Solucionario de matematicas para administracion y economoa

DE JEAN E. WEBER
i
jÊÈHk I';';'
EDUARDO 6SPINO ZA RAMOS _ ■
LIMA - PERU B

>EN EL PERÚ
»del 2003
2oEDICIÓN
:hos reservados
o no puede reproducirse total ó parcialm ente por ningún m étodo
electrónico o m ecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia,
magnéticos o de alim entación de datos, sin expreso consentimiento
•r y Editor.
J
N °10070440607
)*»rechos del Autor N° 13714
com ercial N° 10716
Publica N° 4484
PROLOGO
La obra que presento “Solucionarlo del texto de matemática para administración y economía por
JEAN E. WEBER” es su segunda edición es debido a que los estudiantes especialmente del área
de economía, Contabilidad y administración utiliza en los cursos de matemática el texto de JEAN
E. WEBER, de tal manera que en este libro encuentren una ayuda en la solución de los problemas,
los cuales son desarrollados en forma clara y precisa ilustrándolo con gráficos.
El libro empieza con la solución de los problemas de conjuntos, relaciones, funciones, la recta,
aplicaciones de la oferta y demanda lineal, se continua con las cónicas: circunferencias, elipse,
parábola e hipérbola así como las curvas de oferta y demanda, se desarrolla las funciones
logarítmicas y exponenciales, limites, continuidad, derivadas y sus aplicaciones, se desarrolla el
cálculo en varias variables, derivadas parciales y sus aplicaciones, el cálculo integral y sus
aplicaciones así mismo se desarrolla las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencias.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones. Es mi
deseo que encuentren en ellas, mayor ayuda en sus estudios y signifique un avance en su
formación científica.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

DEDICATORIA
i.
2.
3.
4.
5.
6.
Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que puedan
ser guías de su prójimo.
l . l .
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8 .
1.9.
ÍNDICE
| INTRODUCCIÓN
Pag.
Conjuntos. 1
Problemas. 1
Relaciones y Funciones. 10
Problemas. 11
Funciones Inversas. 25
Problemas. 25
CAPÍTULO i 1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA ]
La recta. 35
Líneas paralelas y perpendiculares. 35
Ecuación genera! de la recta. 35
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 36
Ecuación de la recta en la forma punto- pendiente. 36
Ecuación de la recta en ía forma pendiente - intersección. 36
Ecuación de la recta en forrna - intersección. 36
Familia de rectas. 36
Problemas. 37

.10. Aplicaciones de las gráficas rectilíneas en administración y economía. 57
.11. Función de Consumo. 59
.12. Problemas. 60
.13. Métodos generales para trazar gráficas no lineales. 76
.14. Problemas. 76
.15. Métodos generales para trazar gráficas no lineales. 84
.16. Problemas. 84
.17. Curvas cuadráticas. 95
.18. Identificación de una curva cuadrática. 95
.19. La circunferencia. 96
.20. La elipse. 96
.21. Problemas. 97
.22. La parábola. 99
.23. La Hipérbola. 100
.24. Casos especiales de la hipérbola. 101
.25. Problemas. 101
.26. Problemas. 104
.27. Aplicaciones de las curvas cuadráticas en administración - economía
curvas de oferta y demanda 113
.28. Equilibrio de mercado. 114
.29. Graficas de transformación del producto. 114
.30. Problemas. 114
31. Ley del Pareto de la distribución del ingreso 142
32. Problemas. 142
33. Curvas exponencial y logarítmica 148
34. Problemas. 150
35. Aplicación de las curvas exponenciales y logarítmicas en administración
y economía 152
36. Problemas. 154
CAPITULO II
CÁLCULO DIFERENCIAL: FUNCIONES DE UNA VARIABLE |
2.1. Límites de una función
2.2. Propiedades.
2.3. Problemas.
2.4. Continuidad.
2.5. Derivadas.
2.6. Reglas de la Derivación.
2.7. Problemas.
2.8. Otras reglas de derivación.
2.9. Problemas.
2.10. derivación logarítmica y exponencial
2.11. Problemas.
2.12. Funciones Trigonométricas.
2.13. derivación de las funciones inversas.
2.14. Problemas.
2.15. Problemas.
2.16. Diferenciales.
2.17. Problemas.
2.18. Derivadas de orden superior.
2.19. derivación implícita.
2.20. Problemas.
2.21. Aplicaciones de las derivadas.
2.22. Aplicaciones de las derivadas en problemas de administración y economía.
2.23. Elasticidad (tasa de cambio proporcional).
2.24. Fórmulas para evaluar la elasticidad.
2.25. Elasticidad - punto sin ambigüedad.
2.26. Generalizando la elasticidad de y con respecto a x

2.27. Elasticidad de la demanda. 302
2.28. Elasticidad cruzada. 303
2.29. Elasticidad constante de la demanda. 303
2.30. Problemas. 303
2.31. Ingreso total, ingreso marginal y elasticidad de la demanda 307
2.32. Problemas. 30'/
2.33. Formas indeterminadas 311
CAPITULO I I I
CÁLCULO BIFERENOaT!
3.1. Funciones de más de una variable. 333
3.2. Diferenciación parcial. 333
3.3. Problemas. 333
3^.4. Diferencial total. 348
3.5. Derivada total. 34g
3.6. Diferenciación de funciones implícitas. 349
3.7. Problemas. 349
3.8. Aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía. 360
3.9. Función de producción. 366
3.10. Productividad marginal. 366
5.11. Función de producción homogénea. 366
5.12. Curvas de producto (o producción) constante. 367
5.13. Función de utilidad. 367
U 5. Máximos y mínimos de la función de dos variables. 376
1.16. Problemas. 3 7 7
1.17. Máximos y mínimos sujetos a restricciones multiplicadores de Lagrange. 394
3.19. Condición de KUHN - TUCKER.
3.20. Problemas.
3.21. Sucesiones y Series.
400
401
418
CAPITULO IV
CÁLCULO IN T E G R A L
4.1. Reglas para la integración 428
4.2. Problemas. 428
4.3. Aplicaciones de la integral indefinida en la administración y la economía 435
4.4. Integral definida. ' 441
4.5. Problemas. 441
4.6. Área como integral definida. 445
4.7. Aplicaciones de la integral definida en la administración y la economía. 458
4.8. Problemas. 459
4.9. Métodos especiales de integración. 469
4.11. Integración por partes. 474
4.12. Integración por fracciones parciales. 483
4.13. Integración por nacionalización. 488
C A P I T U L O V
[¥ cijA P O NES DIFERENCIALES
5.1. Problemas. 494
5.2. Ecuaciones Diferenciales de primer orden y primer grado 49')
5.3. Problemas. 52

CAPITULO VI
ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Definición. 564
Ecuaciones lineales en diferencias. 565
Solución de las ecuaciones en diferencias. 565
Problemas. 565
Ecuaciones lineales en diferencias de primer orden con coeficientes constantes 570
Problemas. 572
Ecuaciones en diferencias lineales y de segundo orden con coeficientesconstantes 582
Comportamiento de la solución. 583
Problemas. 584
Introducción 1
INTRODUCCION
E Z CONJUNTOS.-
I—---------------------------------- :'
U - conjunto universal
A u B = ( x e U / x e A v x e B }
A n B = {xe U / : .6 A a x e B }
A - B = { x e U / x e A a x «?B]
CbA - B - A = {xlJte B a .i & A)
A‘~C aU - V - A ___
:i PROBLEMAs .-
G ) Si A,B y C son conjuntos tales que A c B c C ¿Cuál es la relación entre C - B y C - A?
Desarrollo
La relación entre C -B y C - A es: C - B c C - A
( 2) Demuestre que en general, (ArB)'~ A'<jB'
Desarrollo
i) (A n fi)’c A ’u f i'
I o x e (A n B )1 = > x ¿ A n B , def. de complemento
2o x g A v x i B,def. de intersección

Eduardo Espinoza Ramos
3o x e A' v :te fi',def. de complemento
4o x e A'u B ', def. de unión
5o x e ( A u B ) ' => x e A ' u B ' , d el ° y 4 °
6o ( Anj 5) ' c A'ufí', 5o def. de contenido
li) A 'u B ' a ( A n B ) '
I o x e A’uZT => xe A' v x e B ', def. de unión
2° x <£ A v x í B,def. de complemento
3o x g A n B, def. de intersección
4o x e (An B)', 3o def. de complemento
5o x e A ' v B ’ => x e ( A n B ) ' , Io y 4o
6o A ' u f i ' c ( A n f l ) ' , 5o def. de contenido
(A n B ) ' = A'<j B ' , de i) y ii)
Demuestre que en general, A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C )
Desarrollo
i) A n ( B u C ) c ( A n B ) u ( A n C )
1° x e A n ( B u C ) , hipótesis
2° x e A a x e ( B u C ) , Io def. de intersección
3o x e A a (x e B v x e C), 2o def. de unión
4o (x e A a x e B) v (x e A a x e C), 3o propiedad lógica
5o x e A n B v x e A n C , 4° def. de intersección
6o x e (A n B) u (A n C), 5o def.de unión
Introducción 3
T x e A n ( B u C ) => x e ( A n B ) u ( A n C ) , Io y 6o
8o A n ( B u C ) c (A n B ) u ( A n C), T def. de contenido
ii) ( A n B ) u ( A n C ) c A n { B u C )
I o x e ( A n B ) u ( A n C ) , hipótesis
2o x s ( A n B ) v x e ( A n C), 10 def. de unión
3o (x eA a x e B) v (x e A a x e C), 2° def. de intersección
4o x eA a (x e B v x eC), 3oy propiedad lógica
5o x eA a x e (B u C),4o def. de unión
6o x eA a (B u C), 5o def. de intersección
T x e ( A n B ) u ( A n C ) => x e A n ( B u C ) , Io y 6o
8o (A n B) u (A n C) c A n (B u C), T def. de contenido
A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C), de i) y ii)
(T i Demuéstrese que, en general (5 n T ■)u (S n T) = S (5 u T) = S u (S n T) = S
Desarrollo
a) Demostraremos que: ( S n 7 " ) u ( 5 n r ) = S n ( S u 7 ’)
En efecto: (5 n r ,) u ( S n r ) = [(5 n 7 ’,) u 5 ] n [ ( 5 n 7 " ) u 7 ’]
= [S n ( 5 u r ,)]n(7’ u 5 )
= S n (S u 7 ”)n (7 'u S ) = [(S n 7 )u S ]n (5 u7")
= S n ( S v T ) r i ( S u T ') = S n i S u T )
b) Desmotaremos que: S n (S u T) = S u (S n T)
En efecto:

i) S n ( S u T ) c S u ( S n T)
Sea x e S n ( S u T ) => x e S a x e (S u T)
=> x e S a (x e S v x e T )
=> x e S v (x € S A x e T )
=> x e S v x e ( S n T )
=> x e S u ( S n T )
ii) S u ( S n T ) c S n ( S u T )
Sea x e S u (S n T) x e S v x e S n T
=> x e S v (x e S a x € T)
=> x e S a ( x e S v x e T )
=> x 6 S a ( x n S u T )
=> x e S n ( S u T )
c) Demostraremos que: S u (S n T) = S
En efecto: x e S u ( S n T ) « x s S v x e S n T
«=> x e S v ( x e S A x e T )
« x e S (pues: p v (p a q) = p)
Demuestre que, en general k u ( L n M ) = ( k u L ) n ( k u M )
Desarrollo
i) k u ( L n M ) c ( k u L ) n ( k u M)
I o x ek u( LnM) ,h ip ót es i s
2o x e k v x e L n M, 1° def. de unión
3o x e k v (x e L a x e M), 2° def. de intersección
introducción 5
4o (x e k v x e L) a (x e k v x e M), 3o propiedad lógica
5o x e k u L a x e k u M , 4Cdef. de unión
6o x e (k u L) n (k u M), 5o def. de intersección
T x e k u ( L n M ) =» x e ( k u L ) n ( k u M ) , r y 6&
8o k u ( L n M) c ( k u L ) n (k u M),7° y def. de contenido
ii) ( k u L ) n ( k u M ) c k u ( L n M )
I o x e ( k u L ) n ( k u M ) , hipótesis
2° x e k u L a x e k u M . l ° def. de intersección
3o (x e k v x e L) a ( x e k v x e M), 2o def. de unión
4o x e k v (x e L a x e M), 3o propiedad lógica
5° x e k v x e L n M, 4o def. de intersección
6o x e k u (L n M),5° def. de unión
T x e (k u L) n (k u M) => x e k u ( L n M ) , Io y 6o
8o (k u L) n ( k u M ) c k u ( L n M),7° y def. de contenido
k u (L n M) - (k u L ) n ( k u M ) de i) yii)
(ó ) Si A n B = <¡> y A n C = <|> ¿Es necesariamente cierto que B r. C = o?
Desarrollo
No es cierto, puesto que:
Es decir: A n B = <¡> a A n C = <¡> pero x e B n C => B n C * <|>

Si A / B y B / C ¿Es necesariamente cierto que A * C?
Desarrolio
No es cierto, puesto que
Es decir: A # B a B # C sin embargo A = C
Si A <2 B y B <z C ¿Es necesariamente cierto que A cz C?
Desarrollo
No es cierto, por ejemplo A = {1,3,5,7}, B = {1,2,3}, C = {1,3,5,7,8,9}
A <2 B, B cz C pero A c C
Si A c C y B c D ¿Se verifica necesariamente que A u B c C u D ?
Desarrollo
I o x € A u B, hipótesis
2° x e A a x e B, Io def. de unión
3o como A c C => x e A => x e C, def. de contenido
4o B c D x e B => x e D , def. de contenido
5° x s C v x e D, de 3o y 4o en 2°
6o x e C u D, 5o def. de unión
T x e A u B => x e C u D , Ioy 6o
8o A u B c C u D , 7o def. de contenido
por lo tanto se verifica que A u B c C u D
Eduardo Espinoza Ramas Introducción 1
Hy Si A c C y B c D ¿Se verifica necesariamente A n B c C u D ?
Desarrollo
I o x e A c C => (x e A => x e C), hipótesis
2o x € B c D ( x e B => x e D), hipótesis
y x e A n B , hipótesis
4o x e A a x € B. 3o def. de intersección
5o x e C a x e D, Io, 2o y 4o
6o x e C n D, 5odef. de intersección
T x e A n B => x e C r v D , 3o y 6o
8o x e A n B c C n D , 7°y def. de contenido
por lo tanto se verifica para A n B c C n D
@ Si S u T = {1,2,3,4}, S n T = {1,3}, S - T = { 2 } , determinar S y T
Desarrollo
S n T = {1,3} =>
le S a le T
3e 5 a 3 e r
S - T = {2} =*■ 2 e S a 2 í T
S = {1,2,3}, T = {1,3,4}
12) Si A n B í ( ( i y B n C í f ¿Es necesariamente cierto que A n B n C í <¡>?
Desarrollo
No es cierto puesto que si A = {1,2,3,4,5}, B = {1}, C ~ {2} se tiene que A n B n C ■
pero AnB*()i, A n C / é

Si U es un conjunto universal, determinar cuales de los siguientes enunciados y luego
efectué su conexión cambiando ei segundo miembro de la ecuación.
a) B u <¡)= B
d) B u U = U
g) B n B = ([)
j) (A - C) u C = A - C
m) (C -D ') = C '-D '
a) verdadera
d) verdadera
g) B n B = B
b) C n U = C
e) D n <¡>= <|>
h) C!uC = C
k) B n ( B - D ) = B u D
n) ( A u D ) - D = A - D
Desarrollo
b) verdadera
e) verdadera
h) verdadera
c) A kjA' = U
f) ArA' = A
i) (D')' = U
1) Si A = B' => B = A'
c) verdadera
f) A n A ' =(j>
i) (D ')'= D
j) (A - C) u C = A u Ck) B n (B - D) = B - D 1) verdadera
m) (C -D )' = C'uZ)n) verdadera
Si A = {e,f,g} y N = {e,h J determine
a) A -B b) B -A
Desarrollo
a)A - B = {e,f,g}- {e,h} = {f,g}
c) A n B = {e}
c) A n B d) A u B
b) B - A = {e,h} - {e,f,g} = (hj
d) A u B = {e,f,g} u {e,h} = {e,f,g,h)
Si R={w, x, y}, S = {u, v, w} y T = {u, v, w, x} y el conjunto universal de
U = {u,v,w,x,y,z}, Determine.
a) R ' n T ' n S '
Desarrollo
Introducción 9
R 'n T ' n S ' = {z]
b) ( R ' - T ) v S
R' = {u,v,z}
T' = {y,z)
S'^{x,y,z]
Desarrollo
R - S = {w,x,y}- {u,v,w} = {x,y}
( R - S ) n T = {x,y} n {u,v,w,x} = {x}
c) R ’~{u,v,z}
Desarrollo
R={w,x,y} => R'-{u,v,z]
R '- T = {m,v,z}-{k,v,w,z} = {z}
(S ’- r ) u S = {z}u{M, v, w} = {U,V, w, z}
d) ( R ' u s y
Desarrollo
(R'kjS')' = R''rS" = R riS = (w, x,y}n[u,v,w) = {w}
e) (S(j T ) - T '
S = {u,v, w,x]
T = {u,v, w}
Desarrollo
S u T = {x,u,v,w}
(S u T) - T ' = {x,u, v, w}- fx, y, z} = {u, v, M'}= T
( 5 u I ) - r = J
f) ( R - T ) - ( S - R )
Desarrollo

Eduardo Espinosa Ramos
R = [w,x,y]
=> R _T = {w,x,y} - {u,v,w,x} = {y}
1 = {U,V,W,X}
S = {u,v,w
=» S - R = {u,.v}
(R - T) - (S - R) = {y} —{u,v}= {y}
g) (S - R) - [(T - R) u (T - S)]
Desarrollo
T - R = {u,vw,x}- {w,x,y} = {u,v}
T - S = {u,v,w,x} - {u,v,w} = {x}
(T - R) u (T - S) = {u,v} u {x} = {u,v,x}
S ~ R = {u,v,w} - {w,x,y} = {u,v}
(S - R) - [(T - R) u (T - S)] = {u,v} - {u,v,x} = ó
h) ( T - R ) u S
Desarrollo
T - R = {u,v,w,x} - {w,x,y} = {u,v}
( T - R ) u S = {u,v} u {u,v,w} = {u,v,w} = S
Si A n B = <j> y A' - C ¿Se verifica necesariamente que B c C?
Desarrollo
No se cumple, puesto que si U = Z + y A = {x / x es par}, B = {:
entonces A' = C = [x!x es impar) por lo tanto B = C
RELACIONES Y FUNCIONES.-
R es una relación entre A yB <=> R c A x B
La función f de A en B denotado por f: A B
/ x es impar}
Introducción 11
Se define:f = {(x,y) e A x B / y = f(x)}, donde y = f(x)es la regla de correspondencia.
Df ~ {xe A! 3 y e B a (x,y)e /} , dominio de f
Rf 8 / 3 x e A a (x,y)e / } , rango de f
[*4.____ P R O B LEM AS.-
(T ) Para cada una de las siguientes relaciones, establezca el dominio y el contradominio e
indique si la relación es una función.
a) S = (1,3).(2,3),(2,4),(3,2),(4,1),(5.5)
Desarrollo
Calculando el dominio y el contradominio de D
D¡¡ = {1,2,3,4,5}, Rs = {1,2,3,4,5}
(2,3) e S a (2,4) e S = * 3 * 4
no es función, porque el elemento 2 del
dominio le corresponde dos valores
diferentes, pero para que sea función a cada
elemento de su dominio debe corresponderle
uno solo del contradominio.
b) A ={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3)}
Desarrollo
Calculando el dominio y el contradominio de A
Da ={1,2,3,4}, RA = {3}
Si es función porque cada elemento de su
dominio le corresponde un solo elemento del

c) 'T = {(x,y)/y = 4x +l, si 0< x< 2, y = .0-x2, si 2<o<3}
Y 1
Desarrollo
y = 4x + 1, 0 < x < 2, es un segmento de
recta.
y = 10 - x2, 2 < x < 3, es una porción de la
parábola
^ ¡ ^ X Dt = [0,3], Rr = fl,9]. Si T es una función
d) B = {(x, y ) / y 2 = x, y es un entero ¡y |< 8}
Desarrollo
Como | y | < 8 => -8 < y < 8 de donde
Rb ={0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8} y
Db ={0,1,4,9,16,25,36,49,64}
no es función, porque a cada elemento del
dominio le corresponde dos elementos del
rango.
Para cada una de las expresiones siguientes, determine si es una función el conjunto
{(x,y)} de pares ordenados de números reales formados de acuerdo con la regla dada.
Desarrollo
No es función porque la recta vertical corta a la
grafica en dos puntos diferentes, para que sea función
la recta vertical debe cortar en un solo punto.
introducción 13
b) y = x
Desarrollo
Si es función, porque la recta vertical corta a
la gráfica en un solo punto.
Desarrollo
No es función por ia recta vertical corta a la
gráfica en dos puntos, para que sea función la,
recta vertical debe cortar a la gráfica en un
solo punto.
Desarrollo
jr2 + y = l => x2 = - ( y - l )
Si es una función, porque la recta vertical
corta a la gráfica en un solo punto
e) x + y 2 =1
Desarrollo

x + y 2 = => y2 = - ( x - l )
no es una función, porque la recta vertical
corta a la gráfica en dos puntos diferentes.
f) x2 + y 2 = 1
Desarrollo
g) j’= .r2 +4
Desarrollo
y = x2 +4 => x2 = y - 4
Si es una función, porque la recta vertical,
corta a la gráfica en un solo punto.
ti) xy = 1
Desarrollo
Introducción 15
i)
x - l
j) y =
x2 - 6
Si es una función porque la recta vertical
corta a la gráfica en un solo pumo.
Desarrollo
x2+4 , 5
y —-----—= X+1+
x -1 X - l
si es una función, porque la recta vertical
corta a la gráfica es un solo punto.
Desarrollo
Se observa en el gráfico que si es una función
porque toda recta vertical corta la gráfica en
un solo punto.

k) jc= -
_1____
y 2 - y + 2
X=
r + 2
Desarrollo
No es una función, porque la recta vertical corta a la
gráfica en dos puntos diferentes.
Desarrollo
No es función, porque la recta vertical corta a la
gráfica en dos puntos diferentes.
a) f(0) b) f(-2) c) f(a)
Desarrollo
Como f(x ) = x3- x 2+6 => f(0) = 0 - 0 + 6 = 6
f(-2) = -8 - 4 + 6 = -6
/(a ) = a3- a 2+ 6
d) /(> ’ )
f ( y 2) = y6 ~ y 4 +6
Introducción 17
( 4) Si f(x ) = , obtenga:
X-~i
a) f(3) b) f(-l) c) f(x - 2)
Desarrollo
, 3x2 ~8 . 2 7 -8 19
f( x ) = ------ — => /(3) = -
x - l 3-1 2
3 -8 5
f { x - 2) =
- 1-1 2
3(x-2)2- 8 3*2 -12;r + 4
jc—2 —1 x - 3
a - b - 1
determine
a) f(-l) b) f(4) c) f ( a 2)
Desarrollo
/ ( 4 ) :
d) f(a - b)
d) f(x + 2)

Eduaido Espinoza Ramos
Si f ( y ) = 2 V+ y, determine
a) f(0) b) f(-l) c) f(5)
Desarrollo
f{y) = 2y + y => /(O) = 2° +0 = 1
y (—i ) = 2- 1- i = i - i =
2 2
/(5 ) = 25 + 5 = 32 + 5 = 37
/(>> + 6) = 2>”mS+ v + 6
Si f(x ) = 3 x - x 2, obtenga
a) f(D b) f(-2) c) f(a)
Desarrollo
f(x ) = 3 x - x 2 => f(l) = 3 - 1 = 2
f(-2) = -6 - 4 = -10
f(a) = 3 a - a 2
J 3 1 = 3fc-l
V A A2 h2
X
Si g(x) = ------, determine
x - 3
a> 8(0) b) g(3) c) * (-)
Desarrollo
x
d) f(y + 6)
d) g(x + 6)
Introducción 19
8 ( x ) - ~ ~ => í(0) = ~ r = 0
x - 3 0 -3
3 3
g(3) = ----- = - = oo
3 -3 0
* (-)
g(x+b) =
x+b
x +b - 3
Si h(x) = 4 x - x obtenga
a) h(2) - h(4) b) h{-).h{2) c) h(a + b )-h (c) d)
h(a)
Desarrollo
h(x) = 4 x - x 2 ==> n => b(2) - h(4) = 4 - 0 = 4
h{4) = 16-16 = 0
h(—) = 2 - —= — , , l w ... 7
2 4 4 =* fc(—)ii(2) = —.4 = 7
/j(2) = 8 - 4 = 4
j/i(a + ¿>)= 4(a + ¿>)-(a + fc)2
I/j(c) = 4c - c 2
h(a + b) - h(c) = (a + b)(4 - a - b) - c(4 -- c
fc(a) = 4a - a1 = a(4 - a)
1 ... 1 2 , a 2 1+ ü5(4 —a)3
+ (/i(a))'= — ---- - +a (4-a) = -
A(fl) a(4 -o ) fl(4-a)
(To) Establezca el dominio y el contradominio de cada una de las siguientes relaciones,
determinar también si cada relación es una función y de no ser así, explique porqué.

i) y = x2 +6
Desarrollo
2 »
y = x + 6 ; “y” es real si y solo si x € R, por lo tanto el dominio es V x e R
y = x 2+ 6 =» x2 = y - 6 => x = t ^ y - 6
“x” es real si y solo si y - 6 > 0 y > 6
por lo tanto el contradominio es [6,+=«>
>) y = 10x-5
Desarrollo
y = lOx - 5 es una función lineal, por lo tanto su dominio y el rango son todos los
números reales.
:) y= ^±^4-2x2
Desarrollo
“y” es real si y solo si 4 - 2x2 > 0 => x2 < 2 => -V 2 <x<y[Í
Luego el dominio es [-7 2 ,Í2]
y =±s¡4-2x2 ==> y 2 = 4 - 2 x 2 => 2x2 = - 4 - y 2
2 4 - y 2 ¡ 4 - y 2
x = ---- -— => x = ± J --------, entonces
2 V 2
4 —y' 7
“x” es real si ---- — >0 => y <4 => -2 S y < 2
2
Por lo tanto el contradominio es [-2,2]
No es función porque cada valor de x le corresponde dos valores diferentes.
Introducción 21
d) y = - ^ 4 - 2 x 2
Desarrollo
“y” es real si y solo si 4 -2 x 2 > 0 => x2 <2 => -^[2<x<y¡2
Luego su dominio es f—s/2, Í2]
2
como y < 0 => y2 = 4 - 2 x 2 => 2 = — => 4 - y 2 ¿ 0
y2 < 4 => -2< y< 2= > y e [-2,2]
por lo tanto el rango es <-°°,0] n [-2,2] = [-2,0]
además y = - v 4 - 2x2 es una función
e) y = y¡4- 2x~
Desarrollo
“y” es real si y solo si 4 - 2 x 2 >0 => x2 <2 => —j l <x<¡2
Luego el dominio es x e [-¡2,¡2]
Como y > 0 => y2 = 4 - 2x2 => x2 =
4 —v2 o
“x” es real si y solo si — ^— >0 => y <4 => -2 < y < 2
Luego el rango es y e [0,+=®> n [-2,2] = [0,2]
.además y = ¡4-2x2 es función
4 - y 4 - y 2

Eduardo Espinoza Kamos
Desarrollo
9 , . 1
V= -------- es reai si x ¿ —
' 10x-5 2
luego el dominio de la función es xe< > u <--,+«> >
2 2
9 1 10x-5 . . J 5y +9 , 5y + 9
y ---------- -•> —= ----------- de donde x = —-----. luego x = --------
IOjc—5 .y 9 lOy lOy
solo si y & 0 , luego el rango de la función es y e < -°°,0 > u <0,+<»>
, 25
g) y = ~ r
x
Desarrollo
y = “ , es real si y solo si x * 0
x
luego el dominio de la función es x e <-<*>,0> u <0,+°°>
25 o. i25 , ■ 25y - —T => x = ±.¡— es real si — >0
Luego el rango de la función es y e <0,+<»>
„2 t2+ 4
Si /(* ) = -Y ~ x y g(t) = - — , obtenga
a) f(7) - g(3) b)
/(3)
*(2) + l
Desarrollo
a)
t2+4
“ 3 T
g ( 0 -
/(7 ) = — - 7 = —
3 3
*(3) =
9 + 4 _ 13
3(3) ” 9
es real si y
Introducción 23
/( 7 ) - í( 3 ) =
28 13 84-13 71
3 9 9 "” 9
b)
f(x ) =— - x
3
g(t)-
t2 +4
~ 3t
f ( 3) = 3 -3 = 0
4 + 4 8 _ 4
<f~ 6 3
* ( 2) = -
/(3 ) 0 0
*(2) + l 4 + 1 7
3
x2 - l
Si q(x) = p(x) + g(x) y p(x) = —-— , g(x) = - y , obtenga q(2)
Desarrollo
^ 4 -7 7 -12 + 21 9 3
q(2)= p(2) +q(2) = ----------+ - = ------------------ = — = -
3 4 12 12 4
(l3) Si h(x) = x 2 y Q(x) - (jc 2 +1) 1, determine Q(h(x))
Desarrollo
Q(x) = (x2 +1)"1 => Q(h(x)) = (h2(x)+l)-1=(x3+ lT l - 3
x3+1
(l4) Si h(y) = ey y Q(x) = x2+4 , encuentre Q(h(y)).
Desarrollo
QMy))-.= Q(ey) ^ e 2>+4
flí) Si h(x) = x* +3x+6 v g(y) =—— , determine g(h(2)).
1+ y
Desarrollo

/i(2) = 23 +3(2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20
20 20
S(A(2)) = g(20) =
1+ 20 21
Si f(x ) = , g(x) = x2 y Q(x) = x>-1 0 , halle Q[f(-2) + g(2)]
a:
Desarrollo
/( * ) = “Tx =>
g(*) = X2 U (2) = 22 =4
G [/(-2) + g(2)] = G (-l + 4) = (2(3) = 33 -1 0 = 27-10 = 17
g(0 = r + 3 y Q{t) = t~x, determine Q(g(t))
Desarrollo
GÍSÍO) = Q(t2+ 3) = (t2+ 3)-‘ = -
r +3
Si f(t) =t3+a y g(x) = x~3, obtenga g(f(t))
Desarrollo
g(/(f)) = g(r3 +a) = (í3 +a) 3 =
(í3+a)3
Si f(t) = e'+2, h(t) = eh2‘ y g(y) = / ‘ encuentre
Desarrollo
8(f(t)) _ g(e'+2) _ (e'+2)h _ e,+2 h> 2 = 2hr
h{t) h(t) e»2' e'
Introducción 25
(20) Si &(.*) = —ln.r y g(x) = e2x, obtenga h(g(10))
^ 5
Desarrollo
g(x) = e2x =* g(10) = e20
/i(«(10)) = /i(c20) = |l n e 20=~ln(e).20 = 16 h(g(10)) = 16
[5. FUNCIONES INVERSAS.-
A la inversa de la función f(x) denotaremos por / “*(x).
La función f(x) tiene inversa f ~ l(a) si f(x) es inyectiva.
La función inversa f ~ l(x) se calcula mediante la ecuación.
V x e Df ,
16- PROBLEMAS.-
(T ) Para cada una de las siguientes expresiones, determine si la relación inversa es una
función; si no es así, modifique el dominio de la función dada, de modo que su inversa
sea una función.
a) {(a , y )/ y = Je2 +1}
Desarrollo
Como y = x2+1, de donde x = ± J l - y , esta relación no es una función, luego
para que la inversa de esta relación sea función debe ocurrir que x > 0, por lo tanto
x = <J - y es una función y es dado por f ~ x(x) - -Ji-x
b) {(x,y)l y = 4 - x 2}
Desarrollo

( 'orno y = 4 - x2 => x2 = 4 - y => x = ±y¡4- y , esta relación no es una función,
por lo tanto para que esta relación inversa sea función debe cumplir que x > 0
/ _1W = V 4 -x
c) [(w,z)l z = yjl-w 2}
Desarrollo
Como z = y]l-w2 , z > 0 => z2 = l - w 2 , de donde
w2 = i - z 2 =¡> W= ± J 7 :~ 2
función 0 < w < 1.
z esta relación no es función por lo tanto para que se
r z ) = J
d) {(u,v) / v —| u |}
Desarrollo
Graficando la relación y de su inversa
Luego para que sea función u > 0
Para cada una de las funciones, obtenga la función inversa / - 1(x) y demuestre que
/(/"* (* )) = /■*(/(*))=■*
a) f(x) = 3x + 2
Desarrollo
/ ( / '(•*)) = 3/ _1(jc) + 2 => / “»(,)
Introducción 27
r x( /( = r l( 3 x + 2 ) = = x
b) /(x ) X
x - 4
Desarrollo
r-1/
/ ( / ~ 1(x))= = * => r x ) = x f - x ) - 4 x
r w - 4
(x -1 )/ '(x) = 4x, de donde f~' (x) =
x - l
4x 4x
I 4x y_1 r —1 4x
A - ] x - l
x —2
c) /(* ) =
jjc+ 2
Desarrollo
/ ( / 1(*)) = - ,(x) 2 = * => / 1(*)- 2 - xf 1(x) + 2x
f (x)+2
, i 2x + 2
(1—x)f (x) = 2x + 2 . de donde / (•*) = --------
1- x
2x + 2 2 2x + 2 - 2 + 2x
f( / - 1(x)) = /•(— —) = ------= ------- — ------= — :J U W ) Ji ) 2x +2 2x+2 +2 - 2 x 4
--------+ 2 -------------------
1- x 1- x
x+3
d) /(x ) =

Desarrollo
/(/" '( * ) ) = "■■(.*) + 3 = x => y -1(JC)+3 = jc'/ -1(JC)
/ - '( x)
, - 1, v 3( x - l) / (x) = 3, de donde / (x):
jc-1
3 3+ 3x-3
/< /" ' (*)) = f ( ~ ) = = — = X
JC—1 _3^ 3 3
x -1 x -1
Determine f(g(x» y g(f(x» en cada uno de los siguientes casos:
a) f( x ) = - i - y g(x) = *
Jc-l x2 - l
Desarrollo
/(*(*)) = =---- Y -----= - X2 -1
« W - l x x2- x 2 +l
x2 - l
g ( / ( t ) ) _ r ( x ) (x-1)2 _ (x - i)2 _ ( x - i )
/ (JC)-1 111-(X -1)22 x - x
( x - D 2
b) / ( x ) = — y g(x) =- 4 —
4 —x x —4
Desarrollo
x
/(*(*)) = ^ ~ 4 = — -------------------- = — —
4 -# (x ) 4 _ _ f _ -16 + 4 x - x 3x-16
x - 4
Introducción 29
*(/(jc)) = __ZÍ£L = 4,- x .. = ____*____= _ J L _
/( x ) - 4 _ x __ ^ x -1 6 + 4x 5x-16
4 - x
c) f ( x ) = g(x) = ^
x - l
Desarrollo
/(g W ) „ £ Í í i Ü = ¡ 3 Ü . i í H i J . ,
í(*)-l í +1 „ 1 Jc+l-x + l 2
x - l
x + 1
r , frrVl _ /(* ) + ! _ 7 -1 + _ x +l +x - l _ 2x _
f i x ) - 1 X+1 t JC+ 1-JC+1 2
x - l
d) / ( x) - V Í = Í . #(*) = —^
x+1
Desarrollo
*(/(*)) =
c+ 1
1 1 y f x - í - l
f(x) +1 >/x—1 + 1 x - 2
( 4) Si /(x ) = ~ “ ~ > hallar los valores de a y b de modo que f sea su propia inversa, es
decir f(f(x)) = x
Desarrollo
f ( f (x)) =-= x , entonces se tiene:
fc /(x )-l

a.t + 1
a —— + ^ ^ ^ g(ax +¥)+b x - l = ^
b x -
b{ax+)-bx +
a x +a +b x - l = x(abx +b - b x +l) => (ab-b)x"+(b + - a -b )x +l - a = 0
(ab - b)x2+ ( l - a 2)x +l - a = 0 , por identidad se tiene:
a b - b - 0
i - a 2 = 1 de donde
1- a = 0
a = 1
b = 0
- 1 v
Si g(h) = h.eh y F(—) = —-— , obtenga
> y +1
a) g(F(t))
Desarrollo
b) F(g(t»
a) g(F(t)) = F(t).en,) como F(t) =- ±
1
g(F(t)) = J+r
t2 + 1
g t ) 1 1
_ J L + i i + s 2w 2 }
g 2(t) 1 + te ‘
) Si f(x) = x(x + 1) demuestre que f(x + h) - f(x) = h(2x + 1 + h)
Desarrollo
f ( x + h ) - f ( x ) = (jc + /i)(jk + /i + 1 )-jc (jc + 1) = x 2 +xh + x + xh + h2 + h - x 2 - x
= 2xh +h2 +h = h(2x +l +h)
Introducción
3*1
Cz) Si / ( a ) = 1 , demuestre que f ( x +h ) - f ( x) - ~ d l
x2+hx
f ( x +h ) - f ( x ) =
Desarrollo
i ___x - x - h h
x +h X x(x +h) ~x2 +hx
Alla ^© S. g(y) _ _ i _ , demuestre que ~ ( g ( y ) + g(_ y)) = g(y2)
Desarrollo
T (g W + ^(-y)) = - r - ^ . + -ZjL1- l [3' + y2 - y + y 2 f
1 ^ 0 J2 ' d w " 2 ll - 3; l + j J “ 2 l l - ^
••• ¿(sOO+ *(-? )) = ¿(y2)
0 Si F(z) = log(z) demuestre que F(xy) = F(x) + F(y)
Desarrollo
F(xy) = log(xy) = log x + log y = F(x) + F(y)
© Si 4>(R) = 2r , Demuestre que <}>(R+ 1) = 2 (¡>(R)
Desarrollo
HR) = 2* ^ H R +) = 2R+' =2.2« =Kt>{R)
0 ■) Si P(x) = 7 1 , Demuestre que: P(x +h)~P(x) = h
'Jx +h +y/x
Desarrollo
= g( y2)
F(xy) = F(x) + F(y)
<t>(R+ 1) = 2 <()(R)

P(x +h)-P(x)= k
fx +h+ fx
Si f(x) = x2 -1 y g(x) = 2x + 1, Demuestre que f(g(x)) = 4x(x + 1)
Desarrollo
/(*(*)) = f(2 x +1) = (2x + 1)2 -1 = 4x2 + 4 x + l- l= 4x(x +1)
f(g(x)) = 4 x( x+ 1)
Si f(x ) =—— , demuestre que f(x) + f(~x) = 2f ( - x 2)
1+ x
Desarrollo
/ « + /< -*) = = ^ = 2f(_x2)
l +x l - x l - x 2 1 - x 2
f ( x ) + f ( - x ) = 2 f ( - x 2)
Si g(y) = y 2 y h(y) =—^— , Demuestre que h(y2) =
l - y l -g ( y )
Desarrollo
2
' ~ yl - / .( y V *<»
g(y) _ y2 l -g ( y )
l-g (y ) l - y
2 3
Si Q(x) = ln x y f(x) = x 2 , Demuestre que Q(f(x)) = —Q(x)
Desarrollo
3
Q(f(x)) = H f ( x ) ) = ln(x2) = ~ ln x = l Q ( x) G(/(jc)) = |q (jc )
Introducción 33
l(>) Si f( x ) = x", Demuestre que: f(x - h) - f(x) = f(h) - 2hx
Desarrollo
f ( x - h ) - f { x ) = ( x - h ) 2- x 2 = x2 ~2hx+h2 - x 2 = h2 -2hx = f (h)-2hx
f ( x - h ) - f ( x ) = m - 2 h x
I I I
(¡7)Si h(x) = x3, g(x) = (x9 +x6)2 , Q(x) = ,r(x + l)2 . Demuestre que: g(h(x)) = Q(x)
Desarrollo
I I I
g(/i(jt)) = (/i9(A-)+ /i6(;r))2 = (*3 +jc2)2 = ;c(je+ 1)2 = Q(x) ••• g(h(x)) = Q(x)
18)Si / (y) = —-— y g(>’) = 7-Lj- , Demuestre que f ( y ) - g ( y ) = 2 /(y )
■ s l - y 1+ y
Desarrollo
/ w - 8 ^ - y ? -
l - y 1+ y l - y - l - y
••• f ( y ) - g ( y ) = 2 f ( y 2)
1 v2 jf(.y) 1
19) Si f ( y ) = -------• y g(y) = -J~^;, Demuestre que: f ( y ) +g(y)+-—-- = ——
1+ y- 1+ y- / (y ) /(y)
Desarrollo
y2
p(y) 1 y2 1+ y^ 1+ y2 2 -i 2 1 1
/0 ')+ á ? (j0 + 4 r r = -— t + t 2Lt + - t - = — 2 T + y 2 = i+ y
••• /(y )+ s (y )+
f( y ) 1+ y2 1+ y2 __i 1+ y2 ’ 1/(y )
s(y) i
1+ y2 1+ y2
/(y ) /(y )

Si /(Jt) = í i | , y Kx) =y—^ •Demuestre que: /(*(*)) = - ~ ~ t
x —2 JC l + x Kn(x>)
Desarrollo
1+ -V2 '
,, , _ g(-*) + 2 _ jc + 2 _ x2 + 2x + l_ (x + l)~ _ 1...............__
f 8 g(x ) - 2 l +x2 . *2 - 2;c+ l (jc-1)2 (£ z !)2 /i2W
— " 2 l * + l '
1 2
Si f(x) = x - 1 v g(x) = ----- . Demuestre que f ( x )g(x) = / ( x)
x+l
Desarrollo
/(jt2)* 0 0 = (jt2 -l)(— ) = x - l = /(* ) . f ( x 2)g(x) = f(x)
x+
Si / ( y) = - ^ - , g(y) = — —. Demuestre que f(y)g(y) = / ( - y 2)
1 + y l - y
Desarrollo
n y ) g ( y ) = ~ ( ^ ) = ^ ~ r = n - y 2 ) / ( ? ) * ( ? ) = / ( - y 2)
l + y 1- y l + (-y ¿)
Representación Gráfica 35
CAPITULO I
11 REPRESENTACIÓN GRÁFICA.-
11.1. LA RECTA.-
m = pendiente de la recta
m = tgd = —— —
x 2 ~ x i
1.2. LINEAS PARALELAS Y PERPENDICIJLARES.-
1.3. ECUACION GENERAL DE LA RECTA.-
L: Ax + By + C = 0

Eduardo Espinoza Kamos
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.
L: y ~ yi = y2 >!| ( x - x x)
x2 -x,
ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PUNTO
PENDIENTE.-
L- y - y 0 =m( x - x 0)
ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE
INTERSECCIÓN.-
L: y = mx + b
ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA - INTERSECCIÓN.-
FAMILIA DE RECTAS.-
A) RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCION DE DOS RECTAS
DADAS.-
L, : Axx +Bxy +Cx =0
¿2 : A¿x+B2y +C2 =0
L: x + B xy +C{+k(A1x+B2y +C2) = Q
L: (A¡ +kA2)x +(Bl +B2k)y+C]+kC2 = 0
l<f¡>rcsentación Gráfica 37
PROBLEMAS.-
(T) a) ¿.Cuales de los siguientes puntos quedan en la recta cuya ecuación es 3x+4y- 10 = 0?
i) (1,2) ü) (-2,4) iii) (10,-5) iv) (-25,21) v) (0,0)
Desarrollo
i) Si (1,2) e L: 3x + 4y- 10 = 0 => 3 + 8 - 1 0 = 1 * 0 => (1,2) <£ L
ii) Si (-2,4) 6 L: 3x + 4 y - 10 = 0 =» - 6 + 1 6 - 1 0 = 0 => (-2,4) e L
iii) Si (10,-5) e L: 3x + 4 y - 10 = 0 => 3 0 - 2 0 - 10 = 0 => (10,-5)e L
iv) Si (-25,21) e L: 3x + 4y - 10 = 0 => -75 + 84 - 10 = -1 * 0 =>(-25,21) g L
v) Si (0,0) e L : 3x + 4y - 10 = 0 => 3(0) + 4(0) - 10 = -10 * 0 => (0,0) e L
b) Trazar la recta indicando cuales de los puntos dados quedan sobre ella
Desarrollo
© Para cada una de las ecuaciones siguientes realice lo que se indica.
i) Graficarla usando las intersecciones.
ii) Expresarla en la forana de pendiente e intercepción.
iii) Expresaría en la forma con intersecciones, esta forma es inadecuada para cada una
de las ecuaciones ¿Cual es y porquE?
a) y - 3 x = 12
Desarrollo

i)
x y
0 12
-4 0
ii) La forma pendiente e intersección con el eje Y es: L: y = mx + b como
y - 3x = 12, entonces y = 3x + 12
X y
iii) La forma con intersecciones es: L: —+—= 1
a b
x y
como y - 3x = 12 => 3 x - y = -12, de donde L : -----H— = 1
-4 12
b) 2y + 3x + 2 = 0
Desarrollo
Y
X y 2y + 3x + 2 = 0
0 -i
2 0 0
~3 2 X
3 -1

ii) La forma pendiente e intersección L: y = mx + b
como 2y + 3x + 2 = 0, entonces L : y = ——jc—1
x y
iii) La forma con intersecciones es: L: —+ —= 1
a b
luprcsentación Gráfica 39
x y
como 2y + 3x + 2 = 0 entonces L : ——+ — = 1
3 2 _l
c) 5x - y = 10
i)
X y
0 -10
2 0
Desarrollo
ii) Expresaremos en la forma L: y = mx + b
como 5x--y=10 entonces L: y = 5 x - 1 0
x y
iii) Expresaremos en la forma L : —+ —= 1
a b
x y
como 5x- y = 10, entonces y = 5 x - 1 0 => L: —h— - l
* 3 2 10
d) x - 3y = 0
X y
0 0
3 i
Desarrollo

li) Expresaremos en la forma L: y = mx + b
como x - 3y = 0 => y = - x + 0
¡ii) Expresaremos en la forma. L : —+ ~ = l no se puede expresar en dicha
x y
forma, porque: L : —+ — = 0 * 1
a) ¿Cuales de los siguientes puntos quedan en la recta x - 5y + 4 = 0?
i) (0,0) ¡i) (4,0) ni) (1,1)
iv) (3,2) v, (OÍ) *¡) (-1.5)
Desarrollo
(0,0) í L: x - 5y + 4 = 0, porque 0 + 4 * 0
(4.0) e L: x - 5y + 4 = 0,porque 4 - 0 + 4 * 0
(1.1) e L: x - 5y + 4 = 0, porque 1- 5 + 4 = 0
(0 ,-) e L: x - 5y + 4 = 0, porque 0 -5 (~ ) + 4 = 0
5 **
(-1,5) í L: x - 5 y + 4 = 0, porque -1-5(5)+ 4 * 0
b) Trace la recta indicando cuales de los puntos anteriores quedan sobre ella.
Y'1
1 — L: x-5y+4=0
i I
Kc¡>resentación Gráfica 41
Para cada uno de ios siguientes pares de puntos realice lo que se pide:
i) Obtener la pendiente de la recta que pasa por ellos.
ii) Encontrar la ecuación empleando pendiente.
iii) Determinar la ecuación sin usar la pendiente.
iv) Trazar la recta
a) (0,0) y (6,3)
Desarrollo
i, m = h z 2 ¡ . . M . 2 . I
x2 - x x 6 - 0 6 2
ii) L : y - >’0 = m(x - x 0) reemplazando se tiene:
1 x
L: y - 0 = —(x-0) entonces L: y = —
2 2
iii) L: y - y (¡ = —— — (x-jcq) reemplazando se tiene:
¿ i - *
3 -0 x
L: y - 0 =------U -0 ) =* L: y =-
■ 6 - 0 2
iv)
b) ( j . 0 ) y (0, f )
Desarrollo

i) m ■■
—o
15
ii) L : y - >i0 = m(x - x 0) , reemplazando se tiene:
5 3 ^ 5
L: y — = — (jc-0) =* L: y = - - . r + -
2 4 4 2
iii) í-: y - y0 = ——— (x - jc0), reemplazando se tiene:
5 3 3 5
L : y — = — ( x - 0) entonces L: y ~ — jc+-
2 4
iv)
C) (-7,4) y (8,4)
Desarrollo
4 2
i) m = = = o => m = 0
8 - (—7) 15
ii) L : y - y0 = m(x ~x()) , reemplazando se tiene:
L: y - 0 = 0(x - 8) entonces L: y = 4
iii) L : y - y 0 =——— (x - x0), al reemplazar se tiene:
xi-xo
L: y - 4 = 0(x-8) entonces L: y = 4
Kt presentación Gráfica 43
iv)
Y
4
•^r‘
ii
>.
0 X
d) (3,-2) y (3,5)
Desarrollo
0 ,„ = 2 i z í = _5j ± ? ) , Z = „ =» m = _
3 - 3 0
ii) L : y - >'0 = m(x - .t0), al reemplazar se tiene:
v + 2
L: y + 2 = °°(x - 3) => L : —-----= «> entonces L: x - 3 = 0
x -3
e) (-1,-2) y (4,1)
Desarrollo
ii) L : y - y0 = m ( x -x 0) , al reemplazar se tiene: y + 2 = —(*-4 )

iv)
f) (-2,-3) y (-5,-6)
Eduardo Espinoza Ramo
Desarrollo
^-■*0 ~5 ~(-2) -3
ii) L: y - y 0 = mix - x0), al reemplazar se tiene:
L: y + 3 = l ( x + 2) => L : x + y = l
iv)
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la que pasa
por los puntos (-1,-3) y (3,7).
Desarrollo
Sea L: y+2 = m(x - 3) la recta pedida y L¡ la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7)
lUpresentación Gráfica 45
7 - (-3) 10 5 5
Luego m, = -- = — = — => m, =—
1 3—(—1) 4 2 ' 2
r , r , 1 2Como L 1 Z 1 entonces m.ml =~ 1 => m = ----- = —
/«, 5
Luego: L : y - y0 = m(x - ^ ) al reemplazar sus dalos se tiene.
2
L: y +2 = - —(x -3 ) entonces L: 2x + 5y + 4 = 0
(Vy Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,3) y es paralela a la que pasa
por los puntos (0,-3) y (6,1).
Desarrollo
Sea L la recta pedida que pasa por el punto (4,3) es decir: L: y - 3 = m(x - 4) ... (1)
Y L[ la recta que pasa por los puntos (0,-3) y (6,1)
. . 1- (—3) 422
donde tru = -----------= —= — . . w, = —
n 6 - 0 6 3 1 3
2
Como I¡ IIL entonces my= ni de donde m = — que reemplazando en (1) se tiene:
2
L : y - 3 = —(x - 4), efectuando se obtiene L: 2x •3y + 1 = 0
( 7) Establezca la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,15) y es paralela a y = x +25
¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene dicha
recta con la que pasa por los puntos (6,0) y (-2,8)?
Desarrollo
Sea L la recta pedida que pasa por el punto (5,15) es decir: L: y —15 —m(x - 5) ...(1)
Sea I, : y = x +25 donde m, = 1
como L//Lj entonces m -- m{ -1 de donde m = l

reemplazando el valor de m = 1 en la ecuación (1)
L: y - 15 = l(x - 5) L : x - y + 1 0 = 0
Y sea la recta que pasa por los puntos (6,0) y (-2,8)
de donde n u = ——— = -1 m, = - l
n - 2 - 6
Luego L¿ : y ~ y 0 = m2( x - x0) de donde se tiene:
¿2 : y - 0 = - 1(jc-6) L¿: x + y - 6 = 0
como m = l y ;n2 = - l entonces m.rr^ = -1 esto quiere decir que L -L L , luego L y
¿2 son rectas perpendiculares.
Establezca la ecuación de la recta con intersección (0,-3) en el eje Y, que es perpendicular
a la que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,5).
Desarrollo
Sea L la recta pedida que intersecta al eje Y en (0,-3) es decir: L: y + 3 = m(x - 0)... (1)
5—(—1) _ 6 _ 3
2 -(-2 ) 4 2 ’
Y sea L, la recta que pasa por los puntos (-2,-1) y (2,5) de donde n =
3
la ecuación de L, es dado por: Z1 : y - 5 = —(*-2) efectuando L ,: 3 x -2 y + 4 = 0
3 2
como L L L , entonces m.m¡ = -1 de donde —m = ~l entonces m = ~— que
1 1 2 ' 3
2
reemplazando en (1) se obtiene: L: y +3 =- —x L: 2x + 3y + 9 = 0
Obtenga la ecuación de la recta que es paralela a la que pasa por los puntos (5,6) y (7,8) y
que pasa también por el punto de intersección de una recta o pendiente -2 y que pasa por
el punto (-4,-6) con otra que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (2,2).
Desarrollo
g_ A 9
Si L¡ es la recta que pasa por los puntos (5,6) y (7.8) entonces m, --------= —= 1, de
7 -5 2
Ly : a :-y + 1= 0donde la ecuación de la recta es: L¡ : y - 6 = l(x-5)
Sea Lj la recta que pasa por el punto (-4,-6) con pendiente -2 cuya ecuación es:
¿2 : y + 6 = -2(jc + 4)
Sea £3 la recta que pasa por el punto (2,2) y de pendiente 3 cuya ecuación es
¿3 : >’- 2 = 3(.v-2) /.j : 3x~ y - 4 = 0
Sea L la recta pedida de tal manera que: LHL, y que pasa por la intersección de 1^ y
¿3 aplicando el criterio de familia de rectas: L : L, +kL¡ - 0
L: 2x + y + 14 + k(3x - y - 4) = 0 de donde se tiene:
L: (3k + 2)x + (1 - k)y + 14 - 4k = 0
3k +2 3k +2
...(1)
m = ■
l - k k - 1
, además : x - y +1= 0 de donde w, = 1
como LII entonces m ~ m¡ por lo tanto
reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
3k +2 , u - , , 3--------= 1 obteniéndose k - — , que
fc-1 2
L: (- —+ 2)j: + (l+^-)y + 14+ 4(~) = 0 , efectuando L: x - y - 8 = 0
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,1) y es perpendicular a la
recta cuya pendiente es y que pasa por el punto (5,2).
Desarrollo
Sea L la recta pedida que pasa por el punto (—1,1) es decir: L: y - 1 = m(x + 1) ... (1)
Si L, es la recta de pendiente - - y pasa por el punto (5,2) cuya ecuación es:

í, : y - 2 = ~ ~ U -5 ) I , : x+ 4 y -1 3 = 0
1
como LXL, entonces m1.m = - l de donde ~—m =~ 1 entonces m = 4, que
reemplazando en la ecuación (1) se obtiene:
L: y - 1 = 4(x + 1) por lo tanto L: 3 x - y + 5 - 0
|"b) RECTAS PARALELAS, PERPENÜICIJÍ ARES E INTERSECCIONES.-
PROBLEMAS.-
¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta
y - 2x - 4 = 0 con cada una de las siguientes?
a) y - x - 2 = 0
Desarrollo
fL, : 2*-;y + 4 = 0 n = 2
Sean < entonces <
[L2 : x - y + 2 = 0
Como mi ^ m 2 y ,m2 * - 1 entonces las rectas se intersectan
b) 4 y - 8 x - 1 6 = 0
Desarrollo
ÍL¡ : 2j c-j + 4 = 0 ¡nu =2
Sean < entonces 1
[¿2 : 8a: - 4 v+ 16 = 0 ~ 2
además L, : 2jc-y + 4 = 0 y : 8jc- 4 v+ 16 = 0
de donde L¡ : 8 x -4 y + 16 = 0 entonces las rectas L, y L2 son rectas coincidentes,
c) 5y - lOx +12 = 0
Desarrollo
í¿1:2 ;t-> ' + 4 = 0 fm¡ = 2
Sean < entonces 1
[Lj : 10*-5;y-12 = 0 [« 2 = 2
como m] =m2 entonces L, II es decir que las rectas L, y son paralelas
d) y - 3 x - 4 = 0
Desarrollo
¡¿¡ : 2at-> í+ 4 = 0 ím, = 2
Sean <¡ _ _ entonces -i
^2 = 3¿ 2 : 3.v-;y + 4 = 0
como ml ^ m 2 y m¡,m2 * -1 entonces las rectas Z., y L, se intersectan.
e) 2y + x - 6 = 0
Desarrollo
í¿, : 2jc-;y + 4 = 0
Sean •{ de donde
¿2 : jc+ 2 ) '- 6 = 0
= 2
m, = —
2
Como m¡.m2 = 2 (-—) = - l entonces Z1 i. L, (perpendiculares)
( 2) ¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta
2x - 5y + 6 = O, con cada una de las siguientes rectas?
a) l5x + 6y + 9 = 0
Desarrollo
ÍL¡: 2*-5;y + 6 = 0
Sean { entonces
/7 : l5x + 6>+9 = 0
m, =•
«2
2 5
como = (—)(— )= -! entonces ± ¿ 2 (perpendiculares)
5 2
b) lOx + 4y + 5 = O
Desarrollo
í£ ¡: 2jc-5y + 6 = O
Sean { ' entonces
I 2 : IOjc+4)»+5 = 0
nu

como m,.m2 = (—)(-^-) = -1 entonces L¡ ± (perpendiculares)
c) 4 x - lOy + 12 = 0
Desarrollo
2
m, = — - -
Al simplificar la ecuación I 2 : 2 x -5 > ’+ 6 = 0 se observar que L¡ y son
coincidentes.
d) 4x - 8y + 3 = 0
Desarrollo
2
5
2
Como m y mi ^ m 2 entonces i, y L, se intersectan
e) 12x-9y + 2 = 0
Desarrollo
2
5
4
3
Como mx* m2 y m ,.^ * -1 entonces L¡ y se intersectan
f) 2x - 5y + 2 = 0
Desarrollo
ÍI, : 2x-5.y + 6 = 0
Sean < entonces
[¿2 : 12jc-9y + 2 = 0
fZ-j : 2 x -5 y + 6 = 0
Sean ^ ' entonces
[¿2 : 4x-8>' + 3 = 0
ÍL, : 2x-5)' + 6 = 0
Sean { entonces
{¿2 : 4.v-10;y + 12 = 0
í L¡ : 2 x -5 > ,+ 6 = 0
Sean { entonces
1¿2 : 2 x - 5 y + 2 = 0
nu - —
1 5
2
como m, = m, entonces L, H (son paralelas)
(3 ) ¿Qué relación (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia o intersección) tiene la recta
3x + 4y - 2 = 0, con cada una de las siguientes rectas?
a) 15x + 20y - 10 = 0
Desarrollo
Sean
ÍL ,: 3x + 4 y - 2 = 0
¡L¿ : 15a: + 20> - 10--0
entonces
nu = —
4
como mí =m2 y además L ,: 3jc+4y-2 = 0, L , : 3x + Ay - 2 - 0 entonces las
rectas /.j y L, son coincidentes.
b) 8x - 6y + 5 = 0
Desarrollo
L : 3 x + 4 v - 2 =0
Sean < entonces
[¿2 : 8x - 6y + 5 = 0 8 4
nii = —= —
6 3
3 4
como= ( - —)(—) = -1 entonces lA .L L, (perpendiculares)
c) 9x + 12y + 7 = 0
Desarrollo
ÍL : 3x + 4 j - 2 = 0
Sean ■; entonces
L j: 9x + 12y + 7 =0
m
nu
12
como m¡ = í«2 entonces L^HL¿ son paralelas

Eduardo Espinoza Ramo
il) u I y - 4 = 0
Desarrollo
L : 3x +4 y - 2 = 0
Scan < entonces
[¿2 : 3 x + y -4 = 0
m, = —
m2 = —3
conio m15*m2 y ml.m2 * - 1, entonces L y L, se intersectan.
e) 6x-15y + 8 = 0
Desarrollo
L : 3x + 4 y -2 = 0
Sean ^ entonces
I, : 6x-15y + 8 = 0
3
in, = —-
nb —-
6 _ 2
-15 ~ 5
como m ^ n h y W|.m, * —1, entonces las rectas L, y Z^¡ se intersectan.
f) 2x + y - 6 = 0
Desarrollo
ÍL : 3x + 4 y - 2 = 0
Sean < entonces
[¿2 : 2x + j - 6 = 0
" * = - 4
n h = - 2
como Wj //Wj y mt.m2 * -1 => L, y Lj se intersectan
Determine si cada una de los siguientes pares de ecuaciones son:
a) Independientes o dependientes. b) Compatibles o incompatibles.
i) 2x - 6y + 5 = 0 y 3x - 8y + 3 = 0
Desarrollo
a) —* — * - => las rectas son independientes.
3 - 8 3
2 6
b) como —* — , las rectas son compatibles e independientes.
3 ■ 8
Mrprasentación Gráfica 53
ii) x 5y - 2 = 0 y x + 5y - 5 = 0
Desarrollo
1 5 -2
a) Como - = sonrectas independientes
1 5 -2
b) Como j = —z — son rectas incompatibles.
iii) 3x - 9y+12 = 0 y x - 3y + 4 = 0
Desarrollo
, _ 3 -9 12 J
a) Como - = — son rectas dependientes.
_ 3 -9 12
o) Como - = — = — son rectas compatibles.
1 - 3 4
iv) 5x - 4y - 6 = 0 y 4x - 5y + 6 = 0
Desarrollo
5 - 4 - 6
a) —*■— — son rectas independientes
4 —5 6
5 -4
b) como —* — son compatiblese independientes.
Con referencia a los pares de ecuaciones del problema (4).
a) Determine que pares de ecuaciones tienen soluciones simultaneas y obtenga dicha
solución.
b) Graficar los pares de ecuaciones,
i) 2x - 6y + 5 = 0 y 3x - 8y + 3 = 0
Desarrollo

(2 x -6 y +5 = 0
a) { despejando v:
[3jï-8y + 3 = 0
y =
y
2x+5_____
3jc -+-3
igualando: — '•—- de donde 16x + 40 = 18x + 18 entonces2x = 22
x = l l , y - ~ - Luego P (ll,^)
b)
ii) x + 5y - 2 = 0 y x + 5y - 5 = 0
Desarrollo
Como las rectas x + 5 y - 2 = 0; x + 5y - 5 = 0 son paralelas, no tiene solución
simultanea.
iii) 3x - 9y + 12 = 0 y x - 3 y + 4 = 0
Desarrollo
3x-9;y + 12 = 0 [jc- 3 v+ 4 = 0
de donde
jc-3y + 4 = 0 x - 3 y + 4 = 0
como las ecuaciones son coincidentes, entonces la solución es toda la rect.i
x - 3 y + 4 = 0
( í ) Si las dos ecuaciones son compatibles e independientes ¿necesariamente tienen solución
simultanea única?
Desarrollo
Si dos rectas son compatibles e independientes, quiere decir que dichas rectas no son
paralelas ni coincidentes por lo tanto sé intersectan en un punto, es decir tiene solución
simultanea única.
® Si dos son compatibles y dependientes ¿necesariamente tiene solución simultáneamente?
De ser así ¿estas es única?
Desarrollo
Si dos rectas son compatibles y dependientes quiere decir: que son rectas coincidentes por
lo tanto si tiene solución simultanea pero no es única.
¿Puede ser las rectas de un par incompatibles y dependientes?
Desarrollo
No puede ser un par de rectas incompatibles y dependientes por las rectas incompatibles
son paralelas no tiene solución simultáneamente y las dependientes son rectas
coincidentes y tiene infinitas soluciones.
( ! ) Si dos rectas representan rectas perpendiculares ¿son compatibles dichas ecuaciones?
¿son independientes?
Desarrollo
Si son compatibles puesto que si son perpendiculares tiene un punto de intersección.
Si son independientes porque no son paralelas.
Representa la familia de rectas paralelas al eje X y exprese la ecuación correspondientes,
trace el elemento de esta familia que pasa por el punto (10,-6)
Desarrollo
La ecuación que representa a esta familia de rectas es: y = k, k e R

Represente la familia de las rectas que pasan por el punto (-1,6) y exprese la ecuación
correspondiente a esta especificación. Trace el elemento de esta familia que es paralela a
la recta y + 6x - 5 = 0 y escriba la ecuación de esta línea.
Desarrollo
Sea L: 6x + y - 5 = 0 de donde m = -6
Como L^/l L entonces m¡ = m —-6 de donde w, = —6
La ecuación de la recta Z1 que pasa por (-1,6) es:
Yi
I, : y —6 = —6( ^ r 1) donde Ly : 6x+y = 0
Además la familia de rectas que pasa por el
punto (-1,6) es: y - 6 = m (x+l )
y = mx + m + 6
Grafique la familia de rectas perpendiculares a la línea recta 2x - 5y - 10 = 0 y exprese
la ecuación correspondiente a esta especificación, trace el elemento de dicha familia que
pase por el punto (4,-1) y escriba la ecuación de esta recta.
Desarrollo
Sea L : 2x —5jv—10 = 0 de donde m,
2 5
como Z, 1 L entonces = de donde —m - - entonces m = ~—
^ 1 5 2
Sea L: y •- mx + b de donde L: y = ~ ~ x +b
como (4,-1.) e L => -l = -10 + b de donde b = 9 L: y = — x +9
2
D: demanda
S: Oferta

B) GRÁFICAS LINEALES DE LA DEMANDA-
demanda con
pendiente negativa
Y Q
1Ol
0 cantidad x
demandada
demanda con
pendiente indefinida
Y
precio
cantidad
demandada
0 X
demanda con
pendiente nula
C) GRÁFICAS LINEALES DE LA OFERTA.-
ferta con pendiente
positiva
0
1
o .
cantidad
ofertada
oferta con pendiente
nula
.2
I
o .
cantidad
ofertada
oferta con pendiente
no definida
D) EQUILIBRIO DE MERCADO.
Y
^oferta
o y
1Q.
equilibrio
^d e m a n d a
O
K
cantidad ^ X
Equilibrio Significante o
relevante
oferta
equilibrio
cantidad X
Equilibrio no Significante
Equilibrio no Significante
I ) - ANÁLISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO.-
C.F. = Representa el costo fijo C.T. = Representa el costo total
I.T. = Representa los ingresos totales E = Punto de equilibrio
11 TONCIÓNP E C O N S Ü M O .-
c = f (yd) , donde c = consumo, yd = ingreso disponible
y d = represente un cierto incremento en el ingreso disponible
Ac = corresponde al cambio resultante en el consumo
A A/?
— es positivo, pero menor que uno, es decir: 0 < —— < 1

c = representa al consumo
a = representa el consumo básico fijo
b = propensión marginal a consumir
yd = ingreso disponible
PROBLEMAS.-
¿Cuales de las siguientes ecuaciones representa gráficas de demanda? ¿cuáles son
gráficas de oferta? ¿Cuáles no representan ninguna de ellas? (supóngase que y es precio y
x la cantidad)
a) x - 2y = 0
b) 3x + 4y - 10 = 0
Desarrollo
Desarrollo
X y
0 5
2
10 0
3
D: 3x + 4y - 10 = 0 su pendiente es
negativa. La gráfica es de demanda.
c) y - 4 = 0
Desarrollo
d) x - 3 = 0
Y
e) 2x - 3y + 1 = 0
f) 2x + 5y + 4 = 0
La gráfica es de oferta o de demanda.
Desarrollo
La gráfica es de oferta o de demanda
Desarrollo
X y
0 i
3
1 0
2
L: 2x - 3y + 1 - 0 de donde m = —> 0, la
3
gráfica es de oferta
Desarrollo
X y
0 4
~5
-2 0
La gráfica no es de demanda ni de oferta

62 Edui rdû Espinoza Ramos
g) 3x + 4y - 12 = O
D
Desarrollo
Y'
0 X
5x - y -10 =0
x y
0 3
4 0
L: 3x + 4y - 12 = 0, m - — < 0 , la gráfica
4
es de demanda
i) 2x + 3x + 2 = 0
Desarrollo
X y
0 -i
2
3
0
La gráfica no es de demanda ni de oferta
La curva de demanda que corresponde a un bien determinado es x = 10—— (supóngase
4
que y representa el precio y x la cantidad demandada).
a) Evalué la demanda si el precio es: i) 4 ii) 16 ¡ii) 25
b) Calcule el precio si la cantidad demandada es: i) 9 ii) 7 ¡ii) 2
c) ¿Cuál es el precio máximo que se pagaría por este articulo?
Representación Gráfica 6:
d) ¿Qué cantidad se demandaría si dicho articulo fuera gratuito?
Desarrollo
4
a) i) Para el precio y = 4, * = 10— = 10-1 = 9 . La demanda es x = 9
4
ii) Para el precio y =16, x = 10-----= 1 0 -4 = 6 . La demanda es x = 6
4
iii) Para el precio y = 25, x =10----- = — . La demanda es x = —
4 4 4
b) i) Para la demanda x = 9, 9 = 10— => y = 4, luego el precio es y = 4
7
ii) Para la demanda x = 7, 7 = 1 0 -— => y = 12, luego el precio es y = 12
iii) Para la demanda x = 2, 2 = 10-^- => y = 32, el precio es y = 32
c) El precio máximo es cuando x = 0. Luego 0 = 1 0 -— =* y = 40 precio máximo.
4
d) La cantidad de demanda cuando él articulo es gratuito ocurre cuando y = 0, es
decir: jc= 10—- = 10 =>x = 10, cantidad demandada.
4
e) ________________
X 0 10
y 40 0

64 Eduardo Espinoza Ramos
La gráfica de la oferta de un artículo determinado es x = 1.1y - 0.1 (suponga que y
representa el precio y x la cantidad de oferta).
a) Determine el precio si la cantidad ofrecida es i) 1 ii) 0.8 iii) 0.5
b) Calcule la oferta si el precio es: i) 8 ii) 6 iii) 4.1
c) ¿Cual es el precio mínimo al que se ofrecería dicho artículo?
d) Trace la curva.
Desarrollo
a) Para x = 1; 1 = l.ly —0.1 => y = l es el precio
x = 0.8; 0.8 = l . l y - 0.1 y = — es el precio
x = 0.5; 0.5 = 1.ly —0.1 => y = — es el precio
b) Para y = 8; x = 1.1(8) - 0.1 = 8.7 oferta
y = 6; x = 1.1(6) - 0.1 = 6.5 oferta
y = 4.1; x = 1.1(4.1) - 0.1 = 4.41 oferta
c) Para x = 0; 0 = l . l y - 0.1 => y = 0.091 (nose puede establecer)
X 0 0.1
y 0.091 0
La ecuación de la demanda de un articulo es x =. A - By, donde A y B son constantes
positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en demanda.
a) Calcule el precio si la demanda es —
Kt i’rrsenlación Gráfica 65
b) Evalué la cantidad demandada si el precio es
2B
c) Determine la demanda si el articulo fuera gratuito.
d) Trace la curva.
Desarrollo
A A 2A
a) Para x = —=> —= A - By de donde y = —
3 3 ' 3B
b) Para y = — => x = A - — de donde jt = ~
2B 2 2
c) Para y = 0 => x = A - 0 de donde x = A
X 0 A
B
y A 0
(? ) La ecuación de la oferta para un cierto articulo es x = ay - b, donde a y b son constantes
positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en oferta.
a) Calcule el precio si la cantidad ofrecida es; i) 5a - b
3b
b) Encuentre la oferta si el precio es: i)
ii) a + 2b
ii) »
c) ¿Cual es el precio mínimo al que puede ofrecerse este articulo?
Desarrollo
a) Para x = 5a - b => 5a - b = ay - b de donde y = 5 precio
x = a + 2b => a + 2b = ay - b de donde y = - ----- precio

66 Eduardo Espinoza Ramo
3b 3b
b) Para y = — =» x = a(— )—b = 2b de donde x = 2b oferta
a a
5b 5b
— => x = a(— )- b = 4b de donde x = 4b oferta
a a
c) Para x = 0 => y = — (no se puede establecer)
a
Para cada una de las siguientes pares de rectas.
i) Determine cual es la curva de demanda y cual es la curva de oferta.
ii) Trace las curvas y estime el precio y la cantidad para el caso de equilibrio de
mercado.
iii) Resuelva algebraicamente las ecuaciones y verifique la estimación realizar para el
precio y la cantidad para el equilibrio de mercado.
a) y = 10- 2x y ;y= - j t + l
c) x = 1 5 - 3 y y x = 2 y - 3
Desarrollo
a) i) y = 10 - 2x como m = -2 la curvas de demanda
3 3
v = —x + 1, como m =— la curva es de oferta
b) y = 6, x = 3y - 3
d) 2y + 3x = 10 y x = 4y - 6
H)
Y '
Hiiiresentación Gráfica 67
iü)
y = 10- 2.*
3 ,
y = - * + ]
2
, resolviendo
18
x - — = 3.6 oferta
5
27
.*= —-= 5.4 precio
b) i) y = 3 es de oferta o de demanda
x = 3y ~ 3 como m = - es de oferta.
3 3
¡i)
[y = 3 Í.í = 6 oferta
iii) resolviendo
[jc = 3 y - 3 [}' = 3 precio
c) i) x = 15 - 3y, como m =- - es de demanda
x = 12y - 3, como m - ~ es de oferta
H)

©
fjc= 15—3y
iii) -j resolviendo
[x = 2 y - 3
21x = — = 4.5
5
18 uy = — =3.6
5
oferta
precio
d) i)
ü)
2y + 3x = 10 como m = — es de demanda
2
x = 4y - 6 como m = — es de oferta
4
... Í2y + 3x = 10 x = 2 oferta
m) -, resolviendo
[x = 4 y - 6 ly = 2 precio
Un fabricante vende su producto a un precio de 5 unidades monetarias (u.m) por artículo.
a) ¿Cuál es el ingreso total al vender 5,000 unidades del producto? ¿Cuál es la
ecuación para la función de ingreso? Grafique la función.
b) Los costos fijos son constantes en 3000 u.m. independientemente del número de
artículos producidos, suponga la gráfica de esta función a la grafica correspondiente
a la parte a)
c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta
compañía, los costos variables se estiman en 40% del ingreso total, ¿Cuál es el costo
total cuando se venden 5000 unidades del producto? Grafique la función con
superposición a la gráfica de la parte a).
d) ¿Cuál es el punto de equilibrio? Indique tal punto en el diagrama y evalué la
cantidad vendida correspondiente. Señale en el diagrama anterior la cantidad a la
que el fabricante alcanzara a cubrir sus costos fijos.
Desarrollo
a) como y = 5 precio por unidad,
x = 1 una unidad del producto
el ingreso total de vender 5000 unidades es: I.T. = (5000)5 = 25,000 = 5x
b) Como y = 5x, luego para x = 3000 de donde y = 15000
Y
15000
0 3000 X
c) CT = costo total CF = costo fijo = 3000
Cv = costo variable es el 40% del costo total
como se vende 5000 artículos por 5 se tiene 25000 luego el 40% de 25000 es 10000
Luego Cv = 10000
CT =CF +Cy =3,000+10,000 = 13,000
( í ) Al precio $ 5 (dólares) por unidad, una empresa pondrá a la venta 5000 linternas
eléctricas de plásticos cada mes, al precio de $ 3.50 cada una, ofrecerá 2000 unidades.
Determine la ecuación de la oferta para este producto y grafique la ecuación.
Desarrollo
í x = 51
Datos del problema:
x = 5000 linternas
y = 25,000 precio de las linternas

70 Eduardo Espinoza Ramo
íx = 2,000 linternas
| y = 7,000 precio de las linternas
jz 000 —7 000
La ecuación de oferta es: 5 : y - 25,000 = — !--------- ’----- O - 5,000)
5,000 - 2,000
S: y = 6x - 5000
2 ) En la economía, el consumo se considera relacionado linealmente con el ingreso nación
disponible por ejemplo, en cada nivel del ingreso disponible, el consumo puede ser ig
a 3.5 (en millones de dólares) más 75% del ingreso disponible.
i) ¿Cual es la ecuación que expresa esta relación?
ii) ¿Cual es el consumo agregado cuando el ingreso de que se dispone vale 50 (en mile
de millones de dólares)?
Desarrollo
a) La ecuación que expresa esta relación es:
c = 3.5+0.75yd , yd = ingreso disponible
b) c = f ( y d) = f ( 50) = 3.5 + 0.75(50) = 3.5 + 37.5 = 41 millones de dólares
ÍO) Una empresa manufacturera ha analizado sus ventas y descubierto que sus cliente
compraran 20% más de unidades de sus productos con cada reducción de $ 2 (dólares) en
el precio unitario cuando el precio tiene un valor de $ 12 (dólares), la empresa vende 500
unidades ¿Cual es la ecuación de la función de demanda correspondiente a este producto?
Grañque la ecuación.
H<presentación Gráfica 71
Desarrollo
La empresa vende x = 500 unidades
El precio es: y =12 ; el 20% de 500 es 100
Al vender a $2 menos se vende 500 + 100 = 600
fjc= 600
Luego -i . Por lo tanto la ecuación de la demanda es:
y = 10
12-10
D : y -1 2 = ..Qt-500)
500-600
D : y —12 = —^-(a:-500)
50
D: y.
50
-+22
(l l) a) Suponga que el agua se ofrece en forma, ilimitada en un municipio. El consumidor
paga 5.00 unidades monetarias (u.m.) al mes por el servicio de agua
independientemente de la cantidad que emplee o consuma. Grafique la ecuación de
oferta y demanda.
b) Hay solo un cuadro original germano de Ramlvandt de su obra titulada “El vigia
nocturna” asigne valores arbitrarios a este cuadro y grafique la ecuación de la oferta
y la demanda.
Desarrollo
y = 5.00 precio ; x = agua ofrecida ilimitada
Luego la ecuación de oferta y demanda es y = 5
i

Y
y = 5
y S: oferta
D: demanda
0 X
Una compañía de autobuses saben que cuando el precio de un viaje de excursión de $
5.00 (dólares), 30 personas compraran boleros, cuando el precio es de $ 8.00, solo se
venderán 10 boletos, obtenga la forma de punto y pendiente de la ecuación que
corresponde a la función de demanda y grafique dicha ecuación.
y = $5 dolares precio
x = 30 boletos
calculando la pendiente: m =
Desarrollo
y = $8 dolares precio
* = 10 boletos
8 -5
10-30
3_
20
como y - 5 = m(x - 30) => y - 5 = ~ — (jt-30)
3x 19
20 + 2
Identifique cual de las siguientes ecuaciones representa una curva de demanda, y cual una
curva de oferta, determine el punto de equilibrio y trace las curves.
a) x + y = 5 b) 2x - y = 5.5
Desarrollo
a) L: x + y = 5 entonces m = -1 <0 es de demanda
b) L: 2 x - y = 5.5 entonces m = 2 > 0 es de oferta
x = 3.5
y = 1.5
. P(3.5,1.5) punto de equilibrio.
14) Cambie la ecuación b) del problema anterior a 2x - y = 6, grafique la ecuación e
identifíquela como de oferta o demanda ¿Aumento o disminuyo la cantidad de equilibrio
con respecto a la del problema 13)
Desarrollo
De la condición del problema se tiene: L: 2x - y = 6 entonces m = 2 es de oferta
Luego calculamos el punto de equilibrio:
11
*+ y = 5
2jc- y = 6
resolviendo
x = ■
3
4
y = 3

© Suponga que el costo fijo de producción de un articulo es de 45,000 dólares. Así mismo,
el costo variable es de 60% del precio de venta, que es de 15 dólares la unidad ¿Cuál es la
cantidad que corresponde al punto de equilibrio?
Desarrollo
Datos: y = CF = 45,000
Cv = es el 60% del precio de venta de $ 15
Cv = ^ = 9
v 100
Luego se tiene: y = 45000 costo total
El ingreso total es: y = mx, donde m = 9 entonces y = 9x ingreso total
Luego la cantidad que corresponde al punto de equilibrio es:
45 000
45000 = 9x de donde jc= —:------= 5,000 x = 5000
Si en un cierto caso la utilidad es de 100 dólares por unidad y el costo fijo de producción
es de 225,000 dólares ¿Cual es la cantidad de equilibrio?
Desarrollo
K¡presentación Gráfica 75
Datos: U = 100 dólares por unidad
Cr =225,000 = y
Luego y = lOOx, por lo tanto la cantidad de equilibrio es:
225000 = lOOx de donde x = 2250
( 17) Considere que el consumo nacional agregado en un cierto caso se da (en miles de
millones de dólares) por la ecuación c = 4.5 + 0.9yd , donde yd es el ingreso disponible.
Si dicho ingreso fuera de 15 (en miles de millones de dólares) ¿Cuál seria el consumo
agregado? ¿Qué proporción del consumo agregado es el monto del ingreso disponible que
se dedica al consumo?
Desarrollo
Como c = 4.5 +0.9
Para y¿=15 => c = 4.5 + (0.9)15 = 18 mil millones
El ingreso disponible que se dedica el consumo es: 18 - 15 = 3
3 1
La proporción del consumo agregado del ingreso disponible es: — = —= 0.15
18 6
(ijt) Si el consumo nacional agregado es 4.8 mas 80% del ingreso disponible (en miles de
millones de dólares).
a) ¿Cuál es la ecuación de la función de consumo?
b) ¿Qué proporción del ingreso disponibles se consume?
c) Cuando el ingreso de que se dispone es 60 ¿qué proporción del consumo agregado
presenta el monto del ingreso disponible que se dedica al consumo?
Desarrollo
a) La ecuación de la función consumo es: c = f ( y d) ~ a +byd = 4.8+ 0.8^
c = 4.8 + 0.8yd

b) El ingreso disponible que se consume es: c - y d = 4.8 - 0.2yd - y ¿ —4.8+0.2yd
c - y á = 4.8-0.2yrf
c) c = 4.8 + (0.8)(60) = 4.8 + 48 = 52.8 c = 52.8
~ÑÓ|1.13. MÉTODOS GENERALES PARA TRAZAR GRAFICAS
LINEALES.- _______________________ .
a) Intersecciones con los ejes:
eje X
eje Y
b) Simetrías:
con el eje X
con el eje Y
con el origen
1.14. PROBLEMAS.-
A)
®
Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:
a) Las intersecciones de sus gráficas con los ejes.
b) Si la curva representada es simétricas respecto al eje X, eje Y, o al origen.
c) Si existe alguna limitación en la extensión.
*3- y 2 - 9 = 0
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes.
Con el eje X, y = 0 => x = l¡9 , (y¡9,0)
Con el eje Y, x = 0 => y2 = - 9 , %
b) Sea f(x ,y ) = x * - y 2 - 9
f ( x , —y) = xi - ( - y ) 2 - 9 = x3- y 2 - 9 = f(x , y ) , es simétrica con respecto al eje X
f { - x ,y ) = - x 3- y 2 - 9 ^ f { x , y ) , ,0 simétrica en el eje Y
f ( - x , - y ) = - x 3- y2 - 9 f (x, y ), % simetría en el origen
c) y2 --x3- 9 => y = ±¡x3- 9
Su extensión es x3 > 9 y no esta limitada.
© x2 + y2 -18 = 0
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes:
Con el eje X; y = 0, x = ±3Í2 ; (±372,0)
Con el eje Y; x = 0; y = ±3¡2 ; (0,±3Í2)
b) f(x ,y ) = x2 + y 2- 18
/ (jc,-y ) = x 2+ y 2- 18 = f(x, y ), es simétrica con respecto al eje X
/ ( - x, y) = x2 + y 2- 18 = f(x, y) , es simétrica con respecto al eje Y
f ( - x , - y ) = x2+ y2 -18 = f(x, y ), es simétrica con respecto al origen
c) x2 + y2 -18 = 0 de donde y = ±/l8 -x ^
Su extensión es: 18- x2 >0 => x2<18 en dirección de x esta limitada.
jt = ±Vl8 - y 2 su extensión es 18- y2 >0
y2 <18 en la dirección de y esta limitada.
(3) y2 -2 x + 5 = 0
Desarrollo

Con el eje X; y = 0, * = (^.0)
Con el eje Y; x = 0 , y 2 = - 5 , jí
b) Sea f(x ,y ) = y2-2 x + 5
f ( x , - y ) = y2 - 2x + 5 = f(x,y) es simétrica con respecto al eje X
/ ( - x , y) = y2 +2x +5 * f(x,y) no es simétrica con respecto aleje Y
f ( - x , - y ) = y 2+2x +5 * f(x, y) no es simétrica con respecto al origen
c) y2 - 2x + 5 = 0 de donde y = ±¡2x-5
Su extensión en la dirección del eje X es: 2x - 5 > 0 de donde x >— esta limitada
2
y2 -f-5
Su extensión en la dirección del eje Y es: x =—------ no esta limitada
2
(^4) xy + 5x - 15 = 0
Desarrollo
a) Intersección con los ejes coordenados.
Con el eje X; y = 0, 5 x - 1 5 = 0 => x = 3, (3,0)
Con el eje Y; x = 0, %
b) Sea f(x,y) = xy + 5 - 15
f(x,-y) = -xy + 5x - 15 *■f(x,y), no es simétrico respecto al eje X
f(-x,y) = -xy - 5x - 15 * f(x,y), no es simétrico respecto al eje Y
f(-x,-y) = xy - 5x - 15 # f(x,y), no es simétrico respecto al origen
c) xy + 5x - 15 = 0
15 —5jc
Su extensión en dirección de x es: y =--------- tiene limitación
Su extensión en la dirección de y es: x = —- tiene limitación
y + 5
V
© x2 + >-4 ~ 6 = 0
Desarrollo
Con el eje X; y = 0, x =±Vó , (±^6,0)
Con el eje Y; x = 0, y = ±yfó, (0,±i¡6)
b) f(x ,y ) = x2+ y * - 6
/ ( x,-y) = x2 + y4 - 6 = f(x , y) , es simétrica con respecto al eje X
/ (-x, y) = x2 + y4 - 6 = f(x , y ) , es simétrica con respecto al eje Y
/ ( - x,-y) = x2 + y4 - 6 = f(x, y ) , es simétrica con respecto al origen
c) x2 + y4 - 6 = 0
Su extensión en la dirección de x es: y = y¡6-x2 entonces 6 - x 2 >0
tiene limitación '
Su extensión en la dirección de y es: x = y¡6- y4 entonces 6 - y4 > 0
tiene limitación.
i
© x2y 2-25 =0
Desarrollo
x2 5 6
y4 £6

a) Intersecciones con los ejes coordenadas
Con el eje X, se hace y = 0, j?
Con el eje Y, se hace x = 0, /í
b) f(x ,y ) = x2y2- 25
A,
f ( x ,- y ) = x2y ¿-2 5 = f (x, y ) , es simétricas con respecto al eje X
/(-* , y) = x2y 2- 25 = f(x, y ) , es simétricas con respecto al eje Y
f ( - x , - y ) = x2y 2-25 = f ( x , y ) , es simétricas con respecto al origen
c)x2y 2 = 25
Su extensión en la dirección de x es: y = ± J — » si tiene limitación
Vx~
25
=> — > 0 si tiene limitación
y
ASINTOTAS
Las rectas y = mx + b se denominan asíntotas.
Las asíntotas de mayor interés son las asíntotas paralelas o coincidentes a los eje
coordenadas y son las siguientes:
La recta x = h es una asíntota vertical de y = f(x)
La recta y = k es una asíntota horizontal de y = f(x)
B) Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:
a) Las asíntotas b)Si puede factorizarse la ecuación
c) Si laecuación representa una curva real o un lugar geométrico de puntos reales, o
bien una curva imaginaria.
(T) 2xy - x + y -5 = 0
Desarrollo
a) Las asíntotas:
Parala asíntota horizontal despejamos “y”, es decir: (2x + l)y = x + 5 de donde
y = X+^ , cuando x -» °° y = — es la asíntota horizontal.
2* + l 2
Para la asíntota vertical despejamos “x”, es decir: (2y - l)x = -y + 5 de donde
y -5 1
x - —i ----- cuando y » se tiene x = — es la asíntota vertical.
2y - l 2
b) 2xy - x + y + 5 = 0, de donde x(2y - 1) + (y + 5) = 0, no se puede factorizar
c) La curva es rea! porque se verifica para puntos de R2
3x2 + 2 x y - y 2 =0© Desarrollo

a) Despejamos las variables x e y de la ecuación 3x~ + 2xy - y" - 0
©
©
X -
2y±y¡4y2 +I2y2 _ 2y±4y _ y±2y
6 6 3
-2jc± V4jc2 +12jc2 -2x ± 4 x
V= ---— ----------------- = ------------=: “ X I IX
y 2 2
por lo tanto no tiene asíntotas
b) 3x2 + 2xy - y2 = 0, factorizando por el aspa
3x -y
X entonces 3x2 + 2 x y - y 2 = (3x- y)(*+ y)
x - y
c) Es una curva real
2x2+ 3y2+ 6 = 0
Desarrollo
Despejando las variables x e y de la ecuación 2x2 + 3y2 + 6 = 0
- 6 - 3 y2
de donde
3 ' 2
a) No tiene asíntotas.
b) No se puede factorizar.
c) Es una curva imaginaria.
3x2 + 3 x y - 2 x - 2 y = 0
Desarrollo
a) 3x2+ 3 x y - 2 x - 2 y = 0 => (3x-2)y = 2 x - 3 x 2 dedonde y= 3x 2
cuando x —» y —> no hay asíntotas
2 x-3 x
©
©
3x2+ (3y- 2)x - 2 y = 0, despejando x se tiene:
± (3y-2)±^ /(3y-2)2 +24y
x = ■, no hay asíntotas
b) 3x2 + 3xy - 2x - 2y = 0 factorizando
3x(x + y) - 2(x + y) = 0 sacando factor común
(3x - 2)(x + y) = 0 => 3x - 2 = 0 v x + y = 0
c) Es una curva real.
3x2 +6y2 +x2y2 =0
Desarrollo
a) (6 + x2)y2 = -3x2 dedonde y2 =
-3x2
6 + jr2
cuando x - » «o, y2 -> -3 , no hay asíntotas
(3+ y 2)x2 = -6 y 2 de donde x2 = -~ -V
■ 3+ y
cuando y —» «>, x2 -4 - 6 , no hay asíntotas.
b) 3x2+ 6y2+ x2y2 = 0 la expresión es irreducible por lo tanto no se puede factorizar.
c) El lugar geométrico es un punto real (0,0).
3x2 - 4 y 2 - 9 = 0
Desarrollo
a) 3x2 -4 y 2- 9 = 0 => 3x2- 4 y 2 =9 dedonde ■'
(y¡3x+2y)(y¡3x-2y) = 0 => Í3x +2y = 0 , s¡3x-2y = 0 son sus asíntotas

b) 3x2 - 4 y 2 - 9 = 0 factorizando (2 y -V 3 x ^ ^ )(2 y + V 3 ^ -9 )
c) Es una curva real
1.15. MÉTODOS GENERALES PARA TRAZAR GRÁFICAS NO
LINEALES.-
Gráficas las ecuaciones utilizando las propiedades siguientes.
Q Intersecciones con los ejes © Simetría
© extensión © Asíntotas
© Factorización © Lugares Geométricos reales o imaginarios.
1.16. PROBLEMAS.-
Trace las curvas representadas por las siguientes ecuaciones: especifique las
intercepciones, la extensión, la simetría y las asíntotas, cuando corresponda.
(T ) x2y = l0
Desarrollo
Con el eje X, y = 0, /í
Con el eje Y, x = 0, 3
b) La extensión: x2y = 10 de donde
y = en la dirección del eje X es: x e <-«>,0> u <0,<»>
x
x2y = 10 => x = ± I— en la dirección del eje Y: y > 0
Vy
c) La asíntota: / ( je, y) = x2y -10
Ni/iresentación Gráfica 85
/ ( x,-y ) = - a -2 v -10 * f (x, y ), no es simétrica respecto al eje X.
f( - x , y) = x2y -1 0 = f(x , y ), es simétrica respecto al eje Y.
/ (-x ,-y ) = - x 2y~ 10 * f(x ,y ) , no es simétrica respecto al origen.
-> 10
d) Asíntotas: x y = 10 => y = —-
La asíntota vertical es x = 0
*2y = 10
-Jf y = 0 es asíntota horizontal.
X y
± 1 10
± 2 5
2
±3 10
9
@ V = - i o
Desarrollo
Con el eje X, y = 0, £
Con el eje Y, x = 0,
10
b) Extensión: y = ± J -----en la dirección del eje X es x < 0.
10
x = — - en la dirección del eje Y, y * 0, y e <-«0> u <0,°°>
c) Simetría: f(x,y) = xy2 +10
X*

Con respecto al eje X: / (x, -y) = xy2 + 10 = f(x ,y ) , 3
Con respecto al eje Y: f ( - x , y) = ~xy2+10 ^ f(x, y ) ,%
Con respecto al origen: /( - * , -y ) = -x y 2+ 10 * f ( x , y ) , %
d) Asíntotas: xy2 = -10
- Verticales y = entonces x = 0
- Horizontales = entonces y = 0
y
y = x(x - 3)(x + 4)
Desarrollo
Con el eje X, y = 0 => x(x - 3)(x + 4) = 0 de donde x = 0, x = 3, x = -4
Con el eje Y, x = 0, y = 0
b) Extensión: y = x(x - 3)(x +4), su dominio es todolosreales yel rangoes todos los
reales.
c) Simetría: f(x,y) = x(x - 3)(x + 4) - y
Hrpresentación Gráfica
Con respecto al eje X, f(x,-y) = x(x - 3)(x + 4) + y * f(x,y), 3
Con respecto al eje Y, f(-x,y) = -x(x + 3)(x - 4) - y * f(x,y), $
Con respecto al origen, f(-x,-y) = -x(x + 3)(x - 4) + y * f(x,y),
d) Asíntotas no existe.
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes
Con el eje X, y = 0 => x2(x2 -4x+ 4) = x2( x - 2 ) 2 =0 => x = 0, x = 2
Con el eje Y, x = 0 entonces y = 0
b) Extensión: y = x2(x - 2)2
El dominio es todo R y el rango es [0,°°>
c) Simetría; /( x,y) = x2(x2 - 4 x + 4 ) - y
Con respecto al eje X: f ( x , - y ) = x2(x2 - 4 x +4) + y * f ( x , y ) , 3
Con respecto al eje X: f ( - x , y) = x2(x2+ 4 x +4) - y * f (x, y ), %
Con respecto al origen: f(~x,~y) = x2(x2 +4x+4) + y * f ( x , y ) , %
d) Asíntotas: no existen.

y = x4 - x 2
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X; se hace y = 0; x = 0, x = -1, x = 1
Con el eje Y; se hace x = 0; y = 0
4 i 1
b) Extensión: y = x - x , su dominio es todo R y su rango es: [— ,°° >
4
c) Simetría: f(x, y) = jc4 - x2 - y
Con respecto al eje X: / (x,-y) = x4 - x2 + y * / ( x, y ), ,0
Con respecto al eje Y: f ( - x , y) = x4 - x2- y = f(x, y) , 3
Con respecto al origen: f ( - x , - y ) = x4 - x 2 +y * f( x , y ) , /í
d) Asíntotas: y = x4 - x 2 no tiene asíntotas
@ y = (x2 -)(x2 -4 )
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes coordenados.
Con el eje X, se hace y = 0, es decir: (x2- l)(x2 - 4) - 0 de donde x = -2, x = -1,
x = 1, x = 2
Con el eje Y, se hace x = 0 de donde y = 4
b) Extensión: su dominio y rango es todo R.
c) Simetría: f(x, >’) = (x2 - l)(x2- 4) - y
Con respecto al eje X: f( x , - y ) = (x2 -l)(x2 - 4) + y * f ( x , y ) , jS
Con respecto al eje Y: /(-jc, y) = (x2- l)(jr2 - 4) - y = f(x, y) , 3
Con respecto al origen:/ (-x,-y) = (x2 - 1)(jc2 -4 ) + _v* f(x , y) , /!
d) Asíntotas: y - (x2 -l)(x2 - 4 ) , no existen.
0 y = x} - 4 x
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje X, se hace y = 0, es decir: xy - 4x = 0 => x = -2, x = 0, x = 2
con el eje Y, se hace x = 0 => y = 0
b) Extensión: Su dominio y rango es todo R.

I Eduardo Espinoza Ramos
c) Simetría: f(x,y) = xi - 4 x - y
Con respecto al eje X, f ( x ,-y ) = x3- 4x + y * f(x, y) , ,3
Con respecto al eje Y, / ( - x, y) = - a : 3 + 4 x - y * f(x ,y ), jí
Con respecto al origen, f ( - x , - y ) = - x +4x+ y = f{x, y ) , 3
) y = *3(* -l)(x + 6)
Desarrollo
Con el eje X, se hace y = 0 entonces: j:3U--!)(*+ 6) = 0 => x = -6, x = 0, x = l
Con el eje Y, se hace x = 0 entonces y = 0
b) Extensión: Su dominio y rango es todo R
c) Simetría: f(x ,y ) = jc3(jc—1)(a:+ 6) —y
Con respecto al eje X: f( x , - y ) = xi (x-l)(x+6) +y ¿ f ( x , y ) , /í
Con respecto al eje Y: / ( - j c , y) = -x 3(x+ l)(x - 6) - y * f(x, y ) , %
Con respecto al origen: /(-jc,- y ) = - j c 3 (x+)(x-6) + y * f ( x , y ) , %
d) Asíntotas: no tiene
(? ) 4y = a:3
Desarrollo
a) Intersección con los ejes coordenados
Con el eje X, se hace y = 0, x = 0
Con el eje Y, se hace x = 0, y = 0
b) Extensión: Su dominio y su rango es todo R
c) Simetría: f(x, y) = a3 - 4y
Con respecto al eje X: /(.*,-y) = a3 + 4y / f(x , y ) ,
Con respecto al eje Y: f( - x , y ) = - x i - 4 y * f ( x , y ) , jí
Con respecto al origen: f ( - x , - y ) = - a:3 +4y = f ( x , y ) , 3
d) Asíntota: no tiene

) y = x3( x - 3 )2
Desarrollo
a) Intersección con los ejes coordenados:
Con el eje X, se hace y = 0, es decir: x2(x -3 )2 = 0 =$ x = 0, x = 3
Con el eje Y, se hace x = 0 y = 0
b) Extensión: su dominio es todo R y su rango es:
c) Simetría: /(x ,y ) = x2(x-3)2- y
Con respecto al eje X: /(x ,-y ) = x2(x~3)2 + y * / ( x , y ) , /f
Con respecto al eje Y: /(-x ,y ) = x2(x + 3)2- y # / ( x , y ) , %
Con respecto al origen: / (-x, -y ) = x2(x + 3)2 + y * f (x, y ),
d) Asíntotas: no tiene.
) y = xV9 - x 2
Desarrollo
Con el eje X; se hace y = 0, es decir: x¡9 - x2 = 0 => x = -3, x = 0, x =3
Con el eje Y; se hace x = 0 => y = 0
b) Extensión: su dominio es [-3,3]
c) Simetría: f(x ,y ) = x ^ 9 ~ x 2 - y
Con respecto al eje X, /( x ,-y ) = xV9 - x2 + y ■*-f (x, y ), 0
Con respecto al eje Y, f ( - x , y) = -xV9 - x z - y * f (x, y ), 3
Con respecto al origen, ,/( -x , -y ) = - x ¡ 9 -x 2 +y = f ( x , y ) , 3
d) Asíntotas: No existen
Desarrollo
Similar al ejercicio II)
Haremos su grafica
(D ) y = (x-3)(x2 +4x —5)
Desarrollo

Con el eje X, se hace y = 0, es decir: (jc—3)(jc2 + 4x-5) = 0 => x = -5, x = 1, x = 3
Con el eje Y, se hace x = 0 => y = 15
b) Extensión: Su dominio es todo R lo mismo para el rango
c) Simetría: / (x,y) = (x- 3)(x2 + 4x- 5 ) - y .
Con respecto al eje X, f( x , - y ) = (x-3)(x2+4x-5) + y * f ( x , y ) , jí
Con respecto al eje Y, /(-x , y) = - O + 3)(x2 - 4x-5) - y * f (x, y ), ,0
Con respecto al origen, f ( - x , - y ) =-(x +3)(x2 - 4 x - 5 ) +y * f ( x , y ) , ,2
d) Asintotas: No existen
) y = x2( x - 6)(x2 - x - 6)
Desarrollo
Con el eje X, se hace y = 0 entonces:
x 2(x-6)(x2 - x - 6 ) = 0 => x = -2, x = 0, x = 3, x = 6
Con el eje Y, se hace x = 0 => y = 0
b) Extensión: no tiene limite
c) Simetría: f (x,y) = x2{x-6)(x2- x - 6 ) - y
Con respecto al eje X, f ( x , - y ) = x2(x - 6)(x2 - x - 6)+ y * f(x, y ) , %
Con respecto al eje Y, /(-jc , y) = ~x2(x + 6)(x2 + x - 6 ) - y * / ( x , y ) , 0
Con respecto al origen, / ( - x ,-y ) = - x 2(x +6)(x2 + x - 6) + y * / ( x , y ) , i?
d) Asintotas: No existen.
La ecuación de segundo grado o cuadrática es:
Ax2+ Bxy + Cy2 +Dx+Ey + F = 0
A, B, C, D, E y F son constantes en donde A, B o C por lo menos una de ellas es
diferente de cero.
1.18. IDENTIFICACION PE UNA CURVA CUADRÁTICA.-
La ecuación cuadrática general es:
Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx +Ey +F =0
donde A o C es diferente de cero.

Si B = O, A = C * O, es una circunferencia
Si B2 -4 A C < 0 , es una elipse
Si B2 -4 A C = O, es una parábola
Si B2-4 A C >O, es una hipérbola
Si B = 0 se tiene la ecuación:
Si A = C * O es una circunferencia
Si A * C, A y C del mismo signo es elipse
Si A = 0 o C = 0, es una parábola
Si A y C tiene signos contrarios es hipérbola
1.19. LA CIRCUNFERENCIA.-
Ax2 +Cy2 +Dx+ Ey +F =0
La ecuación general de la circunferencia es:
Ax2 + Ay" +Dx+Ey + F = 0
Puesto que A = C * 0 entonces ( x - h ) 2 +(y —k )2 = r2 es forma estándar, donde
c(h,k) = centro, r = radio de la circunferencia
1.20. LA ELIPSE.-
La ecuación general de la elipse es:
Ax2 +Cy2 +Dx+ Ey +F = 0
donde A / C y del mismo signo
, forma estándar
Si ¡inventación Gráfica 97
1.21. PROBLEMAS.-
Determine si cada una de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia o una
elipse, exprese la ecuación en la forma estándar apropiada, investigue si hay lugares
geométricos degenerados o imaginarios y trace los gráficos.
© x2 + y 2 +2A-4y + l = 0
Desarrollo
A - C = ! 0 es una circunferencia
Para expresar en la forma estándar se completa cuadrados
©
x2 +2 x + y2 - 4 y = ~l
(x+l)2 + ( y - 2 ) 2 =4
9x + 4 y~ - 24y = 0
(x2 +2x +l) +(y 2 - 4 y + 4)--=-l
Y
f c(-1,2 )
r —
1
2
1
-1 !
0 X
Desarrollo
Como A * C y tienen el mismo signo de una elipse expresando en forma estándar
9x2 + 4y2 - 24y = 0
9*2 +4(y2 —6y) = 0
9x2 +4(y2 -6 .V + 9) = 36
9x2 +4(y—3)2 = 36

x2 + 4y2 -6 x + 16y+ 45 = 0
Desarrollo
A = C * 0 y tienen el mismo signo, puede ser una elipse, para esto expresando en la
forma estándar
2 2
x - 6 x +4(y + 4y) = -45, completando cuadrados
x2 -6 x + 9 + 4(y2 +4y + 4) = -45 + 9 + 16
(x -3 )2+ 4(y + 2)2 = -2 0 < 0 , no hay lugar geométrico
x2 + y2 -8 x -4 y + 18 = 0
Desarrollo
'y 2
x~ ~ 8x + y - 4 y = -18, completando cuadrados
(x2 - 8x + 16) + (y2 - 4 y + 4) = -18 + 16+ 4
O
( x - 4)“+(>'-2) =2 es una circunferencia de centro C(4,2)
x2 + y 2- 10x + 25 = 0
Desarrollo
x2 + y2 - lOx = -25 , completando cuadrados
x2 - lOx + 25 + y2 = -25 + 25
( x - 5 )2 + y2 = 0 es un lugar geométrico degenerado punto (5,0)
( J ) x2+ y2 -2 x + 4y + ll = 0
Desarrollo
x 2+ y2 - 2x + 4y = -11, completando cuadrados
(x2 -2jc + l) + (y2 + 4 y + 4) = —11+ 4 + 1
(jc—l)2 + (y + 2)2 = - 6 , no hay lugar geométrico
1.22. LA PARABOLA.
Forma general de la ecuación de la parábola:
Si el eje es paralelo al eje Y
Si el eje es paralelo al eje X
Ax~ +Dx+Ey+ F = 0
Cy¿ +Dx+Ey + F - 0
Forma estándar de la ecuación de la parábola
X+

.23. LA HIPÉRBOLA.-
Forma general de la ecuación de la hipérbola
Ax2+ Cy2 +Dx +E y+ F = 0
donde A y C tiene signos contrarios.
Forma estándar de la ecuación de la hipérbola.
Eje transverso paralelo al eje X ———— ———- = 1
a2 b2
Las asíntotas se obtienen haciendo:
Hrpresentación Gráfica 101
( x - h ) 2 (y - k f _ Q
de donde ecuación de las asíntotas
1.24. CASOS ESPECIALES DE LA HIPERBOLA.-
xy = k, k < 0xy = k, k > 0
(x - h)(y - k) = c, c > 0
EQUILATERA:
V '
(x - h)(y - k) = c, c < 0
1.25. PROBLEMAS,-
Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representa una parábola o una
hipérbola, exprese la ecuación en la forma estándar adecuada, investigue si hay liijimrs
geométricos degenerados o imaginarios y trace la curva.

y2- 2 y - 2 x + 9 = 0
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: Y
y 2- 2 y - 2 x = -9
1
m i )
y 2 - 2 y +l = 2 x - 8 l
1 X
1
1
1
( y - 1 ) 2 = 2(x-4) es una parábola 0 4 X
x2 -3 y 2 -4;c + 12 y- ll = 0
Desarrollo
3x2- 2 y 2-6jf-4}í + l = 0
Desarrollo
3(a2- 2x) - 2(y2 + 2y) = -1 , completando cuadrados
3(jc2- 2* +1) - 2(y2 + 2y +1) = -1 + 3- 2
3 (* -l)2 -2 ( y +)2 =0 de donde
( * - l) ‘ (.y+ 1)2 , , , x -1 , y + 1
— ------------— = 0 es una hipérbola degenerada que nos da dos raíces: —= - = ±-^-7=-
( í ) y2 - 8y + 24 = 0
Desarrollo
Como y2 - 8.y+ 24 = ( y - 4 )2+ 8 > 0 , V y e R
Entonces: y1 - 8y + 24 = 0 no representa ningún lugar geométrico
(? ) xy - 4x - 5y + 5 = 0
Desarroil j
Factorizando se tiene: x(y - 4) - 5(y - 4) - 15 => (x - 5)(y - 4) = 15 representa a una
hipérbola equilátera. Con centro en el punto (5,4)
(jS) xy + 5 x - y - 5 = 0
Desarrollo
Factorizando se tiene: x(y + 5) - (y + 5) = 0 => (x - l)(y + 5) = 0 <=> x = 1, y = -5
Es una hipérbola degenerada y nos da dos rectas x = 1, y = -5

04 Eduardo Espinoza Ramon
.26. PROBLEMAS.-
Para cada una de las siguientes ecuaciones identifique la curva representada, exprese la
ecuación en la forma canónica adecuada, identifique los parámetros y propiedades así
obtenidas, y trace la curva.
x 2+ y2 - 6 x - 2 y - 6 =0
Desarrollo
x - 6x+;y - 2y = 6 , completando cuadrados
(x2 - 6 x +9) +(y2 - 2 y +l) = 6 + 9 + 1
(jc-3 )2 + ( y - l )2 = 16 es una circunferencia de centro C(3,l) y de radio r = 4
y - 6 x + 9 = 0
Desarrollo
y2 - 6 y +9 = ( y - 3 ) 2 = 0
3x2 +3y2 - 6 x +4y = 1
y = 3 es una recta
Desarrollo
Hi'/n /tentación Gráfica 105
Completando cuadrados se tiene: 3(jt - 2a)+ 3(y~ + —y) = 1
3(x2-2 x + l) + 3(y2+ —y + —) = 1+ 3+ — => 3 (* -l)2 + 3 (y + -)2 = —
3 9 3 3 3
2 ^ 1 6 9
(x—l)2 + (y + —)2 = — es una circunferencia de centro c(l, — ) y de radio r =
@ y2 -lOy = 0
Desarrollo
Factorizando se tiene: y(y - 10) = 0 => y = 0, y = 10 es dos rectas
Yj
o
~k
■<
ii
><
ii
o
r
0 X
(^ xy - 4y = -4
Desarrollo
Factorizando se tiene: y(x - 4) = -4 es una hipérbola equilátera
|4*.

x1- y2 + 4* - 2_v+1 = O
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene:
x2 - y 2- ( y 2 +2y) = - l => {x2 + 4 x + 4 )-(y 2+ 2y + l) = -1 -1 + 4
2x2 + y2 = 50
Desarrollo
XT y
— + — = 1 es una elipse con centro en el origen
5 X
x 2+ y 2- 4 x - 2 y +5 = 0
Desarrollo
x2 -4 x + y2 -2 y = -5 , completando cuadrados (x2 -4.x + 4) + (y2 —2>>+1) = -5 + 4 + 1 i
( x - 2 ) 2 + ( y - l) 2 = 0 es una circunferencia degenerada que nos da un punto (2,1)
0 4x2 + 9y2 -16x-18y + 133 = 0
Desarrollo
4jf2 - I 6 x +9y2 -18>’= -133 => 4(x2 -4 * ) + 9(y2 -2 y) = -133
4(*2 - 4x + 4) + 9(y2 -2 y + l) = -133 + 16+ 9 => 4(.x-2)2 + 9 ( y - l )2 =-108
( .r - 2)2 , ( y - 1)2 , .........................
— -— + — - — = -3 es una elipse imaginaria
(ío) xy + 3y = x + 6
Desarrollo
Factorizando se tiene: xy + 3y - x - 3 = 3 => y(x + 3) - (x + 3) = 3
(x + 3)(y - 1) = 3 es una hipérbola equilátera
@ 3x2- y 2 - 1 2 x - 6 y = 0
Desarrollo
3(x2 - 4x) - (y 2 + 6y) = 0 => 3(x2 - 4 x + 4 ) - ( y 2+ 6y + 9) = 1 2 - 9
3(jt- 2)2 -( y + 3)2 =3 =* ———— ———- = 1 es una hipérbola
1 3

¡2) x2 - y2 -16 = 0
Desarrollo
x2 - y 2 = 16 es una hipérbola
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: y - 4 = -(x2 - 2 x +l)
y - 4 = -(x - 1)2 es una parábola de vértice V( 1,4)
(¡•l) 9x2 +25y2 + I8x + 150_v+ 9 = 0
Desarrollo
9(x2 + 2x) + 25(y2 + 6y) = -9 => 9(x2 + 2x + l) + 25(y2 + 6y + 9) = -9 + 9 + 225
(Í5) x2 +9y2- 8 x + 7 = 0
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: x2 - 8 x + 9 y 2 = - 7 => (x2 - 8 x + 16) + 9 y 2 = - 7 + 16
7 i (x —4)2 y 2
(x -4 ) + 9y = 9 de donde — ------ h— = 1 es una elipse de centro (4,0)
@ 16x2 + y2 —32x - 6y + 25 = 0
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: 16(x2-2 x ) + (y2 - 6y) = -25 es una elipse imaginaria
@ y2 —3x2 = 27

Desarrollo
y x
----------= 1 es una hipérbola
27 9
g ) 2* = 5 y - r
Desarrollo
25
Completando cuadrados se tiene: 2x = - ( y - 5 y ) => 2(x— —) =
25 5 25 5
2(x
-
) = -(> '— )2 es una parábola de vértice: V(— )
8 2 8 2
í?) 5x2 +4y = 2
Desarrollo
5x2 = - 4 ( y - 3) es una parábola de vértice V(0,3)
~(y2- 5 y + ~ )
4
Hepresentación Gráfica 111
xy + 15y + 3x = 15
Desarrollo
Factorizando se tiene: xy + 15y + 3 x - 15 = 0 y(x + 15) + 3(x + 15) = 60
(y + 3)(x + 15) - 60 es una hipérbola equilátera
y 2 - 2 y - S x +25 =0
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: y - 2 y = 8x-25 => y2 - 2 y + 1= Sx- 24
(y-1) = 8 0 -3 ) es una hipérbola de vértice V(3,1)

! +■y; 4.v 2y + 6 = 0
Desarrollo
x2 - 4 x +y 2 - 2 y = -6 =* (x2 - 4 x +4) +(y2 - 2 y + 1) = -6 + 4 + 1
(x-2)~ + ( y - l) 2 = -1 es una circunferencia imaginaria
y 2 - 4 x 2-4 y + 4 = 0
Desarrollo
Completando cuadrados sé tiene: y2- 4 y - 4 x 2 = -4
y2 - 4 y +4 - 4 x 2 = -4 + 4 =* (y -2 )2- 4 x 2 = 0
(y -2 )2 x2 n
— —= 0 es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)
y 2 - I2y +46 = 0
Desarrollo
y2 -12y + 36 = -10 => (y -6 )2 = -18 no tiene lugar geométrico
3y2+2x = 0
Desarrollo
1 .
3y2 = -2 x es una parábola
xy - 6x + 2 = 0
Desarrollo
(ío) xy + 15y + 3x = 15
Desarropo
Factorizando se tiene: xy + 15y + 3x - 15 = 0 => y(x + 15) + 3(x + 15) = 60
(y + 3)(x + 15) = 60 es una hipérbola equilátera
@ y2 -2 y - 8 x + 25 = 0
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: y2-2 y = 8x-25 => y 2- 2y +1 = 8x-2 4
(y —l)2 = 8(x-3) es una hipérbola de vértice V(3,l)
Yt
0 X

! f y2 4 x - 2 y +6 =0
Desarrollo
x2 - 4 x + y 2 - 2 y = -6 => {x2 -4 x + 4) + (y2-2 y + l) = -6 + 4 + 1
(a: - 2)2+ ( y - l) 2 = -1 es una circunferencia imaginaria
y2 - 4 x 2- 4 y +4 = 0
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene: y 2- 4y - 4x2 = -4
y2 - 4 j + 4-4jc2 = -4 + 4 => (y -2 )2 -4jc2 =0
(v —2)2 x2
--------- —= 0 es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)
y —12y + 46 = 0
Desarrollo
y2 —12y + 36 = —10 => (>>-6)2 = -18 no tiene lugar geométrico
3y2 +2x = 0
Desarrollo
3y = -2x es una parábola
xy - 6x + 2 = 0
Desarrollo
K<presentación Gráfica 113
Factorizando se tiene: x(y - 6) = -2 es una hipérbola equilátera.
1.27. APLICACIONES DE LAS CURVAS CUADRATICAS EN
PROBLEMAS EN ADMINISTRACION - ECONOMIA. CURVAS
DE OFERTA Y DEMANDA.-
Funciones de demanda parabólicas
Funciones de oferta parabólicas

1.28. EQUILIBRIO DE MERCADO.-
E1 precio del producto y la cantidad del producto que corresponden al equilibrio de
mercado es determinado por la intersección de las curvas de oferta y demanda.
1.29. GRÁFICAS PE TRANSFORMACIÓN DEL PRODUCTO.-
La gráfica de transformación de productos corresponde a una familia de curvas de esta
clase, en la que los elementos de la familia corresponde a diversas cantidades de insumos.
1.30. PROBLEMAS.-
Para cada uno de los siguientes pares de ecuaciones
i) Determine ¿Cuál ecuación representa una curva de demanda, y cual una curva de
oferta?
ii) Evalué algebraicamente la cantidad y precio de equilibrio de mercado.
iii) Compruebe geométricamente los puntos de equilibrio determinados en forma
algebraica.
7 ) a) x = 16 - 2y b) 4x = 4y + y 2
Desarrollo
s 4x = y2 +4y => 4(jc+ 1) = (y +2)2
x = 16 - 2y es de demanda ; 4x =4y +y~ es de oferta
Wipresentación Grafica 115
jA= 16-2y
Calculando el punto de equilibrio: <
{4x = 4 y +y 2
4(16 - 2y) = 4y + y
de donde: y + 12y-64 = 0 => (y + 16)(y - 4) = 0 =>y = 4
para y = 4, x = 1 6 -8 = 8
Luego el punto de equilibrio del mercado es: (8,4)
© a) x = 130-4 y
Desarrollo
, x x
b) y = 10+ —+ ----
5 100
. „ x x
y = 10+ —+ ----
5 100
y - 9 = (— + 1)2
10
ahora calculemos el punto de equilibrio de mercado
* = 130-4 y
2 => x 2 +45*-2250 = 0 =* (x + 75)(x - 30) = 0
y = 10 + - + -----
5 100
de donde x = 30, y = -75
Luego el punto de equilibrio del mercado es (30,-75)

2>
„ X x~
a) y = 2 + —+ —
5 20
b) y =
x jr
y —10 H— i------
5 100
Desarrollo
(x + 2)2 = 20(y-~)
y=.
3 0 -x
11
4) a) y = l 6 - x 2 b) y = 4 + x
Desarrollo
y = 4 + x es de oferta ; y = 16- x es de demanda
ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado
«
Representación Grafica 117
©
©
y = 4 +x
=* 1 6 -X2 = 4 + ;
y = l 6 - x ¿
x2+x -12 =0 => (x + 4)(x- 3 ) = 0 x = 3
para x = 3, y = 7 el punto de equilibrio es (3,7)
a) jt = 3 2 - 4 y - y 2
Desarrollo
x = 32 —4y —y2 => x -3 6 = -(y + 2)2
b) y = — + 1
20
y = — + 1 es de oferta ; x = 3 2 - 4 y - y es de demanda
x = 20y-20
, =* 20y-20 = 3 2 - 4 y - y 2
x = 32 - 4y - y
y2+ 24y -5 2 = 0 => (y + 26)(y - 2) = 0 de donde: y = 2, x = 20
el punto de equilibrio es: (20,2)
a) y = 9x + 12 b) y = 39-3*
Desarrollo
y = 39-3x" =» y -3 9 = -3x

8
i
3x2 +9 x -2 7 = O =» x 2 + 3 x - 9 = 0 de donde (x + —)2 = 9 + —
2 4
3 y/45 3 3y¡5 , ‘ 3 3a/5 3 , «r 1N
x = — ± ------------------------------------------------------------------= — ± --- por lo tanto x = — + --= —(v5 —1)
2 2 2 2 "2 2 2
y = — (>/5-l) + 12 = — - J s - — entonces y = —(9>/5-l)
3 3
El punto de equilibrio es (—(-JE-1),—(9>/5 -1))
2 2
Desarrollo
b) x = ,/3 6 -y
y = 6 + : y - 6 = -
Kipresentación Grafica 119
Ahora calculamos el punto de equilibrio:
¿ xy = 6 + —
4
x = ^ 3 6 - y
=> y = 6 +
36- y
4y = 24 + 36 - y 3y = 60 => y = 20
para y = 20, x = 4. El punto de equilibrio es: (4,20)
a) y = (x+2)2
Desarrollo
b) • y = 3 9 -3 x 2
Y
, ''8 1/ ___
3 9 I
—► de oferta: y = (x + 2)2
4
r
/ l
/ l
/ i V - * - de demanda: y = 39
' x 5
/ l
/ i
/ l
l
0 5
2
1 X
y = (x + 2) ,,
Ahora calculamos el punto de equilibrio: < => (x + 2) = 39 - 3x
[y = 39-3 x 2
4x2 +4x -3 5 = 0 => (2x - 5)(x + 7) = 0 de donde: x = —, y = —-
2 4
5 81
Luego el punto de equilibrio es: (—,—)
a) y = 48 - 3x* b) y = x + 4x + 16
Desarrollo
í v = 48-3 x 2 fy - 48 = —3x2
{y = x2 +4x + i6 ^ { y —12 = (x + 2)2

a) x = 8 4 -y 2
jx = 84~y2
[x = y + 4y2
b) x - y +4y‘
Desarrollo
x = 84 - y ¿ es de demanda ; x = y + 4y es de oferta
Calculamos el punto de equilibrio de mercado
íx = 84 - y2 ,,
, => y +4y = 84-- y
[x = y +4y¿
5y2 + y -8 4 = 0 => (5y + 21)(y-4) = 0 de donde: y = 4, luego x = 68
Por lo tanto el punto de equilibrio es (68,4)
Krpresentación Grajica 121
fll) a) x = 10y + 5y2 b) x = 6 4 -8 y -2 y '
Desarrollo
x = 10y+5y' x + 5 = 5(y + l)
Ix = 6 4 -8 y -2 y 2 lx -7 2 = -2(y + 2)2
A' = 64—8 y -2 y 2 es de demanda ; x = 10y + 5y2 es de oferta
jx = 64 —8 y -2 y
10y + 5y2 = 6 4 -8 y -2 y 2
[x = 10y + 5y
7y2+18y~64 = 0 (7y + 32)(y - 2) = 0 de donde y = 2 luego x = 40
Por lo tanto el punto de equilibrio de mercado es: (40,2)
a) x = 10y + 4y
jx = 10y + 4y
|x = 9 6 -8 y -2 y 2
b) x = 9 6 -8 y -2 y
Desarrollo
x + 25 = 4(y + —)2
2
x —104 = -2(y + 2)2
x = 10y + 4y2 es de oferta ; x = 9 6 -8 y -2 y 2 es de demanda

3) a) (x+ 16)(y+ 12) = 480 b) y = 2x + 4
Desarrollo
(x + 16)(y + 12) = 480 es una hipérbola equilátera
(x + 16)(y + 12) = 480 es de demanda y = 2x + 4 es de oferta
ahora calculamos el punto de equilibrio, se tiene:
í(* +16)(y +12) = 480
< de donde: (x + 16)(2x + 16) = 480
[y = 2*+ 4
(x+ 16)(x + 8) = 240 => x2 + 24* + 128 = 240
x2 —24jt—112 =0 => (x + 28)(x - 4) = 0 de donde x = 4 luego y =12
Por lo tanto el punto de equilibrio se tiene (4,12)
Representación Grafica 123
@ a) X = 2y2 - 2 y - 6
j* = 2y - 2 y - 6
Lv= - y 2 - y + 18
Desarrollo
13 1,2
x +— = 2(y— y
2 2
73 , 1,2* ----- = (y + “~)
4 2
b) * = - y 2 - y + 18
jc= 2y2 --2 y -6 esdeoferta ; x = - y 2- y + 18 esdedemanda
í.x = 2y2 —2 y —6 2 ,
^ 2y - 2y - 6 = —y - y + 18
|* = - y 2 - y + 18
3y2 - y - 2 4 = 0 => (3y + 8)(y - 3) = 0 de donde y = 3 luego x = 6
por lo tanto el punto de equilibrio es (6,3)
a) y = 10—3* b) y = 4 + j t + 2*
Desarrollo
y = 10-3* y -10 = -3 *
[y = 4 + * + 2* [y —5 = (*+1)

Ahora calculamos el punto de equilibrio:
| y = 10-3*
4 + x2 + 2* = 10-3jt2
[y = 4 +x +2x
2x2+ x - 3 = 0 => (2x + 3)(x - 1) = 0 de donde x = 1, y = 7
a) xy = 30 b) 3 y -x = 9
Desarrollo
3y2 -9_v-30 = 0 => y2—3y-10 = 0 => (y -5 )(y + 12) = 0 de donde:
y = 5, x = 6 luego el punto de equilibrio es (6,5)
© a) xy = 15 b) y = x + 2
Desarrollo
xy = 15
• x(x + 2) = 15
y = * + 2
jr+ 2 X -1 5 = 0 => (x + 5)(x~3) = 0 dedonde x = 3 luego y = 5
Por lo tanto el punto de equilibrio es: (3,5)
a) (x + 10)(y + 20) = 300 b) x = 2 y -8
Desarrollo
Calculando el punto de equilibrio de mercado
(x + I0)(y + 20) ?=300
jt = 2y ~8
=s> (2y + 2)(y + 20) = 300

(y + l)(y + 20) = 150 =* y2 +21y + 20 = 150
y 2 + 2 1 y -130 = 0 => (y + 26)(y - 5) = 0 de donde y = 5 luego x = 2
19) a) (x + 1 6 )(y + 12)= 144
Desarrollo
Ahora calculamos el punto de equilibrio
(x + 6)()>+ 12) = 144
b) , = 2 + -
y = 2 + ^
=> (x + 6)(—+ 14) = 144 => (x + 6)(x + 28) = 288
x2 + 34x + 168 = 288 => jc2 +34*-120 = 0
-34 + ^342 + 4(120)
x = => x =
-34 + Vi 156+ 480
?S>
-34 +71636
x = ---------------- = 3.22 como x = 3.22, y = 3.61
Luego el punto de equilibrio es (3.22, 3.61)
a) (x + 12)(y + 6) = 169
Desarrollo
b) x - y + 6 = 0
K¡presentación Gráfica 127
©
Calculando el punto de equilibrio x- y + 6 = 0 => y = x + 6 como (x + 12)(y + 6) = 169
(x + 12)(x + 12) = 169 => (x + 12)2 = ¡69 <=> x = ± 1 3 -1 2 de donde x = 1, y = 7
Luego el punto de equilibrio de mercado es (1,7)
a) (x + 5)(y + 6) = 80 w , . r s
Desarrollo
Encontrando el punto de equilibrio se tiene:
í(x + 5)(y + 6) = 80
x => (x + 5)(^ + 9) = 80
ly = -~+ 3 3
I 3
(x + 5)(x + 27) = 240 => x + 32x+135 = 240

x2+32x-105 = 0 => (x + 35)(x - 3) = O de donde x = 3, y = 4
Luego el punto de equilibrio es (3,4)
a) (x + l)y = 5 b) y = -
Desarrollo
■
Calculando el punto de equilibrio:
(x + l)y = 5
x (x + l ) - = 5
4
x2 +x - 20 = 0 => (x + 5)(x - 4) = 0 de donde x = 4, y = 1
Luego el punto de equilibrio es: (4,1)
a) x(y + 6) = 24 b) y - 2x + 4 = 0
Desarrollo
presentación Gráfica 129
íJt(y '4*ó )= 24
Calculando el punto de equilibrio: V .=> x(2x + 2) = 24
[y -2 x + 4 = 0
(24)
x + x -1 2 = 0 => (x + 4 )(x -3 ) = 0 de donde x = 3, y = 2
Luego el punto de equilibrio del mercado es (3,2)
a) y(x + 3) = 18 b) y -3 x + 6 = 0
Desarrollo
Y '

/ / - * . de oferta
3 jL r d e dem anda

/
-3 0
/
/
/
//
2 3 x
/
// t
/
/
/
/
'-6
. Iy(x + 3) = 18
El punto de equilibrio es: < =í> (3x - 6)(x + 3) = 18
[y -3 x + 6 = 0
x + x -1 2 = 0 => x = 3, y = 3. Luego el punto de equilibrio es (3,3)
a) (x + 4)(y + 2) = 24 b) y = 1+
Desarrollo
HI<N

Calculando el punto de equilibrio
(x+4)(y+ 2) = 24
x => jc2 +10x-24 = 0
>’= ! + --
(x + 12)(x - 2) = O de donde x = 2, y = 2. Luego el punto de equilibrio es (2,2)
a) y = x +5x+l b) y + 2x~ —9 = 0
Desarrollo
[y = x2 +5;c + l
[y + 2x2 - 9 = 0
1 / 5,2
y + - = (jc+ - T
4 2
y - 9 = -2 xz
Í
y = x2 +5x +l 2 2
x +5x + l = 9 -2 x
y + 2x2 —9 = 0
3x + 5 x -8 = 0 => (3x + 8)(x - 1) = 0 de donde x = 1, y = 7
Luego el punto de equilibrio es: (1,7)
a) * = 3y - 3 y - 2 b) x = 1 0 -y - y
Desarrollo
J.v= 3y2 - 3 y - 2
[x = 10- y2- y
jc+ — = 3 ( y - - ) 2
4 2
41 / 1,2
x ------ = - ( y + - )
4 2
Htpresentación Gráfica 131
Calculando el punto de equilibrio de mercado
fx = 3y2 - 3 y - 2 , -,J n 2 a ., o _ m ..2
x = 10- y ~ - y
=í> 3y - 3 y - 2 = 10- y - y
4y2 ~ 2 y -1 2 = 0 => 2y2 - y - 6 = 0 => (2y + 3)(y - 2) = 0
Luego el punto de equilibrio de mercado es: (4,2)
@ a) (x + 10)(y + 5) = 225
Desarrollo
b)
Y'
; 10
/ ¡
d e oferta
i x '
l
/ / 1
s / L , - d e d e m a n d a
-10
r r /
~ 5 y '
/ i
/ i
/
s y /
0 5 X
N

I
/
-5
2
-y2-y
— _ —
X
de donde y = 2, x = 4
x - y + 5 = 0
Calculando el punto de equilibrio del mercado:

132 Eduardo Espinoza Ramos I
(* + 10)(y+ 5) = 225
(x+ 10)(x+ 10) = 225
* -> ’+ 5 = 0
(* + 10)2 = 225 => x + 10 = ± 15 de donde x = 5, y = 10
Luego el punto de equilibrio es (5,10)
Cada una de las ecuaciones siguientes representa una curva de transformación del
producto para las cantidades x, y respectivamente, de dos artículos relacionados; calcule
las máximas cantidades de x, y que puede producirse.
* = 3 6 -6 y 2
Desarrollo
La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde x = 36 es el valor máximo.
La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = V6 es el valor máximo.
y = 65-12*-5*
Desarrollo
761
y = 65 -12* -5 * , completando cuadrados: y -------= -5(* + —)
nUación Gráfica 133
I.a cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde 65 -12* - 5* =0
13
5*2+12* - 65 = 0 => (5x - 13)(x + 5) = 0 de donde * = ~ es el valor máximo.
La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = 65 es su valor máximo.
y —45-9*
Desarrollo
2 45
La cantidad x toma su valor máximo cuando y = 0 de donde * = — = 5 => * = V5
9
luego * = yfs es su valor máximo.
La cantidad y toma su valor máximo cuando x = 0 de donde y = 45 es su valor máximo.
* = 1 6 -4 y -2 y
Desarrollo
* = 16-4 v - 2v2 completando cuadrado *-18 = -2(y + l)¿

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