BẤT ĐẢNG THỨC COSI

1. Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Bất đẳng thức Cô - si
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
1. Chứng minh rằng: 1
1 1 2 , 0
a b
a b
b a
 
   
        
   
HD
2 1
, 0, 1 2 , 1 2
2 2 2 2 . 2 2 2 2
a a b b
a b
b b a a
a b a b
VT
b a b a
  
   
 
      
                    
       
                   
       
2. Chứng minh rằng: 1
2 2 2 3 , , 0
a b c
a b c
b c a
  
     
            
     
HD
Với mọi a, b, c>0 ta có:
3
13 3 3 3 3 3 33
3
2 3.
2 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3
2 3.
a a
b b
b b a b c a b c
VT
c c b c a b c a
c c
a a

      


             


              
                                                  

              
3. Cho
0
1
a,b,c
abc



. Chứng minh rằng: 2 31 1 11
2 3 6
a b c  
HD
Với a, b, c>0 và abc=1 ta có:
2 3 2 31 1 11
6 3 2 11
2 3 6
a b c a b c      
Ta có 62 2 2 3 3 6 6 6
11 11VT a a a a a a b b b c c a b c             (đpcm)
4. Cho
, , 0
4
a b c
abc



Chứng minh rằng: (2 + a)(2 + b)(1 + c)  32
HD
Với a, b, c > 0 và abc=1 ta có:
VT=(2 + a)(2 + b)(1 + c) =4 2 2 4 2 2b a ab c bc ac abc      
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (PHẦN 01)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bất đẳng thức Cô - si (Phần 01) thuộc khóa học Bồi
dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bất đẳng thức Cô - si (Phần 01). Để sử dụng hiệu
quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

2. Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Bất đẳng thức Cô - si
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
6 6 3 3 36
8 2 2 4 2 2
8 6 2 .2 .4 . .2 .2 8 6. 2 . 32
VT b a c ab bc ac
b a c ab bc ac a b c
       
    
5. Chứng minh rằng: 8 8 8 2 2 2a b c a b c
     0a b c   
HD
Đặt 2 ,2 ,2 , , 0a b c
x y z x y z    
 
2 2 2
2
log x, b log y, c log
0 log 0 1
a z
a b c xyz xyz
   
       
Như vậy bài toán trở thành chứng minh 3 3 3
, , 0| 1x y z x y z x y z xyz        Ta có
     
 
3 3 3
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3 3 3
=>x +y +z 3 6 2.3 6
x y z x y z
x y z x y z xyz x y z
          
           
6. Cho
, , 0
1
a b c
abc



. Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a)  2(1 + a + b + c)
HD
(Các bạn tự giải)
7. Cho a, b > 1. Chứng minh rằng:
2 2
8
1 1
a b
b a
 
 
HD
   2 22 2
1 2 1 1 2 1
8
1 1 1 1
a a b ba b
b a b a
     
   
   
8. Cho
0
1
a,b,c
a b c


  
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
      
   
HD
Với a, b, c > 0 ta có
   
3
1 1 11 1 1
1 1 1
1 2 3 2
1 1 1 9 54 64
a b c
a b c abc
abc ab ac a bc b c ab bc ca
abc abc abcabc
     
      
   
         
         
9. Cho
0
1
a,b,c
a b c


  
Chứng minh rằng:
1 1 1
2 2 2 125
a b c
   
      
   
(Các bạn làm tương tự như bài 8)
10. Cho a  b > 0; a  2; ab  2. Chứng minh rằng: 3a b 
HD
+ Xét 1 3b a b    luôn đúng với mọi a, b thỏa mãn điều kiện đề bài
+ Xét  
2 2 1
1 1 2 2 3 2 1 3 3
a
b a a b a a a
a a a
  
                 
 
=>ĐPCM

3. Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Bất đẳng thức Cô - si
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
11. Cho a > b > c > 0 ; a  3; ab  6 ; abc  6. Chứng minh rằng: 6a b c  
(Các bạn chứng minh tương tự như bài 10)
12. Chứng minh rằng:
 
2 2 2 2
2 2 2
2 2
4
3
a b a b
b aa b
  

a, b  0
HD
2 2 4 4 4 4 4 4
3
4 4 2 2 2 2 2 2
2
3 3
2 2 2
a b a b a b a b
VT
a b a b a b a b
  
    

13. Cho
0
1
a,b,c
ab bc ca


  
Chứng minh rằng:
3 3 3
1
2
a b c
b c c a a b
  
  
HD
Với a, b, c > 0 ta có
3 2 3 2 3 2
2 2 2
2 2 2
; ;
4 2 4 2 4 2
2 2
1 1
2 2 2
a ab ac a b ba bc b c ca cb c
b c a c a b
ab bc ac a b c
VT
a b c
VT
  
     
  
   
  
 
   
14. Cho a,b, c > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1
6 ( 1)
a c b
a b c abc
a b c c b a
 
          
 
HD
Với a, b, c > 0 ta có
3
3
1 1 1 1 1 1
( 1)
1 1 1 3
2 2 2 3 6
a c b a c b
abc bc ca ab
a b c c b a a b c c b a
a b c a b c abc a b c
a b c abc
 
               
 
              
15. Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:  3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
b c c a a b
a b c
a b ca b c
     
        
  
HD
Với a, b, c > 0 ta có
3
3
1 1 4
a a a
b bb
    tương văn tự như vậy cho
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
, , , ,
a b b c c
c a c a b
ta được 6 BĐT phụ cộng vế với vế ta
được
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
12 3
9
3
' 9
2
a a b b c c a a b b c c
b c a c a bb c a c a b
VT VP VP
a a b b c c
co VP
b c a c a b
VT VP
 
            
 
   
 
       
 
 
 ĐPCM

4. Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Bất đẳng thức Cô - si
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
16. Cho 1 2, ,..., 0na a a  for 3  n. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 2 3 2 3 1 1 1 1 2
1 2 3 2 3 1 1 1 1 2
...
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
n n n
a a a a a a a a a a a a
n
a a a a a a a a a a a a


   
    
   
HD
Với 1 2, ,..., 0na a a  ta có
 
 
2 2 2 2
1 2 3 2 3 1 1 1 1 2
1 2 3 2 3 1 1 1 1 2
22
2 31 1 2
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2
2
1 2 3
1 2 2 3 1 1 2 3
...
( ) ( ) ( ) ( )
.... .....
( ) ( ) ( ) ( )
... 2 21
.....
2 .... 2 ( )
n n n
n n n
n
n n
n
n
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a aa a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a
a a a a a a a a a


   
   
   
     
   
 
   
   
1 2
1 2( )
2 2
n
a a
a a a
n n
n
 
 
 
  
17. Cho 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a > 0. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 5
5
a a a a a   

         
2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
5
1 2 3 4 5
20
a a a a a a a a a a
a a a a a
        

HD
1 2 3 4 5
5
a a a a a   

         
   
2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
5
1 2 3 4 5
20
2 2
20
a a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
        

        
 
     5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
5
1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 3 4 5
2 10
10
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
               
          
Luôn đúng với mọi 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a > 0 => ĐPCM
Giáo viên : Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn