1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del poder Popular para la Educación.
I.U.P. Santiago Mariño.
EXTENSIÓN BARCELONA EDO. ANZOÁTEGUI
ESCUELA: INGENIERÍA MANTENIMIENTO MECÁNICO
MATERIA: matemática 3
Algebra vectorial
Profesor (a):
Pedro Beltrán
Alumno
Algara, Diego
CI 2730544

2. Introducción
A continuación se explicara brevemente lo concerniente a las generalidades de
algebra vectorial donde determinamos la definición de vector, definición de algebra
vectorial, la cual se estudia de forma geométricamente, analíticamente y
axiomáticamente, se indicara los sistemas de representación las cuales son por
sistema rectangular, sistema polar y sistema tridimensional rectangular.
También indicaremos la definición de ecuaciones paramétricas, como determinar la
ecuación vectorial desde una ecuación paramétrica, se realizara una representación
gráfica de ecuaciones paramétrica, como calcular la longitud de un arco en
ecuaciones paramétricas, así como también unos videos donde reforzara más lo
explicado

3. Generalidades del algebra vectorial
Definición de vector
Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son
segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es
indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que
pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación.

4. El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números
reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y
Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para
representar varios fenómenos físicos.
Algebra vectorial

5. El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos
Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones
como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos
geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados
componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica
porque se utiliza un sistema de coordenadas

6. Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o
de cualquier tipo de representación geométrica
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de
referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se
encuentran:
– Sistema unidimensional, que se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen
y otro punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta:

7. – Sistema de coordenadas
rectangulares (bidimensional), que
está compuesto por dos rectas
perpendiculares llamadas eje x y
eje y, que pasan por un punto (O)
origen; de esa forma el plano
queda divido en cuatro regiones
llamadas cuadrantes. En este caso
un punto (P) en el plano es dado
por las distancias que existen entre
los ejes y P.

8. – Sistema de coordenadas polares
(bidimensional). En este caso el
sistema es compuesto por un punto
O (origen) que es llamado polo y una
semirrecta con origen en O llamada
eje polar. En este caso el punto P del
plano, con referencia al polo y al eje
polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que
se forma por la distancia que existe
entre el origen y el punto P.

9. Sistema tridimensional rectangular, formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z)
que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados:
xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La
referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los
planos y P.

10. Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas. Sistema de ecuaciones paramétricas permite
representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores
que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro.
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 ∙ 𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 ∙ 𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 ∙ 𝑡
𝑡 ∈ ℝ

11. Encontrad las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 𝑨 =
(−𝟏, 𝟏, 𝟑) y que tiene 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑 𝒗 = (𝟑, −𝟐, 𝟏) por vector director.
La ecuación vectorial es
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1,1,3 + 𝑘(3, −2,1)
Separando componentes obtenemos:
𝑥 = −1 + 3𝑘
𝑦 = 1 − 2𝑘
𝑧 = 3 + 𝑘
Que son las ecuaciones paramétricas.

12. Expresar una recta en forma vectorial, paramétricas, continua y
general en el espacio.

13. Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta r expresada en componentes:
x, y, z = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 + k ⋅ 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3
x, y, z = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 + k ⋅ 𝑣1, k ⋅ 𝑣2, k ⋅ 𝑣3
(x, y, z) = (𝑎1 + k ⋅ 𝑣1, 𝑎2 + k ⋅ 𝑣2, 𝑎3 + k ⋅ 𝑣3)
y separando por componentes obtenemos:
x = 𝑎1 + k ⋅ 𝑣1
y = 𝑎2 + k ⋅ 𝑣2
z = 𝑎3 + k ⋅ 𝑣3
Que son las conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta

14. Grafica de ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑓 𝑡
𝑦 = 𝑔 𝑡
)𝑧 = ℎ(𝑡
𝑡 ∈ ℝ
Consideremos ahora un objeto que se
mueve en el espacio, describiendo un
camino imaginario representado por
una curva en el espacio. Habrá
entonces tres funciones del tiempo, f,
g y h, que nos permitirán escribir las
2-2 coordenadas de la posición de la
partícula en cada instante t mediante
las siguientes ecuaciones
paramétricas:

15. Observemos que para cada t, el punto P (f(t), g(t), h(t)) es el punto-posición de la
partícula en el tiempo t. Luego podemos definir el vector que va de O a P, para cada t.
Esto sugiere que una curva paramétrico podría ser descripta mediante una función
que a cada valor del parámetro t le asigne el vector 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ(𝑡) 𝑘, esto
es, mediante una función con valores vectoriales. En el caso de una curva en el plano,
se tiene 𝑂𝑃 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗
Cuando el parámetro t varia en [a; b], el punto final del vector 𝑟(𝑡) genera una curva en
el espacio

16. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas
Ecuación paramétrica: L: (x,y,z), donde:
x= x + λp y= y + λp z= z + λp
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los siguientes.
valores de λ y μ determina los puntos. en el espacio que corresponden en el plano
Cuándo dos planos son paralelos al ser intersectado con otro, los tres son paralelos
en cuyo caso la intersección es vacía y son dos rectas paralelas
5x - 5y + z = -3

17. Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z)
que satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación
paramétrica:
• Se igualan las coordenadas
• Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente
• Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables
x, y, z

18. Para pasar de paramétricas a cartesianas, se trata de determinar un sistema de
ecuaciones homogéneo del que la paramétricas dadas sean su solución. El método
más cómodo es el de eliminación de parámetros partamos, por ejemplo, de las
paramétricas
𝑥 = 𝜆 + 𝜇
𝑦 = 𝜆 + 2𝜇
𝑧 = 𝜆 − 𝜇
𝑡 = 𝜆 + 𝜇

19. Partimos de 4 ecuaciones y 2 parámetros, en cada paso tendremos una
ecuación menos y un parámetro menos, para ellos usamos una de las
ecuaciones en que aparece el parámetro 𝜆. Por ejemplo la primera, la usamos
para eliminar 𝜆 de las restantes y esa ecuación ya no la ponemos
𝑦 − 𝑥 = 𝜇
𝑧 − 𝑥 = −2𝜇
𝑡 = 𝜇

20. Ahora tomamos la cuarta ecuación y la usamos para eliminar 𝜇 de las otras dos
𝑦 − 𝑥 − 𝑡 = 0
𝑧 − 𝑥 + 2𝑡 = 0
Reordenando obtenemos
𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = 0
𝑥 − 𝑧 − 2𝑡 = 0

21. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
Si una curva está formada por un número finito de trozos (ver escena 1) cada uno
de los cuales tiene derivada acotada, calculamos su longitud de arco sumando las
longitudes de cada uno de los trozos. Tales curvas se denominan C1 a trozos.
También se les denomina “suaves a trozos”

22. Longitud de arco:
La longitud de arco de la trayectoria
c(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) )
para t0 # t # t1 es:
𝐿(𝑟) =
𝑎
𝑏
𝑥′(𝑡) 2 + 𝑦′(𝑡) 2 + 𝑧′(𝑡) 2 𝑑𝑡

23. Conclusión
De lo anterior podemos decir que Los vectores son representaciones gráficas de una
magnitud vectorial, por los diferentes sistemas de coordenadas podemos graficar
elementos con fórmulas paramétricas y cartesianas en el espacio
De acuerdo a la definición de ecuaciones paramétricas podemos representar una curva
en el espacio mediante valores y una variable llamada parámetro. Aprendimos a cómo
transformar una ecuación paramétrica a cartesiana, como calcular la longitud de un arco
en el espacio y nos reforzamos con los videos explicativos en referente al tema en
estudio.

24. Anexo
https://www.youtube.com/watch?v=oDRtTul97iE
https://www.youtube.com/watch?v=uCm3HvF-EtQ
https://www.youtube.com/watch?v=qL-vedbtzuM

25. Bibliografía
https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-vectores/
.https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
https://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.htm
https://www.sangakoo.com/es/temas/ecuaciones-parametricas-de-la-recta-en-el-
espacio
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica#:~:text=En%20m
atem%C3%A1ticas%2C%20un%20sistema%20de,una%20funci%C3%B3n%20dependi
ente%20del%20par%C3%A1metro
https://www.ugr.es/~lmerino/2-3.html