O documento apresenta uma introdução ao software MATLAB, abordando conceitos básicos, operações com matrizes, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais. É descrito o ambiente de trabalho do MATLAB, com explicações sobre variáveis, operadores matemáticos, funções trigonométricas, exponenciais e funções para resolução de sistemas lineares e cálculo de determinantes, raízes de polinômios e limites, derivadas, integrais e equações diferenciais.

1. Eduardo da Silva Fernandes

2.  Introdução/Conceitos básicos
 Matrizes e Sistemas Lineares
 Polinômios
 Cálculo Diferencial e Integral
 Equações Diferenciais
 Transformada de Laplace
 Gráficos

3. • O Matlab
• Ambiente Matlab
• Iniciação de variáveis
• Operadores matemáticos

4.  Matlab = MATrix LABoratory
 Software de alta performance utilizado para
cálculos científicos e de engenharia
 Aplicado a várias áreas do conhecimento
 Desenvolvido pela MathWorks
 Linguagem muito rica (+de 1000 funções)
 Toolbox para várias áreas do conhecimento

7.  Exemplo de programa em Matlab
>> b = 2 % sem o caractere ‘;’ no final da sentença o
resultado é apresentado.
b=2
>> c = 3; % com o caractere ‘;’ no final da sentença o
resultado não é apresentado.
>> d = b+c % o resultado é armazenado na variável ‘d’ e
é apresentado.
d=5
>> b+c % se nenhum nome é atribuído a uma variável
ela é armazenada em “ans”.
ans = 5

8.  Funções trigonométricas cos(x) Co-seno
acos(x) Arco co-seno
cosh(x) Co-seno hiperbólico
acosh(x) Arco co-seno hiperbólico
cot(x) Cotangente
acot(x) Arco cotangente coth(x) Cotangente hiperbólica
acoth(x) Arco cotangente hiperbólico csc(x) Cossecante
acsc(x) Arco cossecante csch(x) Cossecante hiperbólico
sec(x) Secante
acsch(x) Arco cossecante hiperbólico
sech(x) Secante hiperbólico
asec(x) Arco secante
sin(x) Seno
asech(x) Arco secante hiperbólico
sinh(x) Seno hiperbólico
asin(x) Arco seno
tan(x) Tangente
asinh(x) Arco seno hiperbólico
tanh(x) Tangente hiperbólica
atan(x) Arco tangente
atan2(x,y) Arco tangente do quarto quadrante
atanh(x) Arco tangente hiperbólico

9.  Exemplo

10. • Funções Exponenciais  Números Complexos
abs(x) Valor absoluto ou módulo
^ Potência de um número complexo
exp(x) Exponencial
angle(x) Ângulo de um
número complexo
log(x) Logaritmo natural conj(x) Conjugado complexo
imag(x) Parte imaginária de
log10(x) Logaritmo na base 10 um número complexo
log2(x) Logaritmo na base 2 real(x) Parte real de um número
complexo
sqrt(x) Raiz quadrada

11.  Exemplo >> d=abs(2+2i)
>> a=log(100) d=
a= 2.8284
4.6052 >> e=angle(2+3i)
>> b=log10(100) e=
0.9828
b=
2
>> c=exp(3)
c=
20.0855

12.  Como podemos perceber, se trabalharmos no
comand window não conseguiremos apagar
ou salvar algo.
 A solução para isso é abrir um M-file
 No M-file podemos manipular valores com
extrema facilidade e salvar o que estamos
fazendo.

14. •Definindo matrizes
•Operações com matrizes
•Matriz transposta
•Determinantes
•Matriz Inversa
•Resolução de Sistemas lineares

15.  Queremos apresentar a seguinte matriz no
Matlab:

16.  Como fazer?
>> A=[1 2 3;4 5 6]
A=
1 2 3
4 5 6

17.  Outro exemplo:

18. >> X=[1 9 0;7 3 2;4 5 3]
X=
1 9 0
7 3 2
4 5 3

19.  Adição
 Dada as matrizes:
A=
2 3 6
0 -3 1
3 -3 7
EB=
-2 3 -4
4 1 1
0 -2 3
Queremos achar a matriz A+B

20. >>A=[2 3 6; 0 -3 1;3 -3 7]
A=
2 3 6
0 -3 1
3 -3 7
>> B=[-2 3 -4;4 1 1;0 -2 3]
B=
-2 3 -4
4 1 1
0 -2 3
>> C=A+B
C=
0 6 2
4 -2 2
3 -5 10

21.  Exercício: Fazer a soma das seguintes
matrizes:
Y=
1 2 3
4 5 6
-1 3 0

22.  Multiplicação
 Condição para multiplicação de matrizes

23.  Multiplicação
>> A=[1 0 2;-1 3 1]; >> A=[14 9 3;2 11 14;0 12 17;5 2 3];
>> B=[12 25;9 10;8 5];
>> B=[3 1;2 1;1 0];
>> C=A*B
>> C=A*B
C=
C=
273 455
235 230
5 1 244 205
4 2 102 160

24.  Fazer a multiplicação entre as seguintes
matrizes:
A=
2 3 6
0 -3 1
3 -3 7
eB= Y=
-2 3 -4 1 2 3
4 1 1 4 5 6
0 -2 3 -1 3 0

25.  Achar a transposta da seguinte matriz:

26. >> X=[1 9 0;7 3 2;4 5 3];
>> Xt=X'
Xt =
1 7 4
9 3 5
0 2 3

27.  Achar a transposta das seguintes matrizes.
Y=
1 2 3
4 5 6
-1 3 0

28.  Queremos achar o determinante da seguinte
matriz:
Z=
1 4 6 0 3 2
9 0 0 -3 -2 12
12 15 4 -12 1 1
0 0 -2 2 -5 10
11 -3 -4 -2 0 -1
3 3 -3 9 10 7

29. >> Z=[1 4 6 0 3 2;9 0 0 -3 -2 12;12 15 4 -12 1 1;0 0 -2 2 -5 10;11 -3 -4 -2 0 -1;3 3 -3 9 10 7]
Z=
1 4 6 0 3 2
9 0 0 -3 -2 12
12 15 4 -12 1 1
0 0 -2 2 -5 10
11 -3 -4 -2 0 -1
3 3 -3 9 10 7
>> Zd=det(Z)
Zd =
730450

30.  Achar os determinantes das seguintes
matrizes
Y=
A=
1 2 3
2 3 6
4 5 6 0 -3 1
-1 3 0 3 -3 7
B=
-2 3 -4
4 1 1
0 -2 3

31.  Queremos encontrar a inversa da seguinte
matriz:

32. >> X=[1 9 0;7 3 2;4 5 3];
>>Xi=inv(X)
Xi =
0.0085 0.2288 -0.1525
0.1102 -0.0254 0.0169
-0.1949 -0.2627 0.5085

33.  Achar a inversa das seguintes matrizes
Y=
A=
1 2 3
2 3 6
4 5 6
0 -3 1
-1 3 0
3 -3 7
B=
-2 3 -4
4 1 1
0 -2 3

34.  Seja o sistema linear:
 Podemos escrevê-lo na forma matricial AX=B

35.  É desta forma que o Matlab trabalha,
declarando as matrizes A, X e B.

 A X B

36.  Exemplo: Resolver o seguinte sistema linear:

37. >> A=[1 4 3;2 5 4;1 -3 -2];
>> B=[1;4;5];
>> X=AB %Comando para resolver sistemas lineares
X=
3.0000
-2.0000
2.0000

38. Outra forma de se fazer:
>> A=[1 4 3;2 5 4;1 -3 -2];
>> B=[1;4;5];
>>Y=inv(A)*B
Y=
3.0000
-2.0000
2.0000

39.  Exercícios:
 Resolver os seguintes sistemas lineares

40. •Declaração de polinômios
•Raízes de polinômios
•Operações com polinômios

41.  Seja um polinômio p(x) de grau n definido
por:
 P(x)=
No Matlab, este polinômio é definido da
seguinte forma:
>>p=[A B C...E D F];

42.  Exemplo
 >>P=[1 3 1]
 >>p=[1 -5 2 -1]
 P=[1 4 0 -1 0]

43.  Queremos achar as raízes do polinômio
 Para isso, utilizaremos o comando “roots”
>> p=[1 3 2];
>> x=roots(p)
x=
-2
-1

44.  Outro exemplo
>> p=[4 2 0 5];
>> roots(q)
ans =
-1.2723
0.3861 + 0.9129i
0.3861 - 0.9129i

45.  Achar as raízes dos seguintes polinômios

46.  Multiplicação
 Suponhamos que queremos fazer a multiplicação dos
polinômios:
Q(x)=x-1
 Para isso, utilizamos o comando “conv”

47.  Solução
>> p=[1 3 2];
>> q=[1 -1];
>> r=conv(p,q)
r=
1 2 -1 -2

48.  Exercício
 Fazer a multiplicação dos seguintes polinômios:

49.  Divisão
 Queremos fazer a divisão entre os seguintes polinômios
Q(x)=x-1
 Para isso, utilizaremos o comando “deconv”

50.  Solução
 >> p=[1 3 2];
 >> q=[1 -1];
>> s=deconv(p,q)
s=
1 4

51.  Exercício
 Fazer a divisão dos seguintes polinômios

52. •Limites
•Derivada
•Integrais indefinidas
•Integrais definidas
•Equações diferenciais

53.  No Matlab, calculamos limites da seguinte
forma:
>>syms x
>>Limit((f(x),x,x0)
“Quando x tende a ...”
“Quem está tendendo”
Função

54.  Exemplo: Calcular o seguinte limite:
>> syms x
>> limit(sin(x)/x,x,0)
ans =
1

55.  Exercício: Calcular os seguintes limites:

56.  Para se calcular derivadas no Matlab,
utilizamos o comando “diff”
 Exemplo
>> syms x
>> diff((x^2)-(3*x),x)
ans =
2*x - 3

57.  Exercício
 Achar as derivadas das seguintes funções

58.  Para calcularmos integrais indefinidas,
utilizamos o comando “int” da seguinte
forma:
 >>int (f, x)
função
Variável que estamos integrando

59.  Exemplo: Calcular a integral da função
F(x)= -x
>> syms x
>> int((x^3)-x,x)
ans =
(x^2*(x^2 - 2))/4

60.  Calcular as seguintes integrais das seguintes
funções:

61.  Para calcularmos integrais definidas,
utilizamos o comando “int” da seguinte
forma:
 Int(f,x,a,b)

62.  Calcular a integral da função f(x)= no
intervalo [0,1]
>>syms x
>> int(x^2,x,0,1)
ans =
1/3

63.  Calcular as seguintes integrais definidas:

65.  Para resolvermos equações diferenciais no
Matlab, utilizamos o comando “dsolve” da
seguinte forma:
 >>dsolve(„EDO‟,condições iniciais)

66.  Para isso, utilizamos a seguinte
representação das derivadas:
-y‟‟‟=D3y
-y‟‟=D2y
-y‟=Dy

67.  Exemplo: Resolver as seguintes equações
diferenciais:
 A) y‟‟+2y‟+1=0
 B) y‟‟+3y”+2=0, y‟(0)=1, y(0)=-1
 C) y‟‟+5y‟+6=cos(t), y‟(0)=2, y(0)=0

68.  A) y‟‟+2y‟+1=0
>> syms y
>> dsolve('D2y+2*Dy+1=0','t')
ans =
C13 - t/2 + C14/exp(2*t) + 1/4

69.  B) y‟‟+3y”+2=0, y‟(0)=1, y(0)=-1
>> syms y
>> dsolve('D2y+3*Dy+2','Dy(0)=1,y(0)=-1')
ans =
- (2*t)/3 - 5/(9*exp(3*t)) - 4/9

70.  C) y‟‟+5y‟+6=cos(t), y‟(0)=2, y(0)=0
>> syms y
>> dsolve('D2y+5*Dy+6=cos(t)','Dy(0)=2,y(0)=0')
ans =
(5*sin(t))/26 - 391/(650*exp(5*t)) - cos(t)/26 - (6*t)/5 +
16/25

71.  Exercícios: Achar a solução das seguintes
equações diferenciais:
 A) y‟‟+y‟+1=0
 B) y‟‟+9y‟+20=0, y‟(0)=0, y(0)=0
 C) y‟‟+4y+4=sin(t), y‟(0)=0, y(0)=0

72. •Transformada de Laplace
•Transformada inversa de
Laplace

73.  Definição

74. f(t) L[f(t)] F(s)
-1
F(s) L[F(s)] f(t)

77. No Matlab, calculamos a Transformada de
Laplace da seguinte forma:
>>syms t;
>>laplace(f(t))
Função que queremos calcular a
transformada de laplace

78.  Exemplo:
>> syms t
>> laplace(exp(t))
ans =
1/(s - 1)
>> laplace(exp(t)*sin(t))
ans =
1/((s - 1)^2 + 1)

79.  Calcular a Transformada de Laplace das
seguintes funções:

80.  Definição

81.  No Matlab, achamos a transformada inversa
da seguinte forma:
>>syms s;
>>ilaplace(F(s))
Função que queremos
calcular a transformada
Inversa

82.  Achar a transformada da seguinte função:
>> syms s
>> ilaplace(1/(s+3))
ans =
1/exp(3*t)

83.  Exercício: Achar a transformada inversa das
seguintes funções:

85.  Passos para se fazer um gráfico no Matlab:
 1) Declarar a variação de x
>>x=-5:0.5:5
2) Declarar a função em si
Ex:
>>y=-x+1
3) Usar o comando “plot‟‟
Ex:
>>plot(x,y)

86.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=sin(x)
x=-4*pi:0.1:4*pi;
y=sin(x)
plot(x,y)

87.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=sin(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-15 -10 -5 0 5 10 15

88.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=cos(x)
x=-4*pi:0.1:4*pi;
y=cos(x)
plot(x,y)

89.  Exemplo: Gráfico da função f(x)=cos(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-15 -10 -5 0 5 10 15

90.  Agora, digitando os dois códigos acima e
utilizando o comando “hold on”, veja o que
acontece. Depois, troque o comando “hold
on” pelo comando figure.
x=-4*pi:0.1:4*pi;
y=cos(x)
plot(x,y)
hold on
f=sin(x)
plot(x,f)

91.  Comando “hold on”
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-15 -10 -5 0 5 10 15

92.  Exercício: Fazer o gráfico das seguintes
funções:
 A)
 B)
 C)

93.  Os melhores comandos do Matlab são:
 1) HELP
 2)Google

94. MUITO OBRIGADO!!!
edu.silva.fernandes@gmail.com