2. Definición
de conjuntos
En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o
agrupación de elementos siempre y cuando exista una
condición para que tales elementos pertenezcan a los
conjuntos, los elementos del conjunto también se les
denomina objetos del conjunto. Los conjuntos también son
otro tipo de objeto pero de otra categoría, esto lo veremos
en un capítulo más avanzado de conjuntos.
Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con
objetos reales como una agrupación de animales, personas,
países, capitales del mundo, tipos de palomas, en fin
cualquier cosa que tenga algo en común en la vida real para
agruparlos, no fue hasta el siglo XIX comenzó a aplicarse
el concepto de conjunto como un objeto abstracto donde
sus elementos se conformaban por ejemplo con números,
otros conjuntos, agrupaciones de signos matemáticos, etc.
3. Operaciones de conjuntos
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B, es decir:
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
4. Números reales
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o
corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto,
el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
1. Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
2. Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada
conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
3. Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso
su dominio está entre menos infinito y más infinito.
4. Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita.
5. Desigualdades
Como su mismo nombre lo dice, las desigualdades matemáticas se utilizan para expresar el tipo de
relación que existe entre dos expresiones algébricas que contienen valores distintos.
En ese sentido, una desigualdad matemática denota la relación de orden que existe entre los dos valores a
través de una serie de signos que indican el mayor, menor, mayor igual o menor igual.
Dependiendo del tipo de desigualdad matemática que se manifieste, se tendrá que llevar a cabo una
operación matemática diferente.
◦ Ejemplo 1: 6x-10>3x+5
◦ Paso 1: Trasladar los términos semejantes hacia lados diferentes.
◦ 6x-3x > 5+10
◦ Paso 2: Despejar x.
◦ 3x > 15
◦ x > 15/3
◦ x > 5
El conjunto solución es: {5; ∞}
La representación gráfica sería:
6. Valor
absoluto
Básicamente podemos decir que el valor absoluto de un número se
refiere al valor que éste tenga sin importar el signo. A pesar de que en
el campo del álgebra el tamaño, el valor y el signo importan, existen
algunos casos en las matemáticas y la vida diaria en las que ese signo
no es de importancia sino que lo que realmente importa es el tamaño,
éste es el valor absoluto de un número.
En su definición, el concepto nos indica en otras palabras que el
valor absoluto que tiene un determinado número siempre
será igual o mayor que 0 pero que nunca podrá ser negativo. En este
caso es importante mencionar que debido a esto, el valor absoluto que
tienen los números, por ejemplo, 4 y -4 siempre será |4|.
FUNCION:
La principal función que tiene el valor absoluto es la de poder
representar la distancia que existe desde el origen o desde el cero de
un número en una recta numérica hasta llegar al número o punto de
destino. Esta distancia siempre será positiva o nula.
La función del valor absoluto cuenta con su propia ecuación la cual
es:
f(x) = |x|
7. Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor absoluto, así como también con los
signos de valor absoluto. Por ejemplo, la expresión ∣x+5∣>2∣x+5∣>2 es una desigualdad con valor absoluto que
contiene un signo “mayor que”.
EJEMPLO
Resuelve la desigualdad ∣3x−4∣+9>5∣3x−4∣+9>5.
Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣3x−4∣+9>5∣3x−4∣+9>5
∣3x−4∣>5−9∣3x−4∣>5−9
∣3x−4∣>−4∣3x−4∣>−4
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? Sí, es un número negativo, -4. Vamos a mirar los signos de cada
lado de la desigualdad para determinar la solución para el problema:
∣3x−4∣>−4∣3x−4∣>−4
positivo > negativo
Este enunciado siempre es verdadero, por lo que la solución al problema es todos los números reales.
