Usechennyj konus

1. Усеченный
конус.
МОУ СОШ
№256
г.Фокино

2. Усеченным конусом
называется часть
полного конуса,
заключенная между
основанием и секущей
плоскостью,
параллельной
основанию. Круги,
лежащие в
параллельных
плоскостях,
называются
основаниями
усеченного конуса.

3. Образующей
усеченного конуса
называется часть
образующей
полного конуса,
заключенная между
основаниями.
Высотой усеченного
конуса называется
расстояние между
основаниями.

4. Пусть в конусе,
высота которого
известна,
проведено
сечение,
находящееся на
расстоянии три от
вершины. Чему
равна образующая
получившегося
усеченного конуса,
если известна
образующая
8
?

5. Усеченный конус
можно
рассматривать как
тело, полученное
при вращении
прямоугольной
трапеции вокруг
боковой стороны,
перпендикулярной
основанию.

6. Пусть дан
усеченный конус,
радиусы оснований
и высота которого
известны. Найдите
образующую
усеченного конуса.
8
?

7. Прямая,
соединяющая
центры оснований,
называется осью
усеченного конуса.
Сечение, проходящее
через ось,
называется осевым.
Осевое сечение
является
равнобедренной
трапецией.

8. Найдите площадь
осевого сечения,
если известны
радиус нижнего
основания, высота
и образующая.
36
?

9. Боковая поверхность
усеченного конуса.
Площадь боковой
поверхности
усеченного конуса.
Площадь боковой
поверхности усеченного
конуса равна
произведению
полусуммы длин
окружностей оснований
на образующую.

10. Доказательство:
Боковую поверхность
усеченного конуса
будем понимать как
предел, к которому
стремится боковая
поверхность вписанной
в этот конус
правильной усеченной
пирамиды, когда число
боковых граней
неограниченно
увеличивается.

11. Доказательство:
Впишем в конус
правильную пирамиду.
Ее боковая
поверхность состоит из
трапеций.
( ) h
Рр
s пирбок
2
.
+
=
конбокпирбок
SS ..
→
ср → СР → lh →
rс π2= RC π2=
( ) ( )lrRl
rR
+=
+
π
π
2
2

12. Площадь боковой
поверхности
усеченного конуса
можно рассматривать
как разность между
площадями боковых
поверхностей двух
конусов. Поэтому
развертка усеченного
конуса – это часть
круглого кольца.
Замечание:

13. Усеченный конус
получен от вращения
прямоугольной
трапеции вокруг
боковой стороны,
перпендикулярной
основаниям, Найдите
площадь боковой
поверхности усеченного
конуса, если известны
основания и боковая
сторона трапеции.
π⋅1016?

14. Задача.
• Радиус меньшего
основания усеченного
конуса равен 5, высота
равна 6, а расстояние
от центра меньшего
основания до
окружности большего
основания равно 10.
Найдите площадь
боковых поверхностей
усеченного и полного
конусов.

15. Достроим
усеченный конус до
полного и проведем
осевое сечение.
Решение:

16. 1) Вычислим радиус большего основания.
Решение:
:1
СОО∆
222
RHd +=
8610 2222
=−=−= HdR

17. 2) Найдем боковую сторону трапеции –
образующую усеченного конуса.
Решение:
:ВКС∆
3=−= rRСК
222
СКВКВС +=
5336 2222
=+=+= CKHl

18. 3) Используя подобие треугольников, найдем
образующую полного конуса.
Решение:
LSC =
CSO1
∆ ~ BKC∆
KC
CO
BC
SC 1
=
3
8
53
=
L
58=L

19. 4) Подставим найденные значения в формулы
для площадей боковой поверхности полного и
усеченного конусов.
Решение:
58=L 53=l
( ) 539⋅=⋅+= ππ lrRSусеч
( ) 564⋅== ππ RLSполн

20. Формула объема усеченного конуса.
• Объем усеченного конуса
равен сумме объемов трех
конусов, имеющих
одинаковую высоту с
усеченным конусом, а
основаниями: один –
нижнее основание этого
конуса, другой – верхнее, а
третий – круг, радиус
которого есть среднее
геометрическое между
радиусами верхнего и
нижнего оснований.( )RrrRHV ++= 22
3
1
π

21. Поместим на верхнем
основании усеченного
конуса малый конус,
дополняющий его до
полного и рассмотрим
объем его как
разность объемов двух
конусов.
Доказательство:
hrxRVVV допполнконусеч
22
.
3
1
3
1
ππ −=−=

22. Вычислим высоту полного конуса из подобия
треугольников.
Доказательство:
BSO1∆ AKB∆
rR
H
R
x
−
=
rR
R
Hx
−
=
~

23. Объемы полного и дополнительного конусов
относятся как кубы радиусов оснований.
Доказательство:
SOA∆ BSO1∆
R
r
x
h
=
3
3
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
R
r
R
r
R
r
xR
hr
xR
hr
V
V
полн
доп
====
π
π
~

24. Вычтем из объема большого конуса объем
малого конуса.
Доказательство:
=−=−= полнполндопполнусеч V
R
r
VVVV 3
3
=





−= 3
3
2
1
3
1
R
r
xRπ
=




 −
−
= 3
332
3
1
R
rR
rR
HRR
π
( )( ) =
−
++−
=
rR
rRrRrR
H
22
3
1
π
( )22
3
1
rRrRH ++= π

25. Найдите объем
усеченного
конуса, если
известны его
высота и радиусы
оснований.
149π
?

26. Подобные цилиндры и конусы.
• Подобные цилиндры
или конусы можно
рассматривать как
тела, полученные от
вращения подобных
прямоугольников
или прямоугольных
треугольников.

27. Сечение, параллельное основанию конуса,
отсекает от него малый конус, подобный
большому.
L
l
H
h
R
r
==
3
3
3
3
.
.
H
h
R
r
V
V
полн
доп
==
2
2
2
2
.
.
2
2
H
h
R
r
RL
rl
S
S
полнбок
допбок
===
π
π

28. В цилиндре
проведено сечение,
параллельное
основанию. Будет
ли малый цилиндр,
который отсекается
этим сечением,
подобен большому?
?

29. Площади боковых
поверхностей
подобных
цилиндров и
конусов относятся
как квадраты
радиусов или высот,
а объемы – как кубы
радиусов или высот.
2
2
2
2
H
h
R
r
S
s
==
3
3
3
3
H
h
R
r
V
v
==

30. В конусе, высота
которого известна,
проведено сечение,
параллельное
основанию. Известно
также соотношение
объемов малого и
большого конусов. На
каком расстоянии от
основания находится
сечение?
? 2

31. Радиусы оснований
усеченного конуса
относятся как 2:3.
Высота конуса
разделена на три
равные части, и
через точки
деления проведены
плоскости,
параллельные
основаниям.
Найти, в каком
отношении
разделился объем
усеченного конуса.
Задача.

32. Зная, что радиусы оснований конуса
относятся как два к трем, обозначим радиусы
как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение
конуса.
Решение:

33. 1) Используя подобие, найдем радиусы
проведенных сечений.
Решение:
аааСН =−= 234
33
1
422
а
СНВН ==
3
2
3
2
433
а
СНВН ==
a
a
aR
3
7
3
21 =+=
a
a
aR
3
8
3
2
22 =+=

34. 2) Достроив усеченный конус до полного,
найдем, какую часть от полного конуса
составляют меньшие конусы.
Решение:
V – объем наибольшего конуса
( ) ( )
( ) 3
3
3
3
3
3
9
6
3
2
3
21
===
a
a
V
V SO
( )
( ) 3
3
3
3
9
7
3
3
7
2
=






=
a
a
V
V SO
( )
( ) 3
3
3
3
9
8
3
3
8
3
=






=
a
a
V
V SO

35. 3) Определим, какую часть от объема полного
конуса составляют усеченные конусы,
расположенные между соседними сечениями
и найдем отношение объемов этих конусов.
Решение:
( ) ( ) VVVVV SOSO 33
33
1
9
127
9
67
12
=
−
=−=
( ) ( ) VVVVV SOSO 33
33
2
9
169
9
78
23
=
−
=−=
( ) VVVVV SO 33
33
3
9
217
9
89
3
=
−
=−=
Ответ:
V1 :V2 :V3 = 127 : 168 : 217