1. Números Complejos

2. Números Imaginarios
 Si b es un número real , entonces es
un número imaginario puro teniendo:
Donde:
Definiéndose i como la unidad imaginaria.
Al número se le denomina forma normal (o
estándar) de un número imaginario puro.
0

b
1
2


i
b
i
b
b
b 




 )
1
(
)
1
(
b
i
1


i
b


3. Potencias de i
 Las potencias básicas de i son:
 Cualquier potencia de i puede reducirse a una de
las cuatro potencias básicas, por ejemplo:
1
2


i
i
i
i
i
i 



 )
1
(
2
3
i
i
i
i
i 

 )
1
(
4
5
1
)
1
)(
1
(
2
2
4




 i
i
i
i
i
i
i
i
i
i 



 )
)(
1
)(
1
)(
1
(
3
4
4
4
15

4. Multiplicación de radicales
 Si a y b son números reales, entonces
si y
Si a < 0 o b < 0 (o ambos a y b son negativos), es
necesario convertir el radical a la forma normal de
un numero imaginario puro antes de efectuar la
multiplicación.
Por ejemplo:
ab
b
a  0

a 0

b
6
)
3
)(
1
(
2
)
3
(
2
)
3
2
(
3
)
1
)(
3
(
4
)
1
(
3
12
3 2
2










 i
i
i
10
42
10
42
)
14
)(
7
(
5
6
14
3
)(
7
)(
5
2
(
)
14
3
(
7
)(
5
2
( 3
3
i
i
i
i
i
i 








5. Números Complejos
 Si se suma un número real y un número
imaginario se obtiene un número complejo.
 Un número complejo es de la forma a + bi
donde a y b son números reales:
Si a = 0 se tiene un número (bi) imaginario
Si b =0 Se tiene un número real (a)
La forma a + bi se le denomina forma
rectangular de un numero complejo.
La parte real del número complejo es a y la
parte imaginaria es b.

6. Si a + bi y c + di son números complejos, entonces
a + bi = c + di si y solo si a =c y b = d
Ejemplo:
Hallar los valores de x y y en la expresión
4 + 3i =7i + x + 2 + yi
Reordenando se tiene: x + yi =4 + 3i – (2 + 7i)
x + yi = 2 - 4i
Por lo tanto, x = 2 y y = -4 , ya que las partes reales
e imaginarias deben ser iguales.
Igualdad de Números Complejos

7. Conjugado de un Número
Complejo
El conjugado de un número complejo a + bi es
el número complejo a – bi
Ejemplos
El conjugado de 3 + 4i es 3 – 4i
El conjugado de 5 – 2i es 5 + 2i
El conjugado de -7i es 7i, porque – 7i = 0 – 7i
El conjugado de 15 es 15 porque 15 = 15 + 0i

8. Operaciones
Operación Definición Descripción
Adición (a + bi)+ (c + di)=(a + c)+ (b + d)i Se suman las partes
reales y las imaginarias
respectivamente
Sustracción (a + bi) - (c + di)=(a - c) + (b - d)i Se restan las partes
reales y las imaginarias
respectivamente.
Multiplicación (a + bi)(c + di)=(ac - bd)+ (ad +
bc)i
Multiplicar números
complejos como
binomios y simplificar
División Se multiplica el
numerador y
denominador por el
conjugado del
denominador.
2
2
)
(
)
(
d
c
i
ad
bc
bd
ac
di
c
di
c
di
c
bi
a
di
c
bi
a

























9.  Ejemplos.
a)
b)
c)
Operaciones
i
i
i 5
1
)
2
(
)
4
3
(
)
1
2
(
)
16
3
(











i
i
i
i
i
i
i
i
)
5
3
(
)
5
3
(
)
1
(
5
5
3
3
5
5
3
3
)
1
1
)(
5
3
(
)
1
1
)(
5
3
( 2




















2
3
6
)
1
(
2
1
)
1
(
4
2
4
1
4
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
8
2
2
2



























i
i
i
i
i
i

10. Operaciones
 Ejemplos
a)
b)
c)
  0
3
2
8
5
3
)
2
8
(
)
5
( 










 i
i
i
i
i
i
     
89
2
36
8
2
36
81
2
2
9
5
2
2
4
25
8
16
2
2
2
2
2
2















i
i
i
i
i
i
i
i
  
5
3
9
16
3
5
12
9
16
3
4
9
12
3
4
3
4
3
4
3
3
4
2
2
3
4
1
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i































11. Aplicación
 Determinar todas la raíces de la ecuación:
Solución:
Por el teorema del factor cero:
0
)
4
2
)(
2
)(
4
2
)(
2
(
)
8
)(
8
(
64 2
2
2
3
3
6











 x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
4
2
2


 x
x
0
4
2
2


 x
x
0
2 

x 0
2 

x
2
1 
x 2
2 

x
3
1 i
x 

3
1
4 i
x 


3
1
3 i
x 


3
1 i
x 


3
1
5 i
x 
 3
1
6 i
x 

0
64
6


x