2. Introdução
• Transformações Geométricas (TG) são a base de
inúmeras aplicações gráficas. Podem estar em:
– Programas para representar layouts de circuitos
eletrônico
– Programas de planejamento de cidades, onde pode-se
usar movimentos de translação para colocar os
símbolos que definem edifícios e árvores em seus
devidos lugares, rotações para orientar corretamente
esses símbolos, e alteração de escala para adequar o
tamanho desses símbolos
– Sistemas de software sofisticados que permitem a
construção de cenas realistas.
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Prof.ªM.ªElaineCecíliaGatto
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3. Introdução
• Definição: Transformação geométrica é uma
aplicação bijectiva entre duas figuras
geométricas, no mesmo plano ou em planos
diferentes, de modo que, a partir de uma
figura geométrica original se forma outra
geometricamente igual ou semelhante à
primeira
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4. Introdução
• As transformações geométricas podem ser
classificadas da seguinte forma:
– Geometria Projetiva:
• Projeção Ortogonal
• Projeção Perspectiva
– Geometria Afim:
• Variação de Tamanho (scaling – escala)
• Cisalhamento (shearing)
– Geometria Euclidiana:
• Translação
• Rotação
• Reflexão
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5. Introdução
• Podemos classificar as transformações
geométricas euclidianas da seguinte forma:
– Isométricas
• Reflexão
• Rotação
• Translação
– Não Isométricas
• Homotetia
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6. Aplicações das Transformações
Geométricas
• Operações de modelagem:
– Transformações afins
– Modelagem de um objeto em uma cena
• Operações de posicionamento
– Transformações euclidianas
– Posicionamento e movimento de objetos em um
cenário
• Operações de visualização
– Transformações projetivas
– Montagem de cenário
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7. ISOMETRIA
• Definição: Uma Isometria é uma transformação
geométrica que preserva distância entre
pontos e amplitude dos ângulos, isto é, a figura
inicial e o seu transformado são congruentes
(idêntico ou correspondente na constituição,
forma ou estrutura).
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8. TRANSLAÇÃO
• Pode ser entendida como sendo o resultado de
um deslocamento, sem giro, de uma figura de
uma posição à outra.
• Uma translação fica determinada por uma
direção, um sentido e uma distância.
• Transladar um ponto significa desloca-lo de
uma quantidade de movimento linear
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9. TRANSLAÇÃO
• A translação define a posição do modelo no
universo.
• As translações conservam a direção e o
comprimento de segmentos de reta, e as
amplitudes dos ângulos
• Uma translação fica determinada por uma
direção, um sentido e uma distância.
• Assim basta um vetor AB para definir uma
translação.
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11. TRANSLAÇÃO
• Pode-se efetuar a Translação de pontos no
plano (x,y) adicionando-se quantidades
inteiras às suas coordenadas.
• Assim, cada ponto P(x, y) pode ser movido por
dx unidades em relação o ao eixo x, e por dy
unidades em relação ao eixo y.
• Logo, o ponto P’(x’, y’), pode ser escrito como:
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12. TRANSLAÇÃO
x’ = x + dx
y’ = y + dy
• É importante ressaltar, pelas características da
fórmula, que o ponto do modelo que estiver
sobre a origem do sistema de coordenadas
será transferido, após a translação, para o
ponto (x’, y’) do universo.
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13. TRANSLAÇÃO
• Esta característica é muito importante, e em
geral, é considerada na criação de modelos
com o objetivo de que se possa posicioná-los
no universo da melhor forma possível.
• Assim temos as seguintes definições
matemáticas:
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15. TRANSLAÇÃO
• EXEMPLO DE EXERCÍCIO
• Considere o ponto original P(x,y) como
P(15,20). Aplique a translação nesse ponto
com os valores T(dx,dy) como T(35,45). Qual o
valor do ponto final P’(x’,y’)?
x’ = x + dx = 15 + 35 = 50
y’ = y + dy = 20 + 45 = 65
PORTANTO: P’(x’,y’) = P’(50,65)
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16. TRANSLAÇÃO
• EXEMPLO DE
EXERCÍCIO
• Considere a imagem
apresentada Figura 1.
Aplique uma translação
T(3,-4) nos pontos e
desenhe a imagem
resultante.
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17. TRANSLAÇÃO
• Os pontos originais são:
P(4,5)
P(7,5)
• Aplicando a translação:
P(4,5)
x’ = x + dx = 4 + 3 = 7
y’ = y + dy = 5 + (-4) =
1
P’(x’,y’) = (7,1)
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18. TRANSLAÇÃO
• Os pontos originais são:
P(4,5)
P(7,5)
• Aplicando a translação:
P(7,5)
x’ = x + dx = 7 + 3 = 10
y’ = y + dy = 5 + (-4) =
1
P’(x’,y’) = (10,1)
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19. TRANSLAÇÃO
• Os pontos resultantes
são:
P(4,5) P’(7,1)
P(7,5) P’(10,1)
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20. ROTAÇÃO
• Uma rotação fica determinada por um sentido
(horário ou anti-horário) e por um ângulo de
giro.
• A rotação define a orientação do modelo no
universo.
• Nas fórmulas deve-se dar especial atenção ao
fato de que a maioria das linguagens possuem
funções trigonométricas operando em radianos.
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21. ROTAÇÃO
• Rotacionar um ponto P(x,y) de um ângulo
relativamente à origem significa encontrar
outro ponto Q(x’,y’) sobre uma circunferência
centrada na origem que passa pelos dois
pontos
𝑥′
= 𝑥 . cos ɵ − y . sin ɵ
𝑦′
= 𝑥 . sin ɵ + y . cos ɵ
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22. ROTAÇÃO
• A Rotação de pontos
através de um ângulo
qualquer também é feita
a partir da origem.
• Pode ser no sentido
positivo, quando se move
ao contrário do sentido
dos ponteiros do relógio,
ou no sentido negativo,
quando se move no
mesmo sentido dos
ponteiros dos relógios.
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23. ROTAÇÃO
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• Os ângulos positivos são definidos quando a
rotação é feita no sentido contrário aos do
ponteiro do relógio, e ângulos negativos
quando a rotação é feita no sentido dos
ponteiros do relógio. Lembremos que
sin(−θ) = −sin(θ)
cos(− θ) = cos(θ)
30. ESCALA
• Coordenadas são multiplicadas pelos fatores
de escala
• Pode-se efetuar Mudanças de Escala (ou
apenas Escala) de um ponto pelo eixo x(sx), ou
pelo eixo y(sy), através das multiplicações
𝑦′ = 𝑠𝑦 . 𝑦
𝑥′
= 𝑠𝑥 . 𝑥
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31. ESCALA
• Tipos de Escala
– Uniforme: sx = sy
– Não-Uniforme: sx <> sy
• Escala é uma multiplicação de matrizes:
𝑥′
𝑦′
=
𝑠𝑥 0
0 𝑥𝑦
.
𝑥
𝑦 =
𝑥. 𝑠𝑥 + 0. 𝑦
0. 𝑥 + 𝑦. 𝑠𝑦
=
𝑥. 𝑠𝑥
𝑦. 𝑠𝑦
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32. ESCALA
• Exemplo de exercício:
aplicar uma escala de 1/2
para x e ¼ para y
• P1(4,5)
x’ = (1/2) * 4 = 2
y’ = (1/4) * 5 = 1,25 ou 5/4
PORTANTO P1’(2, 1.25)
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33. ESCALA
• Exemplo de exercício:
aplicar uma escala de 1/2
para x e ¼ para y
• P2(7,5)
x’ = (1/2) * 7 = 3,5 ou 7/2
y’ = (1/4) * 5 = 1,25 ou 5/4
PORTANTO: P2’(3.5, 1.25)
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34. REFLEXÃO
• Ao longo do eixo x
1 0
0 −1
.
𝑥
𝑦 =
𝑥
−𝑦
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