Plano Numérico

1. PLANO NUMÉRICO
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERDIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA
ANDRÉS ELOY BLANCO
BARQUISIMETO-IRIBARREN-LARA
ALUMNA :
CAMACARO ELIANNY
C.I: 30.304.169
PNF TURISMO

2. Distancia
En el plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir
de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus abscisas (x2 – x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus ordenadas. (y1 - y2)
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia
queda determinada por la relación
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por

3. Punto Medio
Consideremos el segmento con extremos en los puntos y de la siguiente figura :
El punto medio es aquel punto M que está en el segmento AB y que hace que el segmento AM mida
lo mismo que el segmento MB , es decir,
,
El punto medio se calcula con la siguiente
fórmula:
Se dice que el punto A’ es simétrico de
A respecto a M si M es el punto medio del segmento .

4. Coordenadas del punto medio en el plano cartesiano
El mismo procedimiento que se utilizó para calcular el punto medio en una recta numérica
podría extenderse al caso del plano cartesiano. Dados dos puntos cualesquiera 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y
𝑃2(𝑥2, 𝑦2) en el plano cartesiano, encontrar el punto medio significa encontrar las
coordenadas de un punto 𝑃𝑚 en el segmento que une a 𝑃1 con 𝑃2, tal que la distancia entre
𝑃1 y 𝑃𝑚 es igual a la distancia entre 𝑃2 y 𝑃𝑚, es decir, 𝑃𝑚 es un punto equidistante a 𝑃1 y
𝑃2 y que se encuentra sobre el segmento que une 𝑃1 con 𝑃2.
Posición relativa del punto medio entre dos puntos en el plano cartesiano
Si nos concentramos solo en las coordenadas en x de los puntos p1 y p2, es decir en x1 y x2,
podemos pensar el caso de dos puntos sobre la recta numérica, por lo que podemos
encontrar un punto medio entre las coordenadas en x de los puntos. Al punto medio entre x1
y x2 le llamaremos xm y su valor lo calculamos como :

5. Posición del punto medio en el eje X.
Ya tenemos la coordenada en x del punto medio, ahora solo falta encontrar la
coordenada en y. Esto se realiza de manera similar, considerando sólo las coordenadas en
y de los puntos 𝑃1 y 𝑃1, es decir y1 y y2. Al punto medio entre y1 y y2 le llamaremos ym y su
valor lo calculamos como:
Posición del punto medio en el eje Y.

6. Al calcular el punto medio de cada par de coordenadas (en x y en y), hemos obtenido las
coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia en x y en y, de los puntos 𝑃1
y 𝑃2, por lo que la fórmula para calcular las coordenadas del punto medio 𝑃𝑚 es :
Coordenadas del punto medio de una recta.
Circunferencia
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de otro punto fijo denominado centro.

7. En la figura se muestra una circunferencia. Observa que cualquier punto P(x,y) de la
circunferencia se encuentra siempre situado a la misma distancia de un punto C(a,b)
denominado centro. Dicha distancia se denomina radio r de la circunferencia.
Si consideramos que la distancia entre cualquier punto P(x,y) a su centro C(a,b) se denomina radio y vale r,
entonces:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtenemos que:
La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) y con
radio r se puede escribir de la siguientes formas:

8. Ecuación de una circunferencia centrada en el origen
Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas C(0,0) es posible sustituir las coordenadas de este
punto en su ecuación de tal forma que:
En la figura se muestra una circunferencia centrada en el origen.
Puedes observar que su radio es 4 por lo que su ecuación es:
La ecuación de una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tiene la forma:
donde r es el radio de dicha corcunferencia.
Ecuación de una circunferencia que pasa por el origen
Cuando una circunferencia de ecuación pasa por el origen de coordenada
se cumple que :

9. En la figura se muestra una circunferencia centrada en (3,3) que pasa por el origen de coordenadas.
Observa que su ecuación, al igual que todas las circunferencias que cortan al origen, no posee
coeficiente p:
La ecuación de una circunferencia centrada en el punto C(a,b) que pasa por el origen de coordenadas tiene la forma:
Ecuación de dos circunferencias concéntricas
Si observas bien la ecuación el único término que depende directamente del
radio es p. Por tanto, dos circunferencias concéntricas (centradas en el mismo punto y con radio distinto) diferirán en este
coeficiente.
En la figura se muestran dos circunferencias. Dado que poseen el mismo centro y distinto radio, ambas son
concentricas. Comprueba que en sus ecuaciones, al igual que en todas las ecuaciones de circunferencias
concéntricas, todos los coeficientes son idénticos excepto el valor de p.

10. Las ecuaciones de dos circunferencias concéntricas de radio r y r' respectivamente centradas en el punto C(a,b) disponen
de los mismos coeficientes n y m y difieren únicamente en el valor de p. Por tanto:
Ecuación Gereneral de la Circunferncia
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos
los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:
Demostración:

11. Trazado de Circunferencia
Trazado de un arco de circunferencia que pasa por tres puntos:
Se trata de hacer pasar un arco de circunferencia, o bien una circunferencia completa, por tres
puntos (no alineados) que se tienen como datos.
OPERACIONES:
Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo A-B y B-C.
Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC.
El punto O, donde se cortan las dos mediatrices, es el centro del arco solicitado. Desde este
punto se traza el arco o la circunferencia que deberá pasar por los tres puntos.
Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados
Determinar el centro de un arco de circunferencia
OPERACIONES:
Se toman tres puntos A, B y C cualesquiera a partir del arco dado.
Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo A-B y B-C.
Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC. El centro del arco (O) está situado donde se
cortan las mediatrices.

12. Búsqueda del centro en un arco cualquiera de circunferencia
Trazado del Arco capaz:
Se trata de determinar el arco capaz del ángulo a para el segmento dado.
OPERACIONES:
Se traza el segmento AB y se halla su mediatriz.
Sobre el segmento se construye el ángulo a.
En el punto A, se traza una perpendicular a r (lado del ángulo construido), corta a la mediatriz en O.
Haciendo centro en O (centro del arco capaz), se traza el arco que pase por A y B.
Ángulo situado en el segmento Construcción del Arco Capaz

13. Construcción de un arco de gran radio
Se trata de construir un arco de gran radio conociendo la cuerda AB y la flecha CD.
OPERACIONES:
Por D (extremo de la flecha) se traza una paralela a la cuerda AB.
Por los extremos de la cuerda AB, se trazan perpendiculares a la misma.
Se une el punto D con A y B, y se levantan perpendiculares a DA y DB en los puntos A y B.
Se dividen los segmentos AC, CB, AE, BF, DM y DN en igual número de partes y se numeran.
Se une D con 1′, 2′, y 3′; y 3, 2 y 1 con 3”, 2” y 1”. La intersección de estos puntos dan la mitad del arco
Se realiza la misma operación en la otra mitad y se traza el arco por los puntos obtenidos.
Fases para la construcción de un arco de gran radio

14. Las Canónicas
A estas curvas se les denominaron secciones cónicas, ya que consideraban que tales curvas
procedían de la intersección de un cono (o dos conos unidos por la punta – ) con un plano. Las
cónicas son el resultado de cortar una superficie cónica con un plano, pero también se pueden
definir como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un
punto y a una recta es constante .
Ecuaciones de las Cónicas (Parábola, Elipse y Hiperbola)
Parábola: Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el lugar geométrico de los
puntos P(x, y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir : Parábola
={P(x, y)/ d(P, F) = d( p,l)}
Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le denomina directriz de la parábola.

15. Ecuación canónica : Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta l tiene
ecuación y = − p con p > 0. Observe la gráfica:
Observe que 2 2 d(P,F) = (x − 0) + ( y − p) y que d(P,l) = y + p .
Igualando distancias y resolviendo:
Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0 ) . A la recta
perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la
parábola anterior el eje focal es el eje y .
Elipse
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como el lugar geométrico
de los puntos P(x, y) tales que la suma de su distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a.
Es decir: Elipse= { P( x, y) / d(P,F 1) +d(P,F2 )= 2a}

16. A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y “a” representa la medida del semieje mayor de la elipse.
Ecuación Canónica : Sean ( ) ,0 1 F − c y ( ) ,0 2 F c , observe el gráfico:
De la definición tenemos:
Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes:
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
Dividiendo para a2 (a2 - c2) :

17. Y su gráfica sería:
Hiperbola
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Hipérbola se define como el lugar
geométrico de los puntos P(x, y) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia a F1
con su distancia a F2 es igual a 2a. Es decir:
Elipse= {P( x,y)/|d ( P, F1) – d(P,F2)|=2a}
A F1 y F2 se les denomina focos de la hipérbola.
Ecuación Canónica
Sean F1 (-c,0) y F2 (c,0),

18. observe el gráfico:
De la definición tenemos:
Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes:

19. Y su gráfica sería:

20. Bibliografía
1. Libro de textos Matemática
11 grado “ Distancia entre
dospuntos”.
2. www.superprof.es
3. Campusvirtual.cua.vam.mx .
4. www.fisicalab.com
5. Sites.google.com
6. www.dspace.espd.edu.ec