Continuando con el tema de las distribuciones discretas, adjunto esta presentación de la distribución binomial negativa y de la distribución geométrica

1. Distribuciones Binomial negativa y geométrica
MSc Edgar Madrid Cuello.
Dpto de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2018
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 1 / 11

2. ¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para
obtener de manera exacta k éxitos?.
Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el
número de repeticiones X es una variable aleatoria.
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3. ¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para
obtener de manera exacta k éxitos?.
Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el
número de repeticiones X es una variable aleatoria.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 2 / 11

4. ¾cuál es la probabilidad de tener que repetir el experimento n veces para
obtener de manera exacta k éxitos?.
Es decir, ahora el número de éxitos permanece constante en tanto que el
número de repeticiones X es una variable aleatoria.
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5. Denición (Distibución binomial negativa y geométrica)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa
parámetros k y p, si su función de densidad está dada por :
f(x) =
x−1
k−1 pk(1 − p)x−k si x = k, k + 1, . . .
0 e.c.o.c
En el caso especial k = 1, se dice que la v.a tiene distribución geométrica
de parámetro p (ver 1, Pág. 126)
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6. Denición (Distibución binomial negativa y geométrica)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa
parámetros k y p, si su función de densidad está dada por :
f(x) =
x−1
k−1 pk(1 − p)x−k si x = k, k + 1, . . .
0 e.c.o.c
En el caso especial k = 1, se dice que la v.a tiene distribución geométrica
de parámetro p (ver 1, Pág. 126)
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7. 4 6 8 10 12
0.050.100.15
Número de ensayos
Probabilidad
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
Figure: 1 Función de probabilidad de una distribución binomial negativa con
parámetros k = 3 y p =
1
2
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8. Ejemplo
Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo
examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa
ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos
de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si
40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones,
encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados
para hallar tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.90)
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9. Ejemplo
Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo
examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa
ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos
de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si
40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones,
encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados
para hallar tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.90)
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10. Ejemplo
Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo
examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa
ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos
de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si
40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones,
encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados
para hallar tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.90)
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11. Teorema (propiedades de la distribución binomial negativa)
Si X es una variable aleatoria con distribución binomial negativa de
parámetros k y p, entonces:
1 µX = E X =
k
p
2 σ2
X = V X =
k(1 − p)
p2
Ejemplo
Consulte el Ejercicio 3.90. Si cada examen cuesta $20, encuentre el valor y
la varianza esperados del costo total de realizar los exámenes necesarios
para hallar los tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.91)
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12. Teorema (propiedades de la distribución binomial negativa)
Si X es una variable aleatoria con distribución binomial negativa de
parámetros k y p, entonces:
1 µX = E X =
k
p
2 σ2
X = V X =
k(1 − p)
p2
Ejemplo
Consulte el Ejercicio 3.90. Si cada examen cuesta $20, encuentre el valor y
la varianza esperados del costo total de realizar los exámenes necesarios
para hallar los tres positivos. (ver 5, ejercicio 3.91)
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13. Ejemplo
Determinar el número esperado y la varianza del número de veces que es
necesario lanzar un dado corriente hasta que el resultado 1 ocurra 4
veces.
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14. Teorema (propiedades de la distribución geométrica)
Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p,
entonces:
1 µX = E X =
1
p
2 σ2
X = V ar X =
(1 − p)
p2
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15. Teorema (propiedades de la distribución geométrica)
Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro p,
entonces:
1 µX = E X =
1
p
2 σ2
X = V ar X =
(1 − p)
p2
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones Binomial negativa y geométrica 2018 8 / 11

16. Ejemplo
De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales.
Seleccionados varios de ellos, calcule la probabilidad de que el tercero con
alteración cerebral se encuentre en la 10a consulta de historiales.
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17. Ejercicio
En un experimento de percepción auditiva, la detección de una señal sobre
un fondo de ruido tiene una distribución binomial negativa, con p = 0.3.
(donde p es la probabilidad de detención del ruido). Si el experimento
termina con la quinta detección correcta. Calcular la probabilidad de que se
necesiten menos de 7 ensayos.
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18. Bibliográa
[1] Blanco, L. Probabilidad, Universidad Nacional de Colombia , Bogotá
D.C. 2010
[2] Devore, J.L. Probabilidad y estadistica para Ingenieria y ciencias,
Cengage Learning, 7a edición, Mexico, D.F., 2008
[3] Lind, D. and Marchal, W. y Wathen, S., Estadística Aplicada a los
negocios y a la economía. Mc Graw Hill, Mexico, D.F., 2012.
[4] Llinás, H. Guía resumida de Estadística Aplicada. Uninorte,
Barranquilla, 2012.
[5] Wackerly, D., Mendenhall, W., Scheaer, R. Estadística matemáticas
con aplicaciones.CENGAGE Learning, Mexico, D.F., 2013.
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