Calculo

C´lculo para la ingenier´
a ıa

Salvador Vera

9 de enero de 2005

ii

Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

´
Indice general

1. Conceptos b´sicos
a 1
1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . . . . . 15
1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3. El c´ ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Representaciń de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 26
1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funciń . . . . . . . . . . . .
o . . . . 30
1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . 32
1.3.5. Composiciń de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 32
1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto . . . . . . .
a . . . . 43
1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.10. La funciń valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 45
1.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.1. C´lculo de l´
a ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.2. Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 54
1.5. L´
ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.5.1. Definiciń de l´
o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.5.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.5.4. Continuidad de una funciń en un punto . . . . . . . .
o . . . . 66
1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.8. Tćnicas elementales para el c´lculo de l´
e a ımites . . . . . . . . 78
1.5.9. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . 82
1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . .
e a . . . . 83
1.6. Funciones hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 85
1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 85
1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica
o ıa o . . . . 86
1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. . . . . . . . . .
e o . . . . 86

iii

iv ´
INDICE GENERAL

1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.5. F´rmulas del ńgulo doble . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas
a o . . . . . . . . . . . . . . 88
1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 89
1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.10. F´rmula logar´
o ıtmica de las funciones hiperb´licas
o inversas . . 90
1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2. Funciones de varias variables: L´ ımites 93
2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.2. Dominio de una funciń de varias variables . . . . . . . .
o . . 97
2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 102
2.1.4. Composiciń de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 104
2.1.5. Gr´fica de una funciń de dos variables . . . . . . . . . .
a o . . 110
2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables . . 118
2.2. L´
ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.1. Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 119
2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . . . 121
2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definiciń . . . . . . .
o . . 126
a ımites mediante operaciones algebraicas . . . . . 130
2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaciń . . . . . . . . . . . .
o . . 132
2.2.8. Infinit´simos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . 133
2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.2.10. L´
ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3. Derivada de Funciones de una variable 149
3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.4. Definiciń de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 152
3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . .
a . 156
3.1.9. La ecuaciń de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . .
o . 156
3.1.10. La ecuaciń de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 158
3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical . 158
3.2. Funciń derivada. reglas de derivaciń. . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 159
3.2.1. Funciń derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 159
3.2.2. Reglas de derivaciń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 160
3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . . 162
3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 164
3.2.5. Derivaciń de funciones impl´
o ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2.6. Derivaciń logar´
o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

´
INDICE GENERAL v

3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2.8. Aproximaciń lineal y notaciń diferencial . . . . . . . . . . .
o o 170
3.3. L´
ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.3.1. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 172
3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . .
e a 172
3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. . . . . . . . . .
o 173
3.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 183
3.5.1. Introducciń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 183
3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 184
3.5.3. Polinomio de Taylor de una funciń no polin´mica . . . . . .
o o 187
3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 189
3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproximados .
o a 193
3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de l´
o a ımites . . 195
3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6.1. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
a ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 200
3.6.3. Determinaciń de funciones conocidos sus puntos cr´
o ıticos . . 203
3.6.4. Problemas de aplicaciń de m´ximos y m´
o a ınimos . . . . . . . . 204

4. Derivaciń de funciones multivariables
o 211
4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.1.1. Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 211
4.1.2. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 212
4.1.3. La funciń derivada parcial . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 214
4.1.4. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . .
a . . . . . 216
4.1.5. Razń de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 218
4.1.6. Interpretaciń geom´trica de las derivadas parciales
o e . . . . . 219
4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . .
o . . . . . 222
4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . 231
4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4.1. Generalizaciń del concepto de diferenciabilidad . .
o . . . . . 233
4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 237
4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . . . . . . 243
4.4.6. Condiciń suficiente para la diferenciabilidad . . . .
o . . . . . 244
4.4.7. Caracterizaciń de las funciones diferenciables . . . .
o . . . . . 246
4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . 248
4.4.9. La derivada segń una direcciń curva . . . . . . . .
u o . . . . . 249
4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.5.1. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 249
4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 251
4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

vi ´
INDICE GENERAL

4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . 261
4.6.4. La diferencial como aproximaciń del incremento . . . . . .
o . 263
4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . 268
4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 269
4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 271
4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . 276
4.8.2. Composiciń de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . .
o . 277
4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . .
o . 280
4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva prćtica: Parciales . . . . .
a . 282
4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . 290
4.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . 305
4.10.1. Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 305
4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . 307
4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . 315
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

5. Integral definida. C´lculo de primitivas
a 329
5.1. La estimaciń de un area. Sumas de Riemann. . . . . . . . .
o ´ . . . . 329
5.1.1. Significado geom´trico de la integral . . . . . . . . . .
e . . . . 329
a ımites utilizando el concepto de integral . . . . . 334
5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 340
5.2. El teorema fundamental del C´lculo . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 343
5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . . 347
5.3. Integraciń inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 350
5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 350
5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4. Integraciń mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . .
o . . . . 352
5.5. Integraciń por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 356
5.6. Integraciń de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 359
5.6.1. Integraciń de fracciones elementales . . . . . . . . . .
o . . . . 359
5.6.2. Integraciń mediante desarrollo en fracciones simples .
o . . . . 360
5.7. Integraciń de expresiones trigonom´tricas . . . . . . . . . . .
o e . . . . 367
5.7.1. Integraciń de potencias de funciones trigonom´tricas
o e . . . . 367
5.7.2. Integraciń de funciones racionales del sen y del cos .
o . . . . 369
5.8. Integraciń de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 371
5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.8.2. La sustituciń trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . 372

´
INDICE GENERAL vii

6. Aplicaciones de la integral. 377
6.1. C´lculo del area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ´ . 377
6.2. C´lculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 380
6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´todo de secciones . .
e . 380
6.2.2. Volumen de un s´lido de revoluciń: M´todo de discos . . .
o o e . 381
6.2.3. Volumen de un s´lido de revoluciń: M´todo de los cilindros
o o e . 381
6.3. L´
ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 389

Bibliograf´
ıa 393
´
Indice alfab´tico
e 394

Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

Cap´
ıtulo 1

Conceptos b´sicos
a

1.1. La recta real
Suponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su representaciń en la
u ı o
recta real.
Los n´meros reales se pueden representar mediante expresiones deci-
u
males finitas o infinitas. Si la expresiń decimal es finita o peri´dica infinita,
o o
entonces el n´mero real se puede expresar como el cociente de dos n´ meros
u u
enteros y se dice que el n´mero real es racional. Rec´
u ıprocamente cualquier
n´mero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una
u
expresiń decimal finita o infinita peri´dica. Cuando la expresiń decimal
o o o
tiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´dica se dice que el
o
n´mero real es irracional.
u
Los n´meros reales admiten una representaciń geom´trica en una recta.
u o e
En dicha representaciń cada n´mero real se representa por un solo punto
o u
de la recta y cada punto de la recta representa un solo n´mero real. En con-
u
secuencia, hablaremos indistintamente de n´mero o de punto. Por convenio,
u
los n´meros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a
u
la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado
los n´meros reales.
u
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
√ π
2 2

Figura 1.1: La recta real

1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos
Definiciń 1.1 (N´ meros positivos y n´ meros negativos).
o u u
1) Para cada n´mero real, a, est´ definida una y s´lo una de las siguientes
u a o
relaciones:

1

2 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0;
b) a es igual a cero, a = 0;
c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.
2) Si a y b son n´meros positivos, entonces:
u
a) Su suma es positiva, a + b > 0.
b) Su producto es tambiń positivo, ab > 0.
e

Definiciń 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´meros reales a y
o u
b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo.

a<b ⇔ b−a>0

Si a es menor que b, tambiń se dice que b es mayor que a y se escribe b > a
e
ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b.
El s´

Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.

Proposiciń 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d
o
son n´meros reales, se tiene:
u
1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
a+c<b+c
3. Si a < b, entonces, para cualquier n´mero real c
u
a−c<b−c
4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp
5. Si a < b y n < 0, entonces an > bn

Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las
mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos
miembros, por un n´ mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´
u ı,

−2x < 6 ↔ x > −3

Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambiń se llama inecuaciń.
e o

Definiciń 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´meros reales tales que
o u
a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos
comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos

(a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com-
prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos

[a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}

1.1. LA RECTA REAL 3

Nota: Usamos parńtesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
Tambiń se definen los siguientes tipos de intervalos:
e
Intervalos semiabiertos

[a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b}

(a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}

Intervalos infinitos

(−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}
(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}
(a, +∞) = {x ∈ R/ a < x}
[a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x}
(−∞, +∞) = R

Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluciń de las
o
siguientes desigualdades
a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2x < 5
Soluciń. a) Operando, como si se tratara de una ecuaciń, resulta:
o o
8
2x − 3 < 5 ⇔ 2x < 5 + 3 ⇔ x<⇔ x<2
2
Por tanto, el conjunto soluciń es el intervalo (−∞, 2).
o
b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-
timos el sentido de la desigualdad. As´ı,
2
3 − 2x < 5 ⇔ −2x < 5 − 3 ⇔ x> ⇔ x > −1
−2
Luego el conjunto soluciń es el intervalo (−1, +∞).
o
Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto
soluciń del siguiente sistema de desigualdades
o
2x + 1 ≥ −1
3x − 7 ≤ 2
Soluciń. Se trata de hallar la intersecciń de los conjuntos soluciń de
o o o
cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones
por separado y luego hallamos la intersecciń
o
2x + 1 ≥ −1 2x ≥ −1 − 1 2x ≥ −2 x ≥ −1
3x − 7 ≤ 2 3x ≤ 2 + 7 3x ≤ 9 x≤3
Luego el intervalo soluciń es [−1, 3]
o

4 CAP´ ´

Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluciń
o
del siguiente sistema de desigualdades
2 − 3x ≥ −1
2 − 3x ≤ 11
Soluciń. Podemos resolver cada inecuaciń por separado, o bien, utilizar el
o o
hecho de que la expresiń 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar
o
conjuntamente. As´ı,
2 − 3x ≥ −1
− 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11
2 − 3x ≤ 11
restando 2 en los tres miembros, resulta
−3 ≤ −3x ≤ 9
y dividiendo por -3
1 ≥ x ≥ −3
Luego el conjunto soluciń es el intervalo [−3, 1].
o
Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´ticas). Hallar el conjunto
a
soluciń de la inecuaciń x
o o 2 < 6x − 8

Soluciń. El camino m´s fćil para resolver estas inecuaciones es dejar sola-
o a a
mente cero en el segundo miembro. As´ ı,
x2 − 6x + 8 < 0
ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8,
hallamos las ra´
√
6 ± 36 − 32 6±2 4
x − 6x + 8 = 0 ⇔ x =
2
= =
2 2 2

Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´lo en sus ceros1 ,
o
podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada
uno de los intervalos
x < 2, 2 < x < 4, x>4
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo
el polinomio conserva el signo). As´ı,
p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0, p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0
Como la desigualdad se cumple s´lo en el intervalo central, se concluye que
o
el conjunto soluciń es
o
2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4)
1
ver Corolario 1.3 en la p´gina 69
a


Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu-
ciń de la desigualdad
o
x−2
<2
x−4
Soluciń. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos
o

x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x
<2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 ⇔ <0
x−4 x−4 x−4 x−4

Consideramos la funciń racional
o
6−x
r(x) =
x−4

Y teniendo en cuenta que una funciń racional puede cambiar de signo tanto
o
en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la
funciń puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos
o
resolver la desigualdad comprobando el signo de la funciń racional en cada
o
uno de los intervalos

x < 4, 4 < x < 6, x>6

que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor de la funciń en ese punto. As´
o ı,

6 1 −1
r(0) = < 0, r(5) = > 0, r(7) = <0
−4 1 3

Como la desigualdad se cumple s´lo en los dos intervalos de los extremos,
o
se concluye que el conjunto soluciń es
o

x < 4 ´ x > 6, es decir, la uniń de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞)
o o

Ejemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraciń o
sucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluciń de la desigualdad
o

2x − 3 1
< (x = −3)
x+3 2

Soluciń. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo,
o
no podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, ya
que no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha de
cambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes:

a) x + 3 > 0
b) x + 3 < 0

6 CAP´ ´

a) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicar
ambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de la
misma. Co lo que resulta,

x+3>0 x > −3
2x − 3 1 −3<x<3
< 4x − 6 < x + 3 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3
x+3 2
b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicar
ambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentido
de la misma. Co lo que resulta,

x+3<0 x < −3
2x − 3 1
< 4x − 6 > x + 3 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3
x+3 2
que no tiene soluciń, puesto que ningń n´mero x es, a la vez, x < −3 y
o u u
x > 3.
En consecuencia se concluye que el conjunto soluciń es:
o

−3 < x < 3, es decir, el intervalo (−3, 3).

Resoluciń de desigualdades por factorizaciń
o o
Las desigualdades polin´micas y las racionales tambiń pueden resolverse
o e
por factorizaciń, como se describe en los siguientes ejemplos.
o

Ejemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizaciń). Resolver
o

(x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0

Soluciń. Hallamos los ceros de cada uno de los factores:
o

x = −2, x = 1, x=3

y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros,

(−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)

Como el producto (x + 2)(x − 1)(x − 3) conserva el signo dentro de cada
intervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sin
embargo, en vez de elegir un n´mero en cada intervalo y ver el signo del
u
producto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derecha
a izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar por
su ra´ correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relaciń de
ız o
signos,
− − − − − + − + + + + +

−2 1 3


Multiplicando los signos en cada intervalo, resulta que el producto es positivo
para los intervalos (−2, 1) y (3, +∞), luego el conjunto soluciń es
o

(−2, 1) ∪ (3, +∞).

Las desigualdades racionales se resuelven igual que las polin´micas. En
o
efecto, teniendo en cuenta que el signo del cociente de dos n´meros es el mis-
u
mo que el signo de su producto, resulta que el conjunto soluciń del cociente
o
P (x)/Q(x) > 0 es el mismo que el del producto P (x) · Q(x) > 0. En conse-
cuencia, consideramos los ceros, tanto del numerador como del denominador,
y repetimos el proceso del ejemplo anterior.

1.1.2. Valor absoluto y distancia
El valor absoluto de un n´mero real x se designa por |x| y se define del modo
u
siguiente:
|x| = x si x > 0,
|x| = −x si x < 0,
|0| = 0.
Ahora bien, teniendo en cuenta que para x = 0 es v´lida la igualdad |x| = x,
a
podemos escribir m´s brevemente
a

x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0

En consecuencia, podemos dar la siguiente

Definiciń 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´mero
o u
ımbolo |x|, a dicho n´mero si es positivo o cero,
real x, y se denota por el s´ u
y a su opuesto si es negativo.

x si x ≥ 0
| x |=
−x si x < 0

Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.
Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.
Nota: El valor absoluto de un n´ mero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea
u
positivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) =
+3 que tambiń es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos
e
se compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´ ıcita
se compensa con el signo menos que x tiene impl´ıcitamente, ya que hemos supuesto, en el
segundo apartado, que x es negativo.
El valor absoluto tambiń se puede definir de la siguiente forma.
e

|x| = m´x{x, −x}
a

Al valor absoluto de un n´mero tambiń se le llama su m´dulo.
u e o

8 CAP´ ´

Ejemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones:
√ √ √ √
(a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10|

Soluciń. Tenemos que comprobar si la expresiń que hay dentro del valor
o o
absoluto da como resultado un n´mero positivo o negativo, si es positivo la
u
dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en
positivo. En consecuencia:
√ √ √ √
(a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − 3 √
√ √ √
(b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10

Propiedades del valor absoluto
1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo.

2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir.

3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir.

4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo.
√
5. x2 = |x|

6. −|x| ≤ x ≤ |x|

7. |x + y| ≤ |x| + |y|

8. |xy| = |x| · |y|

9. |x| = |y| ⇔ x = ±y
Si p es positivo, se tiene: |x| < p
10. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p −p 0 p
k
Q

x≥p ' |x| = p E
11. |x| ≥ p ⇔ o k
Q

x ≤ −p |x| p

Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse
de la forma:
|x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p
Habr´ que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado.
a

Nota: (Aclaraciones sobre la ra´ cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de
ız
la ra´ cuadrada. En Matem´ticas, la ra´ cuadrada de un n´mero se define de la siguiente
ız a ız u
forma

Definiciń 1.5. El n´mero b se llama ra´ cuadrada del n´mero a si b2 = a.
o u ız u
√
b = a ⇔ b2 = a


Esta definiciń significa lo siguiente:
o
1. Si el n´ mero a es positivo, existen exactamente dos ra´
u ıces cuadradas de a, una
positiva y la otra negativa.
2. Si a = 0, existe una sola ra´ cuadrada de a, la que es igual a cero.
ız
3. Si el n´ mero a es negativo, no existe ninguna ra´ cuadrada de a.
u ız
En C´lculo, esta definiciń de ra´ cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias
a o ız
dificultades:
√
1. La ecuaciń y = x no representar´ una funciń ya que, dicha relaciń, asignar´
o ıa o o ıa
dos valores a un mismo n´ mero, por ejemplo, f (4) = ±2, lo que no est´ permitido
u a
para las funciones como veremos en la Secciń 1.3.
√ o
2. Segń esta definiciń 4 no ser´ un n´mero, sino un conjunto de n´meros, ya que
√ u o ıa u √ u
4 = {−2, 2}, y no tendr´ sentido hablar de la suma 3 + 4, ya que no sabr´
ıa ıamos
si dicha suma es 1 o 5.
Para resolver estos problemas, en C´lculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra´
a ıces,
introduciendo el concepto de ra´ aritm´tica.
ız e

Definiciń 1.6 (Ra´ cuadrada aritm´tica). Se llama ra´ cuadrada aritm´tica de un
o ız e ız e
n´mero positivo, a, a la ra´ cuadrada positiva de este n´mero.
u ız u
√
b = a ⇔ b2 = a y b ≥ 0

En consecuencia, la afirmaciń de que b es la ra´ cuadrada aritm´tica de a es equi-
o ız e
valente a un conjunto de dos afirmaciones: b2 = a y b ≥ 0; con esto se supone que a es un
n´mero positivo o cero.
u
En C´lculo, cuando hablamos de ra´ cuadrada nos referimos, siempre, a la ra´ cuadra-
a ız ız
da √aritm´tica. As´ por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ cuadradas, 2 y -2, con el s´
e ı, ıces √ ımbo-
lo 4 solamente nos referimos a la ra´ cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´
ız √ ız
cuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2. Es de-
√
ımbolo x denota exclusivamente la ra´
cir, en C´lculo, para evitar la ambivalencia, el s´
a ız
no-negativa de x.
Tenemos que tanto x como −x son ra´ 2 2
√ ıces cuadradas de x , ya que (+x) = x y
2
2 2
(−x) = x . Sin embargo, en C´lculo, x2 no es simplemente un n´ mero cualquiera que
a u
elevado al cuadrado da x2 , sino que es indispensablemente un n´ mero positivo o cero. En
u
consecuencia, √
x2 = |x|
Lo que significa que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra´
ız
cuadrada, salvo que el radicando sea positivo.
√
x2 = x

Por otro lado, la soluciń de la ecuaciń x2 = p no se puede expresar simplemente
o o
√
con x = p, ya que con este s´ ımbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dos
posible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar
√
x2 = p ⇒ x = ± x

Ejemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua-
ciones:

1. |x − 5| = 4, 2. |x − 5| = −4, 3. |x − 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x − 9

Soluciń.
o

10 CAP´ ´

x−5=4 x=9
1. |x − 5| = 4 ⇒ o
´
x − 5 = −4 x=1

2. |x − 5| = −4 No tiene soluciń.
o

3. |x − 5| = 0 ⇒ x−5=0 ⇒ x=5
x+1≥0 x ≥ −1
x=5
x + 1 = 3x − 9 10 = 2x
4. |x + 1| = 3x − 9 ⇒ ´
o ⇒x=5
x+1≤0 x ≤ −1
No
−x − 1 = 3x − 9 8 = 4x

En general, el m´todo m´s directo de atacar un problema referente a
e a
valores absolutos requiere la consideraciń por separado de distintos casos,
o
con objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habr´ que a
considerar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo.
Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casu´ ıstica se
complique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades,
en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de los
valores absolutos.
Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros m´todos m´s sencillo
e a
que eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casu´
ıstica de los sig-
nos. Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizando
la representaciń gr´fica. Por ejemplo, la ecuaciń |x + 1| = 3x − 9 tambiń
o a o e
puede resolverse gr´ficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ficas
a a
de las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordar
esta ecuaciń es resolviendo la ecuaciń irracional: (x + 1)2 = 3x − 9
o o
Nota: Al resolver una ecuaciń con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema
o
formado por una inecuaciń y una ecuaciń. Evidentemente, la inecuaciń no es necesario
o o o
resolverla, ya que podemos resolver la ecuaciń y comprobar si las soluciones de la misma
o
cumplen o no la inecuaciń. Si la cumplen la aceptamos como soluciń y si no la cumplen
o o
la rechazamos.
Puede ocurrir que una soluciń rechazada en un caso, aparezca como soluciń valida
o o
en otro de los casos. En tal caso se acepta la soluciń (siempre est´ la posibilidad de
o a
comprobar las soluciones en la ecuaciń inicial).
o
Cuando se trata de resolver una inecuaciń con valores absolutos, entonces s´ que hay
o ı
que resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la intersecciń de los
o
conjuntos soluciń.
o
Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendr´ varias inecuaciones que corre-
ıa
r´ la misma suerte de lo dicho anteriormente.
ıan

Ejemplo 1.10. Resolver la ecuaciń |x2 − 2x − 8| = x + 2
o

Soluciń. Consideramos sucesivamente los dos casos:
o
a) x2 − 2x − 8 ≥ 0,
b) x2 − 2x − 8 0.


a) x2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuaciń: x2 − 2x − 8 = x + 2.
o
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x2 − 2x − 8 ≥ 0
x2 − 3x − 10 = 0
Para ello resolvemos la ecuaciń y comprobamos las soluciones en la in-
o
ecuaciń. As´
o ı,
√
3 ± 9 + 40 3±7 5
x − 3x − 10 = 0 → x =
2
= =
2 2 −2
de donde,
x = 5 ⇒ 52 − 2 · 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 0,
x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
Luego las dos soluciones son v´lidas.
a
b) x2 − 2x − 8 0. En este caso resulta la ecuaciń: −x2 + 2x + 8 = x + 2.
o
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x2 − 2x − 8 0
x2 − x − 6 = 0
Para ello resolvemos la ecuaciń y comprobamos las soluciones en la in-
o
ecuaciń. As´
o ı,
√
1 ± 1 + 24 1±5 3
x −x−6=0 → x=
2
= =
2 2 −2
de donde,
x = 3 ⇒ 32 − 2 · 3 − 8 = 9 − 6 − 8 = −5 0,
x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
En este caso la primera soluciń es valida y la segunda no. No obstante,
o
x = −2 es valida, por el caso anterior.
En consecuencia las soluciones de la ecuaciń inicial son x = −2, x = 3
o
y x = 5.
Ejemplo 1.11. Resolver la ecuaciń x2 − 4|x| − 5 = 0
o
Soluciń. En este ejemplo, para liberarnos del m´dulo podemos considerar
o o
sucesivamente los dos casos x ≥ 0 y x 0; o bien, teniendo en cuenta que
x2 = |x|2 , transformar la ecuaciń inicial en |x|2 −4|x|−5 = 0 que se resuelve
o
con un cambio de variable, o bien, directamente:
√
4 ± 16 + 20 4±6 5⇒x=5 o −5 ´
|x| − 4|x| − 5 = 0 ⇒ |x| =
2
= =
2 2 −1 no es soluciń
o
Luego la ecuaciń inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = −5.
o

12 CAP´ ´

Ejemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes
desigualdades:

1. |x − 1| ≤ 3, 2. |2 − 4x| ≤ 6, 3. |x| ≥ 2
4. |x − 1| ≥ 2 5. |2x − 3| ≤ −2, 6. |2x − 3| ≥ −2

Soluciń.
o
ä ç
1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4

2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒
ä ç
⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2

x≥2 ç ä
3. |x| ≥ 2 ⇒ ⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞
x ≤ −2

x≥3
4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ ⇒
x ≤ −1
ç ä
⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞

5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluciń.
o

6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)
Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual-
dades:

|2x − 2| ≤ 4
|2x − 3| ≥ 1
Soluciń. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la
o
intersecciń de los conjuntos soluciń.
o o
|2x − 2| ≤ 4 −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3
x≥2 ⇒
|2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒
x≤1
ä ç ä ç
⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3

Expresiń de intervalos mediante valor absoluto
o
Cualquier intervalo se puede expresar en t´rminos de valor absoluto de la
e
siguiente forma:
ä ç a+b b−a
a, b = x ∈ R/ |x − |≤
2 2
Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces:

|x − m| ≤ r


Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´tica de
e
sus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es
a+b
m=
2

Ejemplo 1.14 (Expresiń de intervalos mediante valor absoluto). Expresar
o
mediante valor absoluto los siguientes intervalos:
ä ç ä ç ç ä ç ä
1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ .

Soluciń.
o
ä ç
1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤ 2}
ä ç
2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2}
ç ä
3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2}
ç ä
4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}

Definiciń 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno
o
reducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.

Ejemplo 1.15 (Expresiń mediante valor absoluto de un entorno reducido).
o
Expresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.

Soluciń.
o
(2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 |x − 4| 2}
La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 |x − 4|

Distancia entre dos puntos de la recta real
Definiciń 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La
o
distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por el
valor absoluto de su diferencia

d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2

Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 |
A la diferencia de los n´ meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida.
u
As´
ı,
a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y,
b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 .
En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha
(orden creciente de los n´ meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden
u
decreciente de los n´meros).
u

Ejemplo 1.16 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5

14 CAP´ ´

Soluci´n. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por:
o

d = |5 − (−2)| = |7| = 7

b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7
c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7
Distancia = 7

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 1.2: Distancia en la recta real

Ejercicios propuestos de la secci´n 1.1. La recta real
o
Soluciones en la p´gina 389
a
1.1.1. Resolver las inecuaciones:

a) 3x − 4 ≤ −1 b) 2 − 3x ≥ 11

1.1.2. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones

3x − 2 ≥ 7 4x − 1 ≥ −5 3 − 2x ≥ −1
a) b) c)
5x − 7 ≤ 3 7x − 1 ≤ 13 3 − 2x ≤ 7

1.1.3. Resolver las desigualdades:
2x − 3
a) x2 + 5 ≤ 6x b) 1
x−5

1.1.4. Resolver las desigualdades:
1
a) x b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8
x
1.1.5. Resolver las ecuaciones:
¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬
a) |x + 1| + 2 = 2 b) |x + 1| + 2 = 1 c) |x + 1| + 2 = 3

1.1.6. Resolver las ecuaciones:
¬x − 2¬
¬
a) |3x − 6| = x + 2 b) ¬x − 1¬ = 3
¬
c) |x2 − 6x + 8| = x − 2 d) x2 + |x| − 2 = 0

1.1.7. Resolver las desigualdades
¬x − 2¬
¬
a) |3x − 6| x + 2 b) ¬x − 1¬ 3
¬
1.1.8. Expresar mediante valor absoluto las siguientes desigualdades:

x0 − δ x x0 + δ
a) b) − ε f (x) + ε
x = x0

1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 15

1.2. El plano y el espacio cartesiano
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas
a) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicional-
mente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecciń se llama origen de
o
coordenadas.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cua-
drantes.
Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´meros
u
reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama coordenada x
u
o abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´mero
u
y se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desde
el eje x al punto.
y

Cuadrante II 3 Cuadrante I
2 x (x, y)
y
1 y
x
−3 −2 −1 1 2x3
−1
−2 Origen
Cuadrante III −3 Cuadrante IV

Figura 1.3: El plano cartesiano

Nota: Usamos parńtesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
b) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x,
el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecciń se llama origen
o
de coordenadas.
Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaciń positiva
o
u orientaciń negativa. Tiene orientaciń positiva si un “tornillo” situado
o o
en el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcciń
o
positiva del eje z; y orientaciń negativa si avanza en direcciń contraria.
o o
Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planos
coordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos

16 CAP´ ´
z z
T T
y x
E E
x
©
y
©

Orientaciń positiva
o Orientaciń negativa
o

Figura 1.4: Las dos orientaciones del espacio.

coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primer
octante es aquel en que las tres coordenadas son positivas.
Cada punto del espacio se identifica por una terna ordenada (x, y, z) de
n´meros reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama co-
u u
ordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el plano yx al
punto. El n´mero y se llama coordenada y u ordenada y representa la dis-
u
tancia dirigida desde el plano xz al punto. El n´mero z se llama coordenada
u
z o cota y representa la distancia dirigida desde el plano xy al punto.
P (x, y, z)
z
y x
y
z
x

Figura 1.5: El espacio cartesiano

1.2.2. Distancia entre dos puntos
a) En el plano. Para hallar la distancia entre dos puntos del plano (x1 , y1 )
y (x2 , y2 ). Formamos con ellos un trińgulo rectńgulo, con lados paralelos
a a
a los ejes de coordenadas, y aplicamos el teorema de Pit´goras.
a
y
y1 (x1 , y1 )
|y2 − y1 | d
y2 (x2 , y2 )
|x2 − x1 |
x1 x2 x

Figura 1.6: Distancia entre dos puntos

En su virtud, resulta

d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2


de donde, tomando la ra´ cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos
ız
puntos es un n´mero positivo, resulta
u

d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Proposiciń 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia
o
d entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por

d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,
(x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´goras dos veces y se
a
obtiene la siguiente f´rmula o

d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio n-
dimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn )
u
El n´mero xi se llama coordenada i-´sima del punto x; i = 1, 2, . . . , n.
u e

Definiciń 1.9 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia
o
entre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por la
f´rmula
o
d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 (1.1)

Ejemplo 1.17 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia:

a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1).
b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).

Soluciń. Aplicando, en cada caso, la f´rmula (1.1), resulta
o o
√ √
a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5
√ √
b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3

1.2.3. El c´
ırculo y la esfera
a) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferen-
cia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ formada por los puntos del plano cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resulta

Proposiciń 1.3 (Ecuaciń de la circunferencia). El punto (x, y)
o o
est´ en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
a o

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (1.2)

18 CAP´ ´

Demostraciń. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su dis-
o
tancia al centro (x0 , y0 ), ser´ r, en consecuencia
a

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r

y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaciń
o
de la circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2

Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) y
radio r, su ecuaciń ser´
o a
x2 + y 2 = r2
Se llama c´
ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuencia

Proposiciń 1.4 (Ecuaciń de un c´
o o ırculo o disco). El punto (x, y)
ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
est´ en el c´
a o

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 r2 (1.3)

Si consideramos que el c´
ırculo incluye la circunferencia, su ecuaciń es
o

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2

y y
(x0 , y0 ) (x0 , y0 )
r r
(x, y) (x, y)
x x

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
Figura 1.7: Circunferencia y c´
ırculo

Ejemplo 1.18 (Hallando la ecuaciń de una circunferencia). Una circunfe-
o
rencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3)
a) Halla la ecuaciń de la circunferencia
o
b) Halla la ecuaciń del c´
o ırculo delimitado por la circunferencia

Soluciń. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En
o
consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13

Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaciń de la circunferencia.
o
√
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2


de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 13
b) Ecuaciń del c´
o ırculo.

(x + 2)2 + (y − 1)2 13

y
(1, 3)
(−2, 1)r
x

Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13

Ecuaciń general de la circunferencia. Si en la ecuaciń canńica de la
o o o
circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
eliminamos los parńtesis y simplificamos, resulta una ecuaciń del tipo
e o

Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, A=0 (1.4)

que es la forma general de la ecuaciń de la circunferencia.
o
Nota: Obs´rvese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate
e
de una circunferencia.

Ejemplo 1.19 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de la
circunferencia cuya ecuaciń en forma general es
o

4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0

Soluciń. Pasamos de la forma general a la forma canńica completando
o o
cuadrados. Para ello; en primer lugar, dividimos por 4 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
13
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 → x2 + y 2 + x − 4y + =0
4
y, en segundo lugar, agrupamos los t´rminos semejantes.
e
13
(x2 + x+ ) + (y 2 − 4y+ )=−
4
Completamos los cuadrados
1 13 1
x2 + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + + 4
4 4 4

20 CAP´ ´

de donde resulta
1 2
x+ + (y − 2)2 = 1
2
y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 , 2) y radio 1.
2

Ejemplo 1.20 (Conjunto soluciń con un unico punto). Discutir la gr´fica
o ´ a
de la ecuaciń
o
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0
o o
cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.

3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 → x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0

en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes
e

(x2 − 6x+ ) + (y 2 − 4y+ ) = −13

completamos los cuadrados, con lo que resulta

(x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4

de donde
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 0
y esta ecuaciń s´lo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´fica de
o o a
la ecuaciń se reduce al punto (3, 2)
o
Ejemplo 1.21 (Ecuaciń sin conjunto soluciń). Discutir la gr´fica de la
o o a
ecuaciń
o
x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0
o o
cuadrados. Agrupamos los t´rminos semejantes, tenemos
e

(x2 + 2x+ ) + (y 2 − 4y+ )+9=0

completando cuadrados

(x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0

de donde resulta
(x + 1)2 + (y − 2)2 = −4
que no tiene soluciń ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un
o
resultado negativo.


Nota: La ecuaciń general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una
o
circunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tiene
soluciń
o

b) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´rica e
de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ formada por los puntos del espacio cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguiente

Proposiciń 1.5 (Ecuaciń de la superficie esf´rica). El punto
o o e
(x, y, z) est´ en la superficie esf´rica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si
a e
y s´lo si
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5)

Demostraciń. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´rica, su
o e
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ r. En consecuencia
a

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r

y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaciń
o
de la superficie esf´rica
e
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2

Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radio
r, la ecuaciń de la superficie esf´rica ser´
o e a

x2 + y 2 + z 2 = r2

Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´rica. En conse-
e
cuencia
Proposiciń 1.6 (Ecuaciń de una esfera o bola). El punto (x, y, z)
o o
est´ en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´lo si
a o

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 r2 (1.6)

Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´rica, su ecuaciń es
e o

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2

Ejemplo 1.22 (Hallando la ecuaciń de una esfera). Una superficie esf´rica
o e
tiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2)
a) Halla la ecuaciń de la superficie esf´rica
o e
b) Halla la ecuaciń de la esfera delimitada por la superficie esf´rica
o e

Soluciń. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2).
o
En consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14

22 CAP´ ´

Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaciń de la superficie esf´rica.
o e
√ 2
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)

de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14
b) Ecuaciń de la esfera.
o

(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14

Ejercicios propuestos de la secciń 1.2. El plano y el espacio
o
cartesiano
Soluciones en la p´gina 389
a
1.2.1. Hallar la distancia entre las siguientes parejas de punto:

a) (−1, −1) y (−2, −2) b) (2, 1, 3) y (4, 2, 1)

1.2.2. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5.
1.2.3. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5.
1.2.4. Hallar la ecuaciń de una circunferencia:
o
a) Que tiene su centro en el punto (1, 1) y pasa por el origen de coordenadas.
b) Que pasa por los puntos (1, 1), (3, 1) y (3, 3).
1.2.5. Discutir las gr´ficas de las ecuaciones:
a

a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12 b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 0

1.2.6. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad

a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0 b) x2 +y 2 −4x−2y +1 0 c) x2 +y 2 +2x−4y +6 0

1.2.7. Determinar la gr´fica de la ecuaciń: 2(x + y) − (x + y)2 = (x − y)2
a o
1.2.8. Hallar la ecuaciń de una superficie esf´rica que tiene a los puntos (3, 2, 3) y
o e
(−1, −2, 1) como extremos de un di´metro.
a

1.3. Funciones
1.3.1. Definiciones
En la vida real nos encontramos con magnitudes que estń relacionadas entre
a
s´ bien, porque existe una relaciń num´rica entre ella, de manera que el
ı, o e
valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distancia
recorrida por un autom´vil depende del tiempo que lleva circulando. La
o
demanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porque
existe entre ellas una relaciń no num´rica, de cualquier naturaleza. Por
o e
ejemplo los ciudadanos y los pa´ ıses del mundo estń relacionados por la
a
nacionalidad.

1.3. FUNCIONES 23

De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber
(F´ısica, Econom´ Derecho, etc.). En C´lculo nos ocupamos del estudio de
ıa, a
estas relaciones vistas en s´ mismas, desposeyńdolas del significado material
ı e
de las magnitudes que intervienen. Adem´s, nos limitamos, en gran medida,
a
a un tipo particular de relaciones denominadas funciones.
Una funciń es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ricas
o e
o no num´ricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la corres-
e
pondencia siempre hay que entenderla en una direcciń determinada, por
o
ejemplo, el espacio funciń del tiempo (el espacio ser´ la imagen y el tiem-
o ıa
po el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funciń a o
cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea fun-
ciń, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determi-
o ´
nada. Por ejemplo, la relaciń entre los ciudadanos y los pa´ del mundo
o ıses
mediante la nacionalidad no es una funciń, porque existen ciudadanos con
o
doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funciń, los
o
originales no pueden tener m´s de una imagen, si bien, varios originales
a
distintos s´ que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres-
ı
pondencia puede ser funciń en un sentido y no serlo en el sentido contrario.
o

Nota: Aunque el concepto de funciń nace del estudio de la relaciń existente entre
o o
dos magnitudes que estń vinculadas por una relaciń de causalidad (causa-efecto), y se
a o
establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sin
embargo, en Matem´ticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque
a
no exista ningń tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones
u
de manera artificial.
La idea de ((funciń)) que se adquiere en los primeros contactos con el
o
C´lculo, tanto en la Enseãnza Secundaria como en el Bachillerato, por
a n
lo comń, suele identificar el concepto de funciń con una ((f´rmula)), por
u o o
ejemplo
f (x) = x2 − 5x + 6,
y se entiende que esta f´rmula asocia a cada n´mero real x otro n´mero real
o u u
f (x). Basta sustituir x por un n´mero concreto y hacer las operaciones indi-
u
cadas, para obtener su imagen. Tambiń se comprende que ciertas f´rmulas,
e o
tales como √
g(x) = x − 4,
no estń definidas para todos los n´meros reales, y por tanto, que haya
e u
n´meros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ el
u ı
estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el
de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas
((a trozos)), ((en partes)), o ((segń los casos)). Es decir, funciones en las que
u
no todos los n´meros tienen el mismo tratamiento, sino que segń sea el
u u
n´mero se le aplica una f´rmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo
u o

Calculo

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (12)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie Calculo

Ähnlich wie Calculo (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Calculo