pengantar dasar matematika (logika matematika)

1 | P e n g a n t a r D a s a r M a t e m a t i k a
Logika
Matematika
Tujuan umum pembelajaran
1. Menggunakan nilai kebenaran
pernyataan majemuk dan implikasi
dalam pemecahan masalah
2. Menggunakan sifat dan prinsip
logika untuk penarikan kesimpulan
dan pembuktian sifat matematika

Inti bagian :
1. Pengertian logika
2. Pernyataanmajemuk
a.Kalimat Pernyataan Terbuka
b. Kalimat Pernyataan Tertutup
3. Teori korespondensi dan koheresi
Bagian I
Logika dan Pernyataan

Info matematika
Salah satu tokoh
matematika dalam bidang
logika matematika adalah
Augustus De Morgan.
Sumbangsih terbesarnya
dalam logika matematika
dikenal dengan hukum De
Morgan.
Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar
dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari
kata “logos” yang artinya kata, ucapan, pikiran
secara utuh atau ilmu pengetahuan. Secara istilah
logika adalah cabang ilmu yang mempelajari
penurunan-penurunan kesimpulan yang
shahih(valid/benar) dan tidak shahih
(invalid/tidak benar).
Dalam mengambil kesimpulan, dibutuhkan suatu kalimat yang dapat dinyatakan
nilainya,yaitu dengan meliputi benar atau salah.
Contoh kalimat :
1. “Tolong tutupkan pintu itu !!”
Kalimat diatas tidak dapat dinyatakan nilainya apakah benar atau salah.
2. “Pulpen ini milik Adi”
Kalimat diatas dapat dinyatakan kebenarannya.
Kalimat pernyataan dapat dibagi menjadi 2 :
1. Kalimat pernyataan tertutup
Kalimat pernyataan tertutup merupakan kalimat yang memiliki nilai
kebenaran yang sudah pasti , apakah nilainya benar saja atau salah saja
dan tidak bisa diubah-ubah.
Contoh :
1. Semua orang akan mati
2. Gula itu asin
A. PengertianLogika
B. PernyataanMajemuk

3. Indonesia merdeka tanggal 17 Agustus 1945
4. 2 + 3 = 10
Keempat kalimat diatas merupakan kalimat pernyataan tertutup karena nilai
kebenarannya sudah pasti. Contoh 1 dan 3 menyatakan benar, sedangkan contoh
2 dan 4 menyatakan salah.
2. Kalimat pernyataan terbuka
Kalimat pernyataan terbuka merupakan kalimat yang belum pasti nilai
kebenarannya (relative).Biasanya ada pada kalimat tanya dan kalimat
perintah
Contoh :
1. Nasi goreng itu enak
2. Pria itu ganteng
3. Semua artis di Indonesia ganteng
1. Teori Korespondensi
Teori ini membahas tentang penarikan kesimpulan (benar/salah) berdasarkan
kenyataan yang sebenarnya.
Contoh :
1. Saya memakai jilbab
2. Jakarta merupakan ibukota Negara Indonesia
2. Teori koheresi
Teori ini membahas penilaian yang benar bila sesuai dengan kebenaran
sebelumnya yang telah disepakati.
Contoh : a. (−1) × (−1) = 1
Pembuktian
 (−1) × (−1) = 1
 1 × 1 = 1
C. Teori Korespondensi dan Koheresi

 1 × (−1) = −1 ≡ (−1) × 1 = 1 (aturan komutatif)
 (−1) × (−1) = 1 mengapa 1?
 (−1) × 0 = 0
 (−1) × (1 + (−1)) = 0
 (−1) × 1 + (−1)(−1) = 0
 (−1)+ ? = 0 (−1 tambah berapa supaya jadi 0? Yaitu 1)
∴Benar bahwa (−1) × (−1) = 1

1. Manakah di antara kalimat berikut yang merupakan pernyataan ?
a. 𝑥 + 3 = 2
b. 𝑥 + 3 = 2 adalah suatu pernyataan
c. 111 adalah bilangan prima
d. Tadi pagi fahmi bertanya “pak guru kapan ulangan ?”
e. 2𝑛 + 1 untuk 𝑛 ∈ 𝐴 adalah bilagan ganjil
2. Andi berbohong pada hari Senin, Selasa, dan Rabu, sedangkan pada hari-hari yang lain
ia berkata benar. Teman karibnya, si Badu berbohong pada hari kamis, jum’at dan
sabtu, sedangkan pada hari-hari yang lain ia berkata benar. Pada suatu hari, andi
berkata “kemarin adalah hari dimana saya berbohong.” Badu lalu menimpali :
“kemarin adalah hari dimana saya berbohong juga.”
a. Pada hari-hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itu ?
b. Jika mereka berdua sama-sama menyatakan bahwa hari kemarin adalah hari
dimana mereka berkata benar, pada hari-hari apakah mereka berdua dapat
menyatakan hal itu ?
3. Pada sutu rumah makan , Andi seorang sopir sedang duduk mengelilingi meja
berbentuk persegi dengan tiga orang temannya. Ketiga teman andi tersebut bekerja
sebagai KELASI, PILOT, dan MARKONIS. Tentukan pekerjaan Budi jika : Andi duduk di
sebelah kiri CHANDRA, BUDI duduk di sebelah kanan kelasi, dani yang duduk
berhadapan dengan Chandra bukanlah seorang pilot.
4. Ada tiga orang siswa yaitu TONI, DIDI, dan HORY. Tentukan bahwa :
a. Toni tidak pernah berbohong. Didi kadang-kadang berbohong. Sedangkan hory
selalu berbohong.
b. Mereka memakai kaos HIJAU, KUNING, MERAH.
c. Siswa yang memakai kaos kuning, menyatakan bahwa siswa yang brkaos merah
adalah hory.
d. Siswa yanng memakai kaos merah, menyatakan bahwa dirinya adalah Didi.
e. Siswa terakhir yang memakai kaos hijau, menyatakan bahwa siswa yang berkaos
merah adalah toni.
Berdasar keterangan di atas, tentukan warna kaos yang dipakai tiap siswa.
Latihan 1

Inti Bagian :
1. Negasi/ ingkaran
2. Konjungsi
3.Disjungsi
4.Implikasi
5.Biimlikasi
Bagian II
Operasi logika
(Perangkai/Perakit)

Catatan
Bentuk konjungsi 𝑝 ˄ 𝑞
dapat juga dibaca
sebagai:
a. 𝑝 dan 𝑞
b. 𝑝 tetapi 𝑞
c. 𝑝 meskipun 𝑞
d. 𝑝 walaupun 𝑞
Ingkaran ditandai dengan “Tidak benar bahwa, Bukan , Tidak”, dinotasikan
dengan “¬"
Contoh :
Tentukan negasi dari :
Jawab :
1. 𝑝 = Andi berjalan menuju Barat
¬𝑝 =Tidak benar bahwa Andi berjalan menuju Barat.
2. 𝑝 = kemarin saya tidak pergi ke pasar
¬𝑝 = kemarin saya pergi ke pasar
Berikut adalah tabel kebenaran negasi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dari dua pernyataan tunggal dengan operator
logika “dan” yang dilambangkan dengan “ ∧ ".
1. Andi berjalan menuju Barat
2. Kemarin saya tidak pergi ke pasar
𝒑 ¬𝑝
B S
S B
A. Negasi/ingkaran (¬)
B. Konjungsi/conjunction (∧)
Catatan :
Negasi merupakan
kebalikan dari
pernyataan.

Contoh :
𝑝 = ambil pisau
𝑞 = ambil garpu
Didapat :
Kemungkinan 1 = ambil pisau + garpu (benar)
Kemungkinan 2 = ambil pisau (salah)
Kemungkinan 3 = ambil garpu (salah)
Kemungkinan 4 = tidak kedua-duanya (salah)
Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi
Ket !!
Dari tabel diatasdapat disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar jika
pernyataan keduanya benar, dan bernilai salah jika terdapat pernyataan yang
salah.
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan
tunggal dengan operator logika “atau”. Terdapat dua macam disjungsi , yaitu
disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.dinotasikan dengan " ∨ ”
𝒑 𝒒 p ˄ 𝒒
B B B
B S S
S B S
S S S
Ambilkan pisau dan garpu (ketika ingin makan steak)
C. Disjungsi / Disjunction (∨)

1. Disjungsi inklusif (menyatakan salah satu atau keduanya. Biasanya mencakup
kata “atau” dinotasikan dengan simbol “∨”)
Contoh :
Kemungkinan 1 = ambil pensil + pulpen (benar)
Kemungkinan 2 = ambil pensil saja (benar)
Kemungkinan 3 = ambil pulpen saja (benar)
Kemungkinan 4 = tidak ambil keduanya (salah)
Berikut adalahtabel kebenaran disjungsi inklusif
2. Disjungsi eksklusif (menyatakan salah satunya saja, ditandai dengan simbol
“⊻”
Contoh :
𝑝 = memakai sepatu
𝑞 = sandal
Didapat :
Kemungkinan 1 = pakai sepatu +sandal (salah)
Kemungkinan 2 = pakai sepatu (benar)
Kemungkinan 3 = pakai sandal (benar)
𝒑 𝒒 𝒑 ∨ 𝒒
B B B
B S B
S B B
S S S
Ambilkan pensil atau pulpen (ketika ingin menulis)
Memakai sepatu atau sandal

Catatan
Bentuk implikasi 𝑝 → 𝑞 dapat juga
dibaca sebagai :
a. Jika𝑝, maka 𝑞
b. 𝑝 hanya jika 𝑞
c. 𝑞 jika 𝑝
d. 𝑝 syarat cukup bagi 𝑞
e. 𝑞 syarat cukup bagi 𝑝
Kemungkinan 4 = tidak pakai keduanya (salah)
Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi eksklusif
𝒑 𝒒 𝒑 ⊻ 𝒒
B B S
B S B
S B B
S S S
Implikasi merupakan pernyataan majemuk yang
ditandai dengan kata “jika...maka...” , “...hanya
jika...”, dinotasikan dengan " → "
Contoh :
𝑝 = hari tidak hujan
𝑞 = abang akan datang
Didapat :
Kemungkinan 1 = tidak hujan+datang (benar)
Kemungkinan 2 = tidak hujan+tidak datang (salah)
Kemungkinan 3 = hujan+datang (benar)
Kemungkinan 4 = hujan+tidak datang (benar)
D. Implikasi ( → )
Jika hari tidak hujan maka abang akan datang

Berikut adalah tabel kebenaran implikasi..
𝒑 𝒒 𝒑 → 𝒒
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh implikasi yang tidak sesuai :
Kemungkinan 1 = hidup+bernapas (benar)
Kemungkinan 2 = hidup+tidak bernapas (salah)
Kemungkinan 3 = tidak hidup+bernapas (salah)
Kemungkinan 4 = tidak hidup+tidak bernapas (benar)
Sehingga tabelnya akan menjadi seperti berikut.
𝒑 𝒒 𝒑 → 𝒒
B B B
B S S
S B S
S S B
Jika kambing hidup maka bernapas
Tidak sesuai dengan teorema

Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang ditandai dengan “...jika dan
hanya jika...” dinotasikandengan simbol" ↔ "
Contoh :
Kemungkinan 1 = hidup+bernapas (benar)
Kemungkinan 2 = hidup+tidak bernapas (salah)
Kemungkinan 3 = tidak hidup+bernapas (salah)
Kemungkinan 4 = tidak hidup+tidak bernapas (benar)
Berikut adalah tabel kebenaran Biimplikasi
𝒑 𝒒 𝒑 ↔ 𝒒
B B B
B S S
S B S
S S B
Persamaan biimplikasi
𝒑 ↔ 𝒒 ≡ (𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)
E. Biimplikasi
Kambing hidup jika dan hanya jika bernapas
Catatan
Biimplikasi bernilai
benar jika pernyataan
keduanya sama.

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !
a. 3 + 2 = 6 ↔ 4 + 2 = 5.
b. 3 + 2 = 5 → 4 + 2 = 5.
c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota D.I Aceh.
d. Jika 𝑥2 = 4 maka x = 2
e. Jika x = -2 maka 𝑥2 = 4
f. Jika 3x + 4 = 2 dan x ∈ 𝔹, maka x = -1
2. p : 10 habis dibagi 5.
q : 8 adalah bilangan prima.
Nyatakan dalam kalimat sehari-hari pernyataan-pernyataan berikut ini lalu
tentukan nilai kebenarannya.
a. ¬p f. ¬p ∧ q
b. ¬q g. p ∧ ¬q
c. p ∧ q h. p → q
d. p ∨ q i. p ↔ q
e. ¬p ∧ ¬q j. (p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)
3. Jika a : Lisa gadis cantik dan
b : Lisa gadis cerdas
Nyatakan pernyataan dibawah ini dengan menggunakan a,b dan simbol-simbol
logika matematika.
a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.
b. Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas.
c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.
d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.
e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas
f. Jika Lisa gadis yanng cantik maka ia tidak cerdas.
g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.
4. 4. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ini.
a. p → q ↔ ¬p ∨ q
b. p ∧ q → (q ∧ ¬q → r ∧ q)
c. ¬[(¬p → r) ∨ (p → ¬q)] ∧ r
Latihan 2

1. Assign truth values to the following propositions :
a. 3 ≤ 7and 4 is an odd integer
b. 3 ≤ 7 or 4 is an odd integer
c. 2 + 1 = 3 but 4 < 4
d. 5 is odd or divisible by 4
e. it is not true th𝑎𝑡 2 + 2 = 5 and 5 > 7
f. it is not true th𝑎𝑡 2 + 2 = 5 or 5 > 7
g. 3 ≥ 3
2. Give useful negations of :
a. 3 − 4 < 7
b. 3 + 1 = 5 𝑎𝑛𝑑 2 ≤ 4
c. 8 is divi𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑏𝑦 3 but 4 is not
3. Suppose that we define the connective ∗ by saying 𝑝 ∗ 𝑞 is true only when 𝑞 is true and 𝑝 is
false and is false ontherwise.
a. Write out the truth table for 𝑝 ∗ 𝑞
b. Write out the truth table for 𝑝 ∗ 𝑞
c. Write out the truth table for ( 𝑝 ∗ 𝑝) ∗ 𝑞
4. Let us denote the “exclusive or” sometimes used in ordinary conversation by ⨁. Thus 𝑝 ⨁ 𝑞
will be true when exactly one of 𝑝, 𝑞 is true, and false otherwise.
a. Write out the truth table for 𝑝 ⨁ 𝑞
b. Write out the truth tables for 𝑝⨁𝑝and ( 𝑝 ⨁ 𝑞)⨁𝑞
c. Show that “and/or” really means “and or or,” that is, the truth table for ( 𝑝 ∧
𝑞)⨁ (𝑝 ⨁ 𝑞) is the same as the truth table for 𝑝 ∨ 𝑞
d. Show that it makes no difference if we take both “or’s” in “and/or” to be inclusive (∨) or
exclusive (⨁)
Exercise 3

Inti Bagian :
1. Negasi dari suatu konjungsi
2. Negasi dari suatu disjungsi
3. Negasi dari suatu implikasi
4. Negasi dari suatu biimplikasi
Bagian III
Negasi Dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi
dan Biimplikasi

Perhatikan tabel berikut !
Dilihat dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi bernilai salah
jika salah satu dari 𝑝 atau 𝑞bernilai salah, ataupun nilai keduanya salah. Terdapat pula
nilai kebenaran yang sama (ekivalen), yaitu :
Contoh :
Tentukanlah ingkaran atau negasi dari pernyataan diatas !
Jawab :
Diketahui ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
: Tidak benar bahwa semua bilangan asli adalah bilangan real atau tidak benar
bahwa semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
B B S S B S S
B S S B S B B
S B B S S B B
S S B B S B B
1. Negasi dari suatu Konjungsi
¬ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
Semua bilangan asli adalah bilangan real dan semua bilangan
prima adalah bilangan ganjil.
2. Negasi dari suatu Disjungsi

Dilihat dari tabel tersebut dapat disimpulkan suatu disjungsi bernilai salah jika
kedua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 adalah salah. Terdapat pula nilai kebenaran yang sama pada
kolom ke-6 dan ke-7, yaitu :
Contoh :Sebelum angka 8 adalah angka 7 atau 4 habis dibagi 2.
Tentukan negasi atau ingkaran dari suatu pernyataandiatas !
Jawab :
Diketahui ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
: Tidak benar bahwa sebelum angka 8 adalah angka 7 dan tidak benar bahwa
4 habis dibagi 2.
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝒑 ∨ 𝒒 ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 → 𝑞 ¬(𝑝 → 𝑞) 𝑝 ∧ ¬𝑝
B B S S B S S
B S S B S B B
S B B S B S S
S S B B B S S
¬(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
3. Negasi dari suatu Implikasi

Dilihat dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa suatu implikasi bernilai
salah jika nilai 𝑝 benar dan 𝑞 salah. Terdapat pula nilai kebenaran yang sama pada
kolom ke-6 dan ke-7, yaitu :
Contoh :jika hari ini tidak hujan, maka abang akan datang
Tentukan negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan diatas !
Jawab :
Diketahui ¬ (𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ¬𝑞
: Hari ini tidak hujan dan abang tidak akan datang
¬( 𝒑 ↔ 𝒒) ≡ ¬[( 𝒑 → 𝒒) ∧ ( 𝒒 → 𝒑)]
≡ ¬(𝒑 → 𝒒) ∨ ¬(𝒒 → 𝒑)
¬( 𝒑 ↔ 𝒒) ≡ [( 𝒑 ∧ ¬𝒒)∧ ( 𝒒 → ¬𝒑)]
¬ (𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ¬𝑞
Tingkatan operasi logika :
1. ¬
2. ∧
3. ∨
4. →
5. ⟷
4. Negasi dari suatu Biimplikasi

1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya.
a. 3 + 2 = 6 → 4 + 2 = 5
b. 3 + 2 → 4 + 2 = 5
c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota DI Aceh
2. Jika 𝑝 ∶ 10 habis dibagi 5
𝑞 ∶ 6 adalah bilangan prima
tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini lalu tentukan nilai kebenarannya
a. ¬𝑝 f. ¬𝑝 ∧ 𝑞
b. ¬𝑞 g. 𝑝 ∧ ¬𝑞
c. 𝑝 ∧ 𝑞 h. 𝑝 → 𝑞
d. 𝑝 ∨ 𝑞 i. 𝑝 ↔ 𝑞
e. ¬𝑝 ∧¬𝑞 j. ( 𝑝 ∨ ¬𝑞) → (¬𝑝 ∨ 𝑞)
3. Buatlah negasi dari pernyataan ini
a. ¬[(¬𝑝 → 𝑟) ∨ ( 𝑝 → ¬𝑞) ∧ 𝑟
b. ¬[ 𝑝 ∧ 𝑞 → ( 𝑞 ∧ ¬𝑞 → 𝑟 ∧ 𝑞)]
c. ¬[ 𝑝 → 𝑞 ↔ ¬𝑝 ∨ 𝑞]
Latihan 4

Inti bagian :
1. Konvers
2. Invers
3. Kontraposisi
4. Ekuivalen
5. Tautologi
6. Kontradiksi
7. Kontingensi
Bagian IV
Konvers, Invers, dan Kontraposisi

a. Ekuivalen
Ekuivalen adalah dua buah pernyataan majemuk yang setara.
Contohnya seperti pernyataan 𝑝 → 𝑞 dan ¬𝑝 ∨ 𝑞..
Tabel kebenaran ekuivalen
𝒑 𝒒 ¬𝑝 𝒑 → 𝒒 ¬𝑝 ∨ 𝑞
B B S B B
B S S S S
S B B B B
S S B B B
b. Tautologi
Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai
kebenarannya yang selalu benar. Contohnya seperti pernyataan
𝑝 → ( 𝑝 ∨ 𝑞)
Tabel kebenaran tautologi
𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)
B B B B
B S B B
S B B B
S S S B
Ekuivalen, Tautologi , Kontradiksi, Kontingensi

c. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai
kebenarannya yang selalu salah. Contohnya seperti pernyataan
( 𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ( 𝑝 → ¬𝑞)
Tabel kebenaran kontradiksi
𝑝 𝑞 ¬𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 → ¬𝑞 ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ( 𝑝 → ¬𝑞)
B B S B S S
B S B S B S
S B S S B S
S S B S B S
d. Kontingensi
Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai
kebenaran benar dan salah. Contohnya seperti pernyataan
( 𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟
Tabel kebenaran kontingensi
𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ∨ 𝑞 ( 𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟
B B B B B
B B S B S
B S B B B
B S S B S
S B B B B
S B S B S
S S B B B
S S S S S

Konvers invers kontraposisi
1. Konvers , yaitu suatu pernyataan implikasi yang dibalik antara pernyataan
yang satu dengan yang lain. Pernyataan ini berbentuk𝑞 → 𝑝
2. Invers, yaitu suatu pernyataan berimplikasi yang tidak dibalik namun di
negasikan. Pernyataan ini berbentuk ¬𝑝 → ¬𝑞
3. Kontraposisi, yaitu suatu pernyataan berimplikasi yang dibalik serta di
negasikan pula. Pernyataan ini berbentuk ¬𝑞 → ¬𝑝
Berikut ini tabel ekuivalen :
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 ¬𝑝 → ¬𝑞 ¬𝑞 → ¬𝑝
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Implikasi konvers invers kontraposisi
≡
Ekuivalen
≡
Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk-bentuk logika yang ekuivalen.
1. Hukum komutatif :
a. 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
b. 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
2. Hukum asosiatif :
a. ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟)
Konvers, invers, dan kontraposisi

b. ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ ( 𝑞 ∨ 𝑟)
3. Hukum distributif :
a. 𝑝 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ( 𝑝 ∧ 𝑟)
b. 𝑝 ∨ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ( 𝑝 ∨ 𝑟)
4. Hukum De Morgan :
a. ¬( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
b. ¬( 𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:
a. Jika suatu bendera adalah bendera jepang, maka ada bintang pada bendera
tersebut
b. 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎3
> 0
c. 𝑎 = 0 ⇒ 𝑎𝑏 = 0
d. Jika dua buah persegi panjang kongruen maka luasnya sama
e. 𝑥 = 3 ⇒ 𝑥2
= 9
f. Jika segitiga ABC adalah segi tiga samasisi mka sisi-sisi segitiga tersebut
sama panjang
Latihan 5

Inti bagian :
1.Definisi kuantor
2.Macam-macam kuantor
a.Kuantor universal
b.Kuantor eksistensial
3.Kuantor tersarang
4.Negasi pernyataan berkuantor
Bagian V
Kuantor

kuantor adalah suatu kata yang menunjukkan suatu
ukuran kuantitas atau jumlah, atau banyaknya suatu elemen.
Ilustrasi :
A = mahasiswa 1-D
B = mahasiswa gemar
mencontek
Pernyataan yang bisa diambil dari ilustrasi diatas adalah :
“sebagian mahasiswa kelas 1-D gemar mencontek”
“semua mahasiswa yang gemar mencontek merupakan mahasiswa kelas 1-
D”
“sebagian mahasiswa kelas 1-D tidak gemar mencontek”
Beberapa kata yang dikenal sebagai kuantor adalah , semua , beberapa ,
ada ataupun tidak ada.
1. Kuantor Universal
Biasa ditandai dengan kata “setiap, semua, seluruh, tiap, dst..”yang
menandaitercukupnya seluruh anggota domain. Berlambangkan “∀"dan dibaca
“untuk setiap” atau ‘untuk semua”.Biasanya pernyataan yang berkuantor
universal ditandai dengan kata (semua, seluruh, setiap, tiap, dll).
Misalkan 𝑝(𝑥) adalah kalimat terbuka
∀𝑥 𝑝( 𝑥)dibaca "untuk setiap/semua 𝑥 berlaku 𝑝(𝑥)”
A
B
A. Definisi Kuantor
B. Macam-Macam Kuantor
Catatan
Kuantor menyatakan
suatu kondisi domain.

Atau “𝑝( 𝑥)berlaku bagi setiap/seluruh 𝑥”.
Untuk menentukan pembenaran harus dibuktikan secara umum, sedangkan
untuk pembatalan cukup diambil salah satu contoh yang dapat membatalkan
premi tersebut.
Contoh :
1. Jumlah 2 buah bilangan genap adalah bilangan genap.
Bukti :
 Bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, sehingga dapat
disimbolkan dengan 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
 2𝑛1 + 2𝑛2 = 2(𝑛1 + 𝑛2)
 Misalkan 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑝 , 𝑝 ∈ ℤ
 Sehingga 2( 𝑛1 + 𝑛2) = 2𝑝 , 𝑝 ∈ ℤ
 Berarti 2𝑝 bilangan genap
∴ pernyataan bernilai benar
2. ∀𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 − 𝑥 + 41 merupakan bilangan prima.
Bukti :
Ambil 𝑥 = 41 ∈ ℕ, sehingga (41)2
− 41 + 41 = 1681 bukan merupakan
bilangan prima
∴ pernyataan bernilai salah
3. Semua laki-lagi buaya darat.
Bukti :
Ayah saya adalah laki-laki dan menurut saya ia bukan buaya darat.
∴ pernyataan bernilai salah
4. Diketahui A ∶ {3, 4,5}
Berlaku jumlah 2 bilangan kurang dari atau sama dengan 9
∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 9
Kemungkinan yang dapat terjadi =
( 𝑥1, 𝑥2) → 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 9
(3,4) → 3 + 4 ≤ 9

(3,5) → 3 + 5 ≤ 9
(4,5) → 4 + 5 ≤ 9
∴ pernyataan bernilai benar
2. Kuantor Eksistensial
Biasanya ditandai dengan kata “terdapat, sebagian, ada, beberapa, dst..” yang
menggambarkan kondisi sebagian anggota domain. Berlambangkan "∃"
Misalkan p(x) pernyataan terbuka, sehingga ∃𝑥 𝑝( 𝑥) dibaca “untuk beberapa 𝑥
berlaku 𝑝(𝑥)" atau “terdapat 𝑥 sedemikian sehingga berlaku 𝑝(𝑥)" atau "𝑝(𝑥) berlaku
sebagian 𝑥”.
Untuk menentukan pembenaran cukup ambil salah satu contoh yang dapat
membenarkan premi tersebut, sedangkan untuk pembatalan harus dibuktikan secara
umum yang dapat menyatakan bahwa premi itu tidak ada atau tidak benar.
Contoh :
1. Terdapat aktor yang tidak tampan
Bukti :
Menurut saya “ucok baba tidak tampan namun dia aktor”
Premi : benar
2. ∃𝑛 ∈ ℕ, 𝑛1 + 𝑛2 ∉ ℕ
Bukti :
Teorema “bilangan asli memiliki sifat tertutup dalam penjumlahan”
Premi : salah
3. Diketahuui A = {3, 4, 5}
Ditanyakan : Terdapat anggota A merupakan bilangan genap
∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 bilangan genap

Bukti : 𝑝(3) ∨ 𝑝(4) ∨ 𝑝(5)
S ∨ s ∨ s
b ∨ b ≡ Benar
Contoh universal :
Semua anggota A bilangan ganjil
∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 bilangan ganjil
Bukti : 𝑝(3) ∧ 𝑝(4) ∧ 𝑝(5)
b ∧ b ∧ b
s ∧ s ≡ salah
Kuantor bersarang merupakan pernyataan berkuantor yang mengandung lebih dari 1
variabel.
Contoh : misalkan 𝑥 dan 𝑦 merupakan orang
( 𝑥) ∶= 𝑥 mencintai y
#∃𝑦 , 𝑝( 𝑥, 𝑦) = 𝑥 mencintai beberapa y
#∀𝑥 [∃𝑦 , 𝑝( 𝑥, 𝑦)] = semua 𝑥 mencintai beberapa y
#∀𝑦 [∃𝑦 , 𝑝( 𝑥, 𝑦)] = beberapa 𝑥 mencintai semua y
#∃𝑥 ∀𝑦 , 𝑝( 𝑥, 𝑦) = beberapa 𝑥 mencintai semua y
#∀𝑥 ∀𝑦 , 𝑝( 𝑥, 𝑦) = semua 𝑥 mencintai semua y
#∃𝑦 ∀𝑥, 𝑝( 𝑥, 𝑦) = semua 𝑥 mencintai beberapa y
Didapat persamaan
∃𝑥 ∀𝑦 𝑝( 𝑥, 𝑦) ≡ ∃𝑦∀𝑥 𝑝( 𝑥, 𝑦)
∀𝑥 ∀𝑦 , 𝑝( 𝑥, 𝑦) ≡ ∀𝑦 ∀𝑥 , 𝑝( 𝑥, 𝑦)
𝑝( 𝑥, 𝑦) ≢ 𝑝(𝑥, 𝑦)
C. Kuantor bersarang
≡
≡

= negasinya ≠
< negasinya ≥
> negasinya ≤
1. Kuantor universal
Contoh : ¬[semua bunga itu indah] ≡ tidak benar bahwa semua bunga itu indah
≡ beberapa bunga tidak indah
¬(∀𝑥 , 𝑥2
≥ 0) ≡ ∃𝑥, 𝑥2
< 0
Salah benar
Bukti : √−1 = bilangan imaginer
Semua bilangan 𝑥 bila dikuadratkan hasilnya akan lebih
dari 0.
Secara umum negasi dari kuantor universal dapat
dirumuskan sebagai berikut
Pernyataan Negasi
∀𝒙, 𝒑(𝒙) ~(∀𝑥, 𝑝( 𝑥) ≡ ~∀𝑥 ,~𝑝(𝑥) ≡ ∃𝑥, ~𝑝(𝑥)
2. Kuantor eksistensial
Contoh :
1. ¬(ada siswa yang suka ngupil) ≡ tidak benar bahwa ada siswa yang ngupil
≡ semua siswa tidak suka ngupil
2. ¬(∃𝑥, 𝑥2
= 9) ≡ ∀𝑥 , 𝑥2
≠ 9
Benar Salah (buktinya ada 3 dan -3)
Secara umum negasi dari kuantor universal dapat dirumuskan sebagai berikut
Pernyataan Negasi
∃𝒙, 𝒑(𝒙) ¬(∃𝑥, 𝑝( 𝑥) ≡ ¬∃𝑥 ,¬𝑝(𝑥) ≡ ∀𝑥, ¬𝑝(𝑥)
D. Negasi pernyataan berkuantor

1. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat,tentukan nilai x yang akan
menyebabkan kalimat terbuka dibawah ini menjadi benar.
a. 2𝑥 − 4 = −5
b. 𝑥 + 2 = −5
c. 𝑥2
− 16 = 0
d. 𝑥 + 3 = 3 + 𝑥
2. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat, gunakan kuantor dengan
urut-urutan : “semua..”, “beberapa..”, “tidak ada..” pada kalimat diatas sehingga
didapat pernyataan berkuantor yang bernilai benar.
3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini :
a. Setiap perwira TNI adalah laki – laki
b. Beberapa gubernur di Indonesia adalah perempuan
c. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1
d. Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan)
e. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian)
f. Setiap persegi adalah jajargenjang
g. Setiap jajargenjang adalah trapezium
h. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika ditambahkan ke bilangan
tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri
i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi dengan bilangan
tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri
j. Setiap jajargenjang memiliki simetri setengah putaran
k. Beberapa siswa menganggap matematika sulit
l. Setiap tahun yang habis dibagi 4 adalah tahun kabisat
4. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dengan semesta pembicaraan
himpunan bilangan real.
a. ∃𝑥 ( 𝑥2 = 𝑥)
b. ∃𝑥 (| 𝑥| = 0)
c. ∀𝑥 ( 𝑥 < 𝑥 + 1)
d. ∀𝑥 ( 𝑥 − 1 = 𝑥)
e. ∃𝑥 ( 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0)
f. x (x2 + 2x + 1 ˃ 0)
g. x (|x| ≥ 0)
h. x (x2 – 3x + 2 = 0)
Latihan 6

Inti bagian :
1. Penarikan kesimpulan
2. Prinsip-prinsip dalam penarikan kesimpulan
Bagian VI
Penarikan kesimpulan

a. Pendahuluan
 Semua singa menyeramkan
∀𝑥 ∈ {singa}, 𝑝( 𝑥)
𝑎( 𝑥) = 𝑥 merupakan singa
𝑏( 𝑥) = 𝑥 menyeramkan
 Beberapa singa tidak minum kopi
∃𝑥 ∈ {singa}, 𝑝( 𝑥)
𝑎( 𝑥) = 𝑥 merupakan singa
𝑏( 𝑥) = 𝑥 tidak minum kopi
b. Prinsip-prinsip dalam penarikan kesimpulan
Untuk melihat suatu argumen atau penarikan kesimpulan sah atau tidak, perlu
diperiksa terlebih dahulu nilai kebenaran implikasinya dari premi ke konklusi.
Dalam pembuktian prinsip-prinsip penarikan kesimpulan bisa juga menggunakann
menyeramkan
singa
∀𝑥 ∈ 𝐷 , 𝑎(𝑥) → 𝑏(𝑥)
∃𝑥 ∈ 𝐷 , 𝑎( 𝑥)˄ 𝑏(𝑥)
Penarikan kesimpulan

tabel kebenaran yang merupakan suatu tautologi (seluruh nilai kenenaranya
benar).
1. Conjunction
Prinsip ini merupakan penarikan kesimpulan dengan metode penyatuan
antara premi yang pertama dengan yang lain. Berikut ini adalah argumen
atau penarikan kesimpulannya.
contoh :
premi 1 : Adi suka makan coklat
premi 2 : Adi suka bermain bola
∴ Adi suka makan coklat dan Adi suka bermain bola.
Berikut ini tabel kebenaran penarikan kesimpulan
.
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ( 𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞)
B B B B
B S S B
S B S B
S S S B
2. Simplify
Prinsip ini merupakan penarikan kesimpulan dengan metode pemisahan dari
pernyataannya yang menggunakan operasi logika konjungsi.Berikut ini adalah
argumen atau penarikan kesimpulannya.
𝑝 ∧ 𝑞
∴ 𝑝
∴ 𝑞
𝑝
𝑞
∴ 𝑝 ∧ 𝑞

Contoh :
Premi : Gula itu manis dan garam itu asin
∴ gula itu manis
∴ garam itu asin
Kedua kesimpulan itu benar.
Berikut ini tabel kebenaran penarikan kesimpulan.
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ( 𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝 ( 𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑞
B B B B B
B S S B B
S B S B B
S S S B B
3. Addition
Berikut ini adalah argumen atau penarikan kesimpulannya.
Prinsip ini merupakan penarikan kesimpulan dengan metode penambahan
pernyataan dan menambahkan operasi logika disjungsi, karena operasi logika
disjungsi jika terdapat pernyataan pada salah satunya benar maka
kesimpulannya adalah benar.
Contoh :
Premi : Ibu pergi ke pasar
∴ ibu pergi ke pasar atau mencuci baju
𝑝
∴ 𝑝 ∨ 𝑞

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → ( 𝑝∨ 𝑞)
B B B B
B S B B
S B B B
S S S B
4. Disjunction Syllogism
atau
Berikut ini adalah tabel kebenaran penarikan kesimpulan disjunction syllogism.
𝑝 𝑞 ¬𝑝 𝑝 ∨ 𝑞 (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬𝑝 ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬𝑝 → 𝑞
B B S B S B
B S S B S B
S B B B B B
S S B S S B
5. Modus Ponens
Berikut ini adalah bentuk dari modus ponens.
𝑝 ∨ 𝑞
¬𝑝
∴ 𝑞
𝑝 → 𝑞
𝑝
∴ 𝑞
𝑝 ∨ 𝑞
¬𝑞
∴ 𝑝

Arti dari penulisan diatas adalah sebagai berikut
 𝑝 → 𝑞 adalah premi pertama
 𝑝 adalah premi ke 2, dan
 𝑞 adalah konklusinya
Berikut ini adalah tabel kebenaran penarikan kesimpulan modus ponens.
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝 (( 𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝) → 𝑞
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
6. Modus Tollens
Berikut ini adalah bentuk dari modus tollens.
Sama artinya dengan implikasi [( 𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞] → ¬𝑝.
Contoh :
jika hari ini tidak hujan maka Adi akan datang
Adi tidak datang
∴ Hari ini hujan
Berikut ini adalah tabel kebenaran penarikan kesimpulan modus tollens.
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞 [( 𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞] → ¬𝑝
B B S S B S B
B S S B S S B
𝑝 → 𝑞
¬𝑞
∴ ¬𝑝

7. Resolusi
Berikut ini adalah bentuk dari modus tollens.
( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑟) → ( 𝑞∨ 𝑟)
Contoh :
Adi makan atau menjemur pakaian
Adi tidak makan atau berjualan
∴ jemur pakaian atau berjualan
8. Hypothetical Sylogisme
Contoh :
jika Adi bermain maka Adi senang
jika Adi senang maka Adi makan kue
∴ jika Adi bermain maka Adi makan kue
9. Universal Instantion (berlaku umum)
Contoh : semua Harimau memakan daging.
Ket : Harimau menandakan pernyataan bersifat
umum
S B B S B S B
S S B B B B B
𝑝 ∨ 𝑞
¬𝑝 ∨ 𝑟
∴ 𝑞 ∨ 𝑟
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
∴ 𝑝 → 𝑟
∀𝑥 𝑝(𝑥)
∴ 𝑝(𝑎)

10. Eksistensial Instantion (berlaku khusus)
Contoh : beberapa harimau Sumatera makan daging
Ket : harimau Sumatera bersifat khusus
11. Universal Generalitation
12. Eksistensial Generelitation
Contoh bentuk penggunaan prinsip penarikan kesimpulan :
1. Mungkin saya sedang bermimpi atau berhalusinasi
2. Saya tidak sedang bermimpi
3. Jika saya berhalusinasi maka saya melihat gajah berbikini
∴ Saya berhalusinasi dan melihat gajah berbikini
Kesimpulannya BENAR
Bukti !!
∃𝑥 𝑝(𝑥)
∴ 𝑝(𝑐)
𝑝(𝑎)
∴ ∀𝑥 𝑝(𝑥)
𝑝(𝑐)
∴ ∃𝑥𝑝(𝑥)

1. 𝑚 ∨ ℎ
2. ¬𝑚
3. ℎ → 𝑔
4. ℎ … …… disjunction syllogism (1&2)
5. 𝑔 … …… modus ponens (3&4)
6. ℎ ∧ 𝑔 …. . conjunction (4&5)
Kesimpulan dari premi
Contoh :
1. Saat ini tidak cerah dan saat ini dingin
2. Kita berenang hanya jika cerah
3. Jika kita tidak berenang maka kita berperahu
4. Jika kita naik perahu maka kita akan pulang lebih awal
∴ kita akan pulang lebih awal
Bukti !!
1. ¬𝑐 ∧ 𝑑
2. 𝑏 → 𝑐
3. ¬𝑏 → 𝑝
4. 𝑝 → 𝑎
5. ¬𝑐 … …… simplify (1)
6. 𝑑 … …… . . simplify (1)
7. ¬𝑏… … …modus tollens (2&5)
8. 𝑝… … …… modus tollens (3&7)
9. 𝑎 …… … …modus tollens (4&8
Kesimpulan

Contoh :
1. Semua singa menyeramkan ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑎( 𝑥) → 𝑏(𝑥)
2. Beberapa singa tidak minum kopi ∃𝑥 ∈ 𝐷, 𝑎(𝑥) ∧ ¬𝑚(𝑥)
∴ Beberapa yang menyeramkan tidak minum kopi
∴ ∃𝑥 ∈ 𝐷, 𝑏(𝑥)∧ ¬𝑚(𝑥)
Bukti !!
1. ∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑎( 𝑥) → 𝑏(𝑥)
2. ∃𝑥 ∈ 𝐷, 𝑎(𝑥) ∧ ¬𝑚(𝑥)
3. 𝑎( 𝑐) → 𝑏( 𝑐)… …… … universal instantion (1)
4. 𝑎( 𝑐) ∧ ¬𝑚( 𝑐)…… … . eksistensial instantion (2)
5. 𝑎( 𝑐)… … …… … … …… simplify (4)
6. ¬𝑚( 𝑐)…… … … …… … simplify (4)
7. 𝑏( 𝑐)… …… … … …… … . modus ponens (3&5)
8. 𝑏( 𝑐) ∧ ¬𝑚( 𝑐)… … …… . conjunction (7&6)
9. ∃𝑥 ∈ 𝐷, 𝑏( 𝑥) ∧ ¬𝑚( 𝑥)… eksistensial generalitation (8)
Kesimpulan
Contoh :
1. Jika kau mengirimkan email maka saya akan menyelesaikan tugas
2. Jika kau tidak mengirimkan email maka saya akan tidur lebih awal
3. Jika saya tidur lebih awal maka besok akam merasa segar
∴ jika saya tidak menyeleaikan tugas maka besok akan merasa segar

Bukti !!
1. 𝑚 → 𝑡
2. ¬𝑚 → 𝑎
3. 𝑎 → 𝑠
4. ¬𝑚 → 𝑠 … … . hypotical sylogism (2&3)
5. ¬𝑡 → ¬𝑚 … . kontraposisi (1)
6. ¬𝑡 → 𝑠 … … . hypotical sylogism (4&5)
Agar tidak kesulitan dalam menentukan pembuktian, perlu adanya modal, yaitu :
1. Analisis , yaitu kemampuan untuk memeriksa komponen-komponen
penyusun dari suatu objek yang utuh.
Contohnya : combro
Perlu analilis yaitu mencium, meraba, melihat dan dimakan
Terdapat komponen-komonennya, yaitu minyak goreng, wajan, cabai, oncom,
singkong.
2. Kemampuan Sintesis, yaitu dari komponen sederhana yang mampu
menjadikan sesuatu yang utuh/kompleks
Contoh : Diatas meja ada tepung, telur, gula, margarin
Berarti bisa jadi ingin membuat kue, bisa juga ingin membuat telur
tanpa tepung
3. Deduktif , yaitu melihat suatu kebenaran yang mendasari kebenaran lainnya
atau melihat konsep yang mendasari konsep lain.
Contoh : konsep perkalian didasari oleh pertambahan.
4. Induktif, yaitu kemampuan untuk melihat keteraturan/pola.
Contoh :
 orang sains menetapkan suatu kebenaran dengan keumuman yang
sering dijumpai.
 Di Alfa, keteraturan ini dipakai untuk menempatkan barang-barang
yang dijual.

5. Berpikir Abduktif , yaitu kemampuan yang dilihat dari tahapan-tahapan yang
dilalui untuk mencapai tujuan.
Contoh : Adi berangkat dari rumah ke kampus, jarang ada angkot dari depan
rumah Adi langsung ke depan kampus, akan tetapi perlu tahapan yang
mengantarkan Adi dari rumah ke kampus.
Ilustrasi :
𝑎→𝑦
𝑦→𝑑
𝑎→𝑑
Untuk mendekati d, si a harus
mengikuti tahapan, yaitu mendekati
temannya terlebih dahulu (y) setelah
mendapat info tentang si a barulah dia
mendekati d.

Inti bagian :
1. Modal-modal dalam Pembuktian
2. Metode Pembuktian
a. Direct Proof (pembuktian langsung)
b. Inderect Proof (Pembuktian tidak langsng)
c. Ekuivalent Forms of the principle of
Matematical Induction
d. Teorema pembagian
Bagian VII
Pembuktian

Agar tidak kesulitan dalam menentukan pembuktian, perlu adanya modal, yaitu :
1. Analisis , yaitu kemampuan untuk memeriksa komponen-komponen
penyusun dari suatu objek yang utuh.
Contohnya : combro
Perlu analilis yaitu mencium, meraba, melihat dan dimakan
Terdapat komponen-komonennya, yaitu minyak goreng, wajan, cabai,
oncom, singkong.
2. Kemampuan Sintesis, yaitu dari komponen sederhana yang mampu
menjadikan sesuatu yang utuh/kompleks
Contoh : Diatas meja ada tepung, telur, gula, margarin
Berarti bisa jadi ingin membuat kue, bisa juga ingin membuat telur tanpa
tepung
3. Deduktif , yaitu melihat suatu kebenaran yang mendasari kebenaran
lainnya atau melihat konsep yang mendasari konsep lain.
Contoh : konsep perkalian didasari oleh pertambahan.
4. Induktif, yaitu kemampuan untuk melihat keteraturan/pola.
Contoh :
 orang sains menetapkan suatu kebenaran dengan keumuman yang
sering dijumpai.
 Di Alfa, keteraturan ini dipakai untuk menempatkan barang-barang
yang dijual.
5. Berpikir Abduktif , yaitu kemampuan yang dilihat dari tahapan-tahapan
yang dilalui untuk mencapai tujuan.
Contoh : Adi berangkat dari rumah ke kampus, jarang ada angkot dari
depan rumah Adi langsung ke depan kampus, akan tetapi perlu tahapan
yang mengantarkan Adi dari rumah ke kampus.
Modal-modal dalam Pembuktian

Ilustrasi :
𝑎→𝑦
𝑦→𝑑
𝑎→𝑑
Pembuktian suatu teorema atau rumus dalam matematika dapat dilakukan
dengan menggunakan pernyataan, teorema (rumus) lainnya yang telah dibuktikan
kebenarannya atau keduanya. Bukti dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu cara
langsung, tidak langsung dan induksi matematik.
1. Direct Proof (pembuktian langsung)
Pembuktian langsung adalah pembuktian yang biasanya dinyatakan dalam
bentuk implikasi 𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑞 → ¬𝑝
2. Inderect Proof (bukti yang ada melawan pernyataan)
Contoh : “semua laki-laki buaya darat”.
Tetapi Ayah kita tidak buaya darat
3. Induksi Matematik (melihat pola).
A. Teorema penjumlahan pada bilangan bulat.
 Jika m dan n bilangan genap maka 𝑚 + 𝑛 bilangan genap
Genap+genap = genap
o Definisi bahwa bilangan genap dapat dinyatakan dengan 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
o Misalnya 𝑚 = 2𝑝, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑞, 𝑞 ∈ ℤ
Metode Pembuktian
Untuk mendekati d, si a harus
mengikuti tahapan, yaitu mendekati
temannya terlebih dahulu (y) setelah
mendapat info tentang si a barulah dia
mendekati d.
1. Direct Proof (Pembuktian langsung)

o Didapat 𝑚 + 𝑛 = 2𝑝 + 2𝑞
= 2( 𝑝 + 𝑞)
o Karena 𝑝 + 𝑞 ∈ ℤ dapat dimisalkan dengan 𝑟
o Sehingga m + n = 2r, r ∈ ℤ merupakan bilangan genap.
∴ TERBUKTI
 Jika 𝑎 dan 𝑛 bilangan ganjil maka 𝑚 + 𝑛 bilangan genap
o Didefinisikan bilangan ganjil dapat dinyatakan dengan 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈
ℤ
o Misalkan 𝑚 = 2𝑝 + 1, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑞 + 1, 𝑞 ∈ ℤ
o Selanjutnya 𝑚 + 𝑛 = (2𝑝 + 1) + (2𝑞 + 1)
= 2𝑝 + 2𝑞 + 2
= 2( 𝑝 + 𝑞 + 1)
o Karena p + q + 1 ∈ ℤ dapat dimisalkan dengan r
o Sehingga m + n = 2r, r ∈ ℤ merupakan bilangan genap
o TERBBUKTI
 Jika 𝑚 bilangan ganjil dan 𝑛 bilangan genap maka 𝑚 + 𝑛 bilangan ganjil
o Didefinisikan bilangan ganjil dapat dinyatakan 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ
o Misalkan𝑚 = 2𝑝 + 1, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑞, 𝑞 ∈ ℤ
o Selanjutnya 𝑚 + 𝑛 = (2𝑝 + 1) + (2𝑞)
= 2𝑝 + 2𝑞 + 1
= 2( 𝑝 + 𝑞) + 1
o Karena 𝑝 + 𝑞 ∈ ℤ dapat dimisalkan 𝑟
o Sehingga 𝑚 + 𝑛 = 2𝑟 + 1, 𝑟 ∈ ℤ merupakan bilangan ganjil.
o TERBUKTI
 Jika 𝑚 bilangan genap dan 𝑛 bilangan ganjil maka 𝑚 + 𝑛 bilangan ganjil.
o Bukti : Berdasarkan pembuktian nomer 3 dan berlaku komutatif
pada penjumlahan , maka terbukti.

B. Pembuktian langsung perkalian bilangan bulat
 Jika 𝑚 dan 𝑛 bilangan genap maka 𝑚 × 𝑛 bilangan genap
o genap × genap = genap
o didefinisikan bilangan genap dapat dinyatakan 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ
o misalkan 𝑚 = 2𝑝, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑞, 𝑞 ∈ ℤ
o didapat 𝑚 × 𝑛 = 2𝑝 × 2𝑞 = 4𝑝𝑞
= 2(2𝑝𝑞)
o karena 2𝑝𝑞, ∈ ℤ dapat dimisalkan 𝑘
o sehingga 𝑚 × 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧 merupakan bilangan genap
 Jika 𝑚 dan 𝑛 bilangan ganjil maka 𝑚 × 𝑛 bilangan ganjil
o ganjil × ganjil = ganjil
o didefinisikan bilangan ganjil dapat dinyatakan 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ
o misalkan 𝑚 = 2𝑝 + 1, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑞 + 1, 𝑞 ∈ ℤ
o didapat 𝑚 + 𝑛 = (2𝑝 + 1) × (2𝑞 + 1)
= 4𝑝𝑞 + 2𝑝 + 2𝑞 + 1
= 2(2𝑝𝑞 + 𝑝 + 𝑞) + 1
o karena 2𝑝𝑞 + 𝑝 + 𝑞, ∈ ℤ dapat dimisalkan 𝑛
o sehingga 𝑚 × 𝑛 = 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ merupakan bilangan genap.
 Jika 𝑚 bilangan genap dan 𝑛 bilangan ganjil maka 𝑚 × 𝑛 bilangan genap
o Didefinisikan bilangan genap dinyatakan 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ dan bilangan
ganjil dapat dinyatakan 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ
o Misalkan 𝑚 = 2𝑞, 𝑞 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑟 + 1, 𝑟 ∈ ℤ
o Didapat 𝑚 × 𝑛 = 2𝑞 × (2𝑟 + 1)
= 4𝑞𝑟 + 2𝑞
= 2(2𝑞𝑟 + 𝑞)
o Karena 2𝑞𝑟 + 𝑞, 𝑞 ∈ ℤ dapat dimisalkan 𝑛
o Sehingga 𝑚 × 𝑛 = 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ merupakan bilangan genap
∴ TERBUKTI
 Jika 𝑚 bilangan ganjil dan 𝑛 bilangan genap maka 𝑚 × 𝑛 bilangan genap

o Bukti : Berdasarkan pembuktian 3 dan berlaku komutatif pada
perkalian, maka terbukti
C. Pembuktian langsung perkalian positif dan negatif
 Jika a dan b positif maka 𝑎 × 𝑏 positif.
o 𝑎 > 0 ; 𝑏 > 0
o Berdasarkan definisi perkalian
o 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 + 𝑏 + ⋯+ 𝑏
sebanyak 𝑎
o Dengan menggunakan sifat ketertutupan pada penjumlahan
o “jika 𝑝 > 0 dan 𝑞 > 0 maka 𝑝 + 𝑞 > 0
o Ilustrasi :
𝑝 > 0
𝑞 > 0
𝑝 + 𝑞 > 0
+
o didapat 𝑏 + 𝑏 + ⋯+ 𝑏 > 0
sebanyak 𝑎
∴ TERBUKTI bahwa 𝑎 × 𝑏 > 0
 Jika 𝑎 > 0 dan 𝑏 > 0, maka 𝑎(−𝑏) < 0
o 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 ≡ (−𝑏) < 0
o Berdasarkan definisi perkalian
o 𝑎 × (−𝑏) = (−𝑏) + (−𝑏) + ⋯ + (−𝑏) < 0
Sebanyak a
∴ TERBUKTI bahwa 𝑎× (−𝑏) < 0
 Jika 𝑎 > 0 dan 𝑏 > 0, maka 𝑏(−𝑎) < 0
o Berdasarkan definisi perkalian 𝑏 > 0, 𝑎 > 0
o 𝑏 × (−𝑎) = (−𝑎) + (−𝑎) + ⋯(−𝑎)
o Dengan menggunakan sifat ketertutupan pada penjumlahan

o “jika 𝑚 < 0, 𝑛 < 0 maka 𝑚 + 𝑛 < 0
o Didapat 𝑏 × (−𝑎) = (−𝑎) + (−𝑎) + ⋯ + (−𝑎)
Sebanyak 𝑏
∴ TERBUKTI bahwa 𝑏 × (−𝑎) < 0
 Jika 𝑎 > 0 dan 𝑏 > 0
o Diketahui (−𝑎) × 0 = 0
o Kemudian didapat (– 𝑎) × (𝑏 + (−𝑏) = 0
o Berdasarkan pembuktian sebelumnya (−𝑎) × 𝑏 < 0
o Atau dapatditulislka dengan – ( 𝑎𝑏)
o Kemudian dimisalkan (– 𝑎)(−𝑏) = 𝑝
o Sehingga – ( 𝑎𝑏) = 𝑝
o Akibatnya𝑝 = 𝑎 × 𝑏
∴ TERBUKTI bahwa (– 𝑎)(−𝑏) = 𝑎. 𝑏 > 0

1. Buktikan pernyataan berikut ini !
a. Jika 𝑥 bilangan genap maka 4𝑥 bilangan genap
b. Jika 𝑥 bilangan bulat maka 4𝑥 bilangan genap
c. Jika 𝑥, 𝑦, 𝑧 bilangan bulat dan 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 bilangan ganjil , maka setidaknya
terdapat 1 bilangan ganjil dari 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Latihan 7

A. CONTRAPOSITIVE
 Jika 𝒎 dan 𝒏 genap maka 𝒎 + 𝒏 genap
𝑝 𝑞
o Dimisalkan 𝑝 → 𝑞
¬𝑞 → 𝑝
𝑚 + 𝑛 ganjil atau 𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ
o Kemungkinan
𝑚 = genap
𝑚 = 2𝑝, 𝑝 ∈ ℤ
𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 + 1
2𝑝 + 𝑛 = 2𝑘 + 1
𝑛 = 2( 𝑘 − 𝑝) + 1
𝑛 = ganjil
𝑚 = ganjil
𝑚 = 2𝑝 + 1, 𝑝 ∈ ℤ
𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 + 1
(2𝑝 + 1) + 𝑛 = 2𝑘 + 1
𝑛 = 2(𝑘 − 𝑝)
𝑛 = genap
B. CONTRADIKSI
 jika 𝒎 dan 𝒏 genap maka 𝒎 + 𝒏 genap
o Anggap 𝑚 dan 𝑛 genap, dan 𝑚 + 𝑛 ganjil
2. Inderect Proof (Pembuktian tidak langsng)

o Sehingg 𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑚 = 2𝑝, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑞, 𝑞 ∈ ℤ
o Kemudian diperoleh : 𝑛 = 𝑛
𝑛 = 𝑛 + 𝑚 − 𝑚
𝑛 = ( 𝑚 + 𝑛) − 𝑚
𝑛 = (2𝑘 + 1) − 2𝑝
𝑛 = 2( 𝑘 − 𝑝) + 1
𝑛 = bilangan ganjil
o Hal ini contradiksi dengan pemisalan,
o sehingga:
𝑚 + 𝑛 ganjil itu “SALAH” Yang “BENAR” 𝑚 + 𝑛 genap.
 Tidak terdapat 𝒙 bilangann rasional, sehingga 𝒙 𝟐
= 𝟐
o Definisi bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan
𝑎
𝑏
, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0 gcd( 𝑎, 𝑏) = 1
o Anggap 𝑥 rasional sehingga dapat dinyatakan dengan
𝑎
𝑏
o Akibatnya : 𝑥2
= 2
(
𝑎
𝑏
)
2
= 2
𝑎2
𝑏2 = 2
𝑎2
= 2𝑏2
o Didapat 𝑎2
bilangan genap atau 𝑎 genap (𝑎 = 2𝑝, 𝑝 ∈ ℤ)
o Didapat 𝑏2
bilangan genap sehingga 𝑏 genap. Karena 𝑎 dan 𝑏 bilangan
genap.
o Akibatnya gcd(𝑎, 𝑏) ≠ 1, hal ini contradiksi dengan pemisalan. Sehingga
o memisalkan bilangan rasional “SALAH”, yang “BENAR” memisalkan 𝑥
bilangan irasional.
 Setidaknya terdapat satu bilangan real dari 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑 … . 𝒂 𝒏 yang lebih
dari atau sama dengan rata – ratanya

o Untuk mencari rata – rata : 𝐴 =
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎 𝑛
𝑛
o Anggap 𝑎1, 𝑎2, … …. , 𝑎 𝑛 < 𝐴
o Akibatnya 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 < 𝑛. 𝐴
o Sehingga
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎 𝑛
𝑛
<
𝑛.𝐴
𝑛
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎 𝑛
𝑛
< 𝐴
o Hal ini contradiksi dengan definisi rata – rata, sehingga pemisalan
𝑎1, 𝑎2,… … , 𝑎 𝑛 < 𝐴 “SALAH” yang “BENAR” 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … …, 𝑎 𝑛 ≥ 𝐴
 min (a, min(b,c) = min (min(a,b),c)
Misal : min (2,5) = 2
Contoh :
a, b, c bilangan real. Terdapat 6 kemungkinan susunan a, b dan c.
1. 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐
a b c
Didapat : min (a, min(b,c)) = min (min(a,b),c)
min (a,b) = min (a,c)
a = a
∴TERBUKTI
2. 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑎
b c a
Didapat : min (a, min(b,c)) = min (a,b),c)
min (a,b) = min (b,c)
b = b
∴TERBUKTI
3. 𝑐 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏

c a b
min (a,c) = min (a,c)
c = c
∴TERBUKTI
4. 𝑐 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎
c b a
min (a,c) = min (b,c)
c = c
∴TERBUKTI
5. 𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑐
b a c
min (a,b) = min (b,c)
b = b
∴TERBUKTI
6. 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏
a c b
min (a,c) = min (a,b)
a = a
∴TERBUKTI
Pembuktian teorema 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 +......+ 𝒏 =
𝒏
𝟐
(𝒏 + 𝟏)
o Uji coba
𝑛 = 1,1 =
1
2
(1 + 1)
1 =
1
2
(2)
1 = 1.... benar

o Asumsikan berlaku Untuk 𝑛 = 𝑘
1 + 2 + 3 +.....+ 𝑘 =
𝑘
2
(𝑘 + 1).... asumsikan benar
o Akan dibuktikan benar Untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
1 + 2 + 3 +.....+ 𝑘 + ( 𝑘 + 1) =
( 𝑘+1)
2
( 𝑘 + 2)
𝑘
2
( 𝑘 + 1) + ( 𝑘 + 1) =
(𝑘+1)
2
(𝑘 + 2)
( 𝑘 + 1) (
𝑘
2
+ 1) =
(𝑘+1)
2
(𝑘 + 2)
( 𝑘 + 1) (
𝑘
2
+
2
2
) =
(𝑘+1)
2
(𝑘 + 2)
( 𝑘 + 1) (
𝑘+2
2
) =
(𝑘+1)
2
(𝑘 + 2)
( 𝑘 + 1)( 𝑘 + 2).
1
2
=
(𝑘+1)
2
(𝑘 + 2)
(𝑘+2)
2
( 𝑘 + 2) =
(𝑘+1)
2
(𝑘 + 2)
∴TERBUKTI
karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga benar terbukti.
Contoh :
13 + 23 + ⋯+ 𝑛3 = (1 + 2 + ⋯+ 𝑛)
13 + 23 + ⋯+ 𝑛3 = (
𝑛
3
(1 + 1))
2
o Uji coba
o Untuk 𝑛 = 1, 13 = (
1
2
(1 + 1))
2
1 = 1.... benar
13 + 23 + … + 𝑘3 = (
𝑘
2
(𝑘 + 1))
2
.............. asumsikan benar
13 + 23 + … + 𝑘3 + ( 𝑘 + 1)3 = (
𝑘+1
2
( 𝑘 + 2))
2
(
𝑘
2
(𝑘 + 1))
2
+ (𝑘 + 1)3 = (
𝑘+1
2
(𝑘 + 1))
2
Teorema rumus : 𝒏,( 𝟐𝒏 − 𝟏) 𝟐 = 𝒏 + ( 𝒏 + 𝟏) + ⋯+ (𝟐𝒏 − 𝟐)

o Diketahui :
o Untuk 𝑛 = 1,1 = 1
𝑛 = 2, 9 = 2 + 3 + 4
𝑛 = 3, 25 = 3 + 4 + 5 + 6
𝑛 = 4, 49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
𝑛 = 5, 81 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13
𝑛 = 10, 192 = 10 + 11 + ⋯+ 28
o Uji coba
o Untuk 𝑛 = 1,(2𝑛 − 1)2 = (2( 𝑛 − 1))2 = 1
𝑛 = 2, (2𝑛 − 1)2 = (2(2) − 1)2 = 9
(2𝑛 − 1)2 = 𝑘 + ( 𝑘 + 1) + ⋯+ (3𝑘 − 2)..... asumsikan benar
(2𝑘 + 2 − 1)2 = ( 𝑘 + 1) + ( 𝑘 + 2) + ⋯+ (3( 𝑘 + 1) − 2)
(2𝑘 + 1)2 = ( 𝑘 + 1) + ( 𝑘 + 2) + ⋯+ (3𝑘 + 1)
(2𝑘 + 1)2 = ( 𝑘 + 1) + ( 𝑘 + 2) + ⋯+ (3𝑘 − 2) + (3𝑘 − 1) + 3𝑘 + (3𝑘 + 1)
(2𝑘 + 1)2 = (2𝑘 − 1)2 − 𝑘 + (3𝑘 − 1) + 3𝑘 + (3𝑘 + 1)
(2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2 − 4𝑘 + 1 − 𝑘 + 9𝑘
(2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2 + 4𝑘 + 1
(2𝑘 + 1)2 = (2𝑘 + 1)2
∴TERBUKTI
Karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga terbukti benar.
Contoh :
Buktikan :
𝟏
𝟏.𝟐
+
𝟏
𝟐.𝟑
+ ⋯+
𝟏
𝒏( 𝒏+𝟏)
=
𝒏
𝒏+𝟏
1
1.2
+
1
2.3
+ ⋯+
1
𝑘(𝑘+1)
=
𝑘
𝑘+1
........ asumsikan benar
1
1.2
+
1
2.3
+ ⋯+
1
𝑘( 𝑘+1)
+
1
( 𝑘+1)(𝑘+2)
=
𝑘+1
𝑘+2
Teorema rumus
𝟏
𝒏(𝒏+𝟏)
=
𝟏
𝒏
−
𝟏
𝒏+𝟏
Memisalkan tidak
harus 𝑛 = 1 bisa
saja 𝑛 = 2, dst.

1
𝑘+1
+
1
( 𝑘+1)(𝑘+2)
=
𝑘+1
𝑘+2
𝑘( 𝑘+2)+1
( 𝑘+1)(𝑘+2)
=
𝑘+1
𝑘+2
𝑘2+2𝑘+1
( 𝑘+1)(𝑘+2)
=
𝑘+1
𝑘+2
( 𝑘+1)2
( 𝑘+1)( 𝑘+2)
=
( 𝑘+1)
𝑘+2
(𝑘+1)
(𝑘+2)
=
(𝑘+1)
(𝑘+2)
∴TERBUKTI
karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga benar terbukti.
“Jika 𝒙 ≥ 𝟎, maka ∀𝒏 ∈ ℕ,( 𝟏 + 𝒙) 𝒏 ≥ 𝟏 + 𝒙 𝒏”
o Uji coba
𝑛 = 1,(1 + 𝑥)1 ≥ 1 + 𝑥1
1 + 𝑥 = 1 + 𝑥
𝑛 = 2,(1 + 𝑥)2 ≥ 1 + 𝑥2
1 + 2𝑥 + 𝑥2 ≥ 1 + 𝑥2
𝑛 = 3,(1 + 𝑥)3 ≥ 1 + 𝑥3
1 + 3𝑥 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≥ 1 + 𝑥3
o Asumsikan benar , untuk 𝑛 = 𝑘
(1 + 𝑥) 𝑘 ≥ 1 + 𝑥 𝑘
o Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
(1 + 𝑥) 𝑘 ≥ 1 + 𝑥2
(1 + 𝑥) 𝑘(1 + 𝑥) ≥ (1 + 𝑥2)(1 + 𝑥)
(1 + 𝑥) 𝑘+1 ≥ 1 + 𝑥 𝑘 + 𝑥 + 𝑥 𝑘 × 𝑥
(1 + 𝑥) 𝑘+1 ≥ 1 + 𝑥 𝑘 + 𝑥 + 𝑥 𝑘+1............ ≥ 1 + 𝑥 𝑘+1
(1 + 𝑥) 𝑘+1 ≥ 1 + 𝑥 𝑘+1
Contoh yang salah :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛2 ≤ 𝑛
Uji coba 𝑛 = 1, 12 ≤ 1....... benar
Asumsikan 𝑛 = 𝑘...... benar
𝑘2 ≤ 𝑘
Akan dibuktikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
Catatan dari contoh disamping :
1. 𝑘2 + 2𝑘 saja kurang dari
𝑘 apalagi 𝑘2pasti lebih
kurang lagi.
2. Contoh tersebut hanya
bisa pembukitan turun,
jika pembuktian naik
pasti itu akan salah .
Pembuktian
bisa dibalik
(dari bawah ke
atas) maka
pembuktian
disamping
adalah benar

( 𝑘 + 1)2 ≤ 𝑘 + 1
𝑘2 + 2𝑘 + 1 ≤ 𝑘 + 1
𝑘2 + 2𝑘 ≤ 𝑘
𝑘2 ≤ 𝑘
Contoh yang salah : 𝑦 ∈ 𝑆,∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ≤ 𝑋
Ketentuannya : ℕ terurut
Elemen terkecil
𝑆 ⊂ ℕ
𝑆 terurut
Elemen terkecil
Jika ℕ terurut maka ℕ
mempunyai elemen
terkecil. (ketentuan dalam
bilangan asli “WOP”)
Ekuivalent Forms of the principle of Matematical Induction
Teorema pembagian

Diberikan 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, kemudian terdapat 𝑞 dan 𝑟 sedemikian.
Sehingga :
𝒂 = 𝒃. 𝒒 + 𝒓, dengan 𝟎 ≤ 𝒓 ≤ 𝒃
Bukti :
o Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, sehingga terdapat 𝑆 himpunan dari 𝑟 dengan 𝑆 =
{ 𝑎 − 𝑏. 𝑘 = 𝑘 ∈ ℤ, 𝑎 − 𝑏. 𝑘 ≥ 0 }
o Akan ditunjukan 𝑆 ≠ ∅, pilih 𝑘 = 0
o Sehingga 𝑎 − 𝑏. 0 = 𝑎 ≥ 0, atau 𝑎 − 𝑏. 0 ∈ 𝑆
o Dengan WOP, 𝑆 memilih elemen terkecil
o Anggap 𝑟 = 𝑎 − 𝑏. 𝑞 merupakan elemen terkecil
o Selanjutnya akan ditunjukan bahwa 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏
o Berdasarkan definisi dari 𝑆, 𝑟 ≥ 0
o Akan ditunjukkan 𝑟 < 𝑏, jika 𝑟 ≥ 𝑏, akibatnya :
𝑟 − 𝑏 ≥ 0
𝑎 − 𝑏. 𝑞 − 𝑏 ≥ 0
𝑎 − 𝑏( 𝑞 + 1) ≥ 0,
o Sehingga 𝑎 − 𝑏( 𝑞 + 1) = 𝑟 − 𝑏 ∈ 𝑆
o Hal ini kontradiksi, karena 𝑟 − 𝑏 ≤ 𝑟 sedangkan 𝑟 merupakan elemen
terkecil dari 𝑆.
o Sehingga pemisalan 𝑟 ≥ 𝑏 SALAH yang “BENAR 𝑟 < 𝑏
Akan dibuktikan 𝒒 dan 𝒓 tunggal
o Anggap 𝑞 dan 𝑟 tidak tunggal yaitu ( 𝑞1, 𝑟1) dan ( 𝑞2, 𝑟2)
o Sehingga 𝑎 = 𝑎
𝑏. 𝑞1 + 𝑟1 = 𝑏. 𝑞2 + 𝑟2
𝑟1. 𝑟2 = 𝑏. 𝑞1 − 𝑏. 𝑞2
𝑟1. 𝑟2 = 𝑏( 𝑞2 − 𝑞1)…… (1)
o Karena 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 maka 0 ≤ 𝑟1 < 𝑏
0 ≤ 𝑟2 < 𝑏
o Didapat 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑏 … (2)
o Dari hasil (1) dan (2) didapat 𝑏|𝑟1 − 𝑟2 tetapi 𝑟1 − 𝑟2 < 𝑏 sehingga 𝑟1 − 𝑟2
yang mungkin hanyalah 𝑟1 − 𝑟2 = 0 didapat 𝑟1 = 𝑟2
o Selanjutnya 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑏( 𝑞2 − 𝑞1)

0 = 𝑏( 𝑞2 − 𝑞1)
o Didapat 0 = 𝑏( 𝑞2 − 𝑞1)
𝑞1 = 𝑞2
o Kesimpulannya hal ini adalah kontradiksi dengan pemisalan, sehingga 𝑞 dan
𝑟 tunggal.
∴TERBUKTI

Buktikan :
1. 12 + 22 + ⋯+ 𝑛2 =
𝑛( 𝑛+1)(2𝑛+1)
6
2.
1
1.3
+
1
2.1
+ ⋯+
1
𝑛(𝑛+2)
=
3𝑛2+ 5𝑛
4( 𝑛+1)(𝑛+2)
3. 1 + 3 + 5 + ⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2
4. ∀𝑛 ∈ ℕ,12 + 22 + ⋯+ 𝑛2 = (
1
2
𝑛(𝑛 + 1))
2
5. ∀𝑛 ∈ ℕ,(1 + 1−1)(1 + 2−1) (1 + 3−1)… …(1 + 𝑛−1) = 𝑛 + 1
Latihan 8

Jawaban
Latihan 1
1.
a. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan cara
koherensi.
b. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan cara
koherensi.
c. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu : bernilai salah ,
sebab 111 bukan bilangan prima sebab 111 memiliki lebih dari 2 faktor.
d. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan
menggunakan cara korespondensi atau berdasarkan fakta. Kalimat tersebut
akan bernilai benar apabila pada kenyataannya tadi pagi Fahmi memang
berkata demikian. Namun kalimat tersebut akan bernilai salah apabila pada
kenyataannya tadi pagi Fahmi tidak berkata demikian.
e. Pernyataan, karena dapat ditentukan nilai kebenarannya dengan
menggunakan cara koherensi.
2n + 1 dimana n ∈ 𝔸 adalah bilangan ganjil.
Untuk n = 1 , 2.1 + 1 = 3 …..terbukti
Untuk n = 2, 2.2 + 1 = 5 …. terbukti
Untuk n = 3, 2.3 + 1 = 7 ….terbukti
Dari penjelasan diatas , terbukti bahwa 2n + 1 dimana n ∈ 𝔸 adalah
bilangan ganjil.
Tanpa menyalahi prinsip atau kesepakatan yang telah disepakati
sebelumnya. Jadi kalimat ini merupakan kalimat pernyataan yang benar.
1. Perhatikan tabel dibawah ini !
Hari Andi Badu
Senin Bohong Jujur
Selasa Bohong Jujur
Rabu Bohong Jujur
Kamis jujur Bohong

“kemarin adalah hati dimana saya berbohong juga”
a)hari kamis adalah hari dimana Andi dan Badu megatakannya.
b) hari Selasa, Rabu, Jumat, dan Sabtu
2. Perhatikan !
 Andi duduk di sebelah kiri Chandra
 Budi duduk di sebelah kanan Kelasi
 Dani duduk berhadapan dengan Chandra
 Dani bukan seorang Pilot
Chandra
Kelasi
Budi Andi
....... Sopir
Dani
Markonis
Jadi, pekerjaan Budi adalah Pilot.
3. Toni tidak pernah bohong dan memakai kaos kuning
Didi terkadang bohong dan ia memakai kaos hijau
Hory selalu jujur dan memakai kaos merah
Latihan 2
1. 𝑎. 3 + 2 = 6 ↔ 4 + 2 = 5.
𝑝 𝑞
Jumat Jujur Bohong
Sabtu Jujur Bohong
Minggu Jujur jujur

𝑝 ≡ 𝑆
𝑞 ≡ 𝑆
∴ 𝑆 ↔ 𝑆 ≡ 𝐵
𝑏. 3 + 2 = 5 → 4 + 2 = 5.
𝑝 𝑞
𝑝 ≡ 𝐵
𝑞 ≡ 𝑆
∴ B → S ≡ S
a. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota D.I Aceh.
𝑝 𝑞
𝑝 ≡ 𝐵
𝑞 ≡ 𝑆
∴ 𝐵 ∨ 𝑆 ≡ 𝐵
b. Jika 𝑥2
= 4 maka 𝑥 = 2
𝑝 𝑞
𝑝 ≡ 𝐵
𝑞 ≡ 𝑆 , jika x2
= 4 maka x2
≠ 4
terdapat x = -2 , sehingga x2
= 4
∴ B → S ≡ S
c. Jika x = -2 maka x2
= 4
p q
p ≡ S, jika x ≠ -2 maka x2
≠ 4
terdapat x = 2 , sehingga x2
= 4
𝑞 ≡ 𝐵
∴ 𝑆 → 𝐵 ≡ 𝐵
d. Jika 3x + 4 = 2 dan x ∈ 𝔹, maka x = -1
p q r
p ≡ S, sebab 3x + 4 = 2
3x = 2 – 4
3x = -2
x =
−2
3
,
−2
3
∉ 𝔹
𝑞 ≡ 𝑆

r ≡ S , sebab 3x + 4 = 2 , x ∈ 𝔹 , x = -1
3(-1) + 4 = 2
-3 + 4 = 2
1 = 2 …. Tidak terbukti
∴ (S ∧ S) → S ≡ S → S ≡ B
2. a. ¬p
Kalimat : “10 tidak habis dibagi 5.”
Nilai kebenaran : Salah, karena 10 habis dibagi 5.
b. ¬q
Kalimat : “8 bukan bilangan prima.”
Nilai kebenaran : Benar, karena bilangan prima adalah bilangan yang hanya
memiliki 2 faktor yaitu angka 1 dan bilangan itu sendiri,
sedangkan 8 memiliki lebih dari 2 faktor yaitu 1, 2, 4,
dan 8. Jadi 8 bukan bilangan prima.
c. 𝑝 ∧ 𝑞
Kalimat : “10 habis dibagi 5 dan 8 adalah bilangan prima.”
Nilai kebenaran : p ≡ B,
q ≡ S
∴ B ∧ S ≡ S
d. 𝑝 ∨ 𝑞
Kalimat : “10 habis dibagi 5 atau 8 adalah bilangan prima.”
Nilai kebenaran : p ≡ B
q ≡ S
∴ B ∨ S ≡ B
e. ¬p ∧ ¬q
Kalimat : “10 tidak habis dibagi 5 dan 8 bukan bilangan prima.”
Nilai kebenaran : p ≡ S
q ≡ B
∴ S ∧ B ≡ S
f. ¬p ∧ q

Kalimat : “10 tidak habis dibagi 5 dan 8 adalah bilangan
prima.”
Nilai kebenaran : p ≡ S
q ≡ S
∴ S ∧ S ≡ S
g. p ∧ ¬q
Kalimat : “10 habis dibagi 5 dan 8 bukan bilangan prima.”
q ≡ B
∴ B ∧ B ≡ B
h. p → q
Kalimat : “Jika 10 habis dibagi 5 maka 8 adalah bilangan
prima.”
q ≡ S
∴ B → S ≡ S
i. p ↔ q
Kalimat : “10 habis dibagi 5 jika dan hanya jika 8 adalah
bilangan prima.”
q ≡ S
∴ B → S ≡ S
j. (p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)
Kalimat : “Jika 10 habis dibagi 5 atau 8 bukan bilangan prima
maka 10 tidak habis dibagi 5 atau 8 adalah bilangan
prima.”
Nilai kebenaran : p ≡ B , ¬p ≡ S
q ≡ S , ¬q ≡ B
∴ (B ∨ B) → (S ∨ S) ≡ B → S ≡ S
3. a. a ∧ ¬b
b. ¬a ∧ ¬b
c. ¬a ∧ b
d. a ∧ b

e. ¬(a ∧ b)
f. a → ¬b
g. ¬a → ¬b
Exercises 3
1. a. 3 ≤ 7 and 4 is an odd integer.
p q
𝑝 ≡ 𝑇
𝑞 ≡ 𝐹
∴ 𝑇 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹
b. 3 ≤ 7 or 4 is an odd integer.
p q
𝑝 ≡ 𝑇
𝑞 ≡ 𝐹
∴ 𝑇 ∨ 𝐹 ≡ 𝑇
c. 2 + 1 = 3 but 4 < 4.
p q
𝑝 ≡ 𝑇
𝑞 ≡ 𝐹
∴ 𝑇 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹
d. 5 is odd or divisible by 4.
p q
𝑝 ≡ 𝑇
𝑞 ≡ 𝐹
∴ 𝑇 ∨ 𝐹 ≡ 𝑇
e. It is not true that 2 + 2 = 5 and 5 > 7.
p q
𝑝 ≡ 𝐹
𝑞 ≡ 𝐹
∴ ¬(𝐹 ∧ 𝐹) ≡ ¬(𝐹) ≡ 𝑇

f. It is not true that 2 + 2 = 5 or 5 > 7.
p q
𝑝 ≡ 𝐹
𝑞 ≡ 𝐹
∴ ¬(𝐹 ∨ 𝐹) ≡ ¬(𝐹) ≡ 𝑇
g. 3 ≥ 3.
3 > 3 or 3 = 3
p q
𝑝 ≡ 𝐹
𝑞 ≡ 𝑇
∴ 𝐹 ∨ 𝑇 ≡ 𝑇
2. p : 7 is an even integer
q : 3 + 1 = 4
r : 24 is divisible by 8
a. Write the following in symbolic form and assign truth values :
i) 3 + 1 ≠ 4 and 24 is divisible by 8
¬𝑞 𝑟
¬𝑞 ≡ 𝐹
𝑟 ≡ 𝑇
∴ ¬𝑞 ∧ 𝑟
𝐹 ∧ 𝑇 ≡ 𝐹
ii) It is not true that 7 is odd or 3 + 1 = 4.
¬p q
¬𝑝 ≡ 𝑇
𝑞 ≡ 𝑇
∴ ¬(¬𝑝 ∨ 𝑞)
¬(𝑇 ∨ 𝑇) ≡ ¬(𝑇) ≡ 𝐹
iii) 3 + 1 = 4 but 24 is not divisible by 8.
q ¬r
𝑞 ≡ 𝑇
¬𝑟 ≡ 𝐹

∴ 𝑞 ∧ ¬𝑟
𝑇 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹
b. Write out the following in words and assign truth values :
i) p ∨ ¬q.
Following in words : “7 is even integer or 3 + 1 ≠ 4.”
Truth Values : p ≡ F
¬𝑞 ≡ 𝐹
∴ 𝐹 ∨ 𝐹 ≡ 𝐹
ii) ¬(r ∧ q)
Following in words : “It is not true 24 is divisible by 8 and 3 + 1 =
4.”
Truth Values : 𝑟 ≡ 𝑇
𝑞 ≡ 𝑇
∴ ¬(𝑇 ∧ 𝑇) ≡ ¬ (𝑇) ≡ 𝐹
iii)¬r ∨ ¬q
Following in words : “24 is not divisible by 8 or 3 + 1 ≠ 4.”
Truth Values : ¬𝑟 ≡ 𝐹
¬𝑞 ≡ 𝐹
∴ ¬(𝐹 ∨ 𝐹) ≡ ¬ (𝐹) ≡ 𝑇
Latihan 4
1. a. 3 + 2 = 6 dan 4+ 2 ≠ 5 atau 4 + 2 = 5 dan 3+ 2 ≠ 5
Salah ∨ salah
Nilai kebenarannya adalah salah
b. 3 + 2 = 5 dan 4+ 2 ≠ 5
benar ∧ benar
Nilai kebenarannya adalah benar
c. 3 + 2 ≠ 5 dan Jakarta ibukota DI Aceh
salah ∧ salah
Nilai kebenarannya adalah salah
2. 𝑝 : 10 habis dibagi 5 (benar)

𝑞 : 8 adalah bilangan prima (salah)
a. ¬𝑝 : salah
Negasinya :𝑝
𝑝 : benar
b. ¬𝑞 : benar
Negasinya :𝑞
𝑞 : salah
c. 𝑝 ∧ 𝑞 : benar ∧ salah ≡ salah
Negasinya : ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
¬𝑝 ∨ ¬𝑞 :salah∨ benar ≡benar
d. 𝑝 ∨ 𝑞 : benar atau salah ≡ benar
Negasinya:¬𝑝 ∧ ¬𝑞
¬𝑝 ∧ ¬𝑞 : salah ∧ benar ≡ salah
e. ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 : salah ∧ benar ≡ salah
Negasinya : 𝑝 ∨ 𝑞
𝑝 ∨ 𝑞 : benar ∨ salah ≡benar
f. ¬𝑝 ∧ 𝑞 : salah ∧ salah ≡ salah
Negasinya : 𝑝 ∨ ¬𝑞
𝑝 ∨ ¬𝑞 : benar ∨ benar ≡ benar
g. 𝑝 ∧ ¬𝑞 : benar ∧ benar ≡ benar
Negasinya : ¬𝑝 ∨ 𝑞
¬𝑝 ∨ 𝑞 : salah ∨ salah ≡salah
h. 𝑝 → 𝑞 : benar → salah≡ salah
Negasinya : 𝑝 ∧ ¬𝑞
𝑝 ∧ ¬𝑞 : benar ∧ benar ≡benar
i. 𝑝 ↔ 𝑞 : benar ↔ salah ≡ salah
Negasinya :( 𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ¬𝑝)
( 𝑝 ∧ ¬𝑞) : benar ∧ benar ≡ benar
(𝑞 ∧ ¬𝑝) : salah ∧ salah ≡ salah
( 𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ¬𝑝) : benar ∨ salah ≡benar

3. Negasi dari
a. ¬[ 𝑝 → 𝑞 ↔ ¬𝑝 ∨ 𝑞] ≡ ( 𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ ( 𝑝 ∧ ¬𝑞)
b. ¬[ 𝑝 ∧ 𝑞 → ( 𝑞 ∧ ¬𝑞 → 𝑟 ∧ 𝑞)] ≡ (¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ [( 𝑝 ∧ ¬𝑞) ∧ (¬𝑟 ∨ ¬𝑞)]
c. ¬[(¬𝑝 → 𝑟) ∨ ( 𝑝 → ¬𝑞) ∧ 𝑟 ≡ [( 𝑝 ∨ 𝑟) ∨ (¬𝑝 ∨ ¬𝑞)] ∨ ¬𝑟
Latihan 5
1. a. konvers : jika ada bintang pada suatu bendera maka bendera
tersebut adalah bendera Jepang.
invers : jika suatu bendera bukan bendera Jepang maka tidak ada
bintang pada bendera tersebut.
kontraposisi : jika tidak ada bintang pada suatu bendera maka bendera
tersebut bukan bendera Jepang.
b. konvers : a3
> 0 → a > 0
invers : a ≤ 0 → a3
≤ 0
kontraposisi : a3
≤ 0 → a ≤ 0
c. konvers : ab = 0 → a = 0
invers : a ≠ 0 → ab ≠ 0
kontraposisi : ab ≠ 0 → a ≠ 0
d. konvers : jika luasnya sama maka dua persegipanjang kongruen.
invers : jika dua persegipanjang tidak kongruen maka luasnya
tidak sama.
kontraposisi : jika luasnya tidak sama maka dua persegipanjang tidak
kongruen.
e. konvers : x2
= 9 → x = 3
invers : x ≠ 3 → x2
≠ 9
kontraposisi : x2
≠ 9 → x ≠ 3
f. konvers : jika sisi-sisi segitiga ABC sama panjang maka segitiga ABC
adalah segitiga sama sisi.
invers : jika segitiga ABC bukan segitiga sama sisi maka sisi-sisi
segitiga tersebut tidak sama panjang.
kontraposisi : jika sisi-sisi segitiga ABC tidak sama panjang maka segitiga
ABC bukan segitiga sama sisi.

Latihan 6
1.
a. Jika nilai x = -1/2, maka benar
b. Jika nilai x = 3, maka benar
c. Jika nilai x = 4 atau x = - 4, maka benar
d. Jika x = 1 nilai kedua ruas akan sama, maka benar
2.
a. Semua bilangan bulat x, berlaku 2x – 4 = -5
Beberapa bilangan bulat x, memenuhi 2x - 4 = -5
Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi 2x – 4 = -5 (benar)
b. Semua bilangan bulat x, berlaku x + 2 = -5
Beberapa bilangan bulat x, memenuhi x + 2 = -5 (benar)
Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi x + 2 = -5
c. Semua bilangan bulat x, berlakux2 – 16 = 0
Beberapa bilangan bulat x, memenuhi x2 – 16 = 0 (benar)
Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi x2 – 16 = 0
d. Semua bilangan bulat x, berlaku x + 3 = 3 + x (benar)
Beberapa bilangan bulat x, memenuhi x + 3 = 3 + x
Tidak ada bilangan bulat x, memenuhi x + 3 = 3 + x
3.
a. Salah g. Salah
b. Benar h. Benar
c. Salah i. Benar
d. Benar j. Benar
e. Salah k. Benar
f. Benar l. Benar
4.
a. Benar e. Benar

b. Salah f. Salah
c. Benar g. Benar
d. Salah h. Salah
Latihan 7
a. Jika 𝑥 bilangan genap maka 4𝑥 bilangan genap
o Didefinisikan bilangan genap dapat dinyatakan 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
o Misalkan 𝑥 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ
o Didapat 4𝑥 = 4(2𝑘)
= 8𝑘
= 2(4𝑘)
o Karena 4𝑘, 𝑘 ∈ ℤ dapat dimisalkan 𝑛, sehingga 4𝑥 = 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
merupakan bilangan genap.
∴ terbukti
b. jika Jika 𝑥 bilangan bulat maka 4𝑥 bilangan genap
o didefinisikan bilangan bulat dapat dinyatakan 𝑛, 𝑛 ∈ ℤ dan bilangan
genap dapat dinyatakan 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
o misalkan 𝑥 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ
o didapat 4𝑥 = 4𝑘
= 2(2𝑘)
o Karena 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ dapat dimisalkan 𝑛, sehingga 4𝑥 = 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ
merupakan bilangan genap.
∴ terbukti
c. didefinisikan bahwa bilangan genap dapat dinyatakan 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ dan
bilangan ganjil dapat dinyatakan 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ
o misal 𝑥 = 2𝑝, 𝑝 ∈ ℤ dan 𝑦 = 2𝑞, 𝑞 ∈ ℤ
o selanjutnya 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑘 + 1
2𝑝 + 2𝑞 + 𝑧 = 2𝑘 + 1
𝑧 = 2𝑘 + 1 − 2𝑝 − 2𝑞
𝑧 = 2( 𝑘 − 𝑝 − 𝑞) + 1

o Karena 𝑘 − 𝑝 − 𝑞 ∈ ℤ dapat dimisalkan dengan 𝑛, sehingga 𝑥 + 𝑦 +
𝑧 = 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ merupakan bilangan ganjil.
∴ terbukti
Latihan 8
1. uji coba
𝑛 = 1,1 =
1(1+1)(2.1+1)
6
1 =
6
6
1 = 1….. benar
Asumsikan benar
Untuk 𝑛 = 𝑘
12
+ 22
+ ⋯ + 𝑘2
=
𝑘( 𝑘+1)(2𝑘+1)
6
asumsikan benar
Akan dibuktikan benar
Untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
12
+ 22
+ ⋯+ 𝑘2
+ ( 𝑘 + 1)2
=
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2( 𝑘+1)+1)
6
𝑘( 𝑘+1)(2𝑘+1)+(𝑘+1)2
6
=
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2( 𝑘+1)+1)
6
( 𝑘 + 1)(
𝑘(2𝑘+1)+𝑘+1
6
) =
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2𝑘+3)
6
( 𝑘 + 1)(
2𝑘2+𝑘+6( 𝑘+1)
6
) =
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2( 𝑘+1)+1)
6
( 𝑘 + 1)(
2𝑘2+7𝑘+6
6
) =
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2( 𝑘+1)+1)
6
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2( 𝑘+1)+1)
6
=
( 𝑘+1)( 𝑘+2)(2( 𝑘+1)+1)
6
∴TERBUKTI
karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga terbukti benar.
2. Uji coba

Untuk 𝑛 = 1,
1
1(1+2)
=
3.12+5.1
4(1+1)(1+2)
1
3
=
8
24
1
3
=
1
3
….. benar
Asumsikan benar Untuk 𝑛 = 𝑘
1
1.3
+
1
2.4
+ ⋯+
1
𝑘(𝑘+2)
=
3𝑘2+5𝑘
4( 𝑘+1)(𝑘+2)
Akan dibuktikan benar Untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
1
1.3
+
1
2.4
+ ⋯+
1
𝑘(𝑘+2)
+
1
( 𝑘+1)(𝑘+1+2)
=
3(𝑘+1)2+5(𝑘+1)
4( 𝑘+2)(𝑘+2)
3𝑘2+5𝑘
4( 𝑘+1)(𝑘+2)
+
1
( 𝑘+1)(𝑘+3)
=
3(𝑘+1)2+5(𝑘+1)
4( 𝑘+2)(𝑘+2)
3𝑘2+5𝑘
( 𝑘+1)(4𝑘+2)
+
1
( 𝑘+1)(𝑘+3)
=
3(𝑘+1)2+5(𝑘+1)
4( 𝑘+2)(𝑘+2)
(3𝑘2+5𝑘)( 𝑘+3)+4𝑘+8
(4𝑘+8)( 𝑘+1)(𝑘+3)
=
3(𝑘+1)2+5(𝑘+1)
4( 𝑘+2)(𝑘+2)
3𝑘3+9𝑘2+5𝑘+15𝑘+8
(4𝑘+8)( 𝑘+1)(𝑘+3)
=
3(𝑘+1)2+5(𝑘+1)
4( 𝑘+2)(𝑘+2)
3𝑘3+9𝑘2+19𝑘+8
(4𝑘+8)( 𝑘+1)9𝑘+3)
=
3𝑘2+6𝑘+3+5𝑘+5
(4𝑘+8)(𝑘+3)
(3𝑘+8)( 𝑘+1)(𝑘+1)
(4𝑘+8)( 𝑘+1)(𝑘+3)
=
(3𝑘+8)(𝑘+1)
(4𝑘+8)(𝑘+3)
(3𝑘+8)(𝑘+1)
(4𝑘+8)(𝑘+3)
=
(3𝑘+8)(𝑘+1)
(4𝑘+8)(𝑘+3)
∴TERBUKTI
3. Uji coba
Untuk 𝑛 = 1, (2.1 − 1) = 12
1 = 12
1 = 1

1 + 3 + 5 + ⋯+ (2𝑘 − 1) = 𝑘2
asumsikan benar
1 + 3 + 5 + ⋯+ (2𝑘 − 1) + (2( 𝑘 + 1) − 1) = (𝑘 + 1)2
𝑘2
+ 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2
𝑘2
+ 2𝑘 + 1 = 𝑘2
+ 2𝑘 + 1
∴TERBUKTI
4. Uji coba
Untuk 𝑛 = 1, 1 = (
1
2
. 1(1 + 1)2
)
1 = (
1
2
(2))
2
1 = 12
1 = 1….. benar
13
+ 23
+ ⋯+ 𝑘3
= (
1
2
. 𝑘(𝑘 + 1))
2
asumsikan benar
13
+ 23
+ ⋯+ 𝑘3
+ (𝑘 + 1)3
= (
1
2
( 𝑘 + 1)( 𝑘 + 1) + 1)
2
((
1
2
𝑘( 𝑘 + 1)))
2
+ ( 𝑘 + 3)3
= (
1
2
( 𝑘 + 1)( 𝑘 + 2))
2
1
4
𝑘2
(𝑘 + 1)2
+ ( 𝑘 + 1)3
=
( 𝑘+1)2( 𝑘+2)2
4
(𝑘 + 1)2
(
1
4
𝑘2
+ ( 𝑘 + 1)) =
( 𝑘+1)2( 𝑘+2)2
4
(𝑘 + 1)2
(
𝑘2+4( 𝑘+1)
4
) =
( 𝑘+1)2( 𝑘+2)2
4
(𝑘 + 1)2
(
𝑘2+4𝑘+4
4
) =
( 𝑘+1)2( 𝑘+2)2
4
(
(𝑘+1)2+(𝑘+2)2
4
) =
( 𝑘+1)2( 𝑘+2)2
4

∴TERBUKTI
karena ruas kiri dan kanan sama, sehingga terbukti.
5. Uji coba
Untuk 𝑛 = 1, 1+ (1−1) = 1 + 1
1 + 1 = 2
2 = 2
(1 + 1−1)(1 + 2−1)(1+ 3−1) …. (1 + 𝑘−1) = 𝑘 + 1 asumsikan benar
(1 + 1−1)(1+ 2−1)(1 + 3−1)… . (1 + 𝑘−1) (1 + ( 𝑘 + 1)−1) = ( 𝑘 + 1) + 1
𝑘 + 1 + (𝑘 + 1)−1
= 𝑘 + 2
𝑘 + 1(1 +
1
𝑘+1
) = 𝑘 + 2
𝑘 +
(𝑘+1)
(𝑘+1)
.
1
(𝑘+1)
= 𝑘 + 2
𝑘 + 1 (
𝑘+2
𝑘+1
) = 𝑘 + 2
𝑘 + 2 = 𝑘 + 2

Daftar Pustaka
Markaban M.Si. 2004. logika matematika. Yogyakarta: Widyaiswara PPPG Matematika.
Harini Sri, dkk. 2007. Matematika untuk SMA dan MA Kelas X. Jakarta : Widya Utama
Marwanta dkk. 2009. Matemaika SMA kelas X. Jakarta: PT Ghalia Indonesi Printing
Sekti Dwi. 2013/2014. Catatan. Jakarta : FKIP UHAMKA

pengantar dasar matematika (logika matematika)

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie pengantar dasar matematika (logika matematika)

Ähnlich wie pengantar dasar matematika (logika matematika) (20)

pengantar dasar matematika (logika matematika)