1. SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES EN EL ESPACIO Y
EN EL P L AN O

2. COORDENADAS RECTANGULARES
Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas
formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el
espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en un punto
llamado origen.
En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se
denominan respectivamente abscisa y ordenada, y lo dividen al plano
en 4 cuadrantes. Un punto en el plano se define P(x,y)
En el espacio se agrega z llamada cota y dividen al espacio en 8
octantes. Un punto en el espacio se define P(x,y,z)

4. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
CARTESIANAS
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse
dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación
(alrededor de un eje).
TRASLACIÓN DE EJES

5. Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en
O y ejes x e y
y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema
dado un segundo sistema de referencia S2
Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos
distintos, y los ejes x, x´; y e y´ paralelos dos a dos, y las
coordenadas de O´, respecto a S1:
Se dice traslación de ejes, a calcular las coordenadas de A en
S2, según los datos anteriores. Que llamaremos:
Dados los puntos O, O’ y A, tenemos:
Y ampliándolo a 3 dimensiones

6. ROTACIÓN DE EJES
De la figura anterior se observa que: 0 A = 0 C - A C ; como A C
= B D , se deduce:
0 A = 0 C - B D …...(1)
Análogamente, se observa que: A P = A D + D P ; como A D = B
C , se deduce:
A P = B C + D P ......(2)
Ahora en el triángulo rectángulo 0BC de la figura se tiene por
definición trigonométrica que:

7. Por tanto despejando a: 0 C = 0 B …… (3)
Por tanto despejando a: B C = 0 B …… (3’)
Por otra parte en el triángulo rectángulo BDP, de la misma figura
se tiene también que:
Por tanto despejando a: B D = B P …… (4)
Por tanto despejando a: D P = B P …… (4’)
Sustituyendo (3) y (4) en (1) y (2), respectivamente tenemos:
0A=0B -BP
AP=0B +BP
Pero según la figura:
0 A = x ; 0 B = x’ ; A P = y ; B P = y’
Por lo que al sustituir en las expresiones anteriores quedan como:
x = x′ - y’
y= x′ - y’
Que son las ecuaciones de rotación de ejes, aplicables para cualquier
posición del punto P y cualquier valor de

8. EJEMPLOS
1. Por medio de una traslación de ejes transformar la ecuación
3x2- 4y2+6x+24y=135 en otra en la cual los coeficientes de los
términos de 1er. grado sean nulos.
Aplicamos las fórmulas x = x’ + h, y = y’ + k
3(x’+h)2- 4(y’+k)2+6(x’+h)+24(y’+k)=135
Efectuando y agrupando variables del mismo grado
3x’2 – 4y’2 + (6h+6)x’ – (8k-24)y’+3h2- 4k2+6h+24k=135
6h+6=0… h=-1
8k- 24=0…k=3 , nuevo centro O’(-1,3)
Ecuación final 3x’2- 4y’2=102

9. 2. Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el
término en xy de la ecuación