Econ ch 4

1. Бүлэг # 4: СОНГОДОГ НОРМАЛЬ
ШУГАМАН РЕГРЕССИЙН ЗАГВАР
(CNLRM)

2. • Статистик д гнэлтийн сонгодог онол нь хоёр хэсгээс б рддэгү үСтатистик д гнэлтийн сонгодог онол нь хоёр хэсгээс б рддэгү ү ,,
нэлэлтүнэлэлтү баба таамаглал шалгахтаамаглал шалгах.. Бид нэлэх асуудлыг судалсанүБид нэлэх асуудлыг судалсанү
болноболно..
• CLRMCLRM-ийн урьдчилсан н хцл дээрө үү-ийн урьдчилсан н хцл дээрө үү βˆβˆ11, βˆ, βˆ22,, баба σˆσˆ22
параметр дийнүүпараметр дийнүү
нэлэлт нь хазайлтг й байх, минимум дисперстэй байх зэрэг хэдү үнэлэлт нь хазайлтг й байх, минимум дисперстэй байх зэрэг хэдү ү
хэдэн чухал статистик шинж чанаруудтай болохыг харсан.хэдэн чухал статистик шинж чанаруудтай болохыг харсан.
Эдгээр нэлэлт дийн утгууд т врээс т вэрт рчл гдд гү үү үү үү өө ө өЭдгээр нэлэлт дийн утгууд т врээс т вэрт рчл гдд гү үү үү үү өө ө ө
санамсарг й хувьсагчидүсанамсарг й хувьсагчидү болохыг тэмдэглэе.болохыг тэмдэглэе.
• Регрессийн шинжилгээнд бидний зорилго нь з вх нө өРегрессийн шинжилгээнд бидний зорилго нь з вх нө ө SRFSRF-г нэлэхү-г нэлэхү
асуудал биш б г д эх олонлогийн талаар д гнэлт г х дө өө ү ө ө өасуудал биш б г д эх олонлогийн талаар д гнэлт г х дө өө ү ө ө ө
ашиглах явдал чухал юм. Иймдашиглах явдал чухал юм. Иймд бидбид βˆβˆ11 ньнь жинхэнэжинхэнэ ββ11 –д хэр ойр–д хэр ойр
эсвэлэсвэл σσˆˆ22
ньнь жинхэнэжинхэнэ σσ22
-д хэр ойр болохыг олж мэдэхийг х счү-д хэр ойр болохыг олж мэдэхийг х счү
байгаа.байгаа. βˆβˆ11,, βˆβˆ22,, баба σˆσˆ22
нь санамсарг й хувьсагчидүнь санамсарг й хувьсагчидү ,, бид тэдгээрийнбид тэдгээрийн
магадлалт тархалтыг олж мэдэх хэрэгтэймагадлалт тархалтыг олж мэдэх хэрэгтэй,, р рөө өөр рөө өө ,, бидбид
тэдгээрийн жинхэнэ утгатай нь холбох боломжг й юм.үтэдгээрийн жинхэнэ утгатай нь холбох боломжг й юм.ү

3. З РӨ ҮҮ ui-ИЙН МАГАДЛАЛТ ТАРХАЛТ
• βˆβˆ22-г авч зье.ү-г авч зье.ү ХавсралтХавсралт 3A.23A.2-т харуулснаар,-т харуулснаар,
• βˆβˆ22 = ∑= ∑ kkiiYYii (4.1.1)(4.1.1)
• ЭндЭнд kkii = x= xii// ∑∑xxii
22
.. ГэвчГэвч XX ньнь тогтмол гэж авч зснээр тэгшитгэлүтогтмол гэж авч зснээр тэгшитгэлү
(4.1.1)(4.1.1) βˆβˆ22 ньнь санамсарг йүсанамсарг йү YYii--ийн шугаман функц болохыг харуулдагийн шугаман функц болохыг харуулдаг..
ГэвчГэвч YYii = β= β11 + β+ β22XXii + u+ uii,, бидбид (4.1.1)(4.1.1) –г дараах байдлаар бичиж болно–г дараах байдлаар бичиж болно
• βˆβˆ22 = ∑= ∑ kkii((ββ11 + β+ β22XXii + u+ uii)) (4.1.2)(4.1.2)
• kkii,, бетануудбетанууд,, баба XXii нь б гд тогтмолүнь б гд тогтмолү ,, βˆβˆ22 нь санамсарг й лдэгдэлү үнь санамсарг й лдэгдэлү ү uuii--
ийн шугаман функц болно.ийн шугаман функц болно. М н т нчлэнө үүМ н т нчлэнө үү βˆβˆ22-ийн магадлалт-ийн магадлалт
тархалт ньтархалт нь ((м н адилөм н адилө βˆβˆ11)) uuii –ийн магадлалт тархалтын–ийн магадлалт тархалтын
талаарх урьдчилсан н хцл с хамаарнаө өөталаарх урьдчилсан н хцл с хамаарнаө өө ..
• OLSOLS ньнь uuii –ийн магадлалын шинж чанарын талаар ямар нэг–ийн магадлалын шинж чанарын талаар ямар нэг
таамаглал дэвш лдэгг й. Хэрэв бидүү үтаамаглал дэвш лдэгг й. Хэрэв бидүү ү uu ямар нэг магадлалтямар нэг магадлалт
тархалттай гэж зэхэд бэлэн байвал энэ асуудал шийдэгдэнэ.үтархалттай гэж зэхэд бэлэн байвал энэ асуудал шийдэгдэнэ.ү

4. ui нормаль тархалттай байх таамаглал
• Сонгодог нормаль шугаман регрессийн загвар ньСонгодог нормаль шугаман регрессийн загвар нь uuii б р дараахүб р дараахү
н хцлийг хангасан нормаль тархалттай гэж здэгө үн хцлийг хангасан нормаль тархалттай гэж здэгө ү
• ДундажДундаж:: E(uE(uii) = 0) = 0 (4.2.1)(4.2.1)
• ДисперсДисперс:: E[uE[uii − E(u− E(uii)])]22
= Eu= Eu22
ii == σσ22
(4.2.2)(4.2.2)
• cov (cov (uuii, u, ujj):): E{[(uE{[(uii − E(u− E(uii)][u)][ujj − E(u− E(ujj )]} = E(u)]} = E(uii uujj ) = 0 i ≠ j) = 0 i ≠ j (4.2.3)(4.2.3)
• Дээрх таамаглалууд хамтдаа дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэДээрх таамаглалууд хамтдаа дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ
• uuii N(0,∼ N(0,∼ σσ22
)) (4.2.4)(4.2.4)
• Хаалтан доторх утгууд нь дундаж болон дисперсХаалтан доторх утгууд нь дундаж болон дисперс.. uuii баба uujj ньнь
корреляци хамааралг й б г д бие биеэс л хамааран тархсанү ө өө үкорреляци хамааралг й б г д бие биеэс л хамааран тархсанү ө өө ү ..
М нөМ нө (4.2.4)(4.2.4)-г дараах байдлаар бичиж болно:-г дараах байдлаар бичиж болно:
• uuii NID(0,∼ NID(0,∼ σσ22
)) (4.2.5)(4.2.5)
• ЭндЭнд NIDNID нь нормаль, л хамаарах тархалттай гэсэн утгатайүнь нормаль, л хамаарах тархалттай гэсэн утгатайү
((normally and independently distributed).normally and independently distributed).

5. • Яагаад нормаль тархалттай байх урьдчилсан н хц л тавьсан бэө өЯагаад нормаль тархалттай байх урьдчилсан н хц л тавьсан бэө ө ??
Хэд хэдэн шалтгаан бийХэд хэдэн шалтгаан бий::
• 1.1. uuii нь орхигдсон хувьсагчдын н л г илэрхийлэх ба бид эдгээрө өөнь орхигдсон хувьсагчдын н л г илэрхийлэх ба бид эдгээрө өө
орхигдсон хувьсагчдын н л маш бага б г д санамсарг й гэжө өө ө өө үорхигдсон хувьсагчдын н л маш бага б г д санамсарг й гэжө өө ө өө ү
найддаг. Статистикийн т вийн хязгаарын теоремоорөнайддаг. Статистикийн т вийн хязгаарын теоремоорө (CLT)(CLT) лүлү
хамаарах, нэгэн т рлийн тархалттай санамсарг й хувьсагчдын ихө үхамаарах, нэгэн т рлийн тархалттай санамсарг й хувьсагчдын ихө ү
хэмжээний ажиглалтын хувьдхэмжээний ажиглалтын хувьд тэдгээрийн хамтын тархалт ньтэдгээрийн хамтын тархалт нь
нормаль тархалттай болнонормаль тархалттай болно..
• 2. CLT2. CLT-ийн нэг хувилбар нь хэрэв хувьсагчдын ажиглалтын тоо-ийн нэг хувилбар нь хэрэв хувьсагчдын ажиглалтын тоо
хангалттай их биш, б рэн л хамаарах биш байсан ч тэдгээр ньү үхангалттай их биш, б рэн л хамаарах биш байсан ч тэдгээр ньү ү
хамтдаа нормаль тархалттай байж болно.хамтдаа нормаль тархалттай байж болно.
• 3.3. Нормаль тархалтын таамаглалаар нормаль тархалтын нэгНормаль тархалтын таамаглалаар нормаль тархалтын нэг
шинж чанар нь нормаль тархалттай хувьсагчдын ямар нэгшинж чанар нь нормаль тархалттай хувьсагчдын ямар нэг
шугаман функц нь р нормаль тархалттай байна гэж здэг тулөө өө үшугаман функц нь р нормаль тархалттай байна гэж здэг тулөө өө ү
OLSOLS нэлэлт дийн магадлалт тархалт ньү үүнэлэлт дийн магадлалт тархалт ньү үү хялбархан олдоно.хялбархан олдоно. OLSOLS
нэлэлт дү үүнэлэлт дү үү βˆβˆ11 баба βˆβˆ22 ньнь uuii –ийн шугаман функц–ийн шугаман функц юм. М н т нчлэнө үүюм. М н т нчлэнө үү
хэрэвхэрэв uuii,, βˆβˆ11 баба βˆβˆ22 нь нормаль тархалттай бол бидний таамаглалнь нормаль тархалттай бол бидний таамаглал

6. • 4.4. Нормаль тархалт нь з вх н хоёр параметрө өНормаль тархалт нь з вх н хоёр параметрө ө ((дундаж ба дисперсдундаж ба дисперс))
авч здэг харьцангуйүавч здэг харьцангуйү энгийн тархалтэнгийн тархалт юмюм..
• 5.5. Эцэст нь хэрэв бид бага хэмжээний, хязгаарлагдмал т вэрүүЭцэст нь хэрэв бид бага хэмжээний, хязгаарлагдмал т вэрүү
г гд лтэй ажиллаж байгаа болө ө өг гд лтэй ажиллаж байгаа болө ө ө (100(100 ажиглалтаас багаажиглалтаас бага)) з вх нө өз вх нө ө
нормаль тархалтнормаль тархалт ньнь OLSOLS нэлэлт дийн магадлалт тархалтыгү үүнэлэлт дийн магадлалт тархалтыгү үү
байгуулахад тусалж чадахг й чүбайгуулахад тусалж чадахг й чү регрессийн загвартрегрессийн загварт t, F,t, F, болонболон χ2χ2
статистик тестийгстатистик тестийг ашиглах боломжийг олгодог.ашиглах боломжийг олгодог.

7. НОРМАЛЬ ТАРХАЛТЫН ТААМАГЛАЛЫН ДАГУУ OLS
НЭЛЭЛТ ДИЙН ШИНЖ ЧАНАРУУДҮ ҮҮ
• uuii нормаль тархалттай болнормаль тархалттай бол OLSOLS нэлэлт дү үүнэлэлт дү үү дараах шинждараах шинж
чанаруудтай байначанаруудтай байна;.;.
• 1.1. ТэдТэд хазайлтг йүхазайлтг йү ..
• 2.2. ТэдТэд минимум дисперстэйминимум дисперстэй. 1. 1-тэй холбовол тэд минимум-тэй холбовол тэд минимум
дисперстэй, хазайлтг й,үдисперстэй, хазайлтг й,ү р ашигтай нэлэлт дү ү үүр ашигтай нэлэлт дү ү үү гэсэн г.үгэсэн г.ү
• 3.3. ТэдТэд тогтвортойтогтвортой;; т врийн хэмжээ хязгаарг й с х дүү ү ө ө өт врийн хэмжээ хязгаарг й с х дүү ү ө ө ө
нэлэлт д тэдгээрийн эх олонлогийн утгууд руу нийлдэгү үүнэлэлт д тэдгээрийн эх олонлогийн утгууд руу нийлдэгү үү ..
• 4.4. βˆβˆ11 ((uuii-ийн шугаман функц-ийн шугаман функц)) ньнь нормаль тархалттай:нормаль тархалттай:
• ДундажДундаж:: E(βˆ1) = β1E(βˆ1) = β1 (4.3.1)(4.3.1)
• var (var (βˆ1):βˆ1): σσ22
ββˆˆ11 == ((∑∑ XX22
ii/n/n ∑∑ xx22
ii))σσ22
= (3.3.3)= (3.3.3) (4.3.2)(4.3.2)
• ТовчилболТовчилбол,,
• βˆβˆ11 ∼∼ N (N (ββ11, σ, σ22
ββ ˆˆ11))
• Нормаль тархалтын шинж чанаруудаар хувьсагчНормаль тархалтын шинж чанаруудаар хувьсагч ZZ ньнь::
• Z = (Z = (βˆβˆ11 − β− β11 )/)/ σσβˆ1βˆ1 (4.3.3)(4.3.3)

8. • нь стандарт нормаль тархалттай болнонь стандарт нормаль тархалттай болно,, тэг дундажтай нэгжтэг дундажтай нэгж ( = 1)( = 1)
дисперстэй нормаль тархалт буюу:дисперстэй нормаль тархалт буюу:
• Z N(0, 1)∼Z N(0, 1)∼
• 5.5. βˆβˆ22 ((uuii-ийн шугаман функц-ийн шугаман функц)) нь нормаль тархалттай:нь нормаль тархалттай:
• ДундажДундаж:: E(βˆE(βˆ22) = β) = β22 (4.3.4)(4.3.4)
• var (var (βˆβˆ22):): σσ22
ββˆˆ22 =σ=σ22
// ∑∑ xx22
ii = (3.3.1)= (3.3.1) (4.3.5)(4.3.5)
• ТовчилболТовчилбол,,
• βˆβˆ22 ∼∼ N(N(ββ22, σ, σ22
ββˆˆ22))
• (4.3.3)(4.3.3)-ийн адил-ийн адил,,
• Z = (Z = (βˆβˆ22 − β− β22 )/)/σσβˆ2βˆ2 (4.3.6)(4.3.6)
• м н стандарт нормаль тархалттай байнаөм н стандарт нормаль тархалттай байнаө ..
• Геометрийн хувьдГеометрийн хувьд βˆβˆ11 баба βˆβˆ22 –ийн нормаль тархалтыг зураг–ийн нормаль тархалтыг зураг 4.14.1-д-д
харуулавхаруулав..

10. • 6.6. ((n− 2)( ˆσn− 2)( ˆσ22
/σ/σ 22
)) ньнь ((n − 2)n − 2) ч л ний зэрэг б хийө өө үч л ний зэрэг б хийө өө ү χχ22
((хи-квадратхи-квадрат))
тархалттай байна.тархалттай байна.
• 7.7. ((βˆβˆ11, βˆ, βˆ22)) ньнь σˆσˆ22
-аас л хамаарах тархалттай.ү-аас л хамаарах тархалттай.ү
• 8.8. βˆβˆ11 баба βˆβˆ22 нь шугаман эсвэл шугаман бус байсан ч хазайлтг йүнь шугаман эсвэл шугаман бус байсан ч хазайлтг йү
нэлэлт дийн ангид минимум дисперстэй байна. Энэ р д н ньү үү ү үнэлэлт дийн ангид минимум дисперстэй байна. Энэ р д н ньү үү ү ү
Рао-гийнхаар Гаусс-Марковын теоремоос ялгаатай нь з вх нө өРао-гийнхаар Гаусс-Марковын теоремоос ялгаатай нь з вх нө ө
шугаман нэлэлт дийн ангиар хязгаарлагдахг й тул машү үү үшугаман нэлэлт дийн ангиар хязгаарлагдахг й тул машү үү ү
х чирхэг юмүх чирхэг юмү .. М н т нчлэн хамгийн бага квадрат нэлэлт д ньө үү ү үүМ н т нчлэн хамгийн бага квадрат нэлэлт д ньө үү ү үү
хазайлтг й нэлэлт дийн ангид минимум дисперстэй буюуү ү үүхазайлтг й нэлэлт дийн ангид минимум дисперстэй буюуү ү үү
хамгийн сайн хазайлтг й нэлэлт дү ү үүхамгийн сайн хазайлтг й нэлэлт дү ү үү (BUE(BUE)) байна.байна.

11. • НэгтгэвэлНэгтгэвэл:: нормаль тархалттай байх таамаглал ньнормаль тархалттай байх таамаглал нь βˆβˆ11 баба βˆβˆ22 ((хоёулхоёул
нормаль тархалттайнормаль тархалттай)) баба ˆˆσσ22
((хи-квадрат тархалттайхи-квадрат тархалттай))-ийн-ийн
магадлалт тархалтыг байгуулах боломж олгодгийг тэмдэглэхмагадлалт тархалтыг байгуулах боломж олгодгийг тэмдэглэх
нь чухал юм.нь чухал юм. Энэ нь итгэх завсар байгуулах болон статистикЭнэ нь итгэх завсар байгуулах болон статистик
таамаглал шалгах зорилгыг хялбар болгодог.таамаглал шалгах зорилгыг хялбар болгодог.
• ДашрамдДашрамд,, uuii N(0, σ∼ N(0, σ∼ 22
)) урьдчилсан н хцл рө өөурьдчилсан н хцл рө өө YYii ньнь uuii-ийн шугаман-ийн шугаман
функц байх ба дараах н хц л б хий нормаль тархалттай байнаө ө үфункц байх ба дараах н хц л б хий нормаль тархалттай байнаө ө ү
• E(YE(Yii)) == ββ11 + β+ β22XXii (4.3.7)(4.3.7)
• var (var (YYii)) == σσ22
(4.3.8)(4.3.8)
• Товч хэлбэрт бичвэл,Товч хэлбэрт бичвэл,
• YYii N(β∼ N(β∼ 11 + β+ β22XXii , σ, σ22
)) (4.3.9)(4.3.9)