4. Relaciones de orden Elementos distinguidos en un conjunto ordenado. Sea (A, R ) es un conjunto parcialmente ordenado, E1 : Elementos minimales mi  A es minimal   x  A [x R mi  x = mi]   x  A [x  mi  x ℟ mi] ( Esta es la proposición matemática para expresar que no existe otro elemento que sea, mediante la relación de orden, menor que el minimal). E2 : Elementos maximales ma  A es maximal   x  A [ma R x  ma = x] ( No existe otro elemento que sea, mediante la relación de orden, mayor que el maximal).

5. Relaciones de orden Ejemplos: 3 ) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {  , {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de inclusión, la cual es de orden parcial   {1}  {1,2} y   {2}  {1,2} Entonces, B es el elemento maximal y  es el elemento minimal , pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del minimal, ni “por encima” del maximal. 4) En el conjunto C = {  , {1}, {2}} se define la relación de inclusión. Observar que   {1} y   {2}.  es el elemento minimal y tanto {1} como {2} son los elementos maximales.

6. Relaciones de orden Moraleja : Los elementos maximales y minimales no son únicos, en caso de existir. Ejercicio 2: ¿Es posible determinar el elemento minimal y maximal para la relación definida en N : a|b?

12. Relaciones de orden Ejercicio 4: Realizar el diagrama de Hasse para A = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } con la relación “ (a, b)  R sii a divide a b : a|b” Ir a la respuesta

13. Tarea: Preparar para el jueves los ejercicios 19, 20 y 29 de la página 381 del libro. Relaciones de orden “ El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña.” - Confucio.

14. Respuestas Ejercicio 1 a) Veamos que es una relación de orden * Como a= a.1 para cualquier a natural entonces a|a, por lo tanto a R a, para todo a natural. Entonces R es reflexiva . * Si aRb entonces a|b, i.e., existe un natural n tal que b = an. Si bRa entonces existe un natural m tal que a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m  n.m = 1  n = m = 1  a = b. Entonces R es antisimétrica. *Si aRb y bRc entonces existen naturales n y m tales que b = an y c = bm Por lo tanto: c = bm =(an).m = a (n.m) = a.k donde k es un n° natural. Esto indica que a|c o que aRc. Entonces R es transitiva. R es un orden parcial sobre A. b) No es un orden total. Por ej.: ni 2 está relacionado con 7, ni 7 está relacionado con 2. Esto indica que no es orden total. (Retorno)

15. Respuestas Ejercicio 3 a) Cotas superiores: 24, 48 Cotas inferiores: no tiene pues 2 no está relacionado con 3 b) Elemento maximal: 24. Elementos minimales : 2 y 3 ¿Por qué? c) Supremo: 24 e ínfimo: no tiene. d) Los elementos consecutivos son: 2 y 4 3 y 6 4 y 8 6 y 12 12 y 24 2 y 6 4 y 12 8 y 24 (Retorno) (Retorno)

16. Respuestas Ejercicio 4 El diagrama de Hasse para el orden (A, R) es: Observa que se ha hecho una convención al construirlo: se traza un segmento de x hacia arriba , hacia y, si xRy y son consecutivos. De modo que leemos el diagrama de abajo hacia arriba, de los “elementos menores” hacia los “mayores” Retorno 2 3 4 8 6 12 24

19. Representación cartesiana Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la diagonal misma. Retorno ... A A