto/cerrado. EN BITS existen varios métodos de conversión de
númerosdecimalesa binarios; aquí solo seanalizará uno. Naturalmente es muchomásfácil una conversiónconuna calculadoracientífica, pero
nosiemprese cuenta conella, así quees convenienteconocerpor lo menosunaformamanualparahacerlo.
Elmétodoque se explicará utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo comodígito binario yel resultado
comola siguientecantidadadividir. Tomemoscomoejemploel número43decimales. 43/2=21ysu
residuo es1
21/2 =10ysuresiduoes1
10/2 =5ysuresiduo es0
5/2 =2ysuresiduo es1 2/2
=1ysuresiduo es0 1/2 =0y
suresiduoes 1
Uniendoel númerodeabajohaciaarriba tenemosqueel resultado enbinarioes 101011
5. ERRORESRELATIVOSYABSOLUTOS
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se
refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben
ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores
numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones ycantidades matemáticas.
ErrorAbsoluto:
Error que se determina al dividir el error absoluto entre el valor verdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes por mil
o partes por millón.
ErrorRelativo:
Errores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona que los datos se distribuyan más o menos con simetrías alrededor
de un valor promedio. (Se refleja por su grado de precisión).Cota de Errores Absolutos y Relativos Normalmente no se
conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p*como una aproximación de p. Se
pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una
función derivable en I,[a, b] Í I, Pla solución exacta de la ecuación f(x)=0 yPn una aproximación a P.
Supongamos |f ’(x)| ³m >0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una
aproximación de la solución exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la
práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) =0; es decir si el número
|f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no
se considera comouna buena aproximación de la solución exacta P.
6. COTADEERRORES
Daunacota parael error absoluto yotra parael error relativocometidosal Absolutosyhacerlassiguientesaproximaciones:
Relativos
a)Preciodeunacasa:275milesde€. Cotadeerror
b) 45milesdeasistentes aunamanifestación.Absoluto<½unidad
c) 4cientosdecochesvendidos.delordendela Solución:última cifra
a) |Error absoluto| <500€significativa error relativo<500/275000=0,0018 Una cota para el b) |Error absoluto| <500personas
error relativo es: error relativo=500/45000=0,011 c) |Error absoluto| < 50 coches Cota de error error
relativo<50/400=0,125relativo=cotadelerror absoluto /valor real
Daunacotadelerror absoluto yotra delerror relativoenlassiguientesaproximaciones:
a)Radiodela Tierra:6400km.
b)Distancia Tierra-Sol: 150 000 000km.
c)Habitantes de Venezuela: 41 millones.
d)Tiempoquetarda la luz enrecorrer unadistancia:0,007segundos.e) Volumendeunagotadeagua:0,4mm3. a) Cotadel error
absoluto: =50Cotadelerror relativo:0,008b) Cotadelerror absoluto: =5000 000 Cotadelerror relativo:0,03c) Cotadel error
absoluto:500000Cotadelerror relativo:0,12
d) Cotadelerror absoluto: =0,0005Cotadelerror relativo 0,07e) Cotadelerror absoluto: =0,05Cotadelerror relativo= 0,125
7. FUNCIONESBASICASDEERRORES
Losprincipales errores en cálculos numéricos, son los errores de redondeo ylos errores de truncamiento, el error de redondeo se asocia
con el número limitado de dígitos con que se representan los númerosen una PCmientras que el error de truncamiento se debe a las
aproximacionesutilizadasenla fórmulamatemáticadel modelo.
Errores de redondeo
Elerror deredondeosedebea la naturaleza discreta delsistema numéricodemáquinadepunto flotante, el cuala su vezse debeasu
longitud depalabra finita. Cadanúmero(real) sereemplazapor el númerodemáquinamáscercano.Estosignifica quetodoslosnúmeros
enun intervalo local están representadospor un solonúmero enel sistemanuméricodepunto flotante.
Es aquel error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal, se ajusta a un número especifico, provocando con
ello un ajuste enel últimodigito quesetomeen cuenta.
"Cualquier númeroreal positivo ypuedeser normalizadoa: y=0,d1d2d3..., dk, dk+1,dk+2,. . . x10n.
Elprocedimiento sebasaen agregar 5x10n - (k+1)a yydespuéstruncar para queresulte un númerodela formafl =0,d1 d2d3
..., dk, x10n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl;
estoes, redondeamoshaciaarriba. Sidk+1<5, simplementetruncamosdespuésdelosprimeroskdígitos;seredondeaasí hacia abajo
8. Error de truncamiento
El error de truncamiento es el error que aparece cuando un procedimiento infinito se hace finito.
El ejemplo clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una función, en series de
potencia. La expansión de una función en series de potencias de Taylor está dada por: Como se ve, esta
expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí que la serie se
trunca, lo cual produce automáticamente un erro, el cual es precisamente llamado error de truncamiento.
Póngase como ejemplo, el cálculo del valor de Aquí se tendrán diferentes errores, dependiendo el número de
términos usados para calcular la exponencial.
Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que
generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos,
introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En
una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un
intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado
de dividir el intervalo "n" veces. Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3
..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto
flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales.
Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1,
dk+2, . . . para obtener fl =0,d1 d2 d3 ..., dk, x10 n.
9. Error de suma y resta
Comocadasumaintroduceunerror, proporcionalalépsilondelamáquina,queremosvercomoestos erroresseacumulanduranteelproceso.
El análisisquepresentamosgeneralizaalproblemadelcálculode productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas
usuales.Estosbitsextrassellamanbitsdeprotecciónypermitenque losnúmerosexistantemporalmenteconunaprecisiónadicional.
Sedebenevitarsituacionesenlasquelaexactitudsepuedevercomprometidaalrestar cantidades casiigualesoladivisióndeunnúmeromuy
grandeentreunnúmeromuypequeño,locualtraecomo
consecuenciasvaloresdeerroresrelativosyabsolutospocorelevantes. RESTA
Sean:x±xyz±z x+z=(x+z) ±( x+z) x– z=(x– z) ±( x+ z)
11. • Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema
respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos
pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un
número condicionadopuede definirse comola razóndeloserroresrelativos".
• Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada
caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de
sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo denúmero de condición; el número condicionado proporciona una medidadehasta qué
punto la incertidumbre aumenta.
