Dokumen tersebut membahas tentang pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam menentukan potensial listrik di dalam pipa logam persegi panjang. Metode ini memungkinkan fungsi potensial ditulis sebagai hasil kali dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. Dengan menggunakan kondisi batas dan sifat ortogonalitas fungsi trigonometri, didapatkan penyelesaian tunggal berupa deret Fourier.

2. KELOMPOK 2
 MUH. ARBIANSYAH
 MARYUNITA
 AYU PRATIWI A.R
 SUCI MENTARI
 JUMIARTI ANDI LOLO

3. Pemisahan variabel adalah salah satu dari
beberapa metode untuk memecahkan
persamaan differensial biasa dan parsial ,
di mana aljabar memungkinkan kita untuk
menulis ulang persamaan sehingga
masing-masing dua variabel terjadi pada
sisi yang berbeda dari persamaan.

4. Gambar disamping
merupakan pipa logam
persegi panjang yang
ditanahkan pada tiga
sisinya dan dijaga pada
vo pada bidang atasnya.
Tidak terdapat muatan
volume di dalam pipa.
Bidang atas di isolasi dari
dinding lainnya pada
kedua celahnya.
Potensial di dalam pipa
dapat ditentukan dengan
menggunakan metode
pemisahan variabel.

5. Dengan menganggap rapat muatan volume di dalam
pipa tersebut sama dengan nol. Kita ingin
mendapatkan potensial ɸ(x,y) di dalam pipa. Secara
matematis, permasalahan ini dapat dinyatakan
sebagai berikut
2 ɸ(x,y) = 0untuk 0< x < a dan 0< y < b ..(1)
ɸ(0,y)= 0 untuk 0< y < b
(1.a)
ɸ(a,y)= 0 untuk 0< y < b
(1.b)
ɸ(x,0)= 0 untuk 0< x < a
(1.c)
ɸ(x,b)= vo untuk 0< x< a
(1.d)

6. Karena ɸ adalah fungsi dari x dan y, dapat ditulis
ulang sebagai berikut:
+ =0 (2)
Sehingga kita dapat memakai prosedur pemisahan
variabel dengan menyatakan:
ɸ(x,y) = X (x)Y (y) (3)
dengan kata lain, kita menganggap bahwa fungsi
potensial ɸ dapat dinyatakan sebagai hasil kali
X(x), yang hanya merupakan fungsi variabel x dan
Y(y), yang hanya merupakan fungsi variabel y.

7. Dengan mensubstitusikan persamaan (3)
ke dalam persamaan (2), akan
menghasilkan :
X’’Y + XY’’ = 0
Dimana X’’ dan Y’’ masing- masing
merupakan turunan kedua dari X(x) dan
Y(y). Jika kita menyusun kembali
persamaan diatas akan menghasilkan
bentuk baru berikut:
= - ........(4)

8. Dimana X hanya merupakan fungsi x,
sebagaimana X’’ begitupun dengan Y
yang merupakan fungsi y.
Karena persamaan 4 harus memenuhi
semua x dan y dalam daerah 0 < x < a
dan 0 < y < b, ini hanya bisa di penuhi
apabila kedua ruasnya sama dengan
suatu konstanta- artinya,
=C (5a)
= -C (5b)

9. Konstanta c yang muncul dalam (5) bisa
positif, negatif, atau nol. Sekarang kita
akan meninjau tiga kemungkinan ini
secara detail
Kasus a : C > 0
Jika kita menganggap C positif, maka C
dapat dinyatakan sebagai berikut :
C = k2.. Akibatnya, X (x) merupakan
kombinasi dari ekx dan e-kx atau sinh (kx)
dan cosh (kx) dan Y(y) merupakan
kombinasi dari sin (ky) dan cos (ky).

10. Kasus B : C < 0
Dalam kasus ini, C = -k2 dan X (x)
merupakan kombinasi dari sin (kx) dan
cos (kx), dan Y (y) merupakan kombinasi
dari sinh (ky) dan cosh (ky).
Kasus C : C = 0
Dalam kasus ini, X (x) = A1x + B1, dan
Y(y) = A2y + B2
Dari (1.a) dan (1.b), kita lihat bahwa akan
hilang pada x = 0 dan hilang lagi pada x =
a

11. Oleh karena itu, kita mengetahui bahwa X (x)
harus memiliki setidaknya dua nol dalam
jangkauan 0 x a.
Untuk kasus A , X (x) dinyatakan sebagai
sinh (kx) yang hanya memiliki satu buah nol
dan cosh (kx), yang tidak memiliki nol.
Demikian pula untuk kasus c,X (x) hanya
dapat memiliki paling banyak satu buah nilai
nol. Meskipun demikian, kasus B, X (x)
dinyatakan sebagai sin (kx) dan cos (kx),
keduanya memiliki nol yang tak hingga.

12. Untuk memenuhi kondisi batas, kita harus
memilih kasus B. Akibatnya, kita
menyelesaikan (5.a) dan (5.b) untuk
mendapatkan hasil berikut :
X (x) = A1 sin (kx) + B1 cos (kx) ...(6a)
Y (y) = A2 sinh (ky) + B2 cosh (ky) ...(6b)
ɸ(x,y) = [ A1 sin (kx) + B1 cos (kx) ] [A2 sinh (ky) + B2
cosh (kx) ] ......(6c)
sekarang kita akan menggunakan kondisi
batas (1.a) dan mengharuskan
ɸ (0, y) = 0 = B1 Y (y)

13. kondisi di atas dapat dipenuhi dengan
mengambil B1 = 0. Demikian pula, dari (1.c)
kita dapatkan B2 = 0. Sekarang fungsi
potensial tersebut akan mengambil bentuk
berikut :
ɸ(x, y) = A sin (kx) sinh (ky) ...(7)
dimana A dan k merupakan konstanta
sembarang. Untuk memenuhi (1.b), kita
mensubstitusikan x = a ke dalam (7) dan
mendapatkan hasil sebagai berikut :
0 = A sin (ka) sinh (ky) untuk 0<y<b

14. Hasil ini memungkinkan terjadi hanya jika ka
= mπ, dimana m adalah bilangan bulat. Jadi,
fungsi potensial tersebut akan mengambil
bentuk berikut :
ɸ (x, y)= A sin ( ) sinh ( ) ...(8)
dimana m = 1, 2, 3...
Jika kita memiliki suatu rangkaian yang terdiri
dari suku-suku yang berkaitan dengan nilai
dari m yang berbeda-beda, maka rangkaian
tersebut juga akan memenuhi persamaan
laplace (2), yaitu
ɸ (x, y) = sin sinh .....(9)

15. Kita sebaiknya membuktikan bahwa (9) juga
memenuhi tiga kondisi pertama dari empat
kondisi batas yang diberikan pada (1).
Sekarang kita akan menggunakan kondisi
batas keempat (1d), yang menghasilkan
V0 = sin sinh untuk0 < x < a (10)
Kita menyadari bahwa (10) semata-mata
merupakan ekspansi deret Fouirer dari
konstanta V0 dalam interval 0 < x < a .

16. Dengan menggunakan teknik standar
untuk perhitugan koefisien Fourier, kita
dapat memperoleh nilai dari Am dalam
(10) untuk semua nilai m. Prosedurnya
ditunjukan bahwa ini mengalikan kedua
ruas dari (10) dengan sin (n /a) dan
kemudian mengintegrasi dari 0 sampai a
akan menghasilkan
dx = An sinh ...(11)
sin

17. Akibat sifat ortogonalitas dari fungsi sin (n x / a) dari sin (m
a) dalam interval 0 < x < a ini
sin dx =
jika m jika m = n
Ruas kiri (11) dapat di integrasi secara analisis untuk
memperoleh hasil berikut :
An =
yang bernilai nol apabila n adalah bilangan bulat genap.
Penyelesaian akhir dari ɸ adalah sebagai berikut

18. ɸ(x, y) = ...(12)
dimana “n” = ganjil berarti n = 1, 3, 5.....penyelesaian ini
merupakan penyelesaian unik untuk sol yang diberikan
karna ia memenuhi persamaan laplace dan semua
kondisi batasnya titik pada y = b, khususnya, ɸ (x, b) =
V0 untuk 0
Persamaan (11.64) akan menghasilkan
sin =1
Kita dapat melihat bahwa deret tersebut memang terus
naik hingga sama dengan satu (unitas) untuk
0