Definicion de Conjuntos y valor absoluto

1. REPUBLICA BLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
UNIVERCIDAD NACIONAL TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
PRESENTACION SOBRE DEFINICION DE CONJUNTOS
SECCION:
0404 INFORMATICA
ESTUDIANTE:
DIANA ESCALONA
26976737

2. DEFINICION DE CONJUNTOS:
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del
conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los
polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del
primero.
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como
un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún
modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo,
el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular,
un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha
lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde,
violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es
infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos).
Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a
las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en
términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera
informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, con las categorías son uno de
los conceptos fundamentales de la matemática: mediante ellos (o las categorías) puede
formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros.
Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de
conjuntos.

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS:
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por
todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El
símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se
unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:

4. Ejemplo 2:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean
comunes, los elementos no comunes A y B, será excluido. El símbolo que se usa para indicar
la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será
A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:

5. Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la intersección será F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado
por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta
operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será
B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. DIFERENCIA DE SIMETRICA DE CONJUNTOS:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación
de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan
básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de
referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta
incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto
formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos
que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota
con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto
A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1:
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A'
estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:
Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto V={x/x
estudiantes que juegan voley}, el conjunto V' estará formado por los siguientes elementos
V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

9. NÚMEROS REALES:
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que
los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
DOMINIO DE LOS NÚMEROS REALES:
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre
los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Dominio de los números reales.
NÚMEROS REALES EN LA RECTA REAL:
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los
números reales.
LOS NÚMEROS REALES Y LA MATRIOSHKA:
Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es decir, como el conjunto
de muñecas tradicionales rusas organizadas de mayor a menor. La serie de las muñecas
sería tal que la muñeca más grande contiene la siguientes muñecas más pequeñas. Este
conjunto de muñecas recogido dentro de la muñeca más grande se llama
Matrioshka. Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka
ESQUEMA MARTIOSHKA:
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del igual) y también desde
arriba o abajo (figura a la derecha del igual). De las dos formas podemos ver claramente la
jerarquía de dimensiones que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas también podemos
organizar los números reales siguiendo el mismo método.
ESQUEMA DE LOS NÚMEROS REALES:

10. En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es
similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES:
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales,
enteros, racionales e irracionales.
 Números naturales:
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños.
Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario
(cero neutral).
Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números
que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero,
lo mismo para los números naturales.
 Números enteros:
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los
números negativos.
Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los
números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero
(0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su
valor.
 Números racionales:
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números
enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo
fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o
un número decimal finito o semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
 Números irracionales:
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera
exacta ni de manera periódica.

11. Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los
números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la
recta real.
Ejemplos de números reales:
En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los siguientes números
corresponden a punto en la recta real.
 Números naturales: 1,2,3,4…
 Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
 Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
 Números irracionales:

12. DESIGUALDAD:
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea
para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD MATEMÁTICA:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad
se mantiene.

13.  Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes.
Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser
incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.

14. VALOR ABSOLUTO
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al
valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo)
como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo
y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe
entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3

15. Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b , entonces a > b O a <
- b .
Ejemplo 2:
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.

16. La gráfica se vería así: