1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CAMPO MAGNÉTICO
1.- Un electrón con velocidad de 1.6x107 c) Esta fuerza obligaría al protón a
m/s penetra en un cubo en donde existe describir un círculo. Escribir la segunda
un campo magnético uniforme B, como ley de Newton para esta fuerza.
se muestra. El electrón se desvía 90º.
d) ¿Cuál debe ser la diferencia de
¿Cuál es la magnitud de B?
potencial V que acelera un protón, que
parte del reposo, para que entrando
dentro de un campo magnético B
perpendicular, describa una órbita de
radio r?
Solución.
Dentro del campo magnético, el electrón
describe un cuarto de círculo de radio
r = 10 cm = 10-1 m.
Solución-
De la segunda ley de Newton, tenemos:
a) La energía potencial eléctrica del
F = ma además protón se convierte en energía
cinética.
F = qv x B = Bqv sen 90 = Bqv = mv2/r
U = qV = eV, luego
De donde: B = mv/r
eV = ½ mv2
b) Como el campo magnético B es
B = 9.0x10-4 T perpendicular a la velocidad v, la
fuerza magnética es:
2.- Un protón de carga e, de masa m
parte del reposo y es acelerado a través F = qv x B = Bqv sen 90 = Bqv = Bev
de una diferencia de potencial V.
c) La fuerza magnética que actúa
a) ¿Cuál es su energía cinética? sobre el protón lo obligaría a
describir un círculo porque es
b) Con la energía cinética adquirida, el perpendicular a la velocidad v,
protón penetra en un campo magnético lo que modifica solo la dirección
B, perpendicular a v. ¿Cuál es la fuerza de la velocidad y no su
magnética que actúa sobre el protón? magnitud, el protón tendría un
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2. movimiento circular uniforme y Solución.
su aceleración centrípeta es v2/r.
Como el campo magnético se dirige al
De la segunda ley de Newton: polo sur, de modo que, como indica la
figura, el campo magnético del imán de
F = ma de donde: Bev = m v2/r
barra, tiene dirección +y (j), la velocidad,
d) De la ecuación: Bev = m v2/r v, de los electrones tiene dirección +x (i),
tenemos que luego la fuerza magnética es:
v = Ber/m, que llevada a la ecuación F = qv x B = q(vi x Bj) = qvBk
de la energía potencial eléctrica se
Como sabemos, i, j, k, son los vectores
tiene:
unitarios en las direcciones x, y y z
eV = ½ mv2 de donde: respectivamente. Reemplazando valores
V = mv2/2e luego: F = (- 1.6 x 10-19 C)(2x105 m/s)(5x10-2T)k
V = B2er2/2m F = - 1.6 x 10-15 Nk
3.- Un haz de electrones sin perturbar, Con la regla de la mano derecha
de un osciloscopio, se mueve a lo largo podemos comprobar que el producto
de la dirección x, como se muestra. El vectorial qv x B tiene la dirección +z. Sin
polo sur de un imán de barra se acerca embargo, como la carga del electrón es
al tubo de rayos catódicos desde arriba, negativa, de modo que la fuerza sobre el
y desvía el haz. La magnitud del campo electrón está en la dirección – x, y el haz
magnético del imán es 0.05 T en la se desvía hacia esa dirección, como se
cercanía del haz, y la velocidad de los muestra en la figura.
electrones del haz es 2x105 m/s. ¿Cuál es
4.- Una partícula de carga desconocida,
la magnitud de la fuerza magnética que
q, y de masa desconocida, m, se mueve
actúa sobre los electrones?¿Cuál es la
con una velocidad v = 4.8x106 m/s en
dirección de esa fuerza, esto es, hacia
dirección +x, entrando a una región de
dónde se desvía el haz?
campo magnético constante, como se
muestra.
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3. El campo tiene magnitud B = 0.5 T y está f = qB/2πm
orientado en dirección +z. La partícula
es desviada hacia la dirección –y, y
describe un fragmento de círculo, de
El protón se mueve en una espiral cuyo
radio R = 0.1 m. ¿Cuál es el signo de la
radio de curvatura del componente de
carga de la partícula, y cuál es la
velocidad perpendicular al campo
relación q/m?
magnético. Ese componente tiene como
Solución. magnitud
La fuerza magnética está expresada por vp = v sen 40º = (1.5x107 m/s)sen 40
el producto vectorial F = qv x B y se
vp = 107 m/s
dirige según la regla de la mano
derecha, hacia la dirección – y. Para que El radio viene dado por
esta fuerza tenga esa dirección q debe
ser positiva. R = m vp /qB = 104 m = 10 km
La relación q/m se calcula empleando 6.- Un campo magnético en un punto de
la superficie de la tierra tiene un valor
R = mv/qB luego de 0.6 G y está dirigido hacia abajo y
hacia el norte, formando un ángulo de
q/m = v/ BR
70º aproximadamente con la horizontal,
como se indica en la figura. (La
magnitud y dirección del campo
magnético terrestre varía de un lugar a
Esta partícula es un protón
otro Los datos que aquí se dan
5.- Suponga que se acerca la tierra un corresponden aproximadamente a la
protón, a una velocidad de 1.5x10 m/s,7
parte central de los Estados Unidos.) Un
a un ángulo de 40º respecto a las líneas protón de carga q = 1.6x10-19 C se mueve
del campo magnético terrestre, y queda horizontalmente en dirección norte con
capturado en el cinturón inferior de Van velocidad v =107 m/s. Calcular la fuerza
Allen, a una latitud media de 3000 km, magnética sobre el protón.
sin cambiar su velocidad. Si la
intensidad media del campo magnético
terrestre a esa altitud es de 10-5 T, calcule
la frecuencia ciclotrónica y el radio de
curvatura del movimiento del protón.
Solución.
La frecuencia ciclotrónica viene dada
por
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4. Solución. magnética ejercida sobre el segmento de
cable?
La fuerza magnética es
F = qv x B pero :
v = vy j ; B = By j + Bz k
F = qv x B = q(vy j) x (By j + Bz k)
F = qvy By (j x j) + qvy Bz (j x k) = qvy Bz i
Como el campo magnético es Solución
B = B cos 70ºj - B sen 70ºk entonces La fuerza magnética se encuentra en la
dirección de l x B que como se muestra
F = qvy (B sen 70) i
en la figura está en la dirección z.
F =-(1.6 x 10 C)(10 m/s)(0.6x10 T)(0.94)
-19 7 -4
F = I l x B = IlBsen30º k
F = - 9.02 x 10 -17 Ni
F = (3.0 A)(0.003 m)(0.02 T)(sen30)k
La fuerza es – i hacia el oeste, como lo
F = 9x10-5 N k
indica la figura siguiente.
8.- Un alambre curvado en forma
semicircular de radio R se encuentra en
el plano xy. Por él circula una corriente
I del punto a al punto b, como se indica.
Un campo magnético uniforme B = Bk
está dirigido perpendicularmente al
plano de la espira. Determinar la fuerza
que actúa sobre la parte semicircular del
alambre.
Se obtiene el mismo resultado si
aplicamos la definición del producto
vectorial: F = qvBsen70.
7.- Un segmento de cable de 3 mm de
longitud transporta una corriente de 3 A
en la dirección x. Se encuentra en el Solución
interior de un campo magnético de
magnitud 0.02 T en el plano xy La figura siguiente muestra la fuerza dF
formando un ángulo de 30º con el eje x, ejercida sobre un segmento del alambre
como se indica. ¿Cuál es la fuerza semicircular; esta fuerza yace sobre el
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5. plano xy; para determinar la fuerza total La velocidad viene dada por:
se expresan las componentes x e y de dF
v = rqB/m
en función de θ e integramos de θ = 0 a
θ=
v = 8.05x106 m/s
dF = Idl x B
dl = - dl sen θ i + dl cos θ j
además dl = R dθ
dF = Idl x B
dF = (- IR sen θ dθ i + IR cos θ dθ j) x Bk
dF = IRB sen θ dθ j + IRB cos θ dθ i
Integrando cada componente
F = IRB i (0) + IRB j (2) = 2IRB j
10.- un protón de masa m = 1.67x10-27 kg
y carga q = 1.6x10-19 C se mueve en un
círculo de radio 21 cm,
perpendicularmente a un campo
magnético B = 4000 G. Determinar el
período del movimiento y la velocidad
del protón.
Solución
4000G = 0.4T
T = 2πm/qB
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