lezione sui criteri di convergenza, matematica, V anno liceo

1. Criteri di convergenza per
una serie geometrica a
termini positivi

2. LICEO STATALE “V. Emanuele III”
 Sezione scientifica
 Classe VA ordinamento

3. Percorso didattico
 Modulo: Successioni e Serie
numeriche
 U.D.1: Successioni
 U.D.2: Limite di una successione
 U.D.3: Serie numeriche
 U.D.4: Serie geometrica e criteri di
convergenza.
 U.D.5: Proprietà delle serie
 U.D.6: Criteri di convergenza delle serie a
termini positivi

4. PREREQUISITI
 Definizione di successione numerica
 Limiti di successioni
 Operazioni con i limiti
 Teoremi sulle successioni monotone
 Serie convergenti, divergenti e
indeterminate

5. OBIETTIVI SPECIFICI DI
APPRENDIMENTO
CONOSCENZE ABILITA’
Conoscere il concetto di
successione
Saper riconoscere il carattere
di una successione
Conoscere la definizione di
limite
Saper operare con i limiti
Conoscere la definizione di
serie
Saper calcolare la somma di
una serie
Conoscere i criteri di
convergenza
Saper applicare i criteri di
convergenza
Conoscere la definizione di
serie geometrica

6. COMPETENZE
Quadro di riferimento PISA 2012
 “La competenza matematica è la capacità
dell’individuo di formulare, applicare ed
interpretare la matematica in una varietà di
contesti. Essa include il ragionamento
matematico e l’utilizzo di concetti, procedure
asserti e strumenti matematici per descrivere,
spiegare e prevedere i fenomeni”.

7. STRUMENTI METODOLOGIA DIDATTICA
 Libro di testo
 Mappe concettuali
 Utilizzo di Excel/Calc
attraverso l’uso della LIM
 Apprendimento
collaborativo
 Lezione frontale
 Attività di ricerca
multimediale

8. SPAZI TEMPI
 AULA
 LABORATORIO DI
INFORMATICA
 1 h di lavoro di gruppo
 1 h di lezione frontale
 1 h esercitazione
 1 h correzione esercizi
 2 h per la verifica finale

9. Verifiche e valutazione Attività di recupero
 Verifiche in itinere:
verifiche orali
simultanee durante la
lezione
 Verifica finale: compito
scritto con quesiti
aperti e test a scelta
multipla
 Valutazione: valenza
docimologica delle
singole prove di
verifica (rif Pof)
 Pausa didattica
 Recupero in itinere
 Eventuali corsi di
recupero
organizzati in
orario
extracurriculare
dalla scuola

10. Didattica individualizzata e
personalizzata
Alunni con DSA
(legge 170/2010)
 Strumenti
dispensativi
 Misure
compensative
Alunni con BES
(DM del 27/12/2012)
 Recupero individuale
 Potenziare abilità
 Acquisire specifiche
competenze
 Calibrazione
dell’offerta didattica
 Calibrazione delle
modalità relazionali

11. Il paradosso di Zenone: Achille e
la tartaruga
Quando Achille si trova in Ao, la tartaruga è in To.
Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel
frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della
distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo
si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che
Achille non raggiunga mai la tartaruga.

12. Serie geometrica
1+q+q2
+q3
+……+qn
+…
𝑞 𝑛
∞
𝑛=0
Il rapporto tra un generico termine della
serie e il precedente è q (ragione della serie)
Nota. Se q=0, la serie converge e ha per
somma 1, supponiamo quindi q≠0

13. La successione dei termini della serie, cioè
q, q1, q2, …,qn,…
è detta progressione geometrica di ragione q
per q=1 la serie diverge
per q=-1 la serie è indeterminata

14. utilizzando il principio di induzione si arriva all’uguaglianza
1+q+q2
+…+qn
=
𝟏−𝒒 𝒏+𝟏
𝟏−𝒒
nϵN, qϵR- 1
e si può quindi scrivere
sn=
𝟏−𝒒 𝒏+𝟏
𝟏−𝒒

15. Successioni monotone- serie a
termini positivi
 Se una successione è crescente o
decrescente si può dimostrare che
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑠𝑢𝑝𝑎 𝑛
Quindi se in una serie tutti i termini sono positivi, la
successione delle somme parziali sarà crescente
𝑠 𝑛+1 = 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛+1 ≥ 𝑠 𝑛
E quindi la serie non può essere indeterminata

16. Caso A Caso B
Se 𝑞 < 1, ossia -1< 𝑞 < 1,
allora è 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒒 𝒏+𝟏
=0
pertanto
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒔 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏 − 𝒒 𝒏+𝟏
𝟏 − 𝒒
=
𝟏
𝟏 − 𝒒
La serie converge è ha per somma
𝟏
𝟏−𝒒
:
𝑞 𝑛
∞
𝑛=0
= 1 + 𝑞 + 𝑞2
+ ⋯+ 𝑞 𝑛
+ ⋯ =
1
1 − 𝑞
Se 𝑞 > 1, ossia 𝑞 < −1, 𝑞 > 1
allora è 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒒 𝒏+𝟏
=∞
pertanto
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒔 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏 − 𝒒 𝒏+𝟏
𝟏 − 𝒒
= ∞
La serie diverge

17. Soluzione paradosso
Svolgiamo per. il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velo cità di Achille
sia v =1 m/s e ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri.
Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi.
La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale.
Si tratta di tre serie geometriche convergenti, p.es.
Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri.
Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato .
t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 secondi.
Dunque dopo venti secondi, dopo aver percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e
un attimo dopo la supera definitivamente. La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene
posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini
debba dare sempre un risultato infinito.

18. APPLICAZIONI INFORMATICHE
serie di Mengoli
n an sn
1 0,5 0,5
2 0,166666667 0,666666667
3 0,083333333 0,75
4 0,05 0,8
5 0,033333333 0,833333333
6 0,023809524 0,857142857
7 0,017857143 0,875
8 0,013888889 0,888888889
9 0,011111111 0,9
10 0,009090909 0,909090909
11 0,007575758 0,916666667
12 0,006410256 0,923076923
13 0,005494505 0,928571429
14 0,004761905 0,933333333
15 0,004166667 0,9375
16 0,003676471 0,941176471
17 0,003267974 0,944444444
18 0,002923977 0,947368421
19 0,002631579 0,95
20 0,002380952 0,952380952

19. Interdisciplinarietà
 L’infinito (filosofia, italiano, disegno,
storia…)
 L’origine dell’universo (fisica,
geografia astronomica, storia dell’arte)
 De rerum natura di Lucrezio (Latino-
‘infinità di mondi formati da infiniti
atomi’)

20. Spunti di attualità
 Il principio di indeterminazione
Inmeccanicaquantistical’indeterminazioneindicaillivellodiimprecisionediunamisuraesi
applicanonadunasingolagrandezza(comelaposizione),maacoppiedigrandezze
"complementari".Sonocomplementari,adesempio,laposizioneelaquantitàdimoto(che
corrispondeallamassaperlavelocità).Tantopiùprecisaèlamisuradiunagrandezza,tantomeno
losaràlamisuradellagrandezzacomplementare.
Dopo breve tempo la distanza tra Achille e la tartaruga non
esiste più, nè ha senso considerare l’intervallo temporale che
corrisponde a questa distanza: si può affermare che alla fine
l’inseguitore ha raggiunto il suo obbiettivo.