Volume dan LPT benda

1. MATEMATIKA 2 (MTK 2)
Oleh :
Ummu Salamah, M.Pd

2. MY IDENTITY
Ummu Salamah, M.Pd
Tiram, Bangka Selatan
WA/SMS : 081929007731

3. Tujuan
Memahami ilmu ukur
bidang dan ruang
Memahami konsep dasar
limit dan diferensial dalam
menyelesaikan persoalan
matematika teknik

4. Tujuan
Memiliki pengetahuan ukur
ruang untuk menyelesaikan
soal-soal keteknikan
Terampil menggunakan dasar-
dasar perhitungan diferensial
untuk menyelesaikan soal-soal
keteknikan

5. What Will We Learn?
BANGUN
RUANG
Luas dan
Volume
Benda
LIMIT
Matematika 2
(MTK 2)
DIFERENSIAL

6. What Will We Learn?
Volume dan luas permukaan benda
Volume dan luas permukaan dari limas terpancung
dan kerucut terpancung, serta irisan bola
Volume benda gabungan, volume dari bentuk-
bentuk sebangun, dan Volume benda tak beraturan
Volume benda putar terhadap sumbu 𝒙 dan sumbu 𝒚
dengan aturan Guldin atau aturan lainnya
Menentukan Gradien (dasar dan hitung diferensial)

7. Referensi Modul Matematika, Polman Timah.
Bird, J. 2004. Matematika Dasar (Teori dan
Aplikasi Praktis), alih bahasa Refina
Indriasari, Edisi Ketiga. Erlangga : Jakarta
Stroud, K.A and Booth, Dexter J. 2002.
Matematika Teknik, alih bahasa Zulkifli
Harahap, Jilid 1, Edisi Kelima, Erlangga :
Jakarta.
Varberg, D., Purcell, E.J., and Rigdon, S.E.
2010. Kalkulus, alih Bahasa I Nyoman
Susila, Jilid 1, Edisi Kesembilan. Erlangga
: Jakarta.

8. PENILAIAN PERKULIAHAN
Tugas
30%
UTS
30%
UAS
40%

9. INDIKATOR
𝑨 ⇒ 𝟑, 𝟓𝟎 ≤ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 ≤ 𝟒, 𝟎𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟖𝟏 − 𝟏𝟎𝟎
𝑨𝑩 ⇒ 𝟑, 𝟎𝟎 ≤ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 < 𝟑, 𝟓𝟎𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟕𝟓 − 𝟖𝟎
𝑩 ⇒ 𝟐, 𝟕𝟓 ≤ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 < 𝟑, 𝟎𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟔𝟗 − 𝟕𝟒
𝑩𝑪 ⇒ 𝟐, 𝟓𝟎 ≤ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 < 𝟐, 𝟕𝟓 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟔𝟑 − 𝟔𝟖
𝑪 ⇒ 𝟐, 𝟎𝟎 ≤ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 < 𝟐, 𝟓𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟓𝟔 − 𝟔𝟐
𝑫 ⇒ 𝟏, 𝟎𝟎 ≤ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 < 𝟐, 𝟎𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟒𝟏 − 𝟓𝟓
𝑬 ⇒ 𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 < 𝟏, 𝟎𝟎 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟏 − 𝟒𝟎

10. VOLUME DAN
LUAS PERMUKAAN BENDA
Pertemuan Ke-1

11. BANGUN—BANGUN RUANG
Silinder (Tabung)
Bola
Kerucut
Kubus
Limas
Balok

12. KUBUS
- Mempunyai 8 buah titik sudut
- Mempunyai 6 buah sisi yg kongruen
berbentuk persegi (alas, atas, dan tegak)
- Mempunyai 12 buah rusuk yg sama
panjang
- Mempunyai 12 buah diagonal sisi
(bidang) yg sama panjang
- Mempunyai 6 buah bidang diagonal yg
kongruen berbentuk persegi panjang
- Mempunyai 4 buah diagonal ruang yg
sama panjang.
Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam sisi
(bidang) yang kongruen berbentuk persegi
Bagian-bagian Kubus

13. VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN KUBUS
Volume
• Volume :Hasil kali luas alas dengan
tingginya, karena pada kubus rusuk-
rusuknya sama, maka
• Luas alas kubus yg berbentuk persegi
panjang adalah 𝒔 𝟐
• Tinggi kubus adalah 𝒔
• Jadi, Volume Kubus : 𝒔 𝟐
𝒙 𝒔 = 𝒔 𝟑
Luas
Permukaan
Total (LPT)
• LPT : Luas jaring-jaring kubus
• Jaring-jaring kubus terdiri atas 6 buah
persegi dengan sisi-sisinya, misalkan 𝒔
• Luas jaring-jaring kubus
• = 𝟔 (𝒍𝒖𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒆𝒈𝒊)
• = 𝟔 (𝒔 𝟐
)
• = 𝟔𝒔 𝟐
• Jadi, LPT Kubus : 𝟔𝒔 𝟐

14. CONTOH KUBUS
1. Tentukanlah volume kubus jika diketahui luas
permukaan totalnya 𝟏. 𝟎𝟏𝟒 𝒄𝒎 𝟐
2. Sebuah kubus diperoleh dari memotong batang
persegi dengan rusuk 𝟔𝟎 𝒎𝒎. Berapa volume kubus
tersebut ? (dalam 𝒄𝒎 𝟑
)
3. Andi akan mengirim paket berupa 𝟏𝟐𝟓 souvenir yang dikemas
dalam kotak berbentuk kubus berukuran 𝟒 𝒄𝒎. Sebelum dikirim,
souvenir tesebut dimasukan kedalam kardus besar yang
berbentuk kubus hingga kardus terisi penuh. Berapakah
ukuran panjang kotak kardus yang digunakan Andi?
4. Reza membeli kardus untuk tempat sebuah kado.
Kardus itu berbentk persegi dengan luas alas.
𝟐𝟐𝟓 𝒄𝒎 𝟐
. Berapakah panjang rusuk alas dan luas
permukaan total kardus persegi tersebut?

15. BALOK
Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam sisi (bidang)
atau 3 pasang sisi yg kongruen berbentuk persegi panjang
Jaring-jaring
Bagian-bagian Balok
- Mempunyai 8 buah titik sudut
- Mempunyai 6 buah bidang sisi
berbentuk persegi panjang dan
tiap bidang sisi yg berhadapan
kongruen
- Mempunyai 12 buah rusuk yg
dikelompokkan menjadi tiga
kelompok (panjang, lebar, tinggi)
- Mempuyai 12 buah diagonal
sisi (bidang)
- Mempunyai 4 buah diagonal
ruang

16. VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN BALOK
Volume
• Volume : hasil kali luas alas dengan tingginya
• Alas balok berbentuk persegi panjang, sehingga luas alas : 𝒑. 𝒍
• Tinggi balok : 𝒕
• Jadi, Volume Balok : 𝒑. 𝒍. 𝒕
Luas Permukaan Total
• LPK Balok : jumlah 3 pasang persegi panjang yg luasnya
berbeda
• Luas persegi panjang 𝑨𝑩𝑪𝑫 dan 𝑬𝑭𝑮𝑯 : 𝒑𝒍 + 𝒑𝒍 = 𝟐𝒑𝒍
• Luas persegi panjang 𝑨𝑩𝑭𝑬 dan 𝑪𝑫𝑯𝑮 : 𝒑𝒕 + 𝒑𝒕 = 𝟐𝒑𝒕
• Luas persegi panjang 𝑩𝑪𝑮𝑭 dan 𝑨𝑫𝑯𝑬 : 𝒍𝒕 + 𝒍𝒕 = 𝟐𝒍𝒕
• Jadi, LPT Balok : 𝟐𝒑𝒍 + 𝟐𝒑𝒕 + 𝟐𝒍𝒕 = 𝟐(𝒑𝒍 + 𝒑𝒕 + 𝒍𝒕)

17. 4. Sebuah balok logam memiliki ukuran 𝟒𝟎 𝒎𝒎 𝒙 𝟐𝟓 𝒎𝒎 𝒙 𝟏𝟓 𝒎𝒎.
Tentukanlah volumenya, kemudian tentukan pula massa kotak tersebut
jika massa jenisnya 𝟗 𝒈/𝒄𝒎 𝟑
.
3. Sebuah akuarium berbentuk balok memiliki ukuran panjang, lebar dan
tinggi berturut-turut 𝟔𝟎 𝒄𝒎, 𝟑𝟔 𝒄𝒎 dan 45 𝒄𝒎. Jika akuarium tersebut diisi air
sebanyak
𝟑
𝟒
bagian, maka tentukan volume air tsb.
2. Hitunglah kapasitas maksimum (dalam liter) sebuah tangki yang
berukuran 𝟓𝟎 𝒄𝒎 𝒙 𝟒𝟎 𝒄𝒎 𝒙 𝟐, 𝟓 𝒎 (1 liter = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑
).
1. Sebuah benda berbentuk balok akan di cat permukaannya. Jika
ukuran panjang, lebar dan tinggi benda tersebut adalah 𝟑𝟎 𝒄𝒎, 𝟐𝟒 𝒄𝒎
dan 18 𝒄𝒎, maka tentukan luas permukaan benda yag dicat.
CONTOH BALOK

18. LIMAS
Limas
Segiempat
Jaring-
jaring
Limas
Jaring limas segiempat :
terdiri atas sebuah alas
berbentuk persegi dan 4
buah sisi tegak yang
berbentuk segitiga.
1. mempunyai 5 buah titik sudut
2. Mempunyai 5 buah bidang sisi
3. Mempunyai 8 buah rusuk
4. Mempunyai 2 buah diagonal sisi
5. Mempunyai 2 buah bidang
diagonal
6. 𝑇𝑇1 : garis tinggi limas
Limas Segiempat adalah limas yang memiliki alas berbentuk segiempat
(baik berupa persegi, persegi panjang, trapesium, belah ketupat, layang-
layang, jajargenjang dan lainnya)

19. LIMAS
Limas
Segitiga
Jaring-
jaring
Limas
Jaring limas segitiga :
terdiri atas sebuah alas
berbentuk persegi dan 3
buah sisi tegak yang
berbentuk segitiga.
1. mempunyai 4 buah titik sudut
2. Mempunyai 4 buah bidang sisi
3. Mempunyai 6 buah rusuk
4. 𝑇𝑇1 : garis tinggi limas
Limas Segitiga adalah limas yang memiliki alas berbentuk segitiga (baik
segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga siku-siku, maupun segitiga
sembarang)

20. VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN LIMAS
Volume =
𝟏
𝟑
𝒙 𝑨 𝒙 𝒕
𝑨 : luas alas limas
𝒕 : tinggi tegak lurus
Luas Permukaan Total =
(Jumlah luas segitiga yg
membentuk sisi) + (luas alas)

21. 1. Tentukanlah volume dan luas permukaan total
dari limas bujur-sangkar yg tampak pada
gambar di samping, jika tinggi tegak lurusnya
12 cm.
2. Jika sebuah Pyramid mempunyai volume 135 𝒎𝒎 𝟑 dan luas alas
𝟗 𝒎𝒎 𝒙 𝟗 𝒎𝒎 , maka tentukan tinggi dari Pyramid tersebut.
(dalam cm)
3. Sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 𝟓𝟎 𝒎𝒎 . Jika titik
potong diagonal bidang atas dihubungkan dengan titik sudut
bidang bawah. Hitunglah volume limas yang terbentuk
CONTOH LIMAS

22. 4. Sebuah lempeng logam berbentuk balok yang memiliki ukuran
𝟒 𝒄𝒎 𝒙 𝟑 𝒄𝒎 𝒙 𝟏𝟐 𝒄𝒎 dilelehkan kemudian dibentuk menjadi
sebuah limas yang memiliki alas persegi panjang berukuran
𝟐, 𝟓 𝒄𝒎 𝒙 𝟓 𝒄𝒎. Hitunglah tinggi tegak lurus limas tersebut.
5. Diketahui alas suatu smoke trap
yaitu 𝟒𝟓 𝒄𝒎 𝒙 𝟒𝟓 𝒄𝒎 dan tingginya
𝟔𝟎𝟎 𝒎𝒎 . Tentukanlah volume dari
smoke trap tersebut (dalam liter),
kemudian tentukan pula luas
permukaannya (dalam 𝒄𝒎 𝟐).
CONTOH LIMAS

23. SILINDER (TABUNG)
Silinder Jaring-jaring
Silinder (Tabung) adalah suatu bangun ruang berbentuk prisma
tegak segibanyak beraturan yg bidang alasnya berupa lingkaran
 Mempunyai 3 buah bidang sisi (bidang alas, selimut, dan
atas/tutup)
 Mempunyai 2 buah rusuk (rusuk alas dan rusuk atas)
 Jari-jari lingkaran alas dan atas besarnya sama
 Tinggi tabung adl jarak antara titik pusat lingkaran atas dan titik
pusat lingkaran alas.

24. VOLUME DAN
LUAS PERMUKAAN SILINDER (TABUNG)
• Luas alas x tinggi
• 𝝅𝒓 𝟐
𝒕 atau
𝝅𝒅 𝟐 𝒕
𝟒
Volume
• Luas 2 buah lingkaran : 𝟐(𝝅𝒓 𝟐)
• Luas selimut tabung : 𝑷𝑷. 𝒕 (𝑷𝑷 :
keliling lingkaran atas tabung)
• Jadi, 𝟐𝝅𝒓 𝟐 + 𝟐𝝅𝒓𝒕 = 𝟐𝝅𝒓(𝒓 + 𝒕)
Luas
Permukaan
Total

25. 1. Sebuah paku memiliki kepala berbentuk silinder dengan
diameter 𝟏 𝒄𝒎 dan tebal 𝟐 𝒎𝒎, dan tangkainya dengan diameter
𝟐 𝒎𝒎 dan panjang 1,5 cm. Tentukan Volume logam dalam 𝟐𝟎𝟎𝟎
paku.
2. Tentukanlah volume pipa (dalam
liter), jika tebalnya 𝟏, 𝟓 𝒎𝒎 dan
diameter luarnya 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 , serta
memiliki panjang 𝟐𝟓𝟎 𝒎𝒎 . Kemu-
dian tentukan pula luas per-mukaan
dari pipa tersebut.
CONTOH SILINDER

26. 3. Sebuah batang bulat yang panjangnya 𝟏, 𝟔 𝒎 mempunyai
volume 𝟏𝟎𝟏𝟕 𝒎 𝟑. Berapakah diameternya (dalam 𝒎𝒎)?
4. Pada gambar di samping tampak
bahwa sebuah tangki berbentuk
tabung berisi 𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑
cairan.
Hitunglah tinggi tangki tersebut (dalam
𝒎𝒎) jika diameternya 𝟖𝟎 𝒎𝒎 ,
kemudian hitunglah juga luas
permukaan total dari tangki tersebut.
CONTOH SILINDER

27. KERUCUT
Kerucut Jaring-jaring
kerucut
Kerucut adalah suatu bangun ruang berbentuk limas segibanyak
beraturan yg bidang alasnya berupa lingkaran
 Mempunyai 2 buah bidang sisi (alas berupa lingkaran dan selimut)
 Mempunyai sebuah rusuk berupa lingkaran alas
 𝑻𝑨 = 𝒔 : garis pelukis kerucut
 Tinggi kerucut (𝒕) adl jarak antara puncak kerucut (𝑻) dan pusat
lingkaran alas kerucut

28. VOLUME DAN
LUAS PERMUKAAN KERUCUT
•
𝟏
𝟑
𝝅𝒓 𝟐
𝒕
Volume
• 𝝅𝒓𝒔
Luas Selimut
• 𝝅𝒓𝒔 + 𝝅𝒓 𝟐 =
𝝅𝒓(𝒔 + 𝒓)
Luas Permukaan
Total
Menurut teo. Pythagoras
𝒔 𝟐 = 𝒕 𝟐 + 𝒓 𝟐
𝒔 = 𝒕 𝟐 + 𝒓 𝟐

29. 2. Jika sebuah kerucut memiliki diameter 𝟖𝟎 𝒎𝒎 dan tinggi tegak
lurus 12 𝟎 𝒎𝒎 . Hitunglah volumenya dalam 𝒄𝒎 𝟑
dan luas
selimutnya
1. Tentukanlah volume dan luas
permukaan total dari kerucut dengan
jari-jari 𝟓 𝒄𝒎 dan tinggi tegak
lurusnya 12 𝒄𝒎. (Lihat pada gambar di
samping)
CONTOH KERUCUT

30. 3. Volume suatu container berbentuk
kerucut 𝟒𝟒𝟒 𝒄𝒎 𝟑 . Jika diameternya
𝟏𝟐𝟎 𝒎𝒎, berapakah tingginya (𝒎𝒎) dan
luas permukaan total?
4. Titik mati suatu torak berbentuk
kerucut panjangnya 𝟑𝟓 𝒎𝒎 dan
diameter 𝟒𝟎 𝒎𝒎 . Hitunglah
volumenya (𝒄𝒎 𝟑)
CONTOH KERUCUT

31. BOLA
Bola adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang
sisi lengkung.
Volume
𝟒
𝟑
𝝅𝒓 𝟑
Luas Permukaan Total
𝟒𝝅𝒓 𝟐
 Mempunyai sebuah bidang sisi lengkung
 Tidak mempunyai titik sudut dan rusuk
 𝒓 adalah jari-jari bola

32. 1. Tentukanlah volume dan luas permukaan Total
dari (a) bola dengan diameter 𝟕, 𝟎 𝒄𝒎, dan (b)
setengah bola dengan jari-jari 3, 𝟎 𝒄𝒎
2. Sebuah bola memiliki volume 𝟑𝟐𝟓 𝒄𝒎 𝟑. Tentukanlah
diameternya.
3. Bola logam seberat 𝟐𝟒 𝒌𝒈 dilelehkan dan dibentuk
ulang menjadi kerucut pejal dengan jari-jari alas
𝟖, 𝟎 𝒄𝒎. Jika massa jenis logam adalah 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎 𝟑,
maka tentukanlah (a) diameter bola (dalam cm) dan (b)
tinggi tegak lurus dari kerucut, dengan asumsi bahwa
𝟏𝟓% logam akan hilang dalam proses pembuatan
CONTOH BOLA

33. TERIMAKASI
H