1. Universidade Federal do ABC
Aula 4
Otimização e Discretização
EN3224 Dinâmica de Fluidos
Computacional
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2. Forma adimensional das equações
Motivação: às vezes, as equações são normalizadas para:
• facilitar as mudanças de escala dos resultados obtidos para condições de fluxo reais
• evitar arredondamento devido a manipulações com números grandes / pequenos
• avaliar a importância relativa de termos nas equações do modelo
Variáveis e os números adimensionais:
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3. Simplificações do modelo
Objetivo: obter soluções analíticas / reduzir o custo computacional
Eqs. Navier-Stokes p/
escoamento compressível
Eqs. Navier-Stokes p/
escoamento incompressível
Eqs. Euler p/ escoamento
compressível
Outras simplificações: Stokes flow, camada limite, eqs. Inviscidas, potenciais, etc...
Derivação de um modelo simplificado:
1. determinar o tipo de fluxo a ser simulado
2. separar efeitos importantes e sem importância
3. deixar características irrelevantes fora de consideração
4. omitir termos redundantes nas equações do modelo
5. prescrever condições iniciais / limite adequadas
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8. Equações de Euler compressíveis
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9. Classificação das equações diferenciais parciais
EDPs podem ser classificadas como hiperbólicas, parabólicas e elípticas
Cada classe de PDEs modela um tipo diferente de processos físicos
• O número de condições iniciais e/ou limite depende do tipo de EDP
• Métodos de solução diferentes são necessários para EDPs de tipo diferente
Hiperbólicas
As informações se propagam em certas direções em velocidades finitas
A solução é uma superposição de várias ondas simples
Parabólicas
As informações viaja a jusante / frente no tempo
A solução pode ser construída usando um método de passos / tempo
Elipticas
As informações se propagam em todas as direções a uma velocidade infinita
Descreve fenômenos de equilíbrio (problemas elipticos nunca são instáveis)
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12. Classificação de sistemas de
EDPs de primeira ordem
Forma quase-linear
Solução de onda plana
Onde n=s é a normal à superfície característica s(x,t)=const
Sistemas Hiperbólicos: Existem D normais reais n(k), k = 1,. . . , D
e as soluções
dos sistemas associados são linearmente independentes
Sistemas Parabólicos: Existem menos de D soluções reais n(k) e
Sistemas Elipticos: Não existem normais reais n(k) não existem soluções com
características de ondas.
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13. EDP de segunda ordem como um sistema de
EDPs de primeira ordem
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14. EDP de segunda ordem como um sistema de
EDPs de primeira ordem
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16. Técnicas de Discretização do Espaço
Objetivo: para aproximar a EDP por um conjunto de equações algébricas
EDP estacionária (elíptica)
Condição de contorno de Dirichlet
condição limite de Neumann
condições de fronteira de Robin
Problema dos valores limite: BVP = EDP + condições de contorno
Introdução: problemas simplificados 1D e 2D
1. –Du = f
2. ·(uv) = ·(du)
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equação de Poisson
convecção-difusão
17. Malhas computacionais
Os graus de liberdade para a solução aproximada
são definidos em uma malha computacional que
representa a uma subdivisão do domínio em
células e/ou elementos.
estruturada
estruturada em blocos
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não estruturada
18. Malhas Estruturadas (regulares)
• As famílias de linhas de grade não se cruzam .
• Topologicamente equivalente a grade cartesiana de modo que cada ponto
de grade (ou VC) é exclusivamente definida por dois índices em 2D índices
ou três em 3D.
• Pode ser do tipo H (não periódica), O (periódica) ou C (periódica com
cúspide).
• Limitada aos domínios simples.
• Refinamento da malha local afeta outras regiões.
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19. Malhas bloco-estruturadas
• Subdivisão de vários níveis do
domínio com redes
estruturadas dentro de
blocos.
• Podem ter nãocorrespondência.
• Tratamento especial é
necessária nas interfaces dos
blocos.
• Maior flexibilidade.
• Refinamento local pode ser
realizada blockwise.
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20. Malhas não-estruturadas
• Adequadas para domínios arbitrários e passíveis de
refinamento de malha adaptativa.
• Consistem em triângulos ou quadriláteros em 2D, tetraedros
ou hexahedra em 3D.
• As estruturas complexas de dados, padrão de dispersão
irregular, difícil de executar.
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21. Técnicas de discretização
Diferenças finitas / forma diferencial
• Derivadas de aproximação nodal
• simples e eficazes, fáceis de gerar
• limitada a malhas estruturadas
Volumes finitos / forma integral
• aproximação de integrais
• conservativa por construção
• adequado para malhas arbitrárias
Elementos finitos / forma fraca
• formulação ponderada residual
• notavelmente flexível e geral
• adequado para malhas arbitrárias
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