Предзащита 2014

1. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Физический факультет
Булатов Олег Витальевич
Численное моделирование течений в приближении мелкой
воды на основе регуляризованных уравнений
Специальность 05.13.18 математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ

2. Содержание
• Введение
• Глава 1. Уравнения мелкой воды и их регуляризованный вид
• Глава 2. Численный алгоритм и примеры одномерных задач
• Глава 3. Численный алгоритм для двумерных течений
• Глава 4. Численное моделирование задач цунами и течений в
расширяющемся канале
• Глава 5. Численный алгоритм для неструктурированных
сеток
• Заключение
• Приложение. Особенности программной реализации.

3. Актуальное использование
приближения мелкой воды
Приближений мелкой воды используется для описания
•гидравлических течений
•береговых течений
•течений в реках и озерах
•течений в водозаборниках, технических сужениях и лотках
•моделирования цунами
•распространения волн прорыва и приливных бор в реках
•распространения тяжелых газов и примесей в атмосферах планет
•движения атмосферы в крупных масштабах, используемых при
предсказании погоды

4. Моделирование цунами
Волна цунами переливается через дамбу в городе Мияко префектуры
Иватэ на северо-востоке Японии, 11 марта 2011 года.

5. Движения в атмосферах крупных масштабов,
используемых при предсказании погоды

6. Связь КГД-уравнений с регуляризованными
уравнениями мелкой воды
Регуляризованные уравнения мелкой воды очень тесно связаны с
КГД уравнениями [1]. Уравнения с регуляризирующими
добавками можно напрямую получить из КГД уравнений без
проведения процедуры усреднения и введения
регуляризирующих членов. Из-за этого численные алгоритмы,
разработанные для КГД уравнений [2] могут быть перенесены на
регуляризованные уравнения мелкой воды.
[1] Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа
на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений.
Тверь, Тверской государственный университет, 2000.
[2] Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета
вязких течений. Москва, Научный мир, 2007.

7. Уравнения мелкой воды
(1)

∂h
+ div (hu ) = 0
∂t
(2)


 gh 2

 
∂hu
+ div (hu ⊗ u ) + ∇
= hf − gh∇b
∂t
2
h(x,y,t) – толщина слоя жидкости
b(x,y) – профиль дна
ux(x,y,t), uy(x,y,t) – компоненты скорости
fx, fy – внешние силы (сила трения о дно, сила
Кориолиса)
g=9.81m/s2 – ускорение свободного падения

8. Усреднение по времени
1
f ( x, t ) =
∆t
∂h
(1)
(2)
∂t

∂ hu
∂t
t + ∆t
∫ f ( x, t′)dt′
t

+ div hu = 0

 g h2

 
+ div hu ⊗ u + ∇
= h f − g h ∇b
2
Разлагаем в ряд Тейлора, отбрасываем
члены порядка O(τ2)
∂f ( x, t )
f ( x, t ) = f ( x , t ) + τ
+ O(τ 2 )
∂t

9. Используем исходную систему уравнения для
нахождения производных по времени. Производим
подстановку. Например:
1
∆t
t + ∆t
∂hu x
∫ hu x dt → hu x + τ ∂t →
t
2
 ∂b ∂  1 2  ∂ (hu x ) ∂ (hu x u y )

hu x − τ  gh +  gh  +
+
− hf x  + O(τ 2 )
 ∂x ∂x 2

∂x
∂y





10. Регуляризованные уравнения
мелкой воды
(1)
(2)
∂h ∂jn
+
=0
∂t ∂xn
∂huk ∂jnuk
∂  gh 2  ~
∂b
 fk − g

+
+
 2  = h

∂t
∂xn
∂xk 
∂xk


 ∂Π nk
+
 ∂x
n

Дополнительные члены, которые содержат малый
временной параметр τ.
(3)
(5)
~
∂ (hum )
h = h −τ
∂xm
Π nk
(4)
 ∂hunum

∂ ( h + b)
jn = hun − τ 
− hf n 
 ∂x + gh ∂x

m
n


 ∂uk


∂ ( h + b)
∂h
∂um 
= τhu n  u m
− f k  + τghδ nk  um
 ∂x + g ∂x

 ∂x + h ∂x 

m
k
m
m 




11. Численный алгоритм
1.
2.
3.
4.
Интегро-интерполяционный метод
Потоки апроксимируются центральными
разностями
Численная стабильность обеспечивается
дополнительными слагаемыми с τ
τ соотносится со временем, необходимым
малому возмущению для преодоления
расчетной ячейки
∆x
τ =α
gh
5.
6.
7.
∆x
∆t = min β
Явная схема
gh
Условие Куранта для шага по времени
Выполняется условие для покоящейся
жидкости (well-balanced scheme)

12. Условия сухого дна
1. Для случая сухого дна используем
ограничение на h. Если h<ε, тогда ui=0
(Ricchiuto, 2009) и τi=0
2. Ограничение на ε привяжем к размеру
сетки Δx
Например, в одномерном
случае получим условие:
 ∂b 
ε ≥ ∆x  
 ∂x  x 0
b(x,y) – профиль дна

13. Условие покоящейся жидкости для выпирающей
поверхности с сухой областью
(well-balanced scheme)

14. Задача Римана с сухим дном
(разрушение плотины H 1:0)
α = 0.2
β = 0.1

15. Задача Римана со ступенькой

16. Задача Римана hL=7m, hR=0.01m со ступенькой

17. Задача Римана hL=7m, hR=1m со ступенькой

18. Задача Римана hL=7m, hR=4m ступенькой

19. Задача Римана hL=10m, hR=0.2m со ступенькой

20. Задача Римана hL=10m, hR=2m со ступенькой

21. Зависимость ошибки L1(h) от уменьшения шага
сетки Δx
∑ h −h
L ( h) =
∑h
1
ex
i
i
i
ex
i
i

22. Зависимость ошибки L1(hu) от уменьшения шага
сетки Δx
∑ hu −h
L (hu ) =
∑h u
1
i i
ex ex
i
i
i
ex ex
i
i
i
u

23. Сравнение численного решения с аналитическим
волновым решением Кэри и Гринспана.
Постановка задачи.
Жидкость покоится. Показано изначальное
распределение высоты жидкости

24. Сравнение численного и аналитического решения Кэри и
Гринспана
Профиль скорости в момент времени t=5с для
различных сеток ∆x = 0.1м, ∆x = 0.05м, ∆x =
0.025м

25. Сравнение численного и аналитического решения Кэри и
Гринспана
Положение береговой точки в зависимости от
времени для различных сеток
∆x = 0.1м, ∆x = 0.05м, ∆x = 0.025м

26. Набегание цунами на берег с постоянным наклоном
(ISEC Benchmark problem #1)

27. Набегание цунами на берег с постоянным наклоном
Движение свободной поверхности жидкости около берега

28. Набегание цунами на берег с постоянным наклоном
Возмущение свободной поверхности
(сравнение с аналитическими результатами)

29. Набегание цунами на берег с постоянным наклоном
Движение береговой точки

30. Набегание цунами на берег сложной формы
(ISEC Benchmark problem #2) (Note↓)
Note: Постановку задачи для ISEC Benchmark можно найти на ресурсе:
http://isec.nacse.org/workshop/2004_cornell/benchmark.html

31. Зависимость от времени возмущения свободной
поверхности в точке 5; (x,y) = (4.521,1.196)

32. Набегание цунами на берег сложной формы

33. Распределения толщины жидкости и
линий тока для момента времени t=17с

34. Распределения толщины жидкости и
линий тока для момента времени t=18с

35. Экспериментальная установка для изучения
распространения волн прорыва в канале

36. Изменение высоты жидкости h начиная с
момента времени t=0с до t=80с

37. Распределения толщины жидкости h и линий
тока начиная с момента времени t=0с до t=80с

38. Сравнение экспериментальных и численных результатов для Точки 1
(x=2м, y=2.5м)
Серая область – возмущение свободной поверхности в эксперименте
Сплошная линия – метод Годунова
Пунктирная линия – Численные результаты нашего расчета

39. Сравнение экспериментальных и численных результатов для Точки 6
(x=4м, y=0.5м)
Серая область – возмущение свободной поверхности в эксперименте
Сплошная линия – метод Годунова
Пунктирная линия – Численные результаты нашего расчета

40. Основные результаты
•
Построены регуляризованные уравнения мелкой воды. На их
основе созданы численные алгоритмы для решения задач
гидродинамики в этом приближении.
•
Построены аналитические и численные решения для задач Римана
над подстилающей поверхностью в виде ступеньки и уступа
•
Построено расширение алгоритма для расчета задач с сухим дном
•
Проведено численное моделирование задачи о набегании цунами
на берег сложной формы и задачи о распространении волны
прорыва при разрушении шлюза. Постановка задач соответствует
данным эксперимента.
•
Разработан алгоритм решения регуляризованных уравнений на
неструктурированных сетках
•
Предложенные алгоритмы реализованны в виде комплекса
программ

41. Список публикаций
1.
2.
3.
4.
Елизарова Т.Г., Булатов О.В. Численное моделирование
течений газа на основе квазигидродинамических уравнений.
Вестник Московского университета, серия 3. Физика.
Астрономия, 2009, No 6, c.29-33
Elizarova T.G., Bulatov O.V. Regularized shallow water equations
and a new method of numerical simulation of the open channel
flows. Computers & Fluids 46, 2011, P. 206-211
О.В. Булатов, Т.Г. Елизарова. Регуляризованные уравнения
мелкой воды и эффективный метод численного
моделирования течений в неглубоких водоемах. Журнал
вычислительной математики и математической физики, 2011,
том 51, № 1, с. 170-184
О.В. Булатов. Аналитические и численные решения
уравнений Сен-Венана для некоторых задач о распаде
разрыва над уступом и ступенькой дна. Журнал
вычислительной математики и математической физики, 2014,
том 54, № 1, с. 150-164