4. 4
.......... (1)
3 3 3 3 3 3
จาก Sn = + 2 + 3 + 4 + 5 K+ n
10 10 10 10 10 10
สมการ (1) × 10
.......... (2 )
1 3 3 3 3 3 3 3
S n = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 K + n + n +1
10 10 10 10 10 10 10 10
แลวนํา (1) − (2) ได
1 3 3
Sn − S n = − n+1
10 10 10
9 3 3
Sn = −
10 10 10 ⋅ 10 n
9 3⎛ 1 ⎞
S n = ⎜1 − n ⎟
10 10 ⎝ 10 ⎠
3 10 ⎛ 1 ⎞
Sn = ⋅ ⎜1 − n ⎟
10 9 ⎝ 10 ⎠
1⎛ 1 ⎞
นั่นคือ S n = ⎜1 − n ⎟
3 ⎝ 10 ⎠
1⎛ 1 ⎞
และไดวา lim S n = lim ⎜1 − n ⎟
n→∞ n →∞ 3
⎝ 10 ⎠
=
1
(1 − 0)
3
1
=
3
ซึ่งอาจจะแทนดวยการเขียน
1 3 3 3 3 3 3
= + 2 + 3 + 4 + 5 + K + n + ...
3 10 10 10 10 10 10
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
5. 5
∞
จากตัวอยางที่กลาวขางตน จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม ∑ uk ไดดังนี้
k =1
∞
จาก S n เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑ uk นั้น ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้น
k =1
ผลบวกยอย S n = u1 + u 2 + ... + u n จะรวมพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ ดังนั้นถา S n มีคาเขาใกล
ลิมตคาหนึ่งขณะที่ n → ∞ แลวคาลิมิตนั้นจะเปนผลบวกของทุกพจนในอนุกรมนั้น เขียนเปน
ิ
นิยามดังนี้
การลูเขาของอนุกรม
∞
นิยาม 2 ให {Sn } เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑ uk ถาลําดับ {Sn } ลูเขาสูลิมิต S
k =1
หรือ lim S n = S แลวจะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูเขา และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม เขียน
n →∞
∞
แทนดวย S = ∑ uk
k =1
∞
นิยาม 3 ให {Sn } เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑ uk ถาลําดับของผลบวกยอยลูออกหรือ
k =1
lim S n
n→∞
หาคาไมไดแลว จะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูออก และจะไมมีผลบวก
ตัวอยาง 1 จงพิจารณาวา อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + K ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก
วิธีทํา อนุกรมนี้มีพจนเปนคาบวกและลบสลับกันไป โดยมีคาของผลบวกยอยดังนี้
S1 = 1
S2 = 1 − 1 = 0
S3 = 1 − 1 + 1 = 1
S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
S5 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 …
ดั้งนั้นทําใหมีลําดับของผลบวกยอยดังนี้ 1, 0, 1, 0, 1, 0,K ซึ่งพจนในลําดับนี้มีคาสลับกัน
ระหวาง 1 และ 0 ไมมคาลูเขาสูคาใดคาหนึ่ง จึงไมมีลิมิต
ี
นั่นคือลําดับของผลบวกยอยนี้เปนลําดับลูออก โดยนิยามจึงไดวาอนุกรมที่กําหนดเปน
อนุกรมลูออกเชนเดียวกันและไมมีผลบวก
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
6. 6
อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
นิยาม 4 อนุกรมเรขาคณิต คืออนุกรมที่สามารถเขียนใหอยูในรูปดังนี้
a + ar + ar 2 + ar 3 + K + ar k −1 + K , (a ≠ 0)
สังเกตไดวาแตละพจนไดจากการคูณพจนกอนหนาดวยโดยคาคงตัว r และเรียกตัวคูณ
r วา อัตราสวนรวม (Common Ratio) ของอนุกรมนั้น
ตัวอยางของอนุกรมเรขาคณิต
1 + 2 + 4 + 8 + K + 2k −1 + K : a = 1, r = 2
3 3 3 3 3 1
+ 2 + 3 + K + k −1 + K :a = ,r=
10 10 10 10 10 10
1 1 1 1 1 1 1
− + − + K + (−1) k −1 k + K :a = ,r=
2 4 8 16 2 2 2
1+1+1+1+K+1+K : a = 1, r = 1
1 − 1 + 1 − 1 + K + (−1) k +1 + K : a = 1, r = −1
การลูเขาของอนุกรมเรขาคณิตกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎี 1 อนุกรมเรขาคณิต a + ar + ar 2 + K + ar k −1 + K , (a ≠ 0)
จะลูเขา ถา r < 1 และลูออก ถา r ≥ 1
ถาอนุกรมเรขาคณิตนี้ลูเขาแลวจะมีผลบวกเปน
a
a + ar + ar 2 + K + ar k −1 + K =
1− r
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
7. 7
พิสจน จะแยกพิจารณาเปน 2 กรณี คือ
ู r = 1 และ r ≠ 1 ดังนี้
กรณีที่ 1 r = 1 พิจารณาแยกเปน
1.1 r =1 และ 1.2 r = −1
1.1 ถา r = 1 แลวอนุกรมอยูในรูป
a + a + a +K+ a +K
ผลบวกยอยที่ n คือ S n = na
⎧+ ∞ , a ∈ R +
⎪
และลิมิต lim S n = lim na = ⎨
n→∞ n →∞ ⎪− ∞ , a ∈ R −
⎩
แสดงวาอนุกรมลูออก
1.2 ถา r = −1 แลวอนุกรมอยูในรูป
a − a + a − a +K
ลําดับของผลบวกยอย คือ a , 0 , a , 0 , a , 0 , ... จึงเปนลําดับลูออก
กรณีที่ 2 r ≠1
ลําดับผลบวกยอยที่ n คือ
S n = a + ar + ar 2 + K + ar n −1 .......... (1)
คูณทั้งสองขางของ (1) ดวย r ได
r S n = ar + ar 2 + K + ar n −1 + ar n .......... (2 )
นํา (1) − (2) ได
S n − rS n = a − ar n
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
8. 8
(1 − r )S n = a − ar n
เนื่องจาก r ≠ 1 ได
a − ar n
Sn =
1− r
a (1 − r n )
Sn =
1− r
a (1 − r n )
lim S n = lim
n→∞ n →∞ 1− r
ถา r <1 แลว lim r n = 0
n→∞
ได {S n } ลูเขา
a
และได lim S n =
n→∞ 1− r
ถา r > 1 แลว r > 1 หรือ r < −1
กรณี r > 1 , lim r n = ∞
n→∞
กรณี r < - 1 , คาของ r n จะแกวงระหวางคาบวกและคาลบและมีขนาดเพิ่มขึ้น
ดังนั้น {S n } ลูออก ถา r >1
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
19. 19
∞
3. ∑ ln k
k +1
k =1
n
k
วิธีทํา S n = ∑ ln
k =1 k +1
1 2 3 n
= ln + ln + ln + K + ln
2 3 4 n +1
= ln n − ln (n + 1)
n
จากกฎลอการิทึม ln จะได
n +1
S n = (ln1 − ln 2 ) + (ln 2 − ln 3) + (ln 3 − ln 4 )K + (ln n − ln (n + 1))
= ln 1 − ln (n + 1)
= 0 − ln(n + 1)
= − ln (n + 1)
และ lim S n = lim (− ln(n + 1)) = − ∞
n→∞ n→∞
∞
ดังนั้น ∑ ln k เปนอนุกรมลูออก
k +1
k =1
∞
1 1
4. ∑ −
k =1 k k +1
n
1 1
วิธีทํา Sn = ∑ −
k =1 k k +1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜1 − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟K + ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎝ n n +1 ⎠
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1
= 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜−
⎜ + ⎟ +K+ ⎜−
⎟ ⎜ + ⎟−
⎟
⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ n n⎠ n +1
1
= 1−
n +1
และ lim S n = lim⎛1 −
⎜
n → ∞⎜
1 ⎞
⎟ = 1− 0 = 1
⎟
n→∞
⎝ n +1 ⎠
∞
1 1
ดังนั้น ∑ − =1
k =1 k k +1
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
20. 20
ตัวอยาง 10 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมที่ลูเขา
∞
1. ∑ (− 1)k x 2 k
k =0
∞
วิธีทํา ∑ (− 1)k x 2 k =1 − x 2 + x 4 − x 6 + ...
k =0
a = 1 , r = −x2 เปนอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
− x 2 <1
x2 < 1
x2 −1 < 0
(x − 1)(x + 1) < 0
จะได −1 < x < 1
⎛ x −1⎞
∞ k
2. ∑ 3⎜ 2 ⎟
k =0 ⎝ ⎠
⎛ x −1 ⎞ ⎛ x −1⎞
∞ ∞ k k
วิธีทํา ∑ 3⎜ 2 ⎟ = 3∑ ⎜ 2 ⎟
k =0 ⎝ ⎠ k =0 ⎝ ⎠
⎡ ⎛ x − 1 ⎞ ⎛ x − 1 ⎞2 ⎤
= 3⎢1 + ⎜ ⎟+⎜ ⎟ + ...⎥
⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎣ ⎥
⎦
x −1
a =1 , r = เปนอนุกรมเรขาคณิต
2
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
x −1
<1
2
x −1
−1 < <1
2
− 2 < x −1 < 2
จะได −1 < x < 3
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
21. 21
∞
3. ∑ sin n x
k =0
∞
วิธีทํา ∑ sin n x = 1 + sin x + sin 2 x + sin 3 x + ...
k =0
a = 1 , r = sin x เปนอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
sin x <1
− 1 < sin x < 1
ถา sin x =1 จะได sin x = ±1
π
จะได x = (2r + 1) เมื่อ r เปนจํานวนเต็ม
2
π
จะไดคําตอบคือ x ≠ (2r + 1)
2
∞
4. ∑ (ln x )n
k =0
∞
วิธีทํา ∑ (ln x )n = 1 + ln x + (ln x )2 + (ln x )3 + ...
k =0
a = 1 , r = ln x เปนอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
ln x <1
ดังนั้น − 1 < ln x < 1
จะได − 1 < log e x < 1
e −1 < x < e
1
<x<e
e
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
22. 22
5. ∑ (− 1)
∞ k
⎛ 1 ⎞
k
⎜ ⎟
k =02 ⎝ 3 + sin x ⎠
∞
(− 1)k ⎛ 1 ⎞
k
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1⎛ ⎞
2
⎟ = (1) + ⎜ − ⎟⎜
1 1
วิธีทํา ∑ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ + ...
k =0 2 ⎝ 3 + sin x ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 3 + sin x ⎠ 2 ⎝ 3 + sin x ⎠
1⎡ ⎤
2
1 ⎛ 1 ⎞
= ⎢1 − +⎜ ⎟ + ...⎥
2 ⎢ 3 + sin x ⎝ 3 + sin x ⎠
⎣ ⎥
⎦
1
a =1 , r = − เปนอนุกรมเรขาคณิต
3 + sin x
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
1
− <1
3 + sin x
1
<1
3 + sin x
1
−1 < <1
3 + sin x
จะได − 3 − sin x < 1 < 3 + sin x (3 + sin x > 0)
− 3 − sin x < 1 และ 1 < 3 + sin x
− sin x < 4 และ − 2 < sin x
sin x > −4 และ sin x > −2
sin x > −2
เนื่องจาก − 1 ≤ sin x ≤ 1
คําตอบคือ −∞< x<∞
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท
23. 23
ตัวอยาง 11 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรม
1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 + x 6 + 2 x 7 + x8 + ...
เปนอนุกรมที่ลูเขาพรอมกับหาผลรวมดวย
วิธีทํา
1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 + x 6 + 2 x 7 + x8 + ...
( ) (
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... + 2 x + 2 x 3 + 2 x 5 + 2 x 7 + ...)
( ) (
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... + 2 x 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ...)
( )
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... (1 + 2 x ) (เปนอนุกรมเรขาคณิต)
⎛ 1 ⎞
=⎜ 2 ⎟
(1 + 2 x )
⎝1− x ⎠
1 + 2x
=
1 − x2
เปนอนุกรมลูเขาเมื่อ x2 < 1
x2 < 1
x 2 − 1< 0
(x − 1)(x + 1)< 0
จะได −1 < x < 1
1 + 2x
และผลรวมของอนุกรมนี้คือ
1 − x2
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท