1. Sistemas Dinâmicos
Caóticos
Elton Ribeiro da Cruz
Licenciando em Matemática
Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa
UFLA – Lavras – MG
2º Semestre de 2011

2. Introdução
• A humanidade procurou descrever os
fenômenos que se passam no universo,
utilizando as Ciências Naturais.
• Mas qual como fazer um modelo capaz de
simular esses fatos e acontecimentos?
• Sistemas de Equações Diferenciais e Equações
de Diferenças!

3. Equações Diferenciais
• Igualdade que envolve uma
função desconhecida e sua
taxas de variação, as
derivadas, com diferentes
ordens.
• Exemplo: Equação de Euler
Equações de Diferenças
)(
2
2
xfcy
dx
dy
bx
dx
yd
ax
• Equação onde envolvem as
diferenças entre os
sucessivos valores de uma
função de variável inteira.
• Exemplo: Modelo
Populacional de Malthus
)()1()1( tNrtN
São muito importantes! Aparecem em muitos ramos da
Ciência, como a Economia, Geografia, Geologia, Biologia,
Química... E até mesmo na Música!

4. Os Sistemas Dinâmicos
• São conjuntos de uma ou várias equações
diferenciais (ou de diferenças), cujo estado
muda com o tempo.
• Uma forma de se tentar prever o futuro (ou
explicar o passado) de modo científico.

5. Classificação dos Sistemas
Dinâmicos
Segundo Monteiro (2006), são classificados pelos
atributos de cada modelo:
• Em relação à variável de tempo, podem ser de tempo
contínuo ou de tempo discreto;
• Quanto ao tipo de modelo, um sistema pode ser linear
ou não linear;
• Em relação aos parâmetros, pode ser a parâmetros fixos
ou dependentes do tempo;
• Quanto à derivada, pode ser ordinárias ou parciais;
• Quanto à memória, um sistema pode ser instantâneo ou
dinâmico.

6. Sistemas Dinâmicos
Caóticos
De acordo com o livro texto de Villate (2007) ,
um sistema é caótico se apresenta as seguintes
características:
• Possuem comportamento aleatório, não
periódico;
• Sensibilidade às condições iniciais;
• Estrutura fractal.

7. Para esboçar os gráficos e figuras serão utilizados os
programas:
• Maxima – Sistema algébrico computacional
(CAS) manipulador de equações algébricas.
• Xaos – Programa criador de figuras fractais,
associadas à dinâmica caótica.

8. O Modelo Populacional de
Verhulst: Caso contínuo
• Pierre François de Verhulst (1804-1849)
propôs um modelo não linear para tentar
prever o crescimento populacional de uma
espécie, a Equação Logística:
Com r > 0 e k > 0.
)(1 NF
k
N
rN
dt
dN

9. • A equação logística é do tipo separável, basta
isolar os termos dependentes de N dos termos
dependentes de t.
• Fazendo algumas manipulações algébricas e
integrando temos a solução:
Sendo N0 uma condição inicial em t = 0.
rt
rt
eNNk
keN
tN
00
0
)(
)(

10. Campo de direções do Modelo de Verhulst tomando, por exemplo,
k = 3 e r = 1, com algumas curvas para valores distintos de N0
Comandos utilizados no Maxima:
load("plotdf")$
plotdf(y*(1-(y/3)), [xcenter,4], [ycenter,4], [xradius,5],
[yradius,5]);

11. Análise da função N(t)
• Em geral, para qualquer N0 > 0, tem-se:
• Se N0 = 0 ou N0 = k, o sistema permanece no
valor inicial para sempre, porque dN/dt = 0;
• Se N0 > k a taxa dN/dt é negativa, indicando
que N(t) decresce até o valor limite N(t) = k;
• Caso 0 < N0 < k, dN/dt é positivo e o valor de
N(t) cresce até atingir N(t) = k.
ktN
t
)(lim

12. • Agora seja F(N) dada por:
• Essa função é uma parábola com concavidade
voltada para baixo, tendo um ponto de máximo
em N = k/2.
• Para 0 < N0< k/2, N(t) apresenta comportamento
sigmoidal (com forma de “S”), com ponto de
inflexão em N(t) = k/2. Isso significa que a
população cresce até atingir o valor de k/2 e
depois cresce mais lentamente;
• Para N0 ≥ k/2, a função cresce monotonamente até
alcançar N(t) = k.
k
N
rNNF 1)(

13. • A forma discreta do Modelo de Verhulst é dada por:
• Podendo ser reescrita como:
Sendo:
A equação é chamada de mapa logístico. Possui uma riqueza
de comportamentos conforme varia o parâmetro µ.
O Modelo Populacional de
Verhulst: Caso discreto
)1()( 1 tttt xxxxF
01,
)1(
rN
rk
r
x tt
k
N
rNNN t
ttt 11

14. Análise da função F(xt)
• É uma parábola com concavidade voltada para baixo,
tendo um ponto de máximo em xt = 1/2.
• Se o parâmetro está situado no intervalo 0 < µ ≤ 4 e
0 ≤ x0 ≤ 1, então xt (t = 1, 2,...) também pertence ao
intervalo [0, 1].
• Caso µ > 4, em alguma iteração se obtém um ponto xt
negativo, embora 0 < x0 < 1.

15. • De acordo com Monteiro (2006), seja xt um ponto
localizado na vizinhança do ponto fixo x*, denotado por:
Sendo ηt = xt − x* e |ηt| << 1.
O ponto xt+1 pode ser escrito como:
• Desse modo, a estabilidade de x* é determinada
comparando as distâncias |ηt| e |ηt+1|.
• Se |ηt+1| < |ηt|, então x* é assintoticamente estável; se
|ηt+1| > |ηt|, x* é instável.
,*
tt xx
1
*
1
*
1 )()(
tt
ttt
xx
xfxfx

16. • Considere a distância |ηt| “pequena”. Expandindo f(xt)
na série de Taylor em torno de x* e tomando apenas
até o termo linear, obtém-se:
• Como f(xt) = x* + ηt+1 e f(x*) = x*, a expressão acima
pode ser simplificada para:
• Sendo λ um autovalor dado por:
t
xx
tt
dx
xdf
xfxfxf
*
** )(
)()()(
tt 1
*
)(
xxdx
xdf

17. • |ηt + 1| < |ηt| implica −1 < λ < 1, o que corresponde à
estabilidade assintótica.
Se 0 < λ < 1, as sucessivas iterações aproximam-se de x*
monotonamente.
Se −1 < λ < 0, as sucessivas iterações aproximam-se de x*
de forma oscilatória.
• No caso em que |ηt + 1| > |ηt|, indica instabilidade.
Para λ > 1, as sucessivas iterações afastam-se
monotonamente de x*.
Para λ < −1, elas se afastam de modo oscilatório. Nesses
casos, x* é um ponto fixo instável.

18. Voltando ao Mapa
Logístico...
• Para saber quais são os ponto fixos de F(xt),
basta resolver a equação F(x*) = x*:
0
1
1
)1(
**
***
xx
xxx
0*
1x
1
1*
2xou

19. • Tem-se que dF/dx = µ(1 − 2x). Então, os autovalores
associados são:
• Logo, a origem é assintoticamente estável para 0 ≤ µ < 1 e
instável para µ > 1. O outro ponto fixo é instável para µ < 1
ou µ > 3 e assintoticamente estável para 1 < µ < 3.
• A convergência para x* = 1 − (1/µ) é monótona para 1 < µ < 2,
e oscilatória para 2 < µ < 3.
• Se 3 < µ < 4, aparecem órbitas periódicas.
• Conforme aumenta o valor de µ, o número de órbitas
periódicas vai aumentando até que a evolução do mapa se
torna desordenada.
2
1
1
2
0
1
x
x
dx
dF
dx
dF

20. Considere agora alguns casos de evolução do mapa logístico
onde 0 < µ ≤ 4, com x0 = 0,1:
• Para µ = 2, os pontos fixos são x1
* = 0 e x2
* = 1/2. Os
autovalores valem, respectivamente, λ1 = 2 e λ2 = 0.
Assim, a origem é instável e outro ponto é
assintoticamente estável.
• Para µ = 3,1; os pontos fixos são x* = 0 e x* ≈ 0,677. Os
autovalores valem, respectivamente, λ1 = 3,1 e λ2 ≈ −1,1.
Logo, a origem e o ponto x* ≈ 0,677 são instáveis.
• Para µ = 4, os pontos fixos são x* = 0 e x* = 3/4. Os
autovalores valem, respectivamente, λ1 = 4 e λ2 = −2.
Logo, a origem e o ponto x* = 3/4 são instáveis.
Mas o que houve para obtermos dois pontos fixos instáveis?

21. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial
x0 = 0,1 e µ = 2
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
staircase(2*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]);
A sequência para
µ = 2 converge
rapidamente para o
ponto fixo x* = 1/2

22. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial
x0 = 0,1 e µ = 3,1
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
staircase(3.1*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]);
Aparece aqui uma
órbita de período 2.

23. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial
x0 = 0,1 e µ = 4
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
staircase(4*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]);
O estado do
sistema evolui sem
seguir nenhum
padrão, implicando
a presença de caos.

24. Observações
• Quando o comportamento do mapa logístico é
periódico, é fácil prever as condições futuras, pois
obedecem a uma regularidade que, em longo
prazo, se estabiliza na forma de um atrator.
• Mas, no regime caótico, quaisquer variações nas
condições presentes (condições iniciais)
provocam grandes variações nas condições
futuras. O atrator perde qualquer regularidade, por
isso é denominado atrator estranho.

25. • A melhor maneira de observar a transição para
o comportamento caótico é traçando o
conjunto de atratores do mapa logístico para
diferentes valores do parâmetro μ.
• Esta transição para o caos é conhecida como
rota de duplicação de período. As duplicações
ocorrem nos pontos de bifurcação.
• Bifurcação é um ponto onde há perda de
estabilidade do atrator.

26. Existem três tipos diferentes de atratores para o
mapa logístico:
• Atrator tipo ponto fixo, quando o sistema
evolui para um único ponto;
• Atrator tipo duplo ciclo, quando se estabiliza
numa repetição de dois pontos;
• Atrator estranho, quando não há um padrão de
repetição.

27. Por fim, a verdadeira face do mapa logístico é dado pelo
diagrama de órbitas:
1 bifurcação
2 bifurcações
4 bifurcações
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
orbits(x*y*(1-y), 0.5, 50, 200, [x, 0.5, 4], [style, dots]);
2n bifurcações
↓
Caos

28. O Conjunto de Mandelbrot
• É “um agrupamento de números complexos cuja
sequência, com valor inicial na origem, não tende
para o infinito” (Villate, 2007).
• É gerado pelo mapa quadrático:
sendo C uma constante complexa.
• Trata-se de um sistema discreto no plano complexo.
,0
)(
0
2
1
z
Czzzf nnn

29. Representação gráfica do Conjunto de Mandelbrot:
Cardioide
Círculo
exato
Infinidade de
quase
círculos
Figura fractal

30. • Recebeu esse nome em homenagem ao matemático francês
Benoit Mandelbrot (1924-2010).
• Ele propôs um novo conceito de Geometria, a Geometria
Fractal.
• Historicamente, o conjunto de Mandelbrot foi definido pela
primeira vez em 1905 por Pierre Fatou (1878-1929), um
matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica
analítica complexa.
• Fatou percebeu que a órbita de z0 = 0 sob a transformação z →
z2 + C forneceria alguma introspecção sobre o comportamento
de tais sistemas. Fatou não teve acesso a um computador capaz
de plotar as órbitas de todas essas funções, mas ele tentou
fazer isso a mão. Ele provou que uma vez que um ponto atinge
uma distância da origem maior que 2, a órbita explode para o
infinito. Mais adiante, Mandelbrot foi a primeira pessoa a
utilizar um computador para plotar o conjunto.

31. O conceito de Fractal
• O fractal é uma figura da Geometria não
euclidiana (no caso, a Geometria fractal), em
que suas partes se repetem recursivamente em
escalas menores e menores;
• A palavra fractal lembra frações, fragmentos;
• Podem ser gerados por sistemas de funções
iterativas, relações de recorrência em cada
ponto do espaço (plano complexo) ou de forma
aleatória.

32. Exemplos de fractais naturais:
• O litoral de um país banhado pelo mar;
• A superfície de uma montanha;
• As nuvens;
• Um rio e seus afluentes;
• Os sistemas de vasos sanguíneos;
• A samambaia.

33. O Conjunto de Julia
• É um conjunto de números no plano complexo que
conduzem a órbitas limitadas, segundo a definição de
Villate (2007).
• Nome em homenagem a Gaston Julia (1893-1978), um
matemático francês.
• A iteração segue de forma similar ao obter o conjunto de
Mandelbrot, porém mantendo a constante C fixa e variando
o valor de zn.
• Para desenhar o conjunto, selecionam-se vários pontos
numa região e calcula-se a sequência de iterações do mapa
quadrático, até que a sequência dê um valor complexo com
módulo maior que 2, ou n for igual a um número máximo
de iterações.

34. • A estrutura da figura formada é fractal, porque
analisando uma parte menor da estrutura
corresponde aproximadamente ao todo.
• E alterando o número de iterações não altera
significativamente o tamanho. Apenas os
limites da figura tornam-se mais definidos.
• O Conjunto de Mandelbrot atua como um
“catálogo” de Conjuntos de Julia, porque cada
ponto no plano complexo corresponde a um
Conjunto de Julia diferente.

35. Alguns exemplos
Conjunto de Julia para
C = 0,342326 + 0,011800i
Zoom no ponto
0,473543583473 + 0,29002384797i

36. Alguns exemplos
Conjunto de Julia para
C = −1,202980 + 0,011088i
Zoom no ponto
−0,375770304757 − 0,239417314410i

37. Explorando o Conjunto de
Mandelbrot com o Xaos

38. Observações
• Os Conjuntos de Julia interessantes correspondem aos
pontos próximos à fronteira do Conjunto de
Mandelbrot: pontos mais internos ao conjunto de
Mandelbrot correspondem a formas geométricas
relativamente simples, enquanto os pontos mais
externos lembram poeira rodeada por manchas de
cores.
• O conjunto de Mandelbrot também “contém” estruturas
semelhantes aos conjuntos de Julia; de fato, para
qualquer valor de C, a região do conjunto de
Mandelbrot ao redor de C lembra o centro do conjunto
de Julia com parâmetro C.

39. Referências Bibliográficas
• ALMEIDA, R. M. C. de. A Ciência da Complexidade. Física na Escola, Porto Alegre, v. 6, n. 1. 2005.
Disponível em: < http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol6/Num1/complexidade.pdf >. Acesso em: 18 out. 2011.
• CONJUNTO DE MANDELBROT. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot>. Acesso em: 16 nov. 2011.
• CONJUNTO DE JULIA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia>. Acesso em: 16
nov. 2011.
• FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1997. 301 p. (Coleção Matemática Universitária)
• MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 2ª ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. 625 p.
• UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS. Introdução ao Caos em Sistemas Dinâmicos. Disponível em:
<http://www.geocities.ws/projeto_caos_ufg/minicurso/aula1.html>. Acesso em: 14 nov. 2011.
• VILATTE, J. E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem prática com Máxima. Porto, 2007.
Disponível em: <http://fisica.fe.up.pt/maxima/book/sistdinam-1_2.pdf>. Acesso em: 17 out. 2011.

40. Obrigado pela atenção!