Claves de traducción del lenguaje común a la lógica de primer orden

1. Traducción a la lógica de primer orden
Alfonso Cabanzo
1. Componentes léxicos del lenguaje:
El lenguaje común tiene una gramática muy compleja. Es importante, sin embargo,
conocer algunos de sus componente. Por ejemplo, las categorías léxicas, o “tipos de
palabras”. Las más importantes son:
•
Sustantivos propios: Nombres propios como “Juan”, “Pedro”, “Colombia”, etc.
Se traducen al lenguaje de LPO mediante constantes:
ܽ ൌ ‫݊ܽݑܬ‬
ܾ ൌ ‫ܾܽ݅݉݋݈݋ܥ‬
ܿ ൌ ܸ݁݊݁‫݈ܽ݁ݑݖ‬
•
Sustantivos impropios: Nombres de clases de cosas como “Perro”, “Gato”,
“Humano”, “Hombre”, “Mujer”, “Espacio”, etc. Se traducen al lenguaje de LPO
mediante predicados monádicos:
‫ ݔܪ‬ൌ: ‫ݎ݆݁ݑ݉ ݏ݁ ݔ‬
ܲ‫ ݔ‬ൌ ‫݋ݎݎ݁݌ ݏ݁ ݔ‬
‫ ݔܨ‬ൌ: ‫݋݂݁ ݏ݁ ݔ‬
Estas expresiones no son proposiciones. Sólo son glosarios o claves de
traducción, que indican cómo leer las fórmulas. Las variables están libres, así
que “‫ ”ݔܪ‬no es una expresión con sentido en el lenguaje común. Es sólo una
fórmula de LPO.
•
Adjetivos: Califican los sustantivos adjudicando propiedades, como “rojo”,
“grande”, “feo”. Así, tenemos expresiones como “Juan es feo”. También se
traducen mediante predicados monádicos:
‫ ݔܬ‬ൌ: ‫݋݆݋ݎ ݏ݁ ݔ‬
•
Adverbios: califica los verbos: “rápido”, “lento”, “mucho”, “poco”. Una oración
como “él corre rápido” se traduce así:
‫ ݔܥ‬ൌ: ‫ݎ ݁ݎݎ݋ܿ ݔ‬á‫݋݀݅݌‬
1

2. Las frases adverbiales se traducen igual. “Ella corre rápidamente” se traduce:
‫ ݔܥ‬ൌ ‫ݎ ݁ݎݎ݋ܿ ݔ‬á‫݁ݐ݊݁݉ܽ݀݅݌‬
•
Verbos: Hay verbos copulativos, que son el verbo principal de la oración y
adjudican una característica al sujeto mediante el predicado: “el carro es
grande”. Estos se traducen usando operadores lógicos como se indica en la
sección siguiente. Otros verbos son predicativos: adjudican propiedades a un
individuo específico. Así, “Juan es feo” se traduce de esta manera:
‫ܽܨ‬
Esta es ya una proposición de LPO que traduce correctamente una oración del
lenguaje común, y que puede ser verdadera o falsa.
Hay verbos llamados transitivos en gramática (no confundir con la propiedad
lógica de la transitividad) que relacionan al menos dos individuos. Por ejemplo
“amar”, “golpear”, etc. Se traducen usando predicados diádicos así:
ܴ‫ ݕݔ‬ൌ: ‫ݕ ܽ ܽ݉ܽ ݔ‬
ܵ‫ ݕݔ‬ൌ: ‫ݕ ܽ ܽ݁݌݈݋݃ ݔ‬
El verbo “ser” se traduce como una igualdad cuando predicamos identidad:
“Teodora Bolívar es Piedad Córdoba” se traduce así:
݁ ൌ ܶ݁‫݈݋ܤ ܽݎ݋݀݋‬í‫ݎܽݒ‬
݅ ൌ ܲ݅݁݀ܽ݀ ‫ܥ‬ó‫ܾܽ݋݀ݎ‬
݁ൌ݅
•
Frases preposicionales: estas expresiones contienen verbos transitivos y
preposiciones, por ejemplo: “…vivir en...”.
Se traducen como predicados
diádicos, triádicos o n–ádicos:
ܸ‫ ݕݔ‬ൌ: ‫ݕ ݊݁ ݁ݒ݅ݒ ݔ‬
Las proposiciones como “Juan vive en Colombia” se traducen así:
ܸܾܽ
Expresiones preposicionales más complejas como “Juan vive entre Colombia y
Venezuela” se traducen con predicados tríadico:
ܸܾܽܿ
2

3. En orden de aparición de los términos de individuo es muy importante. No es lo
miso decir “ܸܾܽܿ” que significa “Juan vive entre Colombia y Venezuela” a decir
“ܸܾܽܿ” que significa “Colombia vive entre Juan y Venezuela”.
Hay verbos y conjugaciones verbales que no parecen frases preposicionales
pero que deben interpretarse. “Juan la ama” se interpreta como “Juan ama a
ella”. Se traduce así:
ܴܽ‫ݔ‬
•
Artículos: Hay artículos determinados como “el” usado en expresiones como “el
perro”. Esta expresión se refiere a un individuo. Hay artículos indeterminados
como “una” en expresiones como “una gata”. Se refiere a al menos un individuo.
Se formalizan mediante cuantificadores, y usando expresiones predicativas.
Así, la oración “un perro es feo” se traduce indicando que hay una cosa que es
perro y feo:
∃‫)ݔܨ ∧ ݔܲ(ݔ‬
Las expresiones con artículos determinados en plural se traducen como
universales. Así, la oración “Los perros son feos” se traduce así:
∀‫)ݔܨ → ݔܲ(ݔ‬
•
Descripciones: Las descripciones indefinidas tienen la forma “un tal y tal” y se
formalizan como expresiones existenciales sencillas. Así, “un perro rojo” se
traduce como sigue:
∃‫)ݔܬ ∧ ݔܲ(ݔ‬
Las descripciones definidas son más complejas. Tienen la forma “el tal y tal”,
como en la expresión “El perro rojo”. Se refieren a un individuo específico y se
traducen usando varios cuantificadores anidados, por lo cual dejaremos su
estudio para más adelante
2. Proposiciones categóricas
Las proposiciones categóricas aristotélicas de la forma “Todo perro es feo”,
“Ningún perro es feo”, “algún perro es feo” y “Algún perro no es feo” se
traducen como se indica en el libro base (Cabanzo, 2012, págs. 146-151). Basta
decir que tienen un cuantificador dos términos de predicado, y una cópula. Las
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4. categóricas más complejas relacionan dos o más cuantificadores anidados y
dos o más términos de predicados. Las reglas de traducción “los existenciales
van con conjunción”, “los universales con condicional”, “se niega el predicado
gramatical o segundo término” se siguen aplicando en la medida de lo posible.
La frase “Todo hombre ama a una mujer” es categórica universal, pero no es
aristotélica porque contiene una frase preposicional y una descripción
indefinida. Debemos seguir un proceso de traducción. Tenga en cuenta que:
•
Si el operador principal (el primero que aparece en la frase) es un universal,
el operador principal de la matriz es un condicional.
•
Si el operador principal (el primero que aparece en la frase) es un
existencial, el operador principal de la matriz es una conjunción.
•
La fórmula ∃‫ )߮ → ݔܨ(ݔ‬dice: “Hay algo, y si ese algo es ‫ ܨ‬entonces la
proposición ߮ es verdadera”. Esto no tiene sentido en el lenguaje común.
•
La fórmula ∃‫ )߮ ∧ ݔܨ(ݔ‬dice: “Existe algo que es ‫ ,ݔ‬y ߮ es verdadera”. Esta
frase afirma la existencia de al menos una cosa que es ‫ .ܨ‬Traduce
expresiones del lenguaje común como “una mujer…”, “un perro…”, alguna
persona…”, etc.
•
Las variables que aparecen en la clave de traducción o glosario no son las
mismas que aparecen, ni en el mismo orden, que en la traducción. Estas
variables y su orden dependen de la frase del lenguaje común a traducir, no
del glosario.
Si hay cuantificadores anidados, cada cuantificador debe tener un
parámetro diferente, no necesariamente referido a individuos diferentes.
Así, ∀‫ ݕݔܴݕ∃ݔ‬tiene una variable diferente para cada cuantificador. Al
sustituir las variables por las reglas ‫ ∀ܧ‬ó ‫ ∃ܧ‬puede deducir válidamente
una expresión como ܴܽܽ aunque las variables sean diferentes. Veamos un
ejemplo:
A. Formalizar la frase “Todo hombre ama a una mujer”
Para hacerlo siga las siguientes rutinas para formalizar:
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5. 1. Leer la frase completa de izquierda a derecha e identificar cuantificadores y
operadores principales:
Todo hombre ama a una mujer
2. Identificar sujeto y predicado gramatical:
Sujeto gramatical: “Todo hombre…”.
Predicado gramatical: “…ama a una mujer”.
3. Identificar frases preposicionales: “…ama a…”.
4. Identificar descripciones: “…una mujer”.
5. Identificar cuantificadores y operadores lógicos:
Cuantificador universal: “Todo…”.
Cuantificador existencial: “…una…”.
Cuantificador principal: “Todo…”.
Cuantificador anidado: “…una…”.
6. Hacer el glosario o clave de traducción indicando los predicados, frases
preposicionales y nombres propios :
‫ ݔܪ‬ൌ: ‫݁ݎܾ݉݋݄ ݏ݁ ݔ‬
‫ ݖܯ‬ൌ: ‫ݎ݆݁ݑ݉ ݏ݁ ݔ‬
ܴ‫ ݔݕ‬ൌ: ‫ݔ ܽ ܽ݉ܽ ݕ‬
7. Si la frase le parece muy compleja, formalice cada componente por
separado antes de traducir la frase completa. Empiece por las expresiones
más
simples:
predicados,
descripciones
indefinidas,
proposiciones
universales y existenciales, y deje una interrogación en la parte que ignora:
“ܶ‫ݔ∀ ≡ ” … ݁ݎܾ݉݋݄ ݋݀݋‬ሺ‫→ ݔܪ‬
… ? ሻ
“ … ‫ݕ∃ ≡ ”ݎ݆݁ݑ݉ ܽ݊ݑ‬ሺ‫ ? … ∧ ݕܯ‬ሻ
“ … ܽ݉ܽ ܽ ‫ݕݔܴ ≡ ”ݎ݆݁ݑ݉ ܽ݊ݑ‬
8. Verifique el alcance de los operadores, revise cómo quedan definidas las
variables y encaje las partes formalizadas:
∀‫ݔ‬൫‫ݕ∃ → ݔܪ‬ሺ‫ ݕݔܴ ∧ ݕܯ‬ሻ൯
Esta traducción nos informa la estructura lógica de la frase original:
Todo hombre ama a una mujer
Equivale a decir:
5

6. Para toda cosa ‫ ,ݔ‬si ‫ ݔ‬es hombre, entonces existe un ‫ ݕ‬tal que ‫ ݕ‬es mujer y ‫ݔ‬
ama a ‫ݕ‬
B. Traducir la frase “Hay una mujer a la que todo hombre ama”:
∃‫ݔ‬൫‫ݕ∀ ∧ ݔܯ‬ሺ‫ݔݕܴ → ݕܪ‬ሻ൯
¿Puede indicar por qué se formaliza así esta proposición?
C. Traducir la frase “Hay una mujer a la que todo hombre ama y es Sofía
Vergara”:
ܽ ൌ ܵ‫݂݋‬íܽ ܸ݁‫ܽݎܽ݃ݎ‬
∃‫ݔ‬ሺ‫ݕ∀ ∧ ݔܯ‬ሺ‫ݔݕܴ → ݕܪ‬ሻ ∧ ‫ ݔ‬ൌ ܽሻ
¿Puede indicar por qué se formaliza así esta proposición?
D. Traducir la frase “Hay un solo dios”:
‫ ݔܦ‬ൌ: ‫ݏ݋݅݀ ݏ݁ ݔ‬
∃‫ݔ‬൫‫ݕ∀ ∧ ݔܦ‬ሺ‫ ݕ ↔ ݕܦ‬ൌ ‫ݔ‬ሻ൯
¿Puede indicar por qué se formaliza así esta proposición?
E. Traducir la frase “Hay una sola mujer a la que todo hombre ama”:
∃‫ ݔ‬ቀ‫ݕ∀ ∧ ݔܯ‬൫ሺ‫ݔݕܴ → ݕܪ‬ሻ ∧ ∀‫ݖ‬ሺܴ‫ ݖ ↔ ݖݕ‬ൌ ‫ݔ‬ሻ൯ቁ
¿Puede indicar por qué se formaliza así esta proposición?
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