Pervoobraznaya i neopredelennyj_integral

2. Определение: Функция F(х) называется первообразной
функции f(х) на промежутке Х, если
)()( xfxFXx 
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при ,то
для f(х) существует первообразная F(х) на Х.
Xx
Замечание 1: Условие непрерывности не является
необходимым для существования первообразной. Пример
разрывной функции, имеющей первообразную:







.0,
1
cos
1
sin2
,0,0
)(
х
xx
х
х
xf
Пусть







.0,
1
sin
,0,0
)( 2
х
x
х
х
хF

3.   .121)( RнаxxxfфункциинуюпервообразНайдите 
Пример:
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
 







.1,132
,1,132
2
2
xеслиxx
xеслиxx
xf
.1,
2
3
3
2
)(
;1,
2
3
3
2
)(
2
23
2
1
23
1


xеслиCxxxxF
xеслиCxxxxF
:)1()1(, 2121 FFкоторомприСиСмеждуесоотношениНайдем 
.
3
1
21 СС 









.1,
2
3
3
2
,1,
3
1
2
3
3
2
)(
23
23
xеслиCxxx
xеслиCxxx
xF

4. Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке
Х и в точке имеет разрыв в виде скачка,
то есть
,
то функция f(x) не имеет первообразной на любом
промежутке, содержащем точку .
Xx 0
)(lim)(lim
00 00
xfxf
xxxx 

0x
Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x),
на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке
имеет вид F(x)+C.
Определение: Множество всех первообразных функции
f(x) называется неопределенным интегралом от функции
f(x) на этом промежутке и обозначается
 dxxf )(

5. Основные свойства неопределенного
интеграла.
 
 







.)()(.3
.)(.2
).()(.1
dxxfkdxxkf
Cxfdxxf
xfdxxf
  
   
              

  



..6
.
1
.5
.)()()(.4 2121
xfdxgxgxfxgdxf
CbkxF
k
dxbkxf
dxxfdxxfdxxfxf

7. 1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.

8. Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
  .2cos
4
1
4cos
8
1
2sin4sin
2
1
cos3sin.1 Cxxdxxxxx  
 
.5
5
1
5
5
1
5cos
1
5sin
1
5cos5sin
5sin5cos
5cos5sin
.2 2222
22
22
Cxtgxctg
dx
xxxx
dxxx
xx
dx









  
  









.2
3
1
1
1
2
1
13
.3 3
2
2
2
24
Cxarctgxxdx
x
xdx
x
xx

9. Интегрирование методом замены переменной.
    .1313
9
1
2
36
1
6
1
13.1 22
2
3
2
1
2
CxxC
t
dttdxxx
.
6
1
..,6,13 2






 dtdxxетdtdxxтогдаtxПусть
  




.
2cos12
1
62
1
2
1
2cos
2sin
.2 6
6
7
7
C
x
C
t
dtt
x
dxx
.
2
1
2sin..,2sin2,2cos 





 dtdxxетdxxdtтогдаtxПусть

10.      

.1
cos1cos
.3 22
CetgCttg
t
dt
e
dxе x
x
x
 .,1 dxedtтогдаteПусть xx


11. Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.
    

 Cttdtttdttt
t
dxxx 3524
2
6
1
10
1
2
1
2
1
12.1
    .1212
6
1
1212
10
1 2
Cxxxx 
.,
2
1
,12
2








 dttdx
t
xтогдаtxПусть

12.      
          .22
8
3
22
5
12
26
8
3
5
12
6
443
32
2
.2
3 223 23 2
852
74
223
3
2
Cxxxxx
Cttt
dtttt
t
dttt
x
dxx





  
.
3..
,2,2
2
33










dttdxет
txтогдаtxПусть

13. Интегрирование алгебраических дробей.
 
   
 
.
2
1
2
5
4
1
4
3
;
4
1
;
4
5
.322
;1
;223
;223;
224
3
.2ln2ln5
4
1
2
1
2
5
4
1
4
3
.1
2
2
2














































xxx
x
b
a
ba
bа
baxbax
xbxax
x
b
x
a
x
x
Cxxdx
xx
dx
x
x

14. Интегрирование по частям.
    .cossinsinsinsincos.1 Cxxxdxxxxxdxdxxx
  .
4
1
2
1
2
1
2
1
.2 222222
Ceexdxeexdexdxex xxxxxx
  
   
 
 
.2cos
4
1
2sin
2
1
2cos
2
1
2sin2sin
2
1
2cos
2
1
2sin
2
1
2cos
2
1
2cos2cos
2
1
2cos2cos
2
1
2cos
2
1
2sin.3
2
2
22
2222
Cxxxxx
dxxxxxx
xdxxxdxxxxx
dxxxxxdxdxxx





 
  

15.  
 
 
  


  




.sincossin
coscossin
cossincossin
sinsinsinsin.4
dxxexxe
xdexexe
edxxedxxexe
xdexedexdxxe
xx
xxx
xxxx
xxxx
   .sincossinsin
:
dxxexxedxxe
Получили
xxx
 
 



.cossin
2
sin
,cossinsin2:
Cxx
e
dxxeзначит
CxxedxxeобразомТаким
x
x
xx

16. Используемая литература:
1. Л.И.Звавич; А.Р. Рязановский; А.М.Поташник
«Сборник задач по алгебре и математическому
анализу для 10-11 классов» (учебное пособие
для учащихся школ и классов с углубленным
изучением математики.Москва Новая школа, 1996.
2. Н.Я. Виленкин; О.С. Ивашев-Мусатов; С.И.
Шварцбург «Алгебра и математический анализ для
10 классов». М.:Просвещение, 1995.
3. Н.Я. Виленкин; О.С. Ивашев-Мусатов; С.И.
Шварцбург «Алгебра и математический анализ для
11 классов». М.:Просвещение, 1995.