Sequência didática circunferência

1. IDENTIFICAÇÃO
Curso: Licenciatura em Matemática
Acadêmicos: Natália Lummertz e Eduarda Botelho
Orientadora: Valdirene da Rosa Rocho
2. TEMA
Circunferência
2.1 Sub-temas
 Equação reduzida da circunferência;
 Equação geral da circunferência;
 Posição relativa entre ponto e circunferência;
 Posição relativa entre reta e circunferência;
 Posição relativa entre duas circunferências.
3. JUSTIFICATIVA
As diretrizes curriculares nacionais apontam para a necessidade de contextualizar os
conteúdos básicos da matemática oportunizando ao aluno estabelecer a relação entre seu contexto e
os conceitos formais.
Novos desafios são impostos à vida cotidiana e faz-se necessário desenvolver capacidades
que possibilite a qualquer indivíduo buscar soluções criativas e inteligentes para resolver seus
problemas. As tecnologias estão disponíveis para auxiliar os professores no processo de ensino
aprendizagem, se tornando uma importante ferramenta para trabalhar diferentes conceitos da
matemática.
Neste contexto, é importante que o professor insira em suas aulas as tecnologias disponíveis
para auxiliar na compreensão dos conceitos matemáticos, de forma a acompanhar a evolução
tecnológica que os alunos encontram fora do ambiente escolar.
A geometria analítica se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra,
por meio de princípios geométricos é possível estudar as propriedades de ponto, reta,

circunferências e cônicas. A utilização das tecnologias faz com que as aulas fiquem mais produtivas
e interessantes.
Há muitos problemas que envolvem circunferências, como construção de pontes, volume de
um objeto geométrico em forma de circunferência, o que antes eram somente álgebra, agora
podemos juntar com a geometria e tornar os problemas mais claros e de fácil resolução.
3. OBJETIVOS
 Transformar em reduzida a forma geral da equação da circunferência e vice-versa;
 Reconhecer as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência;
 Estudar as posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência;
 Utilizar o software GeoGebra para plotar a circunferência e estudar os conceitos pertinentes
a este tema.
 Analisar algumas características da circunferência através do software Geogebra a fim de
consolidar o processo de construção do conhecimento matemático.
4. METODOLOGIA
4.1 Recursos
Materiais disponíveis em sala de aula, tais como: datashow, quadro, pincel, apagador,
computador, software GeoGebra.
4.2 Técnicas
Aula expositiva e dialogada com a utilização do software GeoGebra (versão 4.4)
5. PROCEDIMENTOS
5.1 Problematização
Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de arco de circunferência, conforme o
projeto mostrado na Figura 1. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de , e a
pilastra central, segundo o arquiteto, deverá ter de altura. O engenheiro, usando seus
conhecimentos de geometria plana, já calculou que o raio do arco de circunferência projetada pelo

arquiteto é de . Agora ele precisa calcular o tamanho das demais pilastras (duas à esquerda e
duas à direita da pilastra central). Segundo o projeto, todas as pilastras estão a uma da outra.
Figura 1 - Projeto da ponte em forma de arco de circunferência
Fonte: Dante, 2005.
Com base nas informações do problema, vamos escolher um sistema de eixos coordenados
conveniente e obter a altura dessas quatro pilastras menores.
5.2 Historicização
Boyer (1974), Eves (2004), Kasner (1976) e Radice apud Silva e Filho (2005) destacam que
o século XVII foi sem dúvida um dos mais importantes para a Matemática. A Europa respirava,
nessa época, um protestantismo marcante e procurava preservar os impérios ultramarinos. Enquanto
isso a França nos brindava com a obra La géométrie, de René Descartes (1596 – 1650).
Embora a moderna Geometria Analítica não tenha grandes semelhanças com a La
géométrie, podemos dizer que Descartes foi seu introdutor. A grande engenhosidade de seu trabalho
foi traduzir um problema geométrico numa equação algébrica.
O caminho percorrido pela Geometria Analítica foi cruzado por matemáticos que
contribuíram para o seu aperfeiçoamento. Esse é o caso de Frans van Schooten (1615 – 1660),
matemático holandês que publicou uma versão para o latim da obra de René Descartes, tornando-a
conhecida. Também Newton foi responsável por esse desenvolvimento, ao sugerir novos tipos de
sistemas de coordenadas e fazendo anotações sobre as cúbicas.
Segundo alguns historiadores, o conhecimento sobre as secções cônicas tem seu marco
inicial com Menaecmus, que viveu por volta de 350 a.C.. Porém, é inegável que As cônicas, tratado
sobre as curvas escrito por Apolônio de Perga (262 a 190 a. C.), teve o mérito de reunir todas as
informações anteriores.

A partir daí, Apolônio deixou claro que parábola, elipse e hipérbole são três espécies de
secções cônicas que podem ser obtidas de um cone duplo, apenas variando a inclinação do plano de
secção.
A importância desse trabalho é sentida na Física, que se valeu dos conhecimentos
específicos ali contidos para resolver inúmeros problemas. Johann Kepler, por volta de 1610,
descobriria as trajetórias elípticas dos planetas, com o Sol ocupando um de seus focos. Já Newton,
na obra Philosophiae naturalis principia Mathematica fez essa dedução com a lei da gravitação e as
leis da Mecânica.
5.3 Operacionalização da aula
As etapas previstas para o desenvolvimento da aula podem ser resumidamente descritas neste
subitem. Estas atividades serão desenvolvidas com o apoio computacional do software GeoGebra.
A CIRCUNFERÊNCIA
Denomina-se circunferência (Figura 2) o conjunto de todos os pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo C desse plano, denominado centro da circunferência.
Figura 2 - Circunferência
Fonte: As autoras, 2015
Com o auxilio do software GeoGebra mostraremos a definição de circunferência.
Seguindo os protocolos de construção ilustrados na Figura 3, faremos uma circunferência
(Figura 4).

Figura 3 - Passos de construção.
Fonte: As autoras, 2015.
O resultado desta construção é uma circunferência, comprovando sua definição.
Figura 4 - Criando a circunferência
Conseguimos observar que o GeoGebra apresenta na janela da álgebra a equação reduzida
da circunferência.
 Equação reduzida da circunferência
Considere o plano cartesiano e a circunferência de centro ( ) e raio , conforme indica a
Figura 5.
Figura 5 – Plano cartesiano
O ponto ( ) pertence à circunferência se, e somente se:

( ) √( ) ( )
( ) ( )
Essa igualdade é chamada de equação reduzida da circunferência.
No caso particular do centro da circunferência estar na origem, isto é, a = b = 0, a equação
será:
( ) ( )
 Equação geral da circunferência
Ao desenvolver a equação reduzida da circunferência ( ) ( ) ,
obteremos o que se chama de equação normal ou geral da circunferência:
( )
É muito comum na prática que as circunferências sejam representadas por sua equação geral,
como por exemplo, a circunferência . À primeira vista, essa equação
não nos permite identificar nem o centro nem o raio da circunferência em questão. Precisamos,
portanto, aprender a obter o raio e o centro de uma circunferência a partir da equação geral. Temos
dois métodos que podem ser utilizados:
 Método de completar quadrados: Nesse método, o objetivo é obter os quadrados perfeitos
( ) ( ) a partir das informações apresentadas na equação geral.
Vejamos, por exemplo, como ele é definido para uma equação geral do tipo:
 Agrupam-se na equação normal os termos em e os termos em , isolando no outro
membro o termo independente. É interessante deixar um espaço depois dos termos em e
dos termos em , e dois espaços do lado direito do termo independente da igualdade, por
exemplo, equação ( ):
( )
 Somam-se a ambos os termos da equação valores convenientes, de modo que os termos em
e os termos em se transformem, cada qual, em um quadrado perfeito. Na prática usamos
espaços vagos para escrever esses números. O número que completa o quadrado perfeito em
é o quadrado da metade do coeficiente , se o coeficiente de for . Assim, como o
coeficiente de é , metade de é e o quadrado de é , somamos em ambos
os membros, veja a equação ( ).
( )

 Da mesma forma, o número que completa o quadrado perfeito em é o quadrado da metade
do coeficiente de , se o coeficiente de for . Assim, como o coeficiente de é ,
metade de é e o quadrado de é , somamos em ambos os membros (equação ( )):
( )
Assim, temos os seguintes quadrados perfeitos:
⏟ ⏟ ⏟
( ) ( )
Portanto, a equação representa uma circunferência de
( ) e .
 Método de comparação: Nesse método, devemos comparar os coeficientes dos termos das
duas equações, a equação dada e a genérica:
( )
Desta forma, temos que:
=
= 4
= ( ) = , ou seja,
(não existe raio negativo)
Então, o centro da circunferência é ( ) e o raio é .
Exemplo 1: Vamos determinar a equação de uma circunferência com centro no ponto ( ) e
raio .
Com o auxilio do GeoGebra os alunos irão construir a circunferência clicando no 6º
quadrinho do mostruário de construção, destacado em azul como mostra a Figura 6 .
Figura 6 - Inserindo comando de circunferência dado um ponto e o raio.

Observamos que o GeoGebra já apresenta a equação da circunferência na forma reduzida, e
para obter a forma geral é só desenvolver o produto notável (quadrado da soma de dois termos e
quadrado da diferença de dois termos), vamos fazer manualmente.
Resolução: neste caso, temos que , e
Usando a equação, vem:
( ) ( ) → ( ) ( )
Logo, a equação é ( ) ( ) ou
Exemplo 2: Vamos obter o raio e o centro da circunferência
Os alunos vão inserir a equação na entrada do GeoGebra, conforme Figura 7.
Figura 7 - Encontrando o centro e o raio.
Observe que o software fornece a equação na forma reduzida, facilitando a interpretação da
localização do centro, que é ( ) e a medida do raio, que é .
Resolvendo o mesmo exemplo sem o auxílio computacional, temos dois métodos, o de
completar quadrados e o da comparação.
Na sequência apresenta-se a resolução do exemplo 2 utilizando o método de completar
quadrados.
⏟ ⏟ ⏟
( ) ( )
Portanto, a equação representa uma circunferência de centro
( ) e raio .

E, a resolução do mesmo exemplo utilizando a técnica do método da comparação.
( )
Comparando a equação da circunferência com a equação genérica temos que:
=
= - 4
= ( ) =
(não existe raio negativo)
Logo, concluímos que o centro da circunferência é (-3,2) e o raio é 5.
EXERCITANDO
1) Determine a equação normal e a equação reduzida da circunferência que tem:
a) centro em ( ) e raio
b) centro em ( ) e raio √
c) centro em ( ) e raio
d) centro em ( ) e raio
2) As seguintes equações representam circunferências; determine as coordenadas do centro e raio
em cada caso:
Observação: Utilize os dois métodos ensinados.
a)
b)
c)
3) Verifique entre os pontos ( ) ( ) e ( ) quais pertencem à circunferência de
equação ( ) ( ) e identifique qual o seu centro e o raio.
4) Verifique se a equação representa uma circunferência. Em caso
afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
5) (PUC-SP) O ponto ( ) pertence à circunferência de centro no ponto ( ) e raio .
Calcule o valor da coordenada .
 Posições relativas de um ponto e uma circunferência: Um ponto pode ser interno,
externo ou pertencer à circunferência de centro e raio . A Figura 8 ilustra o exposto.

Figura 8 - Posição do ponto em relação à circunferência
Se a circunferência λ tem centro ( ) e raio r, podemos obter posição do ponto ( )
em relação à circunferência da seguinte forma:
a) pertence à circunferência:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b) pertence à região exterior à circunferência:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c) pertence à região interior à circunferência:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Exemplo 3: Verifique qual a posição do ponto ( ) em relação às circunferências dadas:
a) ( ) ( )
b) ( )
c) ( ) ( )
 Posições relativas de uma reta e uma circunferência: Uma reta s e uma circunferência
λ podem ocupar as seguintes posições relativas (veja Figura 9)
Figura 9 - Posição relativa da reta em relação à circunferência

Veja as situações:
a) Em (I) s e λ são secantes (intercepta a circunferência em dois pontos).
b) Em (II) s e λ são tangentes (intercepta a circunferência em um único ponto).
c) Em (III) s e λ são exteriores (não intercepta a circunferência).
Exemplo 4: São dadas a reta , e a circunferência .
Determine a posição da reta em relação à circunferência utilizando o software GeoGebra.
Seguindo os passos do protocolo de construção (Figura 10) inserimos a reta e a circunferência e
medimos o tamanho dos segmentos, a fim de provar as afirmações acima (Figura 11).
Figura 10 - Protocolo de construção.
Figura 11 - Criando reta e circunferência

Vamos determinar, inicialmente, as coordenadas do centro e o raio da circunferência:
( ) ( )
A partir do desenvolvimento, concluímos que o centro da circunferência é, ( )
e . Agora vamos determinar a distância entre o centro e a reta:
| ( ) ( ) |
√
| |
√ √
Comparando , temos que , ou seja, ( ). Logo, a reta é secante à circunferência.
Vamos apresentar uma outra maneira de resolver este tipo de problema. Podemos, também,
determinar a posição relativa de uma reta e uma circunferência procurando os pontos de intersecção
da reta com a circunferência. Para isso, basta resolver o sistema linear formado pelas equações da
reta e da circunferência.
{
Na resolução desse sistema, encontramos uma equação polinomial do 2º grau. Se ∆
representa o discriminante dessa equação, temos:
 Para ∆ > 0 a reta é secante à circunferência (dois pontos em comum).
 Para ∆ = 0 a reta é tangente à circunferência (um ponto em comum).
 Para ∆ < 0 a reta é exterior à circunferência (nenhum ponto em comum).
Vamos resolver o exemplo seguinte pelo discriminante .
Os pontos comuns entre à reta e à circunferência, se houver,são as soluções do sistema
formado por suas equações:
{
Substituindo na segunda equação, temos:
( ) ( )
O cálculo do discriminante será suficiente para determinar quantos pontos
comuns têm a reta e a circunferência e daí a posição relativa. Então:
∆ =
O valor de ∆ > 0 indica a existência de dois valores reais e distintos, ou seja, e ,
consequentemente, dois pontos comuns à reta e à circunferência. Logo, a reta é secante à
circunferência.

LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Dadas uma reta e uma circunferência , verifique a posição relativa de e . Se houver pontos
comuns (tangente ou secante), determine esses pontos:
a) e
b) e
2) Considere a reta e a circunferência : Qual é a
posição da reta em relação à circunferência?
3) Determine as coordenadas dos pontos em que a reta , de equação , intersecta a
circunferência de equação .
 Posições relativas entre duas circunferências: Consideremos as circunferências e ,
distintas. Seja a distância entre os centros e , respectivamente, das circunferências
e Assim, podem ocorrer três situações:
 e são tangentes entre si (Figura 12), neste caso elas tem um único ponto comum.
Figura 12 – Circunferências tangentes .
 λ1 e λ2 são secantes entre si (Figura 13), neste caso elas tem dois pontos comuns.
Figura 13 – Circunferência secantes.

 λ1 e λ2 não se interceptam (Figura 14), neste caso não tem ponto em comum.
Figura 14 – Circunferências externas
Possíveis posições relativas entre duas circunferências:
a) externas: ( )
b) tangentes externas: ( )
c) secantes: | | ( )
d) tangentes internas: ( ) | |
e) uma interna à outra: ( ) | |
f) concêntricas: ( )
Seguiremos com a resolução de alguns exemplos:
Exemplo 5: Vamos verificar a posição relativa das circunferências em cada item:
a) e ( )
b) e
Resolução:
a) e ( )
Resolvendo o sistema formado pelas duas equações, temos:
{( )
Substituindo na primeira equação, vem:
√
Logo, as duas circunferências são secantes e seus pontos comuns são ( √ ) ( √ ).
b) e
Resolvendo o sistema pelo método da adição, temos:
{
( )

{
Ou seja,
Substituindo na primeira equação, vem:
Resolvendo o discriminante , logo, .
No entanto o ponto ( ) é o único ponto comum às duas circunferências, portanto elas
são tangentes.
Como vimos, as circunferências tangentes podem ser externas ou internas. Podemos
determinar a sua posição relativa por meio da distância entre os centros das circunferências e por
meio de seus raios (lembrando que o centro das circunferências e o ponto de tangência estão sempre
alinhados).
Considerando a primeira equação do sistema, temos:
( ) ( ) (4)
A partir de (4) temos, ( ) e
Agora, analisando a segunda equação do sistema, vem:
( ) ( ) (5)
Analisando (5), temos que, ( ) e .
Após obter os centros , calculamos a distância entre esses pontos, sendo assim temos:
( ) √( ) ( ) √
Os raios medem e e | |, temos que ( ) | |.
Logo, as circunferências são tangentes internas e o ponto comum é ( )
Exemplo 6: Vamos determinar a equação da circunferência de centro em ( ) e que
tangencia exteriormente a circunferência
Nesse caso, a distância entre os centros é igual à soma dos raios.
Inicialmente, calculamos o centro ( ) e o raio ( ) da circunferência dada:

( ) ( )
Então, ( ) e .
Agora, calculamos a distância entre os centros ( ) e ( ):
√ √
Como , podemos calcular o raio :
A equação procurada é a da circunferência de raio 4 e centro (8,4):
( ) ( )
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Dadas as circunferência , descubra suas posições relativas e seus pontos em comum (se
houver):
a) e
b) e
c) ( ) + ( ) e ( ) + ( )
d) e
RESOLUÇÃO DA PROBLEMATIZAÇÃO: Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que
coloque a pilastra central no eixo e o vão da ponte no eixo (Figura 15), temos que o centro da
circunferência será ( ) pois o raio tem e a pilastra maior tem 4 m. Para obter o
tamanho das pilastras pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos e , cujas abscissas
são respectivamente e . A escolha do sistema de eixos cartesiano adequado é muito importante
para facilitar a resolução.
Figura 15 - Representação gráfica do problema
Fonte: Dante, 2005

A equação da circunferência é, então, ( ) . Para obtermos a ordenada
do ponto , basta substituirmos a abscissa na equação da circunferência:
( ) ( ) √ 19,60
Da mesma forma, para obtermos a ordenada do ponto , basta substituirmos a abscissa
na equação da circunferência:
( ) ( ) √
Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho
de suas correspondentes no lado direito. Assim, duas pilastras têm, aproximadamente, 2,33 m e
duas têm 3,60 m, e a central, como já sabíamos, tem 4 m.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto. Matemática: aula por aula. 2. ed. São Paulo:
FTD, 2005
LONGEN, Adilson. Matemática: uma atividade humana. v. 3. Curitiba: Base Editora, 2003.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática fundamental: Uma nova
abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
DANTE, Luiz Roberto; Matemática, volume único. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005.

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